第六章 第一节 不等式的性质、一元二次不等式(优秀经典课时作业练习及答案详解)

[课时作业·巩固练习] 实战演练 夯基提能
[A 组 基础保分练]
1．(2020·山西联考)下列选项中，a ＞b 的一个充分不必要条件是( ) A.1a ＞1
b B ．lg a ＞lg b C ．a 2＞b 2
D ．e a ＞e b
解析：由函数y ＝lg x 的单调性知lg a ＞lg b ⇔a ＞b ＞0⇒a ＞b ，但a ＞b ⇒lg a ＞
lg b ，如a ＝1，b ＝0.故选B.
答案：B
2．(2020·河南商丘4月联考)若a ＜b ＜0，则下列不等关系中，不成立的是( ) A.1a ＞1b B.1a －b ＞1a C ．a 13＜b 13
D ．a 2＞b 2
解析：对于A ，a ＜b ＜0，两边同除以ab 可得1a ＞1
b ，故A 成立；对于B ，a ＜b ＜0，则
a ＜a －
b ＜0，两边同除以a (a －b )可得1a －b ＜1
a ，故B 不成立；对于C ，根据幂函数的单调性
可知C 成立；对于D ，a ＜b ＜0，则a 2＞b 2，故D 成立，故选B.
答案：B
3．(2020·江西南昌二中月考)若a ＞1,0＜c ＜b ＜1，则下列不等式不正确的是( ) A ．log a 2 018＞log b 2 018 B ．log b a ＜log c a C ．(c －b )c a ＞(c －b )b a D ．(a －c )a c ＞(a －c )a b
解析：∵a ＞1,0＜c ＜b ＜1，∴log a b ＜0，log a 2 018＞0， ∴log b 2 018＝log a 2 018log a b ＜log a 2 018，∴A 正确；
∵0＞log a b ＞log a c ，∴
1log a b ＜1log a c
，∴log b a ＜log c a ，∴B 正确； ∵c a ＜b a ，c －b ＜0，∴(c －b )c a ＞(c －b )b a ，∴C 正确； ∵a c ＜a b ，a －c ＞0，∴(a －c )a c ＜(a －c )a b ，∴D 错误．故选D.
答案：D
4．(2020·河南百校联盟模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：当(a －b )a 2≥0时，由a 2≥0得a －b ≥0，即a ≥b ，反之也成立，故“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的充要条件．
答案：C
5．若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－4,1)，则不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c ＞0的解集为( )
A.⎝⎛⎭⎫－4
3，1 B ．(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫4
3，＋∞ C ．(－1,4)
D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－4,1)， 知a ＜0且－4,1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根．
∴－4＋1＝－b a ，且－4×1＝c
a ，则
b ＝3a ，
c ＝－4a .则所求不等式转化为3a (x 2－1)＋a (x
＋3)－4a ＞0，
即3x 2＋x －4＜0，解得－4
3＜x ＜1.故选A.
答案：A
6．(2020·吉林模拟)不等式x 2－2x ＋m ＞0对一切实数x 恒成立的充要条件是( ) A ．m ＞2 B ．0＜m ＜1 C ．m ＞0
D ．m ＞1
解析：若不等式x 2－2x ＋m ＞0对一切实数x 恒成立，则对于方程x 2－2x ＋m ＝0，Δ＝4－4m ＜0，解得m ＞1，所以m ＞1是不等式x 2－2x ＋m ＞0对一切实数x 恒成立的充要条件，结合选项知选D.
答案：D
7．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －4
5a ＞0的解集为________．
解析：由ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15.将不等式ax 2＋bx －4
5a ＞0两边同时除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，所以x 2＋15x －45＜0，即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜4
5
，故
不等式ax 2＋bx －4
5
a ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，45. 答案：⎝
⎛⎭⎫－1，4
5 [B 组 能力提升练]
1．(2020·重庆模拟)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1
＝15，则a ＝( )
A.5
2 B.72 C.154
D.152
解析：由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝5
2
.故选A.
答案：A
2．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c
D.a d ＜b c
解析：由c ＜d ＜0，得－1d ＞－1c ＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式的性质，得－a d ＞－b
c ＞0，
所以a d ＜b
c
，故选D.
答案：D
3．设a ，b ∈R ，则“a ＞2且b ＞1”是“a ＋b ＞3且ab ＞2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析：若a ＞2且b ＞1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b ＞2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab ＞2×1＝2，即“a ＞2且b ＞1”是“a ＋b ＞3且ab ＞2”的充分条件；反之，若“a ＋b ＞3且ab ＞2”，则“a ＞2且b ＞1”不一定成立，如a ＝6，b ＝1
2.所以“a
＞2且b ＞1”是“a ＋b ＞3且ab ＞2”的充分不必要条件．故选A.
答案：A
4．“－1＜k ＜0”是“关于x 的不等式kx 2＋2kx －(k ＋2)＜0恒成立”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：要使kx 2
＋2kx －(k ＋2)＜0恒成立，则当k ≠0时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧
k ＜0，
Δ＜0，
即
⎩⎪⎨
⎪⎧
k ＜0，
4k 2＋4k (k ＋2)＜0，
解得－1＜k ＜0；当k ＝0时，kx 2＋2kx －(k ＋2)＝－2＜0恒成立．综上，要使kx 2＋2kx －(k ＋2)＜0恒成立，则k ∈(－1,0]．所以“－1＜k ＜0”是“关于x 的不等式kx 2＋2kx －(k ＋2)＜0恒成立”的充分不必要条件．故选A.
答案：A
5．(2020·河北衡水中学三调)已知a ＞b ，不等式ax 2＋2x ＋b ≥0对一切实数x 恒成立．又∃x 0∈R ，使
ax 20＋2x 0＋b ＝0
成立，则a 2＋b 2
a －b
的最小值为( )
A ．1 B. 2 C ．2
D ．2 2
解析：因为不等式
ax 2＋2x ＋b ≥0
对一切实数x 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞0，
4－4ab ≤0.
又∃x 0∈R ，
使ax 20＋2x 0＋b ＝0
成立，所以4－4ab ≥0，故4－4ab ＝0，即ab ＝1，又a ＞b ，所以a 2＋b 2
a －b
＝
a －
b ＋2ab a －b ＝a －b ＋2
a －b
≥22，故选D.
答案：D
6．若不等式x 2＋2x ＜a b ＋16b a 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )
A ．(－2,0)
B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C ．(－4,2)
D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞) 解析：当a ，b ＞0时，a b ＋16b
a ≥2
a b ×16b a ＝8(当且仅当a b ＝16b
a
，即a ＝4b 时取等号)，所以x 2＋2x ＜8，解得－4＜x ＜2.故选C.
答案：C
7．已知x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2－ax ＋a
2＞0恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．(0,2)
B ．(2，＋∞)
C ．(0，＋∞)
D ．(0,4)
解析：二次函数图象开口向上，对称轴为x ＝a
2.
x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2－ax ＋a
2＞0恒成立，
即f (x )min ＞0.
①当a 2≤－1，即a ≤－2时，f (x )min ＝f (－1)＝1＋a ＋a 2＞0，解得a ＞－2
3，与a ≤－2矛
盾；
②当a 2≥1，即a ≥2时，f (x )min ＝f (1)＝1－a ＋a
2＞0，
解得a ＜2，与a ≥2矛盾；
③当－1＜a 2＜1，即－2＜a ＜2时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24－a 22＋a 2＞0，解得0＜a ＜2.
综上可得，实数a 的取值范围是(0,2)． 答案：A
8．(2020·山东潍坊模拟)已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f ⎝⎛⎭⎫
12＝1.如果对于任意0＜x ＜y ，都有f (x )＞f (y )，则不等式f (－x )＋f (3－x )≥－2的解集为( )
A ．[－1,0)∪(3,4]
B ．[－1,0)
C ．(3,4]
D ．[－1,4]
解析：令x ＝y ＝1，得f (1)＝2f (1)，即f (1)＝0；令x ＝1
2，y ＝2，则f (1)＝f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，则f (2)＝－1；令x ＝y ＝2，则f (4)＝f (2)＋f (2)＝－2.又由f (－x )＋f (3－x )≥－2，可得f (x 2－3x )≥f (4)．又因为函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且对于任意0＜x ＜y ，都有f (x )＞f (y )，所以⎩⎪⎨⎪
⎧
－x ＞0，3－x ＞0，x 2
－3x ≤4，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＜0，
x ＜3，－1≤x ≤4，
解得－1≤x ＜0，即不等式f (－x )＋f (3－x )≥－2的解
集为[－1,0)．
答案：B
9．(2020·河北定州月考)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点x1，x2满足|x1－x2|＜3，集合A＝{m|f(m)＜0}，则()
A．∀m∈A，都有f(m＋3)＞0
B．∀m∈A，都有f(m＋3)＜0
C．∃m0∈A，使得f(m0＋3)＝0
D．∃m0∈A，使得f(m0＋3)＜0
解析：由函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点x1，x2，可得f(x1)＝0，f(x2)＝0.二次函数开口向上，满足|x1－x2|＜3，集合A＝{m|f(m)＜0}，可得x1＜m＜x2，m＋3＞x2.所以∀m∈A，都有f(m＋3)＞0.故选A.
答案：A。