连续时间傅里叶变换
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非
解: X(j) eatejtdt eate jt
0
a j
1 a j
周 期 信 号
t0~
则 模 ： X (j) 1 , 相 位 ： S X (j) tg 1
a 22
a
的
SX(j)
表
X ( j )
示
x (t)
1/a
1
2 2a
2
0
t
a 0 a
a a
2
11
例2. x (t) e a t,a 0 ， 求 其 傅 里 叶 变 换 。
jt dt
x(t )
1
2
X ( j)e jtd
非 二.傅立叶变换的收敛
周
期
和傅立叶级数的收敛条件一致，也有相应
信 号
的两组条件：
的
表
1.平方可积条件
示
若
2
x(t) dt
，则
X ( j )
存在
表明:能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。
9
4.1
2. Dirichlet 条件
a. 绝对可积条件： x(t)dt
的 信号与系统分析中具有如此重要的意义。
表
示
(t)
X ( j )
1
t
0
13
0
4.1
例4.求矩形脉冲的傅里叶变换:
x(t)
1, 0,
t T1 。 t T1
解 ： X ( j) T T 1 1 e j t d t 2 S i n T 1 2 T 1 S i T n 1 T 1 2 T 1 S a (T 1 ) 2 T 1 S i n c (T 1 )
的
表
示
第二章 连续时间傅里叶变换(1)
jn0t
A T
n 0 jn0t Sa( 2 )e n =-
第二章
连续时间傅里叶变换
数字信号处理
周期信号的对称性与傅立叶系数
当周期信号具有某种对称性时，在傅立叶级数展开过程中， 傅立叶系数的计算大为简化。 （1）偶对称
f (t ) f (t )
f t
n 1
同频率合并
a0 c0 d0
f (t ) d0
dn sin(n1t n )
n 1
初相位
an cn cos n dn sin n
bn cn sin n dn cos nn
c，d
2 2 2 2 cn dn an bn a bn n arctg n n arctg bn an
A
bn 0 T 22 a0 f (t )dt T 0 T T 42 an f (t ) cos(tn0 )dt , n 1, 2, 3, T 0
0
T 2
T
t
第二章
连续时间傅里叶变换
数字信号处理
（2）奇对称
f ( t ) f ( t )
t2 * j
则称该函数集为归一化正交函数集。
第二章
连续时间傅里叶变换
数字信号处理
三角函数集
{1, cos 0t, cos 20t, , cos n0t, , sin 0t, sin 20t, , sin n0t, } 2 在区间 (t 0 , t 0 T ) 内是一完备正交函数集。 T 0 正交性:（m 和 n 都是整数）
数字信号处理
变换域分析
连续时间傅里叶变换
连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换（Continuous-Time Fourier Transform，CTFT）是傅里叶变换（Fourier Transform，FT）的一种，它适用于连续信号。
它能够将连续时间信号表示为一系列相同时间周期内信号幅度和相位不同的空间频率组份，即信号可以按其频率分解为更加精细的空间组份，这也是傅里叶级数的基础。
CTFT可以将任意连续时间信号表示成一组正弦信号的和，即可以将一种信号表示为正弦信号组成的线性组合，这样就可以将信号的复杂性减简，并用数学方法对它进行分析。
从理论上讲，CTFT可以将任意的空间信号表示为一组正弦信号的和，这也是CTFT的核心特性之一，也是CTFT的优势所在。
CTFT的公式可以用以下方式表示：X(ω)=∫-∞σ(t)e-^{jωt} dt其中ω为频率，s(t)为连续时间信号，X(ω)表示其傅里叶变换。
具体而言，CTFT既能够反映信号的时间变化，也能够反映其频域变化，可以将信号从时域变换到频域，允许我们从不同的角度看待信号，从而更好地理解信号。
如果将CTFT与频域分析进行比较，CTFT能够更精确地捕捉信号特征，可以更精确地确定频率、幅度和相位，因此它在信号处理、声学分析和时域分析等方面具有重要作用。
CTFT能够有效应用于维纳滤波器（Wiener Filters）、短时傅里叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT）和抗谐波滤波（Notch Filters）等方面，通过CTFT的应用，可以利用频域的信号表示技术来提高信号分析的精度和效率。
总的来说，CTFT是一种非常实用的时域分析工具，它能够密切捕捉信号的复杂性，在信号处理，时域分析和声学分析等方面都有着广泛的应用，为更好地获取信号中的有价值信息提供了重要的视角。
信号与系统课件第4章 连续时间傅里叶变换
j 0t
e
jt
1 dt e j ( j ( 0 )
0 ) t
However, this integral does not converge. Consider the Fourier transform pair δ(t) and 1.
可知，F ( ) 量纲是单位频带的复振幅。 即把 F ( ) 理解成各频率分量沿频率轴的分布， 具有密度的量纲和概念，故称为频率密度函数 。简称频谱密度，或在不发生混淆时简称频谱 。（注意与周期信号的频谱概念上不一样）
F ( )一般为复 与周期信号的傅里叶级数类似， 函数。为 F ( ) F ( ) e j ( ) F ( ) ~ 称为幅频特性； 总称频率特性 ( ) ~ 称为相频特性。
当信号为实函数时: F F * j j F F e F e
幅频特性为频率的偶函数；相频特性为频率的奇 函数。且均为频率的连续函数。
Convergence of Fourier Transforms
1 (t ) 2
jt 1 e d
2 (t ) 1 e jt d
This equation says that the Fourier transform of unit dc is 2 ( ) .
4.1 REPRESENTATION OF APERIODIC SIGNALS: THE CONTINUOUS-TIME FOURIER TRANSFORM
4.1.1 Development of the Fourier transform representation of the continuous time Fourier transform
时间序列傅里叶变换
时间序列傅里叶变换时间序列傅里叶变换是一种重要的信号分析方法。
它可以将一个时间序列信号分解为多个正弦波的加权和，从而更好地理解信号的周期性和波动规律。
本文将从概念、公式、应用、优缺点等方面介绍时间序列傅里叶变换。
一、概念时间序列傅里叶变换是一种将时域信号转化为频域信号的表达方法。
任何理解复杂的信号都可以看作是简单正弦波的叠加。
这些正弦波组成了信号的频谱。
傅里叶变换可以将一个时间序列分解为多个正弦波的加权和，得到信号的频域信息。
二、公式傅里叶变换的数学描述为：$$F(w)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-jwt}dt$$其中$w$表示频率，$f(t)$是原始信号。
公式的本质是将时域信号$f(t)$从时间域转换到了频域。
傅里叶变换的逆变换为：$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(w)e^{jwt}dw$$三、应用时间序列傅里叶变换被广泛地应用于信号分析、图像处理、通信工程等领域。
其中，信号分析是最为重要的应用之一。
该方法可以用来识别信号的周期性，分离信号中的噪音，甚至可以用于诊断某些疾病。
四、优缺点时间序列傅里叶变换有许多优点，例如：1. 能够提取信号的频域信息，更好地理解信号的周期性和波动规律。
2. 可以应用于各种类型的信号，包括周期性、非周期性、连续性和离散性等。
3. 可以用于处理非线性系统和时变系统。
然而，该方法也有一些缺点：1. 傅里叶变换假设信号是周期性的，这在很多情况下是不成立的。
2. 该方法需要处理无限长的时间序列信号，计算量较大。
3. 傅里叶变换对于信号的变化具有时不变性，这在某些情况下可能是不合适的。
总的来说，时间序列傅里叶变换是一种重要的信号分析方法，它可以提取信号的频域信息，更好地理解信号的周期性和波动规律。
但是需要注意的是，在具体应用时需要根据信号的特点来选择合适的信号分析方法。
fft计算连续时间信号的频谱
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效计算离散时间信号频谱的算法。
但是，对于连续时间信号，FFT通常不能直接应用，因为连续时间信号是无限长的，而我们通常只能对有限长度的信号进行离散化和采样，然后应用FFT。
一种常见的做法是对连续时间信号进行采样，然后应用FFT计算其频谱。
采样率需要根据所需的频率分辨率以及信号中包含的最大频率来确定。
然后，通过FFT计算得到的频谱是采样信号的频谱，其频率是离散的，并且与采样率有关。
另一种方法是使用连续时间信号的参数模型，如传递函数或滤波器响应，然后通过傅里叶变换计算其频谱。
这通常需要使用一些更高级的数学工具，如微分方程或滤波器设计。
需要注意的是，对于许多实际应用，我们通常并不需要完全准确的连续时间信号的频谱。
相反，我们通常对信号在某些特定频率范围内的行为感兴趣。
在这种情况下，我们可以使用更简单的工具，如滤波器或频率响应函数来分析信号。
连续时间信号与系统的频域分析报告
连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。
2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。
傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。
具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。
3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。
频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。
系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。
4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。
常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。
5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。
通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。
6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。
通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。
进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。
7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。
总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。
频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。
《信号与系统》第四章
图 两个矢量正交
矢量的分解
c2V2
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
图 平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
图 三维空间矢量的分解
推广到n维空间
1 正交函数的定义
在区间 (t1,t内2 )，函数集 {0 (t),1(t中),的,各N个(t)函} 数间，若满足下列 正交条件：
➢在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；
x(t) x(t T0 / 2)
➢这时x(t)是一个周期减半为
的周期非正弦波，其基波频率
为
，即其只含有偶次谐T0波2；
20
4.4波形对称性与傅里叶系数
4 奇半波对称
➢在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的
负值； x(t) x(t T0 / 2)
交函数集 {0 (t),1(t), ,N (t)} 是完备的,即再也找不到一个函数 (t)
能满足
t2
(t)
* m
(t
)dt
0
t1
m 0,1, , N
则在区间 (t1,t2 ) 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和
表示：
N
x(t) c00 (t) c11(t) cN N (t) cnn (t)
T0
3 傅里叶级数系数的确定
➢正弦—余弦形式傅里叶级数的系数
2Bk
2 T0
x(t) cos k0tdt
T0
2Dk
2 T0
x(t) sin k0tdt
傅里叶变换公式
连续时间周期信号傅里叶级数：⎰=T dt t x Ta )(1⎰⎰--==T tTjkT tjk k dt et x Tdt et x Ta πω2)(1)(1离散时间周期信号傅里叶级数：[][]()∑∑=-=-==Nn nN jk Nn njkwk e n x Ne n x Na /2110π连续时间非周期信号的傅里叶变换：()⎰∞∞--=dt e t x jw Xjwt )(连续时间非周期信号的傅里叶反变换：()dw e jw X t x jwt ⎰∞∞-=π21)(连续时间周期信号傅里叶变换：∑+∞-∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=k k kw a jw X T 22)(πδπ连续时间周期信号傅里叶反变换：()dw e w w t x jwt ⎰∞∞--=0221)(πδπ离散时间非周期信号傅里叶变换：∑∞-∞=-=nnj e n x eX ωωj ][)(离散时间非周期信号傅里叶反变换：⎰=π2d e )(e π21][ωωωn j j X n x离散时间周期信号傅里叶变换：∑+∞-∞=-=kk k a X )(π2)e (0j ωωδω离散时间周期信号傅里叶反变换：[]ωωωδωd e n n j ⎰--=π20πl)2(π2π21][x拉普拉斯变换：()dt e t s Xst -∞∞-⎰=)(x拉普拉斯反变换：()()s j21t x j j d e s X st ⎰∞+∞-=σσπZ 变换：∑∞-∞=-=nnz n x X ][)z (Z 反变换： ⎰⎰-==z z z X r z X n x n nd )(πj21d )e ()(π21][1j π2ωω。
连续时间系统傅里叶变换的性质
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
FT [ x (t ) cos 0t ]
FT [ x( t )] X ( )
X ( )
1 j 0t j 0 t x (t )[e e ] 2
频 移 特 性
1 2
0
1 2
X ( 0 )
X ( )
X ( 0 )
0
0
1 [ X ( 0 ) X ( 0 )] 2
1
2 X ( w ) F { xe ( )} F { xo ( )} j
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
3、时移特性
若 则
x( t ) X ( )
x(t t0 ) X ( )e
j t 0
例4 11 : 求移位冲激函数的频谱 函数
(t ) 1
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
例4 13 : 已知x(t)为三角形调幅信号，试 求其频谱
T 1 2
x1 ( t )
T1 2
T 1 2
x( t )
T1 2
x(t ) x1 (t ) cos0t
T1 2 T1 X 1 ( ) Sa ( ) 2 4
P147
T1 2 ( 0 )T1 2 ( 0 )T1 X ( ) [ Sa Sa ] 4 4 4
( j )
(t t0 ) e
(t t0 ) e
jt 0
jt 0
t 0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
思考:下列信号的傅立叶变换
x( t )
1
t
2
X ( w) 2e
jw
sinc( w)
连续时间信号与系统的傅里叶分析
连续时间信号与系统的傅里叶分析连续时间信号与系统的傅里叶分析是一种非常重要的数学工具和技术，广泛应用于信号处理、通信系统、控制系统等领域。
通过傅里叶分析，我们可以将一个复杂的时域信号分解成一系列简单的正弦函数（或复指数函数）的叠加，从而更好地理解和处理信号。
在傅里叶分析中，我们首先需要了解傅里叶级数和傅里叶变换两个概念。
傅里叶级数是将一个周期信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加。
对于一个连续时间周期为T的周期信号x(t)，其傅里叶级数表示为：x(t) = a0/2 + ∑ {an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t)}其中，n为整数，ω0为角频率（ω0 = 2π/T），an和bn为信号的系数。
傅里叶级数展示了信号在频域上的频谱特性，即信号在不同频率上的成分。
通过傅里叶级数，我们可以得到信号的基频和各个谐波分量的振幅和相位信息。
而对于非周期信号，我们则需要使用傅里叶变换来分析。
傅里叶变换可以将一个非周期信号分解成一系列连续的正弦和余弦函数的叠加。
对于一个连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为：X(ω) = ∫ x(t)*e^(-jωt) dt其中，X(ω)为信号在频域上的频谱表示，ω为角频率，e为自然对数的底。
通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而得到信号在不同频率上的成分。
同时，我们还可以通过逆傅里叶变换将信号从频域再转换回时域。
傅里叶分析的重要性在于它能够提供信号在时域和频域之间的转换关系，从而可以更好地理解信号的特性和行为。
通过傅里叶分析，我们可以确定信号的频谱特性、频率成分等信息，从而在信号处理、通信系统设计等方面进行相应的优化和调整。
除了傅里叶级数和傅里叶变换，还有诸如快速傅里叶变换（FFT）、傅里叶变换对（FT pair）、功率谱密度（PSD）等相关概念和技术。
这些工具和技术在实际应用中非常有用，例如在音频处理、图像处理、雷达信号处理等方面经常被使用。
总之，连续时间信号与系统的傅里叶分析为我们提供了一个强大的数学工具，能够将信号从时域转换到频域，揭示信号的频谱特性和频率成分，为信号处理和系统设计提供了有力支持。
五种傅里叶变换解析
五种傅里叶变换解析标题：从简到繁：五种傅里叶变换解析引言：傅里叶变换是数学中一种重要且广泛应用于信号处理、图像处理和物理等领域的工具。
它的基本思想是将一个信号或函数表示为若干个不同频率的正弦波的叠加，从而揭示信号或函数的频谱特性。
本文将展示五种常见的傅里叶变换方法，包括离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和傅里叶级数展开，帮助读者逐步理解傅里叶变换的原理与应用。
第一部分：离散傅里叶变换（DFT）在此部分中，我们将介绍离散傅里叶变换的基本概念和算法。
我们将讨论DFT的离散性质、频域和时域之间的关系，以及如何利用DFT进行频域分析和滤波等应用。
此外，我们还将探讨DFT算法的时间复杂度，以及如何使用DFT来解决实际问题。
第二部分：快速傅里叶变换（FFT）在这一部分中，我们将深入研究快速傅里叶变换算法，并详细介绍其原理和应用。
我们将解释FFT如何通过减少计算量和优化计算过程来提高傅里叶变换的效率。
我们还将讨论FFT算法的时间复杂度和几种不同的FFT变体。
第三部分：连续傅里叶变换（CTFT）本部分将介绍连续傅里叶变换的概念和定义。
我们将讨论CTFT的性质、逆变换和时频分析的应用。
进一步，我们将引入傅里叶变换对信号周期性的描述，以及如何利用CTFT对信号进行频谱分析和滤波。
第四部分：离散时间傅里叶变换（DTFT）在这一章节中，我们将介绍离散时间傅里叶变换的基本原理和应用。
我们将详细讨论DTFT的定义、性质以及与DFT之间的关系。
我们还将探讨DTFT的离散频率响应、滤波和频谱分析的相关内容。
第五部分：傅里叶级数展开最后，我们将深入研究傅里叶级数展开的原理和应用。
我们将解释傅里叶级数展开如何将周期函数分解为多个不同频率的正弦波的叠加。
我们还将讨论傅里叶级数展开的收敛性和逼近性，并探讨如何利用傅里叶级数展开来处理周期信号和周期性问题。
结论：综上所述，本文介绍了五种常见的傅里叶变换方法，包括离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和傅里叶级数展开。
离散傅里叶变换和连续傅立叶变换区别
离散傅里叶变换和连续傅立叶变换区别
1离散傅里叶变换和连续傅立叶变换
傅立叶变换是将时域信号转换为频域信号的数学表示形式。
可以分为两种：离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）和连续傅立叶变换（Continuous Fourier Transform，CFT）。
2离散傅里叶变换
DFT是将有限长度、离散的时域信号转换为周期的、离散的频域信号的变换，是一种线性变换。
它可以把时间域函数转换成复数振幅向量，其实质是帮助我们分析出一个定义在时域上的信号，在频域上共振的频率以及强度。
3连续傅立叶变换
CFT是指在时域上连续的信号，可以用有限的截断长度时域信号来接近，但真正的从时域上转换到频域上的操作却是不断时域信号的算法。
CFT是一种线性变换，它可以将函数表示为频谱（实数功率谱和虚数相干谱）的线性组合。
4区别
1.离散傅里叶变换是有限长度时域信号的变换，连续傅立叶变换是无限长度时域信号的变换。
2.离散傅里叶变换可把时间域函数转换成复数振幅向量，而连续傅立叶变换可把时域函数表示为频谱的线性组合。
3.离散傅里叶变换是线性变换，而连续傅立叶变换可以分为线性变换和非线性变换两种。
4.离散傅里叶变换转换后的信号是周期的，而连续傅立叶变换所转换出来的信号不一定是周期的。
从上面可以看出，离散傅里叶变换和连续傅立叶变换各有优势，在不同领域都有其不同的应用，在信号处理中得到了广泛的运用。
为什么狄利克雷条件是连续时间傅里叶变换的是充分条件
在研究连续时间傅里叶变换的过程中，狄利克雷条件是至关重要的。
狄利克雷条件是指一个信号在进行傅里叶变换时，如果其幅度和相位以及频率都是可预测的，并且信号本身是有限长的，那么这个信号就满足狄利克雷条件。
而为什么狄利克雷条件是连续时间傅里叶变换的充分条件，这是一个需要深入思考和研究的问题。
1. 傅里叶级数和傅里叶变换的关系在理解狄利克雷条件为何是连续时间傅里叶变换的充分条件之前，首先需要理解傅里叶级数和傅里叶变换的关系。
傅里叶级数是将周期信号分解为正弦和余弦函数的和的形式，而傅里叶变换则是将非周期信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的积分的形式。
两者都是用来描述信号在频域上的特性，但傅里叶变换可以描述更广泛范围内的信号，比如非周期信号。
2. 连续时间傅里叶变换的定义和性质连续时间傅里叶变换是将一个信号在频域上的特性表示为一个复数函数的形式。
它的定义如下：\[X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j2\pi ft} dt\]其中，\(x(t)\)是输入信号，\(X(f)\)是在频率\(f\)处的频谱。
3. 狄利克雷条件的定义和意义狄利克雷条件是指一个信号在进行傅里叶变换时，其本身是有限长的，并且其幅度、相位和频率都是可预测的。
在数学上，它的定义如下：\[\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)| dt < \infty\]\[x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} X(nT)e^{j2\pi nfT}\]其中，\(T\)是信号的周期，\(X(nT)\)是信号在时域上的采样。
4. 狄利克雷条件对于傅里叶变换的作用狄利克雷条件是傅里叶变换的充分条件，这意味着满足狄利克雷条件的信号可以进行傅里叶变换，并且其傅里叶变换是唯一的。
满足狄利克雷条件的信号在频域上的频谱是连续、平滑且不会发散的，这使得对信号的频谱分析变得更加准确和有效。
cost的傅里叶转换
cost的傅里叶转换
傅里叶变换（Fourier transform）是一种信号分析方法，通过将一个信号在时域上的波形转换为频域上的频谱，可以分析信号的频率成分和振幅。
在傅里叶变换中，信号可以表示为多个频率的正弦和余弦函数的叠加。
对于一个连续时间域信号 x(t)，其傅里叶变换可以表示为：
X(f) = ∫[−∞,∞] x(t) e^(-j2πft) dt
其中，X(f)为频域信号，在频域上表示了信号 x(t)的幅度和相位关系。
e^(-j2πft)是单位复指数函数。
对于一个离散时间域信号 x[n]，傅里叶变换可以表示为：
X(k) = Σ[n=0,N-1] x[n] e^(-j2πkn/N)
其中，X(k)为离散频域信号，在频域上表示了信号 x[n]的幅度和相位关系。
e^(-j2πkn/N)是离散傅里叶变换的基函数。
傅里叶变换可以通过离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）算法来实现，常用的算法有快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）。
傅里叶变换在许多领域中都有广泛的应用，如信号处理、图像处理、音频处理等。
在成本（cost）分析中，可以使用傅里叶变换来分析成本波动的频谱特征，进而找到成本的主要频率成分和振幅，有助于成本的预测与优化。
信号处理中傅里叶变换简介
信号处理中傅里叶变换简介傅里叶变换一、傅里叶变换的表述在数学上，对任意函数f(x)，可按某一点进行展开，常见的有泰勒展开和傅里叶展开。
泰勒展开为各阶次幂函数的线性组合形式，本质上自变量未改变，仍为x，而傅里叶展开则为三角函数的线性组合形式，同时将自变量由x变成ω，且由于三角函数处理比较简单，具有良好的性质，故被广泛地应用在信号分析与处理中，可将时域分析变换到频域进行分析。
信号分析与处理中常见的有CFS（连续时间傅里叶级数）、CFT （连续时间傅里叶变换）、DTFT（离散时间傅里叶变换）、DFS（离散傅里叶级数）、DFT（离散傅里叶变换）。
通过对连续非周期信号x c(t)在时域和频域进行各种处理变换，可推导出以上几种变换，同时可得出这些变换之间的关系。
以下将对上述变换进行简述，同时分析它们之间的关系。
1、CFS（连续时间傅里叶级数）在数学中，周期函数f(x)可展开为由此类比，已知连续周期信号x(t)，周期为T0，则其傅里叶级数为其中，为了简写，有其中，为了与复数形式联系，先由欧拉公式e j z=cos z+jsin z得故有令则对于D n，有n≤0时同理。
故CFS图示如下：Figure 1理论上，CFS对于周期性信号x(t)在任意处展开都可以做到无误对连续非周期信号x c(t)进行采样，采样间隔为T s，有此时的x s(t)还不是真正的离散信号，它只是在满足t = nT s的时间点上有值，在其它时间点上值为零。
对x s(t)进行进一步处理有规定则其中，x[n]是最终所得的离散信号。
x s(t)自变量为t，其单位为秒s，间隔为T S；x[n]自变量为n，其单位为1，间隔为1。
从频域分析上有其中。
令，定义以上式为DTFT定义式。
DTFT逆变换为DTFT是在时域上对CFT的采样（图示可见Figure 3与Figure 4），在DTFT中，时域信号x[n]为离散的，而对应的频域表示X(e jω)为连续的，且有周期ωs = 2π。
第三章.离散时间信号的傅里叶变换
4、时域卷积定理
∞
) = x ( 0 ) + 2∑ x ( n ) cos (ω n )
n =1
y (n) = x ( n) * h ( n)
Y ( e jω ) = X ( e jω ) H ( e jω )
X I ( e jω ) = 0 x ( n) =
π∫
1
π
0
X R ( e jω ) cos (ω n ) d ω
jω jω 2 2 ⎤ X ( e jω ) = ⎡ ⎣ X R ( e ) + X I ( e )⎦
12
如果 x ( n ) 是实信号，根据DTFT的正、反变换的定义，有 如下性质： ① X ( e jω ) 的实部 X R ( e jω ) 是 ω 的偶函数，即 ② X (e
jω
= X ( e − jω )
x (t ) =
k =−∞
X ( k Ω0 ) =
1 T /2 x ( t ) e − jk Ω0t dt T ∫−T / 2
X ( k Ω 0 )代表了x ( t ) 中第k次谐波的幅度，并且它是离散的。
∑ X ( kΩ ) e
0
∞
jk Ω0 t
并非所有周期信号都可展开成傅里叶级数。一个周期信号 能展开成傅里叶级数，除满足前面指出的平方可积条件 外，还需要满足如下的Dirichlet条件： ① 在任一周期内若存在间断点，则间断点的数目应是有限 的。 ② 在任一周期内的极大值和极小值的数目应是有限的。 ③ 在一个周期内应是绝对可积的，即
第三章
离散时间信号的傅里叶变换
第三章 离散时间信号的 傅里叶变换
内容概要
1、连续时间信号的傅氏变换 2、离散时间信号的傅氏变换（DTFT） 3、连续时间信号的抽样 4、离散时间周期信号的傅氏级数 5、离散傅氏变换（DFT） 6、利用DFT计算线性卷积 7、希尔伯特变换
4.5非周期信号的连续时间傅里叶变换
R( ) R( ) X ( ) X ( )
是ω的偶函数 是ω的奇函数
F ( j) F ( j) e j ( )
| F ( j) |= R2 () + X 2 ()
R( ) = F ( j ) cos ( ) X ( ) = F ( j ) sin ( )
f (t) 为偶函数， 相位频谱为：
F ( j ) 为
且为
的实函数，
( ) 0
的偶函数。
4.4 连续时间信号傅里叶变换 例：利用双边指数信号求直流信号的傅立叶变换
f (t ) e
1 lim e
0
t
(a>0)
t
FT [1] lim F ( j )
0
2 lim 2 0 2
0
0 0
lim
2[
2 ( )
2 d( )
2
2 lim d 0 2 2
0
1 ( )2
( 2 )]
lim 2 arctan( ) 0
dt
e e
t
0
j t
dt e
0
t
e
j t
dt
1 j
1 j
2 2 2
4.4 连续时间信号傅里叶变换 双边指数信号一
f (t ) e
t
(a>0)
2 F ( j ) 2 2
其振幅频谱为：
2 F ( j ) 2 2
t0 t0
t0 t0
f (t ) sgn(t )
连续时间傅里叶变换
连续时间傅⾥叶变换連續時間傅裡葉變換(Continuous Time Fourier Transform)引⾔傅裡葉變換試圖將⾮週期信號也納⼊到傅裡葉的體系中。
對於⾮週期信號，可以看成是週期無限⾧的週期信號。
當週期無限⼤時，傅裡葉級數的頻率分量就變成了⼀個連續域。
⾮週期信號的表⽰：連續時間傅裡葉變換⾸先以週期⽅波為例，即在⼀個週期內x(t)=1,|t|<T10,T1<|t|<T/2若將其表⽰為傅裡葉級數，其傅裡葉級數的係數為a k=2sin(kω0T1)kω0T將其在頻域圖上畫出來，並逐漸增⼤週期T就可以得到下圖可想⽽知，隨著T的增⼤，頻率越來越⼩，包絡線裡⾯的頻率越來越密集，最終形成⼀條連續的曲線。
傅裡葉變換的⼯作就是要求出這條曲線，從⽽完成信號從時域到頻域的轉換。
這就是對⾮週期信號建⽴傅裡葉級數表⽰的基本思想。
將˜x(t)看作是x(t)的⼀個週期，由於傅裡葉的級數表⽰是在⼀個週期內推出來的，所以對於⾮週期信號的⼀個週期，也有˜x(t)=+∞∑k=−∞a k e jkω0t a k=1T∫T2−T2˜x(t)e−jkω0t dt由於⾮週期信號可以看成只有⼀個週期的信號，所以在週期之外，即|t|>T/2時，x(t)=0，⽽在週期之內，˜x(t)=x(t)，則有a k=1T∫+∞k=−∞x(t)e−jkω0t dt則可以得到X(jω)=Ta k=∫+∞−∞x(t)e−jωt dt 稱X(jω)為Ta k的包絡。
再將a k=X(jω)T代⼊式1得˜x(t)=+∞∑k=−∞1T X(jkω0)ejkω0t=12π+∞∑k=−∞X(jkω0)e jkω0tω0當T→∞時，˜x(t)→x(t),ω0→0，因此ω0可以看作⼀個微分，⽽右端式⼦可以看作⼀個積分式。
則有x(t)=12π∫+∞−∞X(jω)e jωt dω{⽽X(jω)=∫+∞−∞x(t)e−jωt dt這兩式即稱為⼀對傅裡葉變換對。
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第二章 连续时间傅里叶变换1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS(1) 狄义赫利条件：在同一个周期1T 内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积∞<⎰dt t f T 1)(。
(2) 傅里叶级数：正交函数线性组合。
正交函数集可以是三角函数集}:sin ,cos ,1{11N n t n t n ∈ωω或复指数函数集}:{1Z n e tjn ∈ω，函数周期为T 1，角频率为11122T f π=π=ω。
(3) 任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。
(4) 三角形式的FS ：(i) 展开式：∑∞=ω+ω+=1110)sin ()(n n n t n b t con a a t f(ii) 系数计算公式：(a) 直流分量：⎰=1)(110Tdtt f T a(b) n 次谐波余弦分量：Nn tdt n t f T a Tn ∈ω=⎰,cos )(2111(c) n 次谐波的正弦分量：Nn tdt n t f T b Tn ∈ω=⎰1,sin )(211(iii) 系数n a 和n b 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。
(iv) 称11/1T f =为信号的基波、基频；1nf 为信号的n 次谐波。
(v)合并同频率的正余弦项得：(a)∑∞=ψ+ω+=110)cos()(n n n t n c c t f(b) ∑∞=θ+ω+=110)sin()(n n n t n d d t fnψ和n θ分别对应合并后n 次谐波的余弦项和正弦项的初相位。
(vi) 傅里叶系数之间的关系：(a) 000d c a ==(b) n n n n n d c a θ=ψ=sin cos (c) n n n n n n d c b θ=ψ-=cos sin (d) 000a d c ==(e) 2222n n n n b a d c +==(f)nn n a b arctg-=ψ(g) nn n b a arctg=θ(5) 复指数形式的FS ：(i) 展开式：∑∞-∞=ω=n tjn n e F t f 1)((ii) 系数计算：Zn dt e t f T F Tt jn n ∈=⎰ω-,)(1111(iii) 系数之间的关系：⎪⎩⎪⎨⎧≠-==0),(210,0n jb a n a F n n n **,nn n n F F F F ==--)0(,21212122≠+====-n b a d c F F n n n n n n)0(,≠==+-n d c F F n n nnnn n a F F =+-jb F F n n n /=--)0(4422222≠==+==-n F F F b a d c nn n nn nn(iv)nF 关于n 是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。
(v) 正负n (n 非零)处的n F 的幅度和等于n c 或n d 的幅度。
(6) 奇偶信号的FS ：(i) 偶信号的FS ：⎰ω=111cos )(2Tn tdtn t f T a ；sin )(2111=ω=⎰Tn tdt n t f T b ； n n n a d c ==n n n n n F a jb a F -==-=22 (n F 实，偶对称)；0=ψn ；2π=θn (ii) 偶的周期信号的FS 系数只有直流项和余弦项。
(iii)奇信号的FS ：0==n a a ；⎰ω=111sin )(2Tn tdtn t f T b ；n n n n jF b d c 2===；n n n jb F F 21-=-=- (n F 纯虚，奇对称)；2π-=ψn ；0=θn (iv) 奇的周期信号的FS 系数只有正弦项。
(7) 周期信号的傅里叶频谱：(i) 称{}n F 为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或FS 谱。
(ii)称{}n F 为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS 幅度谱。
(iii)称{}n ϕ为傅里叶复数相位频谱，简称FS 相位谱。
(iv)周期信号的FS 频谱仅在一些离散点角频率1ωn (或频率1nf )上有值。
(v)FS 也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为11/2T π=ω。
(vi)FS 谱、FS 幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示FS 频谱的值、幅度和相位(vii)连接谱线顶点的虚曲线称为包络线，反映了各谐波处FS 频谱、幅度谱和相位谱随分量的变化情况。
(viii)称n c 为单边谱，表示了信号在谐波处的实际分量大小。
(ix)称n F 为双边谱，其负频率项在实际中是不存在的。
正负频率的频谱幅度相加，才是实际幅度。
(8) 周期矩形脉冲序列的FS 谱的特点：(i) 谱线包络线为Sa 函数；(ii) 谱线包络线过零点：(其中112T π=ω为谱线间隔)：π=πτk T n 1，或τπ=ωk n 21，0,≠∈k Z k 即当τπ=ω=ω/21k n 时，0===n n n F c a 。
(iii) 在频域，能量集中在第一个过零点之内。
(iv) 带宽τπ=βω/2或τ=β/1f 只与矩形脉冲的脉宽τ有关，而与脉高和周期均无关。
(定义τπ/2~0为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽)(9) 周期信号的功率：[]∑∞-∞==n nF t f P 2)((10) 帕斯瓦尔方程：⎰1)(121Tdt t f T 2∑∞-∞==n nF2 非周期信号的频谱分析—傅里叶变换(FT)(1) 信号f (t )的傅里叶变换：[])()()(t f F dt e t f F t j ∆∞∞-ω-==ω⎰是信号)(t f 的频谱密度函数或FT 频谱，简称为频谱(函数)。
(2) 频谱密度函数)(ωF 的逆傅里叶变换为：[])(ˆ)(21)(1ω=ωωπ=-∞∞-ω⎰F F d e F t f t j(3) 称t j e ω-为FT 的变换核函数，tj e ω为IFT 的变换核函数。
(4) FT 与IFT 具有唯一性。
如果两个函数的FT 或IFT 相等，则这两个函数必然相等。
(5) FT 具有可逆性。
如果[])()(ω=F t f F ，则必有[])()(1t f F F=ω-；反之亦然。
(6) 信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成)()()(ωϕω=ωj e F F(i) 称)(ωF 为幅度频谱密度函数，简称幅度谱，表示信号的幅度密度随频率变化的幅频特性； (ii) 称())()(ω=ωϕF Arg 为相位频谱密度函数，简称相位谱函数，表示信号的相位随频率变化的相频特性。
(7) FT 频谱可分解为实部和虚部：)()()(ω+ω=ωi r jF F F)()(arctan )(,)()()(22ωω=ωϕω+ω=ωr ii r F F F F F()())(sin )()(,)(cos )()(ωϕω=ωωϕω=ωF F F F i r(8) FT 存在的充分条件：时域信号)(t f 绝对可积，即⎰∞∞-∞<dt t f )(。
注意：这不必要条件。
有一些并非绝对可积的信号也有FT 。
(9) FT 及IFT 在赫兹域的定义：⎰∞∞-π-=dte tf f F ft j 2)()(；⎰∞∞-π=dfef F t f ftj 2)()((10) 比较FS 和FT ：3 典型非周期信号的FT 频谱(1) 单边指数信号：)0()()(>=-a t u e t f atω+====ω⎰⎰⎰∞ω+-∞ω--∞∞-ω-j a dt e dt e e dt e t f F t j a t j at t j 1)()(0)(0幅度谱：221)(ω+=ωa F相位谱：()⎪⎭⎫⎝⎛ω-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ω+ω-=ω=ωϕa arctg a j a Arg F Arg 22)()( 单边指数信号及其幅度谱、相位谱如图1所示。
ωω|F(ω)| 1/aϕ(ω) π/2 -π/2 0 0t 01f (t ) (a )(b )(c )图1 (a)单边指数信号 (b)幅度谱 (c)相位谱(2) 偶双边指数信号：)0()(>=-a et f ta⎰⎰⎰∞ω--∞-ω-∞∞-ω-+==ω00)()(dt e e dt e e dt e t f F t j at t j at t j22)(0)(211ω+=ω++ω-=+=⎰⎰∞ω+-∞-ω+--a a j a j a dt e dt e t j a tj a ，为实偶函数。
幅度谱：222)(ω+=ωa a F相位谱：0)(=ωϕ偶双边指数信号及其频谱如图2所示。
ωF(ω) 2/a0 t 0 1f (t ) (a )(b )图2 (a)偶双边指数信号 (b)频谱(3) 矩形脉冲信号：)()(t EG t f τ= (脉宽为、脉高为E ) ⎰⎰⎰∞∞-ττ-ττ-ω-ω-ω===ω2/2/2/2/cos )()(tdt E dt Ee dt e t f F t j t j⎪⎭⎫⎝⎛ωτ⋅τ=ωω⋅=ττ-2sin 2/2/Sa E t E ，为实函数。
幅度谱：⎪⎭⎫⎝⎛ωττ=ω2)(Sa E F相位谱：-∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<ωτπ+<ω<τ+π>ωτπ+<ω<τπ=ωϕZ k F k k F k k )0)(()1(4)12(2,)0)(()12(24,0)(对应对应矩形脉冲信号及其频谱如图3所示。
F (ω)E τ=矩形脉冲面积0 τπ2 τπ4τπ6 ω-τ/2 0 τ/2 tf (t )=)(t EG τ E(a ) (b )图3 (a)矩形脉冲信号 (b)频谱矩形脉冲FT 的特点：(i) FT 为Sa 函数，原点处函数值等于矩形脉冲的面积；(ii) FT 的过零点位置为)0(/2≠τπ=ωk k ；(iii)频域的能量集中在第一个过零点区间[]τπτπ-∈ω/2,/2之内(iv) 带宽为τπ=ω/2B 或τ=/1f B ，只与脉宽τ有关，与脉高E 无关。
信号等效脉宽：)0(/)0(f F =τ 信号等效带宽：τ=1f B图4 (a)信号的等效脉宽 (b)等效带宽(4) 符号函数：不满足绝对可积条件，但存在FT 。
ω==ω⎰∞∞-ω-j dt e t Sgn F t j 2)()(幅度谱：ω=ω2)(F相位谱：⎩⎨⎧<ωπ>ωπ-=ωϕ0,2/0,2/)( 符号函数及其频谱如图5所示。
|F(ω)|-a a ω (b )Sgn(t)10 t-1(a )图5 (a)符号函数 (b)频谱(5) 冲激信号：[]EEe dt et E t E F j tj ==δ=δω-ω-∞∞-⎰0)()(均匀谱/白色谱：频谱在任何频率处的密度都是均匀的。