2007年福建高考理科数学试卷及答案详解(文字版)

2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（福建卷及详解）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数
2
1
(1i)
+等于（ ） A ．
12
B ．12
-
C ．
1i 2
D ．1i 2
-
解析：
=
.
2．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1
(1)n a n n =+，则5S 等于（ ）
A ．1
B ．
56
C ．
16
D ．
130
解析：
=，所以
，选B.
3．已知集合{}{12}A x x a B x x =<=<<，，且()A B =R R ð，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤
B ．1a <
C ．2a ≥
D ．2a >
解析：
或，因为，所以，选C.
4．对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ ）
A ．若=0
a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若22
=a b ，则=a b 或-a =b
D ．若
a b =a c ，则b =c 解析：
时也有
，故A 不正确；同理C 不正确；由
得不到b=c ，如为零
向量或与b 、c 垂直时，选B.
5．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫
=+
> ⎪3⎝⎭
的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A ．关于点0π
⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称
B ．关于直线x π
=
4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4
⎝⎭
，对称
D ．关于直线x π
=
3
对称
由函数的最小正周期为得，由
得
，对称点为（，0）（），当k=1时为（，0），
选A.
6．以双曲线
22
1916
x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A ．221090x y x +-+= B ．2210160x y x +-+= C ．2210160x y x +++=
D ．221090x y x +++=
右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为，即
，，圆
方程为
，即A ：
，选A.
7．已知()f x 为R 上的减函数，则满足1
(1)f f x ⎛⎫
<
⎪⎝⎭
的实数x 的取值范围是（ ） A ．(11)
-，
B ．(01)，
C ．(1
0)(01)- ，， D ．(1)(1)-∞-+∞ ，
，
由已知得解得或，选C.
8．已知m n ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．m n m n ααββαβ⊂⊂⇒，，∥，∥∥ B ．m n m n αβαβ⊂⊂⇒∥，，∥
C ．m m n n αα⇒⊥，⊥∥
D ．n m n m αα⇒∥，⊥⊥
A 中m 、n 少相交条件，不正确；
B 中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；
C 中n 可以在内，不正确，选D.
9．把21(1)(1)(1)n
x x x +++++++ 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a ，则
21
lim
1n n n
a a ∞-+→等于（ ）
A ．1
4
B ．
12
C ．1
D ．2
令=1得=1+2+22+……+2n=，
，选D.
10．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''-
中，1AB AA '==，则A C ，两点间的球面距离为（ ） A ．π
4
B ．
π2
C
D
正四棱柱的对角线为球的直径，由
得R=1，
AC=，所以∠AOC=（其中O 为球心）A 、C 两点间的球面距离为，选B.
11．已知对任意实数x ，有()()()(f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，
()0()f x g x ''>>，，则0x <时（ ）
A ．()0()0f x g x ''>>，
B ．()0()0f x g x ''><，
C ．()0()0f x g x ''<>，
D ．()0()0f x g x ''<<，
由已知
为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;
为偶函数,在对称区间的单调性相反
,
时
,递增,
当
时
,
递增,
; 递减, ,选B.
12．如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）
A ．3
7 B ．
47
C ．114
D ．1314
从中任取三个数共有种取法，没有同行、同列的取法有，至少有两个
数位于同行或同列的概率是，选D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪
-⎨⎪⎩
≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．
画出可行域知
在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值7，范围是[-5，
7].
14．已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______．
设c=1，则.
15．两封信随机投入A B
C ，，三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E ξ= ．
ξ的取值有0，1，2，
，所以
E ξ=
11121321
222331
3233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件： （1）自反性：对于任意a A ∈，都有a a -；
（2）对称性：对于a b A ∈，，若a b -，则有b a -；
（3）传递性：对于a b c A ∈，，，若a b -，b c -，则有a c -． 则称“-”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．
解析：．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，1tan 4A =
，3
tan 5
B =． （Ⅰ）求角
C 的大小；
（Ⅱ）若ABC △ 解析： (Ⅰ)
,
.
又,.
(Ⅱ),
边最大,即
.
又,
角
最小,
边为最小边.
由且,
得
.由
得:.
所以,最小边
18．（本小题满分12分）
如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为
2，D 为1CC 中点．
（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离． 解析： (Ⅰ)取
中点
,连结
.
为正三角形,
.
正三棱柱
中,平面平面
, 平面
.
连结
,在正方形
中,分别为
的中点
,
,
.
在正方形
中,
,
平面
.
(Ⅱ)
设
与
交于点,
在平面中,
作
于,
连结,由(Ⅰ)得
A
B
C
D
1
A
1
C
1
B
平面.
,
为二面角的平面角.
在中,由等面积法可求得,
又,
.
所以二面角的大小为.
(Ⅲ)中,,.
在正三棱柱中,到平面的距离为.
设点到平面的距离为.
由得,
.
点到平面的距离为.
(Ⅰ)取中点,连结.
为正三角形,.
在正三棱柱中,平面平面,
平面.
取中点,以为原点,,,的方向为轴的正方向建立空间直角
坐标系,则,,,,,
,,.
,,
,.
平面.
(Ⅱ)设平面的法向量为
,.
,
令得为平面的一个法向量.
由(Ⅰ)知平面,
为平面的法向量.
,
二面角的大小为.
(Ⅲ)由(Ⅱ),
为平面
法向量,
.
点到平面的距离
19．（本小题满分12分）
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（35a ≤≤）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（911x ≤≤）时，一年的销售量为2(12)x -万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值()Q a ． 解：（Ⅰ）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：
2(3)(12)[911]L x a x x =---∈，，．
（Ⅱ）2
()(12)2(3)(12)L x x x a x '=-----
(12)(1823)x a x =-+-．
令0L '=得2
63
x a =+
或12x =（不合题意，舍去）． 35a ≤≤，228
8633
a ∴+≤≤．
在2
63
x a =+两侧L '的值由正变负．
所以（1）当28693a +<≤即9
32
a <≤时，
2max (9)(93)(129)9(6)L L a a ==---=-．
（2）当2289633a +
≤≤即9
52
a ≤≤时， 2
3
max
2221(6)63126433333L L a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+=+---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎣⎦，
所以3
99(6)32()1943532a a Q a a a ⎧
-<⎪⎪
=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭
⎩， ≤，， ≤≤ 答：若9
32
a <
≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值()9(6)Q a a =-（万元）；若952a ≤≤，则当每件售价为263a ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭元时，分公司一年的
利润L 最大，最大值3
1()433Q a a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
（万元）．
20. （2007年福建理20）如图，已知点F （1，0），直线l ：＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且
.
（1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点M ，已知，，
求的值.
解析： (Ⅰ)设点
,则
,由
得
: ,化简得
.
(Ⅱ)设直线
的方程为
: .
设,,又,
联立方程组,消去得:
,,故
由,得:
,,整理得:
,,
.
(Ⅰ)由得:,
,
,
.
所以点
的轨迹
是抛物线,由题意,轨迹
的方程为:
.
(Ⅱ)由已知
,
,得
.
则:.…………①
过点
分别作准线的垂线,垂足分别为
,
,
则有:.…………②
由①②得:
,即.
21．（本小题满分12分）
等差数列{}n a 的前n 项和为1319n S a S ==+， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； （Ⅱ）设()n
n S b n n
*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
(Ⅰ)由已知得,,
故
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
假设数列中存在三项
(互不相等)成等比数列,则
.
即
.
,
.
与
矛盾.
所以数列
中任意不同的三项都不可能成等比数列.
22．（本小题满分14分） 已知函数()e x f x kx x =-∈R ，
（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：1
2
(1)(2)()(e 2)()n n F F F n n +*>+∈N ．
解析： (Ⅰ)由得,所以
.
由得,故的单调递增区间是, 由得
,故的单调递减区间是
.
(Ⅱ)由可知
是偶函数. 于是对任意
成立等价于对任意
成立.
由得
.
①当时,
. 此时在上单调递增. 故,符合题意.
②当时,.
当变化时
的变化情况如下表:
由此可得,在上,.
依题意,,又.
综合①,②得,实数的取值范围是.
(Ⅲ),
,
,
由此得,
故.。