( 人教A版)二项式定理课件 (共25张PPT)
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6.3.1 《二项式定理》课件ppt
2
2 6
C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +8 (2x ) ·(3 ) -C8
项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有
关.
微判断
(1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.(
)
答案 ×
解析 二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相等,只有当a,b的系数
都为1时两者相等.
(2)(x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.(
答案 √
解析 (x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.
3
Tk+1=C ·( √ )n-k· -
1
2 3√
=
1
C ·( 3 )n-k·
1
1 - · 3
2
∵第 6 项为常数项,∴k=5,且 n-5×2=0,∴n=10.
10-2
1
(2)由(1)知 Tk+1= - 2 ·C10
· 3 .
10-2
令
=2,则 k=2.
3
2
1
1
45
2
因为含 x3 的项是展开式中的第 4 项,所以二项式系数为C93 =84.
探究三
利用二项式定理解决整除和余数问题
例3试判断7777-1能否被19整除.
思路分析由于76是19的倍数,因此可将7777转化为(76+1)77,并用二项式定
理展开.
解 7777-1=(76+1)77-1
1
2
76
77
=7677+C77
2
2 6
C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +8 (2x ) ·(3 ) -C8
项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有
关.
微判断
(1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.(
)
答案 ×
解析 二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相等,只有当a,b的系数
都为1时两者相等.
(2)(x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.(
答案 √
解析 (x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.
3
Tk+1=C ·( √ )n-k· -
1
2 3√
=
1
C ·( 3 )n-k·
1
1 - · 3
2
∵第 6 项为常数项,∴k=5,且 n-5×2=0,∴n=10.
10-2
1
(2)由(1)知 Tk+1= - 2 ·C10
· 3 .
10-2
令
=2,则 k=2.
3
2
1
1
45
2
因为含 x3 的项是展开式中的第 4 项,所以二项式系数为C93 =84.
探究三
利用二项式定理解决整除和余数问题
例3试判断7777-1能否被19整除.
思路分析由于76是19的倍数,因此可将7777转化为(76+1)77,并用二项式定
理展开.
解 7777-1=(76+1)77-1
1
2
76
77
=7677+C77
2
数学课件人教A版《二项式定理》课件ppt演示文稿
解法2：用不带限制条件的组合减去全是男生和全是女生的情 1．分类加法计数原理：完成一件事，如果有n类办法，在第一类办法中有 种不同的方法，在第二类办法中有 种不同的方法，……，在第n类办法中有 种不同的方法，那么完成这
件事共有
种不同的方法．
（4）系数最大的项是第几项？
例3．从3名男生4名女生中，选出3人参加某课外小组.
种方法,满足条件的奇数是18 个.
(1)盒子不空且每个盒子只能放一个球，一共有几种方法？ 从10名学生中选出3人担任课代表，则甲、乙两人中至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法共有多少种？
从10名学生中选出3人担任课代表，则甲、乙两人中至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法共有多少种？
解:4个球全部放入盒子，可以从两个角度来看，一个是从球的角度，一个从盒子的角度.
夯实基础
例3．从3名男生4名女生中，选出3人参加某课外小组. （2）A、B都不当选的选法种数； 解：A、B都不当选，需要从剩下的5人中选出3人，所以 是 C53 10 种.
夯实基础
例3．从3名男生4名女生中，选出3人参加某课外小组. （3）男、女生至少各1人的选法种数． 分析：先选出一个男生 C31 ,再选出一个女生C41 ,最后随便选出 一个,总共是 C31 C41 C51 60 种 .
夯实基础
例2.张李两位老师和甲乙丙丁四位同学排成一排准备照相： A44
（2）若两位老师不相邻，共有多少种不同的排法；
解：先排好4位学生，共有A44 种可能，4位学生共形成5个空， 再把两位老师排在5个空里，就可以保证老师不相邻，因此共 有 A44 A52 =480种不同的排法.
夯实基础
例2.张李两位老师和甲乙丙丁四位同学排成一排准备照相： （3）又来了两个同学加入，如果保持原来6人的相对顺序不 变，则不同的加入方法有多少种？ 解：原来6人的相对顺序保持不变，相当于8个人排序，其中 6人定序.
数学人教A版选择性必修第三册6.3.1二项式定理课件
n 2 r
3
.
课本P31
4. ( x 1) 的展开式的第6项的系数是(
10
6
10
( A) C
( B) C
6
10
5
10
(C ) C
).
( D) C
5
10
解：由通项公式，可得
T6 C x ( 1) C x .
5
10
5
5
5
10
5
∴( x 1) 的展开式的第6项的系数是 C .
定理的特征：
0
1
2
n
C
,
C
,
C
,
,
C
1. 二项式系数： n n n
n.
2. 次数规律： (1)各项的次数均为n；
(2)各项里a的指数由n降到0，b的指数由0升到n.
3. 项数规律： 共有n+1个项 .
4. 通项:
Tk 1 C nk a n k b k . ( k 0,1,2, ,n)
变式1： 求 x 的展开式．
x
6
1
解： x x 6 6 x 4 15 x 2 20 15 x -2 6 x -4 x -6
x
例2 (1) 求(1 2 x )7 的展开式的第4项的系数；
(2) 求(2 x
1
x
) 的展开式中x 的系数.
，即ab共有2个.
k 2, a
2 k
b b
k
2
由2个 (a+b) 中都选b得到的. 因此，b2出现的次数相当于
从2个 (a+b) 中取2个b的组合数
【公开课课件】人教A版选修2-3第一章 1.3.1二项式定理课件(共21张PPT)
1 )r x
(1)r
Cr 9
x92r
根据题意，得 ：9 2r 3 r 3,
x3的系数是(1)r C93＝－84.
练习
1.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) (x-5)的展开式中含x4项
的系数是 ( A )
A. -15 B. 85 C. -120 D. 274
2、化简: (x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.
解法2： （x2 + 3x + 2）5 =〔（x2 + 3x）+ 2〕5 展开后只有在C54（x2 + 3x）×24 中才出现 x 的项，所以的系数为5×3×24 = 240 解法3： （x2 + 3x + 2）5 =（x + 1）5（x + 2）5
展开中含x项的系数是 C54×25 + 1×C5424 = 240
T6
T51
C95
(
x 3
)95
(
3
)5
3
42x 2
x
在（x2 + 3x + 2）5 的展开式中，x的系数为多少？
解法1： （x2 + 3x + 2）5 = 〔x2 +（3x + 2）〕5 = x10 + C51 x8（3x+2）+…+ C54 x2（3x+2）4+C55 （3x+2）5 只有（3x + 2）5中含有x项，其系数为C55 C54 ×3×24=240
1.3.1二项式定理
二项式定理，又称牛顿二项式 定理，由艾萨克·牛顿于1664、 1665年间提出．
二项式定理课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
它一共有
n＋1
项，其中各项的系数C
k n
(k
0,1,
2
,
n)
叫做二项式系数.
二项展开式中的C
k n
ank
bk
叫做二项展开式的通项，用Tk 1
来表示，即通项
为展开式第k＋1项，即
Tk 1
C
k n
a
n
k
b
k
.
—此公式叫做通项公式.
二项式定理：
(a
b)n
C n0a n
Cn1a n1b Cn2a n2b2
a a4 中含有0个b, 对应系数 C04 ；
a3b
aa a
b a3b 中含有1个b, 对应系数 C14 ；
a2b2
aa
b
b a2b2 中含有2个b, 对应系数 C24 ；
ab3
ab
b
b
ab3 中含有3个b, 对应系数 C34 ；
b4
bbb b
b4 中含有4个b, 对应系数 C44 .
由计数原理分析可以得到：
an
a a ...... a a a an中含有0个b,对应系数C0n ；
an1b
a a ...... a a b an1b中含有1个b,对应系数C1n ；
......
ank bk
a a ...... b b b ......
ank bk中含有k个b, 对应系数 Ckn ；
a bn1
a b ...... b b b
abn1中含有n
1个
b,
对应系数
Cn1 n
；
bn
b b ...... b b b bn中含有n个b,对应系数Cnn ；
二项式定理课件242张PPT新人教A版选修23
[解析]
末 三 项 的 二 项 式别系为 C数 nn2、 分
Cnn1、Cnn,由 题,设 得Cnn2 Cnn1 Cnn 12,1
n2 n2400,n15(n16舍 去).
Tr1 C1r5(3x)r C1r53r xr,
设 Tr1项与 Tr项的系数分别为 tr1与 tr ,
则 tr1
C
r 15
3
r
,
x
1 x
1
,即
x
1 x
5
1
x
1 x
5
5
x
1 x
4
10 x 1 3 10 x 1 2 5 x 1 1. x x x
由x 1 的对称性知,只有在x 1 的
x
x
偶次幂中,某展开式才会出现常数
项且是各自的中间项 ,
常数项为
5C
2 4
10
C
1 2
9 92
(10
1)92
10 92
C
1 92
10 91
C
2 92
10 90
C
90 92
10
2
C
91 92
10
( 1)92
10 92
C
1 92
10 91
C
2 92
10 90
C 90 92
10 2
920 1
(10 92
C
1 92
10 91
C
2 92
10 90
C 90 92
10 2
令18 3r 9, 则r 3,即第4项含x 9 .
T4
1 2
2
C
3 9
x
9
6.3.1二项式定理PPT课件(人教版)
①
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
反思 感悟
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底 数化成两数的和与差的情势，且这种转化情势与除数有密切 的关系.
跟踪训练4 (1)已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.
证明 1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝11－－225n＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1 ＝31n＋C1n×31n－1＋…＋Cnn－1×31＋1－1＝31×(31n－1＋C1n×31n－2＋… ＋Cnn－1)， 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.
反思 感悟
求多项式积的特定项的方法——“双通法”
所 谓 的 “ 双 通 法 ” 是 根 据 多 项 式 与 多 项 式 的 乘 法 法 则 得 到 (a ＋ bx)n(s＋tx)m 的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝Cknan－k(bx)k·Crmsm－r(tx)r，再 依据题目中对指数的特殊要求，确定 r 与 k 所满足的条件，进而求 出 r，k 的取值情况.
跟踪训练 2
在2
x－
1
6
x
的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
解 第 3 项的二项式系数为 C26＝15，
又 T3＝C26(2
x)4－
1x2＝240x，
所以第3项的系数为240.
(2)含x2的项.
解
Tk＋1＝Ck6(2
x)6－k－
1xk＝(－1)k26－kCk6x3－k，
令3－k＝2，解得k＝1，
(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为
A.10
B.－10
√C.2
D.－2
高中数学选修1.3.1二项式定理人教版ppt课件
T7 C96 26 x0 5376,
T9
C98 28 x -3
, 2304 x3
例5: 已知
( x 3的1x第2 5)项n 的二项式系数与第
3项的二项式系数比为2：3，求展开式中不含x 的项。
变式训练2：已知
( x 的展x2开2 式)n中，第5项的系
数与第3 项的系数比为56：3，求展开式中的常数项。
练1： 设S x -14 4 2x -13 6 4x -12 4 8x -1 16
根据二项式定理的S=（
）C
A.(x+2)4 B .(x-1)4 C .(x+1)4 D.x4
S C40 20 x -14 C41 21x -13 C42 22 x -12 C43 23 x -1 C44 24
课堂练习:
3. 求 x 3 9的展开式常数项 3 x
解:
Tr 1
C9r
(
x 3
)9
r
(
3 )r x
C9r
( 1 )9r 3
3r
9r1 r
x2
由9-r-
1 2
r
0得r
6.
T7
C96
( 1 )96 3
36
2268
小测
求 （x 的2 展）开9 式中的常数项；
2 x
r ＝C9r 2r x9－23 r
根据题意
令9
3 2
r
Z , 且0
r
9
则r可以取0，2，4，6， 8
有理项分别是
T1 C90 20 x9 x9 ,
高中数学人教A版选修2-3课件1.3.1 二项式定理ppt版本
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
反思1.形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开,对于 形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行 必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式 (a+b)n的展开式是正确解答与二项式定理有关的问题的前提.
2.逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点,a的指数是从 高到低,b的指数是从低到高,a,b的指数和都相等,如果项的系数是 正负相间,那么是(a-b)n的形式.
⋯+(-1)������C������������ ·(x+1)n-r+…+(-1)������C������������ = [(������ + 1) − 1]������ = ������������.
(3)可设 Sn= C���1��� + 3C���2��� + 9C���3��� + ⋯+3n-1C������������ ,
1 2
8-������ C8������ ������8-43������ (0 ≤k≤8,k∈N).
令
8−
4 3
������
=
0,
得k=6,T7=(-1)6
1 2
8-6 C86
= 7.
(2)展开式的通项为 Tk+1= C9������ ������9 − ������(−������)������
(3)( x − 3 ������)9 展开式中含������的有理项共有_______项.
解析:(1)展开式的通项为 Tk+1= C8������
������ 2
8-������
数学人教A版(2019)选择性必修第三册6.3二项式定理(共45张ppt)
n (0
n 1
n
C
k n)
k nk k
C
b
k 1
na
(2)各项的统一表达式为____________,这是展开式的第_____项.
a降幂(n→0),b升幂(0→n)
(3)a的幂、b的幂的变化规律：___________n的展开式
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C
2
n 1
n
ab
n 1
(1)展开式共n+1项，各项次数为n.
(2)各项规律：a降幂(n→0)；b升幂(0→n)
(3)展开式的通项or第k+1项：Tk 1 Cnk a n k b k (k 0,1,2, , n)
[例2]化简下列各式.
n
3
(1)1 2C 4C 2 C ____
1
n
2
n
n
n
n
a=1,b=3
0
0
1
2
2
n
n
析 : 原式 Cn 2 Cn 2 Cn 2 Cn 2 (1 2) n 3n
1
(2)2 n Cn1 2 n 1 (1) k Cnk 2 n k (1) n Cnn ____
( x ) C6 x C6 x C6 x C6 C6 x C6 x C6 x
x
6
4
2
2
4
6
x 6 x 15x 20 15x 6 x x
n
0
n 1
n
C
k n)
k nk k
C
b
k 1
na
(2)各项的统一表达式为____________,这是展开式的第_____项.
a降幂(n→0),b升幂(0→n)
(3)a的幂、b的幂的变化规律：___________n的展开式
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C
2
n 1
n
ab
n 1
(1)展开式共n+1项，各项次数为n.
(2)各项规律：a降幂(n→0)；b升幂(0→n)
(3)展开式的通项or第k+1项：Tk 1 Cnk a n k b k (k 0,1,2, , n)
[例2]化简下列各式.
n
3
(1)1 2C 4C 2 C ____
1
n
2
n
n
n
n
a=1,b=3
0
0
1
2
2
n
n
析 : 原式 Cn 2 Cn 2 Cn 2 Cn 2 (1 2) n 3n
1
(2)2 n Cn1 2 n 1 (1) k Cnk 2 n k (1) n Cnn ____
( x ) C6 x C6 x C6 x C6 C6 x C6 x C6 x
x
6
4
2
2
4
6
x 6 x 15x 20 15x 6 x x
n
0
人教A版高中数学选择性必修第三册6-3-1二项式定理课件
A．9
B．10
C．11
D．12
解析：由二项式定理的公式特征可知 n＝10.
答案：B
3．(x－ 2)10 展开式中 x6 项的二项式系数为
A．－C410 C．－4C410
B．C410 D．4C410
解析：含 x6 项为展开式中第 5 项，所以二项式系数为 C410.
答案：B
() ()
4．C0n·2n＋C1n·2n－1＋…＋Ckn·2n－k＋…＋Cnn等于________．
题型二 求展开式中的特定项或系数
[学透用活]
[典例 2]
已知在3
x－
3
n
3
x
的展开式中，第
6
项为常数项．
(1)求 n；
(2)求含 x2 项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
n－r
r
[解] 二项式通项为 Tr＋1＝Crnx 3 (－3)rx－3＝
n－2r
Crn(－3)rx 3 .
(1)∵第 6 项为常数项，∴当 r＝5 时，有n－32r＝0，即 n＝10.
答案：D
()
3．若x－
xa2 6
的展开式的常数项为
60，则实数
a
的值为
A．4
B．2
C．8
D．6
()
解析：x－
xa2 6
的二项式通项
Tr＋1＝Cr6x6－r－
xa2 r＝(－1)ra2rC6rx6－3r，
令 6－3r＝0，解得 r＝2，则常数项为(－1)2aC26＝60，解得 a＝4.故选 A.
答案：A
(2)令10－3 2r＝2，解得 r＝2，∴x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
人教A版选修2-3----二项式定理---课件(43张)
①每一项中 a，b 的指数和为 n；
②a 按降幂排列，从 n 次到 0 次，b 按升幂排列，从 0 次到 n 次.
类型一 二项式定理的展开式
【例 1】 (1)求(2 x＋ 1x)4 的展开式； (2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)． 【分析】 (1)可直接用二项式定理展开或先对括号内式子 化简再展开． (2)分析式子的结构形式，逆用二项式定理求解．
(2)求含 x2 项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
【分析】 先利用展开式的通项公式，求出当 x 的次数为 0
时 n 的值，再求解第(2)问、第(3)问．
在(2x2－ 1 )8 的展开式中，求： 3 x
(1)第 5 项的二项式系数及第 5 项的系数； (2)x2 的系数．
利用二项式定理解决整除性问题时，关键是要巧妙地构造 二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除， 只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个 式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含有相关除式的二 项式，然后再展开.此时常采用“配凑法”“消去法”配合整 除的有关知识来处理.
典例讲练破题型 课时作业
知识点一
二项式定理
[填一填] 1．二项式定理：(a＋b)n＝ C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*) ．
2．展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n 的 二数： Cnk(k＝0,1,2，…，n)
(2)原式＝C05(2x＋1)5－C15(2x＋1)4＋C25(2x＋1)3－C35(2x＋1)2＋ C45(2x＋1)1－C55(2x＋1)0＝(2x＋1－1)5＝(2x)5＝32x5.
6.3.1 二项式定理 课件 (共16张PPT) 人教A版(2019)选择性必修第三册
aa ab ba bb a2 2ab b2
共有 C12 × C21 = 4 项
完全平方公式
Fa bf2 Fa bfFa bf
aFa bf bFa bf
aa ab ba bb a2 2ab b2
a2－kb k
k 0,1,2
合并同类项共3项 系数 Ck2
C20
(a b)2
C 21
C20a2
C22
C21ab C22b2
n个(a b)相乘
n
个(a+ b) b
{ 项an－kbk
－ k个(a 中选a
an , an—1b, an—2b2，...an—kbk，...bn
系数 C 二项式定理
展开式：(a+ b)n = C0 an +C1 an—1b1 + ...+C an—kbk +...+Cn bn
n
n
n
(n∈ N* )
二项式定理
6
我们的收获
你能用二项式定理解决开篇困惑吗？
(a + b)n = Cn0 an +Cn1 an—1b1 + ...+C an—kbk + ...+nnC
bn (1.01)365 = (1+0.01)365 ≈ 37.8
(0.99)365 = (1—0.01)365 ≈ 0.03
P25-27
课外资料相应练习 二项式定理（ 2）
1 . 求 (x + 1 )6 的展开式 .
x
2. (1) 求(1 + 2x)7 的展开式的第4项的系数；若求第4项的二次项系数呢
？
(2) 求
的展开式中x2 的系数. 若求含x2的项呢？
共有 C12 × C21 = 4 项
完全平方公式
Fa bf2 Fa bfFa bf
aFa bf bFa bf
aa ab ba bb a2 2ab b2
a2－kb k
k 0,1,2
合并同类项共3项 系数 Ck2
C20
(a b)2
C 21
C20a2
C22
C21ab C22b2
n个(a b)相乘
n
个(a+ b) b
{ 项an－kbk
－ k个(a 中选a
an , an—1b, an—2b2，...an—kbk，...bn
系数 C 二项式定理
展开式：(a+ b)n = C0 an +C1 an—1b1 + ...+C an—kbk +...+Cn bn
n
n
n
(n∈ N* )
二项式定理
6
我们的收获
你能用二项式定理解决开篇困惑吗？
(a + b)n = Cn0 an +Cn1 an—1b1 + ...+C an—kbk + ...+nnC
bn (1.01)365 = (1+0.01)365 ≈ 37.8
(0.99)365 = (1—0.01)365 ≈ 0.03
P25-27
课外资料相应练习 二项式定理（ 2）
1 . 求 (x + 1 )6 的展开式 .
x
2. (1) 求(1 + 2x)7 的展开式的第4项的系数；若求第4项的二次项系数呢
？
(2) 求
的展开式中x2 的系数. 若求含x2的项呢？
《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文
展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗？
解：④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数： 展开式共有n＋1项.
②次数： 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列，由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列，由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式； x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数： Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项：Tk1 Cnk ankbk
思想方法：
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业： 课本36页习题1.3A组第2，4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x
数学人教A版选择性必修第三册6.3.1二项式定理课件
核心素养
数学抽象、数学运算
预习导航
二项式定理
二项展开式 二项式系数
(_a_＋__b_)_n＝___C_0n_a_n＋__C_1na_n_－1_b_1＋__…_＋__C_kna_n－_k_·_b_k＋__…_＋__C_nn_bn__
(n∈N*)
右边的的多项式
其中各项的系数_C__kn_(k__＝__0_，___1_，__2__，__…__，___n_)_
32k
9
x
9
3k 2
令 9 3k 0 得 k 6
2
常数项为 C96 3269 2268
小结：对有关二项式展开式中特殊项及其系数问题，一 般都采用通项公式解决
链接新高考：
[202X全国卷3] (x 2 2 )5的展开式中 x4的系数为 _4_0____ x
解析：（x2 2)5 的展开式的通项公式为：
(3) 字母a按降幂排列,次数由n递减到0； 字母b按升幂排列,次数由0递增到n
(4) 二项式系数可写成组合数的情势, 组合数的下标为二项式的次数 组合数的上标由0递增到n
二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b1 ... Cnkankbk nbn, n N
(5) 展开式中的第 k + 1 项，
猜测 a bn 展开式中共有多少项？ 分别有哪些项？
各项系数分别是什么？能否尝试写出其展开式
(a b)n Cn0an Cn1an1b1 ... Cnkankbk nbn, n N
（a+b)n展开式的说明：
(a+b)n是n个(a+b)相乘，每个（a+b）在相乘时有两 种选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才 能得到展开式的一项
数学抽象、数学运算
预习导航
二项式定理
二项展开式 二项式系数
(_a_＋__b_)_n＝___C_0n_a_n＋__C_1na_n_－1_b_1＋__…_＋__C_kna_n－_k_·_b_k＋__…_＋__C_nn_bn__
(n∈N*)
右边的的多项式
其中各项的系数_C__kn_(k__＝__0_，___1_，__2__，__…__，___n_)_
32k
9
x
9
3k 2
令 9 3k 0 得 k 6
2
常数项为 C96 3269 2268
小结：对有关二项式展开式中特殊项及其系数问题，一 般都采用通项公式解决
链接新高考：
[202X全国卷3] (x 2 2 )5的展开式中 x4的系数为 _4_0____ x
解析：（x2 2)5 的展开式的通项公式为：
(3) 字母a按降幂排列,次数由n递减到0； 字母b按升幂排列,次数由0递增到n
(4) 二项式系数可写成组合数的情势, 组合数的下标为二项式的次数 组合数的上标由0递增到n
二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b1 ... Cnkankbk nbn, n N
(5) 展开式中的第 k + 1 项，
猜测 a bn 展开式中共有多少项？ 分别有哪些项？
各项系数分别是什么？能否尝试写出其展开式
(a b)n Cn0an Cn1an1b1 ... Cnkankbk nbn, n N
（a+b)n展开式的说明：
(a+b)n是n个(a+b)相乘，每个（a+b）在相乘时有两 种选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才 能得到展开式的一项
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)
A．20
B．－20
C．40
D．－40
解析：2x－21x6 的展开式的通项为 Tr＋1＝(－1)rCr626－2rx6－2r，令 6－2r＝0，得 r＝3， 故常数项为(－1)3C36＝－20. 答案：B
3．在2x2－x16 的展开式中，中间项是________． 解析：由 n＝6 知中间一项是第 4 项，因 T4＝C36(2x2)3·－1x3＝C36·(－1)3·23·x3，所以 T4 ＝－160x3. 答案：－160x3
(3)由题意得01≤0－3k≤2k∈10，Z， k∈N，
令10－3 2k＝r(r∈Z)，得 10－2k＝3r，即 k＝5－32r.
∵k∈N 且 0≤k≤10，
∴r 应为偶数．
∴r 可取 2,0，－2，
∴k 可取 2,5,8. ∴第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 C210(－3)2x2，C510(－3)5，C810(－3)8x－2.
[双基自测]
1．(x＋2)6 的展开式中 x3 的系数是( )
A．20
B．40
C．80
D．160
解析：设含 x3 的项为第 r＋1 项，则 Tr＋1＝Cr6x6－r·2r，令 6－r＝3，得 r＝3，故展开式 中 x3 的系数为 C36×23＝160.
答案：D
2.2x－21x6 的展开式的常数项是(
正用、逆用二项式定理： (1)展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确 理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．对较复杂的二项式，有时先化简再展开 会更简便． (2)逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项 数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
1．3 二项式定理 1.3.1 二项式定理
考纲定位
重难突破
1.用两个计数原理分析(a＋b)2 的
展开式，得到二项式定理，并能 重点：二项式定理及其证明方法，二项展
用计数原理证明．
开式的通项公式及其应用．
2.掌握二项展开式的通项公式， 难点：用两个计数原理证明二项式定理.
能用它解决简单问题.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
二项式定理及其相关概念
[自主梳理]
二项式定理
公式(a＋b)n＝ C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn ， 称为二项式定理
二项式系数 通项
二项式定理的特例
_C_kn_(_k_＝__0_,1_,_2_，__…__，__n_)_ Tk＋1＝Cknan－kbk(k＝0,1，…，n) (1＋x)n＝C0n＋C1nx＋…＋Cknxk＋…＋Cnnxn
探究三 整除或余数问题 [典例 3] 求证：5151－1 能被 7 整除． [证明] ∵5151－1＝(49＋2)51－1 ＝4951＋C151·4950·2＋C251·4949·22＋…＋C5501·49·250＋251－1. 可以看出：展开式中除 251－1 外，其余各项都能被 7 整除． 而 251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1 ＝717＋C117·716＋C217·715＋…＋C1167·7＋1－1 ＝717＋C117·716＋C217·715＋…＋C1167·7. 因其各项均可被 7 整除，故 251－1 可被 7 整除． ∴5151－1 也能被 7 整 x
(1)第 3 项的二项式系数及系数； (2)含 x2 的项及项数． 解析：(1)第 3 项的二项式系数为 C26＝15，又 T3＝C26(2 x)4(－ 1x)2＝24·C26x， 所以第 3 项的系数为 24C26＝240. (2)Tk＋1＝Ck6(2 x)6－k(－ 1x)k＝(－1)k26－k·Ck6x3－k，令 3－k＝2，得 k＝1， 所以含 x2 的项为第 2 项，且 T2＝－192x2.
4.x2－21x9 的展开式中，第 4 项的二项式系数是________，第 4 项的系数是________． 解析：Tk＋1＝Ck9·(x2)9－k·－21xk＝－12k·Ck9·x18－3k，当 k＝3 时，T4＝－123·C39·x9＝－221x9， 所以第 4 项的二项式系数为 C39＝84，项的系数为－221. 答案：84 －221
探究一 二项式定理的正用与逆用
[典例 1]
(1)写出2
x＋
1 4 x
的展开式；
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
[解析]
(1)解法一
直接利用二项式定理展开并化简：2
x＋ 1x4＝C04(2
x)4
1 x
0＋C14
(2 x)3 1x1＋C24·(2 x)2 1x2＋C34(2 x)1 1x3＋C44(2 x)0 1x4＝16x2＋32x＋24＋8x＋x12.
1．化简：1－2C1n＋4C2n－8C3n＋…＋(－2)nCnn. 解析：原式＝C0n＋C1n(－2)1＋C2n(－2)2＋C3n(－2)3＋…＋Cnn(－2)n＝(1－2)n＝(－1)n.
探究二 求展开式的特定项
[典例 2]
已知在3
x－ 3 3
n
的展开式中，第
6
项为常数项．
x
(1)求 n；
(2)求含 x2 的项的系数；
求展开式的特定项： (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)． (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解 这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根 据数的整除性来求解． (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解 方式与求有理项一致．
解法二 2 x＋ 1x4＝2x＋x 14＝x12(2x＋1)4 ＝x12[C04(2x)410＋C14(2x)311＋C24(2x)212＋C34(2x)113＋C44(2x)014] ＝x12(16x4＋32x3＋24x2＋8x＋1) ＝16x2＋32x＋24＋8x＋x12. (2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x－1)＋C55(x－1)0－1＝ [(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
(3)求展开式中所有的有理项．
[解析]
nk
通项公式为 Tk＋1＝Cknx 3
(－3)kx
k 3
＝Ckn(－
3)kx
n2 3
k
.
(1)∵第 6 项为常数项，
∴k＝5 时有n－32k＝0，即 n＝10.
(2)令10－3 2k＝2，得 k＝12(10－6)＝2， ∴所求的系数为 C210(－3)2＝405.