求介质中磁场强度和磁感应强度
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§6.4 边界条件和磁路定理 §6.4.1 磁场的边界条件
依据磁场的高斯定理和有介质存在的安培环路定理，能够导出磁场在
两种物质界面(包括真空)两边的关系，这些边界条件是求解有磁介质存
在时磁场分布的基础。 做一个扁平盒子的高斯面，侧面
n 介质2
很小，通量可忽略。
B dS (B2n B1n )S 0 B2n B1n
i
Bi
ri 0
li
i
Bi ri 0 Si
li
L
忽略漏磁，所有的磁通都是相同的
NI B s i
li
ri 0
i
与电路比较
I
i
Ri I
i
li
i si
I
R1
Ri
把磁路的公式，写成与电路相似的形式
m B Rmi
i
m NI
B BS I
外界对单位体积介质作功功率为
p
E
D
H
B
t
t
E
H
B
t
D t
jc
r
r r r r r r r r rr
p E ( H jc ) H E E H H E E jc
应用矢量恒等式
1
介质2 介质1
§6.4.3 磁路定理
高磁导率材料有把磁场集中到它的内部的作用，把线圈绕到闭合铁 芯或接近闭合的铁芯上不仅磁场大大增强，而且磁场基本上集中到 铁芯内部。
由铁芯和小间隙构成的磁感应线集中的通路，称为磁路。
做一环路L, 如图：
Ñ r r
NI H dl
L
i
Hili
HOME WORK
7.1 7.2 7.3
电磁场的波动方程指出电磁波在真空中的传播速度是c，后来光 速的测量得到惊人的结果就是光在真空中传播的速度也是c。由 这惊人的一致性，麦克斯韦提出光是一种电磁波，这也被实验 所证实，确立了光的电磁理论。
电磁波的波速与介质的性质有关，即电磁场与物质的相互作用是决 定波速的因素之一。因此，电磁波的波长因传输介质而异。通常所 说的波长是指真空中的波长(空气中的波长与真空中波长很接近)
Rmi
li
ri 0 S
Ri
ri 0 i
磁位降落 H ili B Rmi IRi
磁路定理
闭合环路的磁动势等于各段磁路上磁位降落的和
例
线圈5000匝，电流4安培 L
铁芯截面 0.01m2, 总长度 2.0 m,
r 10000
气隙宽度 0.05m
求气隙中的磁感应强度
I
分别求出铁芯和气隙的磁阻 Rm1 , Rm2
算出磁通
B
NI Rm1 Rm2
计算磁感应强度
B B
S
自己算一下，和书上的结果比较
§6.4.4磁分流
既然有了磁路的概念，当然也就有磁路的并联与串联结构。
前面的例子就是一个串联磁路
Rm1
磁屏蔽是一个并联磁路的例子
NI
Rm2
把一个高磁导率的介质圆筒壳放在 磁场中，磁力线将集中在介质壳中， 圆筒中的空间中的磁场变弱。这就 是磁屏蔽的结果。
如果 2 不等于零，右边就必是一 个大数， 1 就接近90o。
2 1
介质2 介质1
即，如果磁介质外磁力线不垂直于界面， 则磁介质内磁力线接近平行于界面。
反过来看
如果 1 明显偏离90o, 2 一定很小
即，如果在高磁导率介质中磁力线明
显不平行于界面，在介质外磁力线必
接近垂直于界面。
H H
B1t B2t B1t B2t
1t
2t
1 2
r1 r2
B2t B2n
tan2
B1t B1n
tan1
tan1 B1t r1 tan2 B2t r 2
2
B2
介质2
1
B1
介质1
磁感应线在界面两侧一般会发生“折射”。折射时，界面两侧磁感应 线与界面法线夹角的正切之比等于两侧相对磁导率之比。
Rm
可以通过调节磁阻来调节自感
HOME WORK
6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11
“As simple as possible but not simpler”
Albert Einstein
第七章 电磁场与电磁波
经过多年的研究，人们对电和磁的认识越来越深刻，逐渐认识到电和 磁是一个统一体的两种表现。Maxwell总结了这些规律提出了Maxwell 方程组。实际上，我们这一章也就是前面各章所学电磁理论的总结。
定义玻印廷能流矢量， S E H
可见，电磁场的运动必须有相互垂直的E和H，它们的相互作用形 成了电磁波，能流的方向垂直于相互作用的E和H 。
电磁场的运动是有条件的。如果空间中只有电场或磁场，或者E和 H平行，则S=0，即电磁场是静止的，相应的电磁能是储存于空间 的能量。任何一个电磁场，只要有相互垂直的电场和磁场分量， 就一定有能流传输，并不限定是高频交变电磁场。
长波、中波、短波、微波、红外光、可见光、紫外光、X光、γ射线
§7.2.2 能流密度矢量
我们在前面介绍了能流密度矢量----玻印廷矢量，现在我们从电磁场理 论导出这一物理量。
能流密度矢量S的定义： S的方向指向能量流动的方向； S的大小等 于单位时间内通过与S垂直的、单位面积的能量。
导出的办法就是根据电磁场能量的变化和能量守恒定律：如果在空间 有一闭合曲面，则能流密度矢量对该闭合曲面的通量，就等于每秒通 过该曲面流出的能量。
L
S
r E
B
rt
r r D
全电流 H j
t
r jc
传导电流
F
q(E
v
B)
D r0E
B
r
0 H
各向同性线性介质
j E
以上方程，构成了描述电磁场的完备方程组
从这一方程组出发，加上具体问题的初条件、边条件，运用有效 的数学工具就能够导出所有宏观电磁问题的解
H
t D
t
E 0 E 0
H
0
H
E
0
H
H
t E
t
r
r
r
利用矢量恒等式 ( A) ( A) 2 A
E
H
t
H
E
S
E dl 0
L
B dl 0 j dS
L
S
H dl j dS
L
S
dB dt
微分形式
E
e
0
全部电荷
r D c
自由电荷
B 0
E 0
全电流和 B 0 j 磁化电流
v 1 1 c
r0r 0 r r
Where c 1 3.0108 M S 1
0 0
Is the speed of light !
同样可以推出H、D和B的类似的波动方程
由麦克斯韦方程组可以导出电磁场的波动方程，即麦克斯韦预言 了电磁波的存在。这一预言，以后不断地得到实验证实。当今的 时代，电磁波已经是人们生活中不可缺少的东西。
H j
全电流
E
B
t
§7.1.2 麦克斯韦方程组
rr
r
Ò D dS cd
S
r rV
Ò B dS 0
D r
c
自由电荷
B 0
r
S
r
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L
r
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S
r B
t r j
r dS r dS
E E
1t
2t
D D
1n
2n
H H
1t
2t
B B
1n
2n
界面上不存在自由电荷和传导面电流
§7.2 电磁波的基本概念
§7.2.1 电磁场的运动---电磁波
假设在各向同性线性介质中，并且
jc 0, c
0
D E, B H
D 0
E B0B
静电场和稳恒磁场只是它们的特殊形式而已
电场强度的高斯定理 电位移矢量的高斯定理
磁感应强度的高斯定理 静电场强度的环路定理
安培环路定理 磁场强度的环路定理 法拉第电磁感应定律
积分形式
s
E
dS
1 0
V
ed
rr
Ò D dS cd
s
V
B dS 0
S
介质1
磁感应强度的法向分量在介质界面上连续
H dl j dS
L
S
介质2 介质1
***如果界面上除磁化面电流以外没有其它的面电流 j 0
窄边是无穷小量，法向分量对积分无贡献。
(H2t H1t )l 0 H2t H1t
磁场强度的切向分量在界面上连续。 磁感应强度法向分量在界面上连续的条件适用于任何界面 磁场强度切向分量在界面上连续只适用于两种磁介质界面(包括真空)， 即在界面上没有传导面电流。
磁屏蔽并不能实现完全屏蔽。
§6.4.5 电感器中的磁路
在电感线圈中充满高磁导率材料可以极大地增加电感系数(没有漏磁)。
如果线圈的匝数为N，磁路的磁阻为Rm，则当通过线圈的电流为I时， 通过线圈任一截面的磁通量为
B
NI Rm
匝链数
NB
N2I Rm
自感系数为 LI L N 2
例题：
在一同轴电缆中填满相对磁导率r1和r2的两种磁介质，各占一半，且介 质面为通过电缆轴的平面。设电流为I，求介质中磁场强度和磁感应强度。
解： 把同轴电缆的内导体圆柱和外导体圆柱壳当作理想导体。本题中磁介质 界面与磁感应矢量垂直，可知两磁介质中的磁感应强度大小相等。可得
1
(
1
1
)Br I
V
r
E
V
r
jcd
如果是外界做负功，上式可改写成
dW dt
rr
(E H )d
V
rr
E jcd
V
dW dt
rr
Ò E H
S
r dS
r
E
V
r
jcd
该式左边是单位时间闭合曲面内能量的减少，右边第一项是单位时间 通过表面流出的能量，第二项是单位时间内电场对传导电流所作的功
即
0
r1
r2
B 0 r1 r2 I ( ) r
r1
r2
两介质区中的磁场强度分别为
H
1
B
r2
(
I
) r
和
0 r1
r1
r2
Байду номын сангаас
H
2
B
r1
(
I
) r
0 r2
r1
r2
rr
对于线性磁介质， B H
在两种线性磁介质界面两侧，
§7.1 电磁场的基本方程 §7.1.1 电磁场 在我们研究非稳恒的电场和磁场时，有两个重要的规律把电和磁联系到 一起了。
变化的电场产生位移电流，而位移电流和传导电流一样有磁场伴随。
变化的磁场感生出涡旋电场—这是法拉第电磁感应定律
变化的电场------变化的磁场--------变化的电场…
电场和磁场既互相联系，又在一定条件下相互激发、相互转化形 成一个统一体-电磁场
§6.4.2 高磁导率材料的边界效应
高磁导率材料通常被称为高μ材料，在电磁技术和磁屏蔽技术上有广泛 的应用。用这种材料实现磁屏蔽的原理是什么呢？
设介质1是铁磁材料 r1 1 介质2是真空或一般磁性材料， r 2 1
tan1 r1 tan2 r2
因而有 tan1 r1tan2
( A C) C ( A) A ( C)
r r rr 得 p (E H) E jc
上式是外界对单位体积介质作功的功率，对某一个闭合曲面内的整 个体积作功功率是
dW dt
V
pd
rr
(E H )d
t
E
( H )
t
E
2E
t 2
左边用矢量恒等变换
E ( E) 2E 2E
代入得
2E
2E t 2
波动方程
波动方程的一般形式是
2U
1 v2
2U t 2
对照可知
依据磁场的高斯定理和有介质存在的安培环路定理，能够导出磁场在
两种物质界面(包括真空)两边的关系，这些边界条件是求解有磁介质存
在时磁场分布的基础。 做一个扁平盒子的高斯面，侧面
n 介质2
很小，通量可忽略。
B dS (B2n B1n )S 0 B2n B1n
i
Bi
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忽略漏磁，所有的磁通都是相同的
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与电路比较
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I
R1
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把磁路的公式，写成与电路相似的形式
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外界对单位体积介质作功功率为
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B
t
t
E
H
B
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r
r r r r r r r r rr
p E ( H jc ) H E E H H E E jc
应用矢量恒等式
1
介质2 介质1
§6.4.3 磁路定理
高磁导率材料有把磁场集中到它的内部的作用，把线圈绕到闭合铁 芯或接近闭合的铁芯上不仅磁场大大增强，而且磁场基本上集中到 铁芯内部。
由铁芯和小间隙构成的磁感应线集中的通路，称为磁路。
做一环路L, 如图：
Ñ r r
NI H dl
L
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HOME WORK
7.1 7.2 7.3
电磁场的波动方程指出电磁波在真空中的传播速度是c，后来光 速的测量得到惊人的结果就是光在真空中传播的速度也是c。由 这惊人的一致性，麦克斯韦提出光是一种电磁波，这也被实验 所证实，确立了光的电磁理论。
电磁波的波速与介质的性质有关，即电磁场与物质的相互作用是决 定波速的因素之一。因此，电磁波的波长因传输介质而异。通常所 说的波长是指真空中的波长(空气中的波长与真空中波长很接近)
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磁位降落 H ili B Rmi IRi
磁路定理
闭合环路的磁动势等于各段磁路上磁位降落的和
例
线圈5000匝，电流4安培 L
铁芯截面 0.01m2, 总长度 2.0 m,
r 10000
气隙宽度 0.05m
求气隙中的磁感应强度
I
分别求出铁芯和气隙的磁阻 Rm1 , Rm2
算出磁通
B
NI Rm1 Rm2
计算磁感应强度
B B
S
自己算一下，和书上的结果比较
§6.4.4磁分流
既然有了磁路的概念，当然也就有磁路的并联与串联结构。
前面的例子就是一个串联磁路
Rm1
磁屏蔽是一个并联磁路的例子
NI
Rm2
把一个高磁导率的介质圆筒壳放在 磁场中，磁力线将集中在介质壳中， 圆筒中的空间中的磁场变弱。这就 是磁屏蔽的结果。
如果 2 不等于零，右边就必是一 个大数， 1 就接近90o。
2 1
介质2 介质1
即，如果磁介质外磁力线不垂直于界面， 则磁介质内磁力线接近平行于界面。
反过来看
如果 1 明显偏离90o, 2 一定很小
即，如果在高磁导率介质中磁力线明
显不平行于界面，在介质外磁力线必
接近垂直于界面。
H H
B1t B2t B1t B2t
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2
B2
介质2
1
B1
介质1
磁感应线在界面两侧一般会发生“折射”。折射时，界面两侧磁感应 线与界面法线夹角的正切之比等于两侧相对磁导率之比。
Rm
可以通过调节磁阻来调节自感
HOME WORK
6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11
“As simple as possible but not simpler”
Albert Einstein
第七章 电磁场与电磁波
经过多年的研究，人们对电和磁的认识越来越深刻，逐渐认识到电和 磁是一个统一体的两种表现。Maxwell总结了这些规律提出了Maxwell 方程组。实际上，我们这一章也就是前面各章所学电磁理论的总结。
定义玻印廷能流矢量， S E H
可见，电磁场的运动必须有相互垂直的E和H，它们的相互作用形 成了电磁波，能流的方向垂直于相互作用的E和H 。
电磁场的运动是有条件的。如果空间中只有电场或磁场，或者E和 H平行，则S=0，即电磁场是静止的，相应的电磁能是储存于空间 的能量。任何一个电磁场，只要有相互垂直的电场和磁场分量， 就一定有能流传输，并不限定是高频交变电磁场。
长波、中波、短波、微波、红外光、可见光、紫外光、X光、γ射线
§7.2.2 能流密度矢量
我们在前面介绍了能流密度矢量----玻印廷矢量，现在我们从电磁场理 论导出这一物理量。
能流密度矢量S的定义： S的方向指向能量流动的方向； S的大小等 于单位时间内通过与S垂直的、单位面积的能量。
导出的办法就是根据电磁场能量的变化和能量守恒定律：如果在空间 有一闭合曲面，则能流密度矢量对该闭合曲面的通量，就等于每秒通 过该曲面流出的能量。
L
S
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全电流 H j
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传导电流
F
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B
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各向同性线性介质
j E
以上方程，构成了描述电磁场的完备方程组
从这一方程组出发，加上具体问题的初条件、边条件，运用有效 的数学工具就能够导出所有宏观电磁问题的解
H
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利用矢量恒等式 ( A) ( A) 2 A
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微分形式
E
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全部电荷
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自由电荷
B 0
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全电流和 B 0 j 磁化电流
v 1 1 c
r0r 0 r r
Where c 1 3.0108 M S 1
0 0
Is the speed of light !
同样可以推出H、D和B的类似的波动方程
由麦克斯韦方程组可以导出电磁场的波动方程，即麦克斯韦预言 了电磁波的存在。这一预言，以后不断地得到实验证实。当今的 时代，电磁波已经是人们生活中不可缺少的东西。
H j
全电流
E
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§7.1.2 麦克斯韦方程组
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H H
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界面上不存在自由电荷和传导面电流
§7.2 电磁波的基本概念
§7.2.1 电磁场的运动---电磁波
假设在各向同性线性介质中，并且
jc 0, c
0
D E, B H
D 0
E B0B
静电场和稳恒磁场只是它们的特殊形式而已
电场强度的高斯定理 电位移矢量的高斯定理
磁感应强度的高斯定理 静电场强度的环路定理
安培环路定理 磁场强度的环路定理 法拉第电磁感应定律
积分形式
s
E
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1 0
V
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rr
Ò D dS cd
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V
B dS 0
S
介质1
磁感应强度的法向分量在介质界面上连续
H dl j dS
L
S
介质2 介质1
***如果界面上除磁化面电流以外没有其它的面电流 j 0
窄边是无穷小量，法向分量对积分无贡献。
(H2t H1t )l 0 H2t H1t
磁场强度的切向分量在界面上连续。 磁感应强度法向分量在界面上连续的条件适用于任何界面 磁场强度切向分量在界面上连续只适用于两种磁介质界面(包括真空)， 即在界面上没有传导面电流。
磁屏蔽并不能实现完全屏蔽。
§6.4.5 电感器中的磁路
在电感线圈中充满高磁导率材料可以极大地增加电感系数(没有漏磁)。
如果线圈的匝数为N，磁路的磁阻为Rm，则当通过线圈的电流为I时， 通过线圈任一截面的磁通量为
B
NI Rm
匝链数
NB
N2I Rm
自感系数为 LI L N 2
例题：
在一同轴电缆中填满相对磁导率r1和r2的两种磁介质，各占一半，且介 质面为通过电缆轴的平面。设电流为I，求介质中磁场强度和磁感应强度。
解： 把同轴电缆的内导体圆柱和外导体圆柱壳当作理想导体。本题中磁介质 界面与磁感应矢量垂直，可知两磁介质中的磁感应强度大小相等。可得
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(
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如果是外界做负功，上式可改写成
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该式左边是单位时间闭合曲面内能量的减少，右边第一项是单位时间 通过表面流出的能量，第二项是单位时间内电场对传导电流所作的功
即
0
r1
r2
B 0 r1 r2 I ( ) r
r1
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两介质区中的磁场强度分别为
H
1
B
r2
(
I
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和
0 r1
r1
r2
Байду номын сангаас
H
2
B
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(
I
) r
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r1
r2
rr
对于线性磁介质， B H
在两种线性磁介质界面两侧，
§7.1 电磁场的基本方程 §7.1.1 电磁场 在我们研究非稳恒的电场和磁场时，有两个重要的规律把电和磁联系到 一起了。
变化的电场产生位移电流，而位移电流和传导电流一样有磁场伴随。
变化的磁场感生出涡旋电场—这是法拉第电磁感应定律
变化的电场------变化的磁场--------变化的电场…
电场和磁场既互相联系，又在一定条件下相互激发、相互转化形 成一个统一体-电磁场
§6.4.2 高磁导率材料的边界效应
高磁导率材料通常被称为高μ材料，在电磁技术和磁屏蔽技术上有广泛 的应用。用这种材料实现磁屏蔽的原理是什么呢？
设介质1是铁磁材料 r1 1 介质2是真空或一般磁性材料， r 2 1
tan1 r1 tan2 r2
因而有 tan1 r1tan2
( A C) C ( A) A ( C)
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上式是外界对单位体积介质作功的功率，对某一个闭合曲面内的整 个体积作功功率是
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左边用矢量恒等变换
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代入得
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波动方程
波动方程的一般形式是
2U
1 v2
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对照可知