小波分析发展的综述1

小波分析发展的综述1

小波分析发展的综述

摘要

小波分析是近年来迅速发展起来的新兴学科，由于它在时间域和时间域里同时具有良好的局部化性质，因而同时具备理论深刻与应用广泛的双重意义小波分析已经基本形成了一个完整的理论体系，并且在很多领域内有了比较深入的研究。

本文将介绍小波分析理论的产生背景，并从几个方面概述了它比较成功的应用实例，最后展望了小波分析研究的发展趋势。

关键词：小波分析；时间域；时间域

Abstract

Wavelet analysis is a new kind of disipines which has developed rapidly in recent years, Because it has the good localization property in both time domain and frequency domain, So the wavelet analysis has a double meaning of wide range of combination of theory and application which has basically formed a complete theoretical system, and it have more in-depth study in many areas . This article will introduce the background of wavelet analysis theory，and an overview of several aspects of its successful application examples，Finally, summarize the development trend of wavelet analysis research.

Keywords: Wavelet analysis,time domain,frequency domain

引言

小波分析(wavelet)是在应用数学的基础上发展起来的一门新兴学科，近十几年来得到了飞速的发展。作为一种新的时频分析工具的小波分析，目前已成为国际上极为活跃的研究领域。从纯粹数学的角度看，小波分析是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶；从应用科学和技术科学的角度来看，小波分析又是计算机应用、信号处理、图形分析、非线性科学和工程技术近些年来在方法上的重大突破。由于小波分析的“自适应性”和“数学显微镜”的美誉，使它与我们观察和分析问题的思路十分接近，因而被广泛应用于基础科学、应用科学，尤其是信息科学，信号分析的各个方面。

第一章小波分析产生的背景

历史上，傅里叶分析对数学和物理产生了深远影响。但它在科学应用领域也有如下一些不足：

（1）为了从模拟信号中提取频谱信息，要取无限的时间量，而使用过去和将来的信号信息只为计算单个频率的频谱；

（2）傅里叶变换不能反映出随时间变化的频率；

（3）在L2以外的空间，变换系数不能刻画信号或它的频谱所在的空间；

（4）分析高频谱信息需要相对小的时间间隔以给出较好的精度，而分析低频谱信息，则需相对宽的时间间隔以给出完全的信息，但傅里叶变换无法提供一个灵活可变的时频窗，小波分析理论正是为了克服傅里叶变换这些不足而提出来的。

第二章小波理论的应用

小波的提出先是取得了应用成果(如Morlet在地震数据中的处理等)，再形成理论，最后在应用领域全面铺开，因而具有实用价值。它已经和将要被广泛应用于信号处理、图豫处理、量子场论、地震勘探、话音识别与合成、音乐、雷达、CT成像、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障诊断和监控、分形以及数字电视等科技领域．随着小波应用的广度和深度的进一步拓展，某些方面已取得了传统方法无法达到的效果。

下面就小波分析成功应用的几个方面作以介绍，以说明小波分析的实用价值与意义。

（1）小波分析在信号处理中的应用

目前，小波分析已成为信号处理的一种新工具和新方法，且取得了很多成功的应用。如：信号的分解和重构。信号消噪，信号的奇异性检测与分析，模式识别等。小波分析在图像处理，图像特征提取，图像识别等方面的应用最为成功。例如，基于Le Gall 5/3 滤波器提出了一种逐行小波变换方法，处理器从图像节点SD 卡逐行读出图像信息，完成多级变换后将变换结果行写入SD 卡。该方法SRAM 内存需求低，且仅涉及定点整数乘法、加法及移位操作。对一幅256 像素×256 像素仔猪灰度图像做小波变换实验。结果表明，该方法以合理的定点运算代价换取了 3.968KB 的SRAM 开销以及8.718s 的时间开销。为基于小波变换的WMSN 节点图像压缩奠定了基础，使得农业生产图像在低带宽WMSN 高效传输成为可能。传统小波变换方法需要将整幅图像装载到SRAM，不适用于低SRAM 的图像节点。提出一种逐行小波变换方法，降低SRAM 开销需求，为了获得较好的压缩性能，需要多级小波变换。

（2）小波分析在数据压缩中的应用

在数据压缩中，小波分析的应用是很成功的。随着多媒体信息高速路等技术的发展，数据压缩已成为信息传输中的瓶颈问题，其重要性愈见显著，利用小波变换进行数据压缩编码可以提高压缩比，而且可消除“方块效应和蚊式效应”。

目前，基于小波变换的图像压缩方法已经逐步取代基于离散余弦变换(DCT)或者其他子带编码技术，成为新的图像压缩国际标准的首选方法，目前国际上最为流行的三种基于小波变换的图像编码方法l：渐进式图像编码；基于行的图像编码；嵌入式块最优截断(EBCOT)编码．(EBCOT)编码方法主要由Taubman 与Marcellin等人于l999年首先提出，使(EBC0T)进行图像编码不仅能实现对图像的有效压缩，同时产生的码流具有分辨率可伸缩性，信噪比可伸缩性，随机访问和处理等。因此，在最近推出的国际静态图像压缩JPEG2000标准中，联合国图像专家组选定以该算法作为JPEG2000的核心算法。

（3）小波分析在数学领域中的应用

在数学领域，小波理论也有着十分重要的应用。小波分析是数值分析强有力的工具，能简捷、有效地求解偏微分方程和积分方程，亦能很好地求解线性问题和非线性问题，极大的丰富了数值分析方法的内容。如：Beylin．Coifman．Rokhlin的论文为用小波方法与边界元方法求解偏微分方程提供了标准。用小波方法分析数学中“处处连续但处处不可导”问题特别有效。文