最新2015年高考数学总复习教案43平面向量的数量积及平面向量的应用举例
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015年高考数学总复习教案43平面向量的数量积及平面向量
的应用举例
第四章平面向量与复数第3课时平面向量的数量积及平面向量
的应用举例(对应学生用书(文)、(理)65～67
页)
考情分析考点新知
①理解平面向量数量积的含义及其物
理意义.
②掌握数量积的坐标表示，会进行平
面向量数量积的运算；能利用数量积表
示两个向量夹角的余弦，会用数量积判
断两个非零向量是否垂直．
平面向量的数量积及其几何意义，数量
积的性质及运算律，数量积的坐标表
示.
②了解用平面向量的数量积可以处理
有关长度、角度和垂直的问题.
1. (必修4P77练习第2(1)题改编)已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝________．
答案：－3 2
解析：a·b＝|a|·|b|cos135°＝2×3×
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
2
2＝－3 2.
2. (必修4P80练习第3题改编)已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a 与b的夹角为________．
答案：
π
3
解析：∵ cos〈a，b〉＝
a·b
|a||b|＝
1
2，∴〈a，b〉＝
π
3.
3. (必修4P81习题2.4第2题改编)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________．
答案： 3
解析：|a－b|＝（a－b）2＝a2＋b2－2a·b＝12＋22－2×1×2cos60°＝ 3.
4. (必修4P81习题2.4第3(1)题改编)已知两个单位向量e1、e2的夹角为π
3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________． 答案：－6
解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22.因为e1，e2为单位向量，〈e1，e2〉＝π3，所以b1·b2＝3－2×
12－8＝3－1－8＝－6.
5. (必修4P84习题4改编)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →
＝0，则该四边形一定是________． 答案：菱形
解析：四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0知其为平行四边形，(AB →－AD →)·AC →＝0即DB
→·AC →＝0知该平行四边形的对角线互相垂直，从而该四边形一定是菱形．
1. 向量数量积的定义 (1) 向量a 与b 的夹角
(2) 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，并规定零向量与任一向量的数量积为0. 2. 向量数量积的性质
设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与b 的夹角，则 (1) e·a ＝a·e. (2) a ⊥b
a ·
b ＝0．
(3) 当a 与b 同向时，a ·b ＝|a||b|； 当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|；
特殊的，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.
(4) cosθ＝a·b |a||b|.
(5) |a·b|≤|a|·|b|.
3. 向量数量积的运算律
(1) 交换律：a·b＝b·a.
(2) 分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
(3) 数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
4. 平面向量数量积的坐标表示
(1) 若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.故a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
(2) 设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2．
(3) 若向量a＝(x1，y1)与向量b＝(x2，y2)的夹角为θ，则有cosθ＝a·b
|a||b|＝
x1x2＋y1y2
x21＋y21·x22＋y22
. [备课札记]
题型1向量平行与垂直的充分条件
例1已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1) 若a⊥b，求x的值；
(2) 若a∥b，求|a－b|的值．
解：(1) 若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2) 若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，a－b＝(－2，0)，
∴ |a－b|＝（－2）2＋02＝2；
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，a－b＝(2，－4)，∴ |a－b|＝22＋（－4）2＝2 5.
综上，可知|a－b|＝2或2 5.
变式训练
已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，x＝a＋(t2＋1)b，y＝－ka＋1
t b，m∈R，k、t
为正实数．
(1) 若a∥b，求m的值；
(2) 若a⊥b，求m的值；
(3) 当m＝1时，若x⊥y，求k的最小值．