公开课-幂函数教案

课题：§2.3幂函数

教学目标：

知识与技能 通过具体实例了解幂函数的概念、图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法 能够采用数形结合的方法、类比研究一般函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．

教学重难点：

重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的概念和一些基本性质．

难点 探索幂函数在第一象限的性质特征，体会图象的变化规律

教学工具：多媒体、几何画板 教学过程：

一、创设情景，引出概念

（一）写出下列y 关于x 的函数解析式： ①正方形边长x 、面积y ；y=x 2 ②正方体棱长x 、体积y ；y=x 3

③正方形面积x 、边长y ；y= x 2

1

④如果小明购买了每千克1元的比x 支,则她需要支付y 元；y=x ⑤某人骑车x 秒内匀速前进了1km,骑车速度为ykm/s ：y= x -1 思考一：以上五个函数是指数函数么？有什么共同特征？

课堂组织：抽学生回答以上五个函数解析式，如有必要，其中第3、5个引导学生写成分数指数幂的形

式。让全体同学一起判断。

【活动一】：写出解析式，小组讨论共同特征，探究幂函数定义

（1）幂的形式，系数为1 （2） 指数 是常数 （3）底数 是自变量 （4）只有一项

课堂组织：根据学生讨论结果，总结五个函数的共同特征，并引出幂函数一般形式y x α= （二）幂函数的概念(板书)

一般地，形如y x α=（板书）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数。 注意：一般形式，y x α=，α取全体实数。幂函数解析式的结构同样满足四个特征。

【活动二】：小试牛刀，定义判断

①判断下列函数是否是幂函数：

（1）5

3

y x =（2）2

x y -=（3）2

(1)y x =+（4）0

y x =（5）12

y x -

=（6）x y 2=

课堂组织：学生自主判断，并给出理由，最后引导学生找出区分幂函数与指数函数的关键地方。

【活动三】例题讲解，概念深化。解题关键是采用待定系数法。此题要详细讲解，给出解题步骤并板书。 例1幂函数图象经过点（2，2），求函数f(x)的解析式 答案：21

)(x x f = 总结：掌握形如y x α=是判断幂函数的关键。

二、互动交流，性质深化

（一）常见幂函数的图象与性质．在直角坐标系下作出下列五种常见幂函数的图像

（1）x y =；（2）2x y =；（3）3

x y =；（4）2

1x y =；（5）1

-=x y ； 【活动四】学生自主探索常见幂函数的图像并利用计算机验证 法一：列表、描点、连线 法二：计算机软件作图

课堂组织：学生在初中已经学习过1，2，5个函数，主要探索第3、4个幂函数图像。引导学生采用两种方法：（1）列表、描点、连线（2）计算机软件作图，让学生感受现代信息技术的便捷和传统教学的朴实之美。

【活动五】小组探索常见幂函数的基本性质，上台展示成果，集体点评

函数 x y =

2x y =

3x y =

2

1x y =

1-=x y

图像

定义域 R R

R [)0,+∞ {}|0x x ≠ 值域 R [)0,+∞

R [)0,+∞

{}|0y y ≠

奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 R 上增 (－∞,0]减 (0, +∞)增 R 上增 [ 0,+∞)增

(-∞,0)减 (0, +∞)减 分布象限

一三

一二

一三

一

一三

【活动六】探究幂函数的一般性质和图像的变化规律

（二）幂函数的一般性质（运用几何板展示） （1）（函数的图像和性质）在第一象限内，当0α>时，幂函数在[0，+∞）上是增函数，图像过定点（1，1）和点（0，0），当0α<时，幂函数在区间(0，+∞）上是减函数，图像过定点（1，1）。 （2）（指数α对函数图像的影响）在第一象限内，在直线x=1右侧的图像：指数越大，图像越靠近直线x=1，指数越小，图像越靠近x 轴。

课堂组织：学生观察图像总结，尤其是第一象限的图像和性质。 三、 知识运用，练习巩固

【活动七】例题讲解，练习巩固

例 2.如图所示，曲线是幂函数αx y =在第一象限内的图象，已知α分别取

2,2

1

,1,1-四个值，则相应图象依次为： （苟艺严）

课堂组织：这个题正好根据幂函数的第一条性质，指数对幂函数图像的影响，作一条直

线x=1，那么在直线x=1右侧的图象自上而下指数依次减小，就可以得出。答案：C4，c2，c3，c1.（ppt 演示）

例3.已知函数

（1）当m 为何值时，它是幂函数？

（2）在（1）的条件下，m 为何值时，它在（0，+∞）是增函数？

提示：板书

备用练习

1、 下列命题中正确的是（D ）

A 当α=0， 函数 的图像是一条直线

B 幂函数图像都经过（0, 0）点和（1,1）点

253()(1)m f x m m x --=--y x α

=

C 若幂函数是奇函数，则它是定义域上的增函数

D 幂函数图像不可能出现在第四象限。

2. 若幂函数 ，在（0，+∞）是单调递减的，则m=（0 ）

四、 课堂小结，夯实基础

【活动八】本节课，你有什么收获呢？

1.幂函数的概念

2.会画5种幂函数的图像

3.结合图像了解幂函数图像的变化情况和简单性质。 五、 课后作业

P 79习题2.3第2题，P82复习题A 组第10题 六、教学反思

21

()(31)m f x m m x -=-+