多元函数积分计算方法与技巧

第11章 格林公式，奥-高公式，斯托克斯公式之间
的关系及应用.
一、格林公式及其应用
1、格林公式。

=
说明：格林公式对光滑曲线围成的闭合区域均成立
例1．计算，其中 ：
解：， ，
原式=
例2， 计算星形线
围成图形面积
=
2、平面上曲线积分与路径无关的条件
定理：设，在单连通区域内有连续的一阶
偏导数，则以下四个条件相互等价
（1）内任一闭曲线，
=. （2）对内任一曲线，与路径无关
（3）在内存在某一函数使在
⎰
-L
ydx xdy ⎰⎰∂∂
-∂∂D
dxdy y x ⎰
++-C
dy
y x dx x y )3()(L 9)4()1(2
2=-+-y x 3
=∂∂x Q 1=∂∂y P ⎰⎰
=-D
dxdy π
18)13(⎩⎨⎧==t a y t
a x 33sin cos )20(π≤≤t ⎰⎰⋅+⋅=-=π
202223)sin cos 3sin cos sin 3cos (2121dt t t a t a t t a t a ydx xdy A L 832a π),(y x P ),(y x Q D C ⎰+C
Qdy Pdx 0L ⎰+L
Qdy Pdx D ),(y x μQdy Pdx y x d +=),(μ
内成立.
（4），在内处处成立.
例3．曲线积分
， 为过，和点的圆弧.
解： 令，， 则，
∴与路径无关.
取积分路径为. +
=
=
二、 高斯公式
定理，设空间闭合区域是有分片光滑的闭曲面所围成的，函数，，在上具有一阶连续偏导数，则
=
=
其中是的整个边界曲面的外侧，是上点
处的法向量的方向余弦，称之为高斯公式.
若不满足上述条件，可添加辅助面将其分成符号条件的若干块，且在辅助面两侧积分之和为零
例1
D x Q y P ∂∂-
∂∂D ⎰-++=L x y dy
y xe dx x e I )2()(L )0,0()
1,0()2,1(x e P y +=y xe Q y 2-=y e
x Q =∂∂y e y P =∂∂I AB OA +=I ⎰+OA
Qdy
Pdx ⎰
+AB
Qdy
Pdx ⎰⎰-++2
10
)2()1(dy y e dx x y
272
-
e Ω∑),,(z y x P ),,(z y x Q Ωdv z R y Q x P )(
∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰
Ω
⎰⎰
∑
++Rdxdy
Qdzdx pdydz ds R Q p ⎰⎰∑
++)cos cos cos (γβα∑Ωγβαcos ,cos ,cos ∑),,(z y x Ω()()()⎰⎰
∑
>=+=∑-+-+-围成表面与是0,2
22h z y x z dxdy y x dzdx x z dydz z y x o
y
x
B
A
的外侧
解：令
例2 计算的上侧
解：添上与构成封闭曲面
令
而
原式=
()z
y z R
y Q x P y x R x z Q z y x P -=∂∂+∂∂+∂∂-=-=-=则,,,()()4
sin 4
20
2
h dz z r rdr
d dv z y h
r h
πθθπ
-
=-=-=∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
原式0,:,2
222≥=++∑++⎰⎰
∑
z a z y x zdxdy ydxdz xdydz ⎩⎨
⎧=≤+∑02221z a y x ：∑3,,,=∂∂+∂∂+∂∂===z R
y Q x P z R y Q x P 则
3
3
232331a a dV zdxdy ydxdz xdydz ππ=⋅==++∴⎰⎰⎰⎰⎰Ω
∑+∑0
1
==++⎰⎰⎰⎰∑
∑
zdxdy zdxdy ydxdz xdydz ∴3
2a
π。