18.2.3《正方形》导学案1

第2课时
1.能根据平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的关系,归纳出正方形的判定定理.
2.能运用正方形的性质定理与判定定理进行比较简单的推理与证明.
3.在探究与证明正方形判定定理的过程中,体会正方形的特殊性,认识正方形的内涵.
4.重点:正方形的判定定理及其应用.
问题探究
阅读教材本节中的第一个“思考”,解决下列问题.
1.根据正方形的定义能判定一个四边形是正方形吗?如果能,应该怎么证明?
由定义能证明一个四边形是正方形,先证明这个四边形是平行四边形,再证明有一组邻边相等,一个角是直角即可.
2.由矩形和菱形的定义,可以先证明一个四边形是矩形或菱形,再证明它是四边形吗?如果可以,应该怎样证明?
根据正方形的定义,只要先证明四边形是矩形,再证明有一组邻边相等;或先证明四边形是菱形,再证明有一
个角是直角,就可以说明这个四边形是正方形了.
3.对如何利用对角线证明一个四边形是正方形,三个同学给出如下意见.甲:“对角线互相平分且垂直的四边形是正方形”;乙:“对角线相等且平分的四边形是正方形”;丁:“对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形”.你认为哪个同学的说法是正确的?为什么?
丁的说法是正确的,因为从对角线证明的话,对角线互相平分的四边形是平行四边形,对角线相等且平分的四边形是矩形,对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,只有对角线相等且互相垂直平分的四边形才是正方形.
【归纳总结】判断一个图形是否为正方形,有哪些方法?
(1)定义法:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
(2)矩形、菱形法:先判定四边形是矩形,再判定这个矩形是菱形(如:一组邻边相等的矩形);或者先判定四边形是菱形,再判定这个菱形也是矩形(如:有一个角是直角的菱形) .
【预习自测】在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的是(B)
A.AC=BD,AB CD
B.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
知识梳理
阅读教材本节中的第二个“思考”,解决下列问题.
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质
2.平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
平行四边形两组对边分别平行,两组对边分别相等,一组对边平行且相等,两组对角分别相等,对角线互相平分的四边形是平行四边形.
矩形有一个角是直角的平行四边形,对角线相等的平行四边形是矩形.
菱形有一组邻边相等的平行四边形,四边都相等的四边形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
正方形有一个角是直角,且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.
【预习自测】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义,填写这几个图形之间的
包含关系图.
互动探究1:如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列条
件:①AB=BC=CD=DA;②OA=OB=OC=OD;③AC⊥BD.其中能说明四边形ABCD是正方形的有(A)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
互动探究2:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥AC,DF⊥BC,E、F是垂足,那么四边形DECF是正方形吗?请说明理由.
解:是.
理由:∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴∠DEC=∠DFC=90°.
又∵∠ACB=90°,∴四边形DECF是矩形.
∵CD平分∠ACB,DE⊥AC,DF⊥BC,∴DF=DE,∴四边形DECF是正方形.
互动探究3:如图,已知平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E是BD延长线上的点,
且△ACE是等边三角形.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若∠AED=2∠EAD,求证:四边形ABCD是正方形(方法指导:在(1)的基础上证明有一个角
是直角即可).
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO.
又∵△ACE是等边三角形,
∴EO⊥AC,即DB⊥AC.
∴平行四边形ABCD是菱形.
(2)∵△ACE是等边三角形,∴∠AEC=60°.
∵EO⊥AC,∴∠AEO=∠AEC=30°.
∵∠AED=2∠EAD,∴∠EAD=15°,∴∠ADO=∠EAD+∠AED=45°.
∵四边形ABCD是菱形,∴∠ADC=2∠ADO=90°.∴四边形ABCD是正方形.
见《导学测评》P27。