多元函数积分计算方法与技巧

第11章 格林公式，奥-高公式，斯托克斯公式之间

的关系及应用.

一、格林公式及其应用

1、格林公式。

=

说明：格林公式对光滑曲线围成的闭合区域均成立

例1．计算，其中 ：

解：， ，

原式=

例2， 计算星形线

围成图形面积

=

2、平面上曲线积分与路径无关的条件

定理：设，在单连通区域内有连续的一阶

偏导数，则以下四个条件相互等价

（1）内任一闭曲线，

=. （2）对内任一曲线，与路径无关

（3）在内存在某一函数使在

⎰

-L

ydx xdy ⎰⎰∂∂

-∂∂D

dxdy y x ⎰

++-C

dy

y x dx x y )3()(L 9)4()1(2

2=-+-y x 3

=∂∂x Q 1=∂∂y P ⎰⎰

=-D

dxdy π

18)13(⎩⎨⎧==t a y t

a x 33sin cos )20(π≤≤t ⎰⎰⋅+⋅=-=π

202223)sin cos 3sin cos sin 3cos (2121dt t t a t a t t a t a ydx xdy A L 832a π),(y x P ),(y x Q D C ⎰+C

Qdy Pdx 0L ⎰+L

Qdy Pdx D ),(y x μQdy Pdx y x d +=),(μ

内成立.

（4），在内处处成立.

例3．曲线积分

， 为过，和点的圆弧.

解： 令，， 则，

∴与路径无关.

取积分路径为. +

=

=

二、 高斯公式

定理，设空间闭合区域是有分片光滑的闭曲面所围成的，函数，，在上具有一阶连续偏导数，则

=

=

其中是的整个边界曲面的外侧，是上点

处的法向量的方向余弦，称之为高斯公式.

若不满足上述条件，可添加辅助面将其分成符号条件的若干块，且在辅助面两侧积分之和为零

例1

D x Q y P ∂∂-

∂∂D ⎰-++=L x y dy

y xe dx x e I )2()(L )0,0()

1,0()2,1(x e P y +=y xe Q y 2-=y e

x Q =∂∂y e y P =∂∂I AB OA +=I ⎰+OA

Qdy

Pdx ⎰

+AB

Qdy

Pdx ⎰⎰-++2

10

)2()1(dy y e dx x y

272

-

e Ω∑),,(z y x P ),,(z y x Q Ωdv z R y Q x P )(

∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰

Ω

⎰⎰

∑

++Rdxdy

Qdzdx pdydz ds R Q p ⎰⎰∑

++)cos cos cos (γβα∑Ωγβαcos ,cos ,cos ∑),,(z y x Ω()()()⎰⎰

∑

>=+=∑-+-+-围成表面与是0,2

22h z y x z dxdy y x dzdx x z dydz z y x o

y

x

B

A

的外侧

解：令

例2 计算的上侧

解：添上与构成封闭曲面

令

而

原式=

()z

y z R

y Q x P y x R x z Q z y x P -=∂∂+∂∂+∂∂-=-=-=则,,,()()4

sin 4

20

2

h dz z r rdr

d dv z y h

r h

πθθπ

-

=-=-=∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω

原式0,:,2

222≥=++∑++⎰⎰

∑

z a z y x zdxdy ydxdz xdydz ⎩⎨

⎧=≤+∑02221z a y x ：∑3,,,=∂∂+∂∂+∂∂===z R

y Q x P z R y Q x P 则

3

3

232331a a dV zdxdy ydxdz xdydz ππ=⋅==++∴⎰⎰⎰⎰⎰Ω

∑+∑0

1

==++⎰⎰⎰⎰∑

∑

zdxdy zdxdy ydxdz xdydz ∴3

2a

π