数学思想与方法(1)PPT课件
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contents
目录
• 数学简介 • 数学基础知识 • 数学思想方法 • 数学应用案例 • 数学学习建议 • 数学小结与展望
01
数学简介
数学的发展历程
数学的起源
从原始社会的计数开始，到古希 腊的数学发展，再到现代数学的
分支和领域。
数学的历史
从古代的数学家，如毕达哥拉斯、 阿基米德等，到现代的数学家，如 欧拉、高斯等，以及他们的贡献和 影响。
05
数学学习建议
学习数学的方法
01
02
03
04
制定学习计划
合理安排时间，设定学习目标 和计划，有助于按计划有序地
进行数学学习。
重视课堂听讲
在课堂上认真听讲，理解数学 知识，是学好数学的关键。
做好笔记和总结
及时记录重点和难点，课后进 行总结和复习，加深对数学知
识的理解和记忆。
积极思考
多做习题，积极思考，掌握数 学思维方法，提高解决问题的
方程与不等式思想
总结词
用方程或不等式表示数量关系或不等关系。
详细描述
方程与不等式思想是通过建立方程或不等式来表达数量关系或不等关系，如代数方程、几何图形中的比例关系、 不等式等，帮助我们解决问题和分析问题。
数形结合思想
总结词
将数量关系与几何图形相结合。
详细描述
数形结合思想是将数量关系与几何图形相结合，通过几何图形的直观性来理解数量关系，如函数图像 、概率统计图等，使复杂的问题变得简单易懂。
数据科学和机器学习是当前研究的热点之一，数 学将进一步发挥其在数据分析和模式识别等方面 的优势，为人工智能等领域提供更多支持。
计算数学的快速发展
随着计算机科学的进步，计算数学将得到更广泛 的应用和发展，为复杂问题的求解提供更多可能 性。
contents
目录
• 数学简介 • 数学基础知识 • 数学思想方法 • 数学应用案例 • 数学学习建议 • 数学小结与展望
01
数学简介
数学的发展历程
数学的起源
从原始社会的计数开始，到古希 腊的数学发展，再到现代数学的
分支和领域。
数学的历史
从古代的数学家，如毕达哥拉斯、 阿基米德等，到现代的数学家，如 欧拉、高斯等，以及他们的贡献和 影响。
05
数学学习建议
学习数学的方法
01
02
03
04
制定学习计划
合理安排时间，设定学习目标 和计划，有助于按计划有序地
进行数学学习。
重视课堂听讲
在课堂上认真听讲，理解数学 知识，是学好数学的关键。
做好笔记和总结
及时记录重点和难点，课后进 行总结和复习，加深对数学知
识的理解和记忆。
积极思考
多做习题，积极思考，掌握数 学思维方法，提高解决问题的
方程与不等式思想
总结词
用方程或不等式表示数量关系或不等关系。
详细描述
方程与不等式思想是通过建立方程或不等式来表达数量关系或不等关系，如代数方程、几何图形中的比例关系、 不等式等，帮助我们解决问题和分析问题。
数形结合思想
总结词
将数量关系与几何图形相结合。
详细描述
数形结合思想是将数量关系与几何图形相结合，通过几何图形的直观性来理解数量关系，如函数图像 、概率统计图等，使复杂的问题变得简单易懂。
数据科学和机器学习是当前研究的热点之一，数 学将进一步发挥其在数据分析和模式识别等方面 的优势，为人工智能等领域提供更多支持。
计算数学的快速发展
随着计算机科学的进步，计算数学将得到更广泛 的应用和发展，为复杂问题的求解提供更多可能 性。
[复习]小学数学思想方法教学案例分析PPT课件
![[复习]小学数学思想方法教学案例分析PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/909a50d925c52cc58ad6be9d.png)
、分而治之的目的。
新课程的第一册就安排一个单元—分类。
27
5、化归思想
感性体验
“正面突破”，使 学生明白其含义，
掌握程序
创造应用 的机会
14
二、谈几种数学思想和方 法
小学数学教材中蕴含的数学思想和方法有：集合思想 、符号化思想、对应思想、化归思想、统计思想、函 数思想、分类思想、模型思想、分析法、综合法、归 纳法、类比法、数形结合法、假设法、转化法等。
15
自始至终要渗透的有： 集合思想、符号化思想、统计思想、化归思
小学数学思想方法教学案 例分析
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
什么因素影响着观察的结果呢？
3
用“瓜”组词三个 ：
• 瓜的种类：南瓜、冬瓜、西瓜…… • 把瓜剖开看到：瓜皮、瓜瓤、瓜子 • 瓜的生长过程：瓜苗、瓜叶、瓜藤 • 种瓜的地方：瓜田、瓜地、瓜棚 • 与瓜有关的人：瓜农、瓜贩 • 与瓜有关的动作：摘瓜、运瓜、切瓜 • 瓜的副产品：瓜饼、瓜灯、瓜雕 • 骂人的词语：傻瓜、笨瓜
加快了数学思维的速度。
有数字符号、运算符号、关系符号、单位符号 、约定符号等。
22
单位符号：
一年级下册：厘米（cm）、米（m） 二年级下册：分米（dm）、毫米（mm）、千米（km）
三年级上册：千克（kg）、克（g）、吨（t） 三年级下册：平方米（㎡ ） 、平方分米 （d㎡ ）、
平方厘米（c㎡ ） 五年级下册：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、
4
• ……
•
“哈佛小子”林书豪最近在全世界刮
起一股“林来疯”。
新课程的第一册就安排一个单元—分类。
27
5、化归思想
感性体验
“正面突破”，使 学生明白其含义，
掌握程序
创造应用 的机会
14
二、谈几种数学思想和方 法
小学数学教材中蕴含的数学思想和方法有：集合思想 、符号化思想、对应思想、化归思想、统计思想、函 数思想、分类思想、模型思想、分析法、综合法、归 纳法、类比法、数形结合法、假设法、转化法等。
15
自始至终要渗透的有： 集合思想、符号化思想、统计思想、化归思
小学数学思想方法教学案 例分析
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
什么因素影响着观察的结果呢？
3
用“瓜”组词三个 ：
• 瓜的种类：南瓜、冬瓜、西瓜…… • 把瓜剖开看到：瓜皮、瓜瓤、瓜子 • 瓜的生长过程：瓜苗、瓜叶、瓜藤 • 种瓜的地方：瓜田、瓜地、瓜棚 • 与瓜有关的人：瓜农、瓜贩 • 与瓜有关的动作：摘瓜、运瓜、切瓜 • 瓜的副产品：瓜饼、瓜灯、瓜雕 • 骂人的词语：傻瓜、笨瓜
加快了数学思维的速度。
有数字符号、运算符号、关系符号、单位符号 、约定符号等。
22
单位符号：
一年级下册：厘米（cm）、米（m） 二年级下册：分米（dm）、毫米（mm）、千米（km）
三年级上册：千克（kg）、克（g）、吨（t） 三年级下册：平方米（㎡ ） 、平方分米 （d㎡ ）、
平方厘米（c㎡ ） 五年级下册：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、
4
• ……
•
“哈佛小子”林书豪最近在全世界刮
起一股“林来疯”。
最新人教版数学ppt课件完整版
01
02
近代数学的发展
03
包括微积分学的创立、概率论的 起源、数论的发展等。
04
西方古代数学发展
包括古希腊数学、欧几里得《几 何原本》、阿拉伯数学等。
数学之美
探讨数学中的对称、和谐、简洁 等美学特征，以及数学在艺术、 建筑等领域的应用。
05
数学思想方法
Chapter
观察、实验、比较、分类思想方法
3
事件的独立性与互斥性
独立事件与互斥事件的定义及性质变量的定义与分类
离散型随机变量与连续型随机变量
离散型随机变量的分布列与期望
分布列的定义及性质，数学期望与方差等
连续型随机变量的概率密度与分布函数
概率密度的定义及性质，分布函数的定义及性质，常见连续型随机变 量的分布如均匀分布、指数分布、正态分布等
最新人教版数学ppt课件完整版
目录
• 数与代数 • 图形与几何 • 统计与概率 • 拓展内容 • 数学思想方法 • 数学问题解决策略
01
数与代数
Chapter
数的认识与运算
自然数集合与整数集合
实数集合
自然数的定义与性质，整数的概念与 运算规则。
实数的概念、性质与分类，实数与数 轴上的点对应关系，实数的运算。
03
统计与概率
Chapter
数据的收集与整理
数据收集的方法
调查、观察、实验等
数据整理的方式
分类、排序、制表、绘图等
数据特征的描述
平均数、中位数、众数、方差等
概率初步知识与事件概率
1 2
概率的定义与性质
事件的概率、概率的加法公式、条件概率等
古典概型与几何概型
等可能事件的概率、长度、面积、体积比求概率 等
小学数学思想方法优秀PPT课件
通过义务教育阶段的数学学习，学生能： 1. 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学
的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。 2. 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数
学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考， 增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。
3. 了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强 学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的 创新意识和科学态度。
CHENLI
26
对符号化思想的理解
第一，能从具体情境中抽象出数量关系和变化 规律，并用符号表示。这是一个从具体到抽象、 从特殊到一般的探索和归纳的过程。
第二，理解符号所代表的数量关系和变化规律。 这是一个从一般到特殊、从理论到实践的过程。 包括用关系式、表格和图象等表示情境中数量 间的关系。
CHENLI
CHENLI
22
小学教材中几种主要的思想方法之二：
符号思想
1. 符号化思想的概念 用数学符号表示数、数量关系、变化规律和空间形
式，并使用符号进行一般性的运算和推理的一种思想。 数学符号是数学的语言，数学世界是一个符号化的
世界，数学作为人们表示、计算、推理和解决问题的 工具，符号起到了非常重要的作用；因为数学有了符 号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点， 同时也促进了数学的普及和发展。
从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法 则、公式、性质、数量关系式、图表、程序等 都是数学模型。 （例:水管进出水问题）
数学模型的主要表现形式是数学符号、表达式 和图表，因此它与符号化思想有很多相通之处。
CHENLI
30
符号化思想更注重数学抽象和符号表达， 模型思想更注重数学的应用。
可以简单的理解为：数学模型就是用数 学的方法解决实际问题。
的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。 2. 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数
学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考， 增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。
3. 了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强 学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的 创新意识和科学态度。
CHENLI
26
对符号化思想的理解
第一，能从具体情境中抽象出数量关系和变化 规律，并用符号表示。这是一个从具体到抽象、 从特殊到一般的探索和归纳的过程。
第二，理解符号所代表的数量关系和变化规律。 这是一个从一般到特殊、从理论到实践的过程。 包括用关系式、表格和图象等表示情境中数量 间的关系。
CHENLI
CHENLI
22
小学教材中几种主要的思想方法之二：
符号思想
1. 符号化思想的概念 用数学符号表示数、数量关系、变化规律和空间形
式，并使用符号进行一般性的运算和推理的一种思想。 数学符号是数学的语言，数学世界是一个符号化的
世界，数学作为人们表示、计算、推理和解决问题的 工具，符号起到了非常重要的作用；因为数学有了符 号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点， 同时也促进了数学的普及和发展。
从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法 则、公式、性质、数量关系式、图表、程序等 都是数学模型。 （例:水管进出水问题）
数学模型的主要表现形式是数学符号、表达式 和图表，因此它与符号化思想有很多相通之处。
CHENLI
30
符号化思想更注重数学抽象和符号表达， 模型思想更注重数学的应用。
可以简单的理解为：数学模型就是用数 学的方法解决实际问题。
高中数学思想方法及案例分析ppt课件
32
（5）函数与映射思想
对应是人的思维对两个集合间问题联系的 把握，是现代数学的一个最基本的概念。 函数思想是指用运动、变化、联系、对应 的观点，分析数学与实际生活中的数量关 系，通过函数这种数量关系表示出来并加 以研究，从而使问题获得解决的思想。
【案例】
33
高中数学思想方法教学
存在问题 1.重数学方法的教学，忽略数学思想的提升，从
——【英】怀特海《教育的目的》
7
引言
数学思想方法的作用，主要体现在它为 学生提供了有关如何学习、如何思考的 策略性知识。
中小学数学的功能是多重的，即作为知 识的数学和作为教育功能性的数学。
8
内容提要
如何认识数学思想方法 中学数学中的数学思想方法 数学解决问题的基本方法——化归方法 高中数学思想方法教学案例分析
模型思想 、化归思想、类比思想、统 计思、用字母代表数的思想、函数与映 射思想、分类思想、极限思想等。
24
中学数学中的数学思想方法
（1）模型思想 “建立和求解模型的过程包括：从现实生 活或具体情境中抽象出数学问题，用数学 符号建立方程、不等式、函数等表示数学 问题中的数量关系和变化规律，求出结果 并讨论结果的意义。这些内容的学习有助 于学生初步形成模型思想，提高学习数学 的兴趣和应用意识。”
【案例】 等比数列求和公式
【案例】平面几何问题的类比 30
教师教学要重视引导回忆或重现可供 类比的问题，从中寻找“经验性”的 解题方法
31
（４）统计思想
统计思想就是在统计初步知识中提炼 并掌握一些处理数据的方法，并用来 解决一些实际问题，统计思想可使学 生认识到条件的可变性结论的不唯一、 不确定、不可靠性，事物的多样性等 等都是普遍存在的。
（5）函数与映射思想
对应是人的思维对两个集合间问题联系的 把握，是现代数学的一个最基本的概念。 函数思想是指用运动、变化、联系、对应 的观点，分析数学与实际生活中的数量关 系，通过函数这种数量关系表示出来并加 以研究，从而使问题获得解决的思想。
【案例】
33
高中数学思想方法教学
存在问题 1.重数学方法的教学，忽略数学思想的提升，从
——【英】怀特海《教育的目的》
7
引言
数学思想方法的作用，主要体现在它为 学生提供了有关如何学习、如何思考的 策略性知识。
中小学数学的功能是多重的，即作为知 识的数学和作为教育功能性的数学。
8
内容提要
如何认识数学思想方法 中学数学中的数学思想方法 数学解决问题的基本方法——化归方法 高中数学思想方法教学案例分析
模型思想 、化归思想、类比思想、统 计思、用字母代表数的思想、函数与映 射思想、分类思想、极限思想等。
24
中学数学中的数学思想方法
（1）模型思想 “建立和求解模型的过程包括：从现实生 活或具体情境中抽象出数学问题，用数学 符号建立方程、不等式、函数等表示数学 问题中的数量关系和变化规律，求出结果 并讨论结果的意义。这些内容的学习有助 于学生初步形成模型思想，提高学习数学 的兴趣和应用意识。”
【案例】 等比数列求和公式
【案例】平面几何问题的类比 30
教师教学要重视引导回忆或重现可供 类比的问题，从中寻找“经验性”的 解题方法
31
（４）统计思想
统计思想就是在统计初步知识中提炼 并掌握一些处理数据的方法，并用来 解决一些实际问题，统计思想可使学 生认识到条件的可变性结论的不唯一、 不确定、不可靠性，事物的多样性等 等都是普遍存在的。
初中数学专题 PPT课件 图文
然后利用“整体代入法”求代数式的值．
[对应训练]
．(·龙岩)若－＝π，则－＋π＝．
π
转化思想
【例 2】 (2015·深圳)解方程：2xx－3＋3x5－2＝4. 解：去分母得：3x2－2x＋10x－15＝4(2x－3)(3x－2)，整理得： 3x2－2x＋10x－15＝24x2－52x＋24，即 7x2－20x＋13＝0，分解因式
解：(1)y＝3[30000x－－32（00xx－＝1100）0x－，2（000]≤x＝x≤－130x，2＋且13x0为x（整1数0＜）x≤30， 且x为整数）
(2)在 0≤x≤10 时，y＝100x，当 x＝10 时，y 有最大值 1000；在 10
＜x≤30 时，y＝－3x2＋130x，当 x＝2123时，y 取得最大值，∵x 为整数， 根据抛物线的对称性得 x＝22 时，y 有最大值 1408.∵1408＞1000，∴顾客
得：(x－1)(7x－13)＝0，解得：x1＝1，x2＝173，经检验 x1＝1 与 x2 ＝173都为分式方程的解
【点评】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化 思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要 验根．
[对应训练] ．(·枣庄)图①所示的正方体木块棱长为 ，沿其相邻三个面的对角 线(图中虚线)剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图② 的几(3 何2＋ 体3表面6)从顶点爬提高解题 能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及 中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问 题的意识．
数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中 一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学 思想方法有：整体思想、转化思想、方程与函数思想、数形结合思 想、分类讨论思想等．
王永春小学数学核心素养与数学思想方法(一) PPT课件 图文
有研究表明：对数学概念的表征水平与数学成绩呈正相关。 表征（representation）是信息在头脑中的呈现方式。 也可以用“表示”，更容易理解。
多元表征是加强学生理解知识的有效方式。 有研究表明，高中生对数学概念的表征（理解）水平，多数
通过具体例子、画图（像）和描述性语言表征，如单调增函数 的概念，有52.63%的学生通过画函数图像、28.42%的学生通过 描述性语言表征；只有3.16%的学生能够用定义表征。
小学23 昆明 王永春
课程性质与基本理念
（一）课程性质 数学教育承载着落实立德树人根本任务、发展素质教育的
功能，数学教育帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的 数学知识、技能、思想和方法；提升学生的数学素养，引导学 生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学 语言表达世界；促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发 展，探寻事物变化规律，增强社会责任感；在学生形成正确人 生观、价值观、世界观等方面发挥独特作用。
殊性的个性化的存在，有很强的主观性。是学生的数学思想方法 及数学核心素养的基础。
学习除法认识了一棵杨树
学习分数认识了一棵柳树
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她 说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年 ，工作 却已
中考数学专题复习一分类讨论思想PPT课件
过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∵∠ACB=75°－∠B=45°， sinACD AD，
AC
∴AD=AC×sin 45°， 在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一 般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需 要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解 直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直 角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯 角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函 数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情 况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情 况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两 旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种 情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、 角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接 写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称， 求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由
AC
∴AD=AC×sin 45°， 在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一 般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需 要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解 直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直 角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯 角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函 数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情 况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情 况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两 旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种 情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、 角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接 写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称， 求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由
高三数学课件：下学期_分类讨论思想方法(1.p
4 − x 2 ≥ −1 恒成立
由4-x2≥0，x＞0，得0＜x≤2； ， ＞ ， ＜ ；
x 4 − x2 ≥ 1 (2)当x＜0时， =-1，原不等式等价于 当 ＜ 时 x ，
4-x2≥0
由
ห้องสมุดไป่ตู้4-x2≥1
得-√3≤x<0
x＜0 ＜ 所以原不等式的解集为{x｜ 所以原不等式的解集为 ｜-√3≤x＜0或0＜x≤2}．故应选 ＜ 或 ＜ ． (B)． ．
三.示范性题组
是首项为1，公比为q（ 例1．设数列 n}是首项为 ，公比为 （q>0）的等比数列， ．设数列{a 是首项为 ）的等比数列， sn + 1 求 lim Tn 其前n项和为 项和为S 其前 项和为 n, Tn = 解：（1）当q=1时，Sn=n, Sn+1=n+1, ：（ ） 时 n+1 ∴ lim Tn = lim n = 1 n→ ∞ n→ ∞ 1 − q n+1 （2）当q≠1时，lim Tn = lim 1 − q n ） 时 n→ ∞ n→ ∞ ①若0<q<1，lim Tn = 1 ， n→ ∞ 1 n ( ) −q q =q ② 若q>1, lim Tn = lim 1 n→ ∞ n→ ∞ ( )n − 1 q Tn = 1 0<q≤1 综上， 综上， lim n→ ∞ q q>1
①0<a<1时，0<f(x) 时 a ②-1<a<0时， 1 = a 时
a2 = 1 a2 + 1 ≤ a+ a − a2
2
+1
≤f(x)<0
又当x=0时，f(x)=0; ∴原函数的值域为： 时 原函数的值域为： 又当
初中数学---常用的思想方法PPT课件
5、配方法：就是把一个代数式设法构造成平方式，然后再 进行所需要的变化。配方法是初中代数中重要的变形技巧， 配方法在分解因式、解方程、讨论二次函某个或某些字母的式子作为 一个整体，用一个新的字母表示，以便进一步解决问题的 一种方法。换元法可以把一个较为复杂的式子化简，把问 题归结为比原来更为基本的问题，从而达到化繁为简，化 难为易的目的。
初中数学---常用的思想方法 PPT课件
1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的 内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义；使数 量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合， 寻求解体思路，使问题得到解决。
2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互 转化的。数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。 在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易， 化繁为简。 如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的 转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。
7、分析法：在研究或证明一个命题时，又结论向已知条件 追溯，既从结论开始，推求它成立的充分条件，这个条件 的成立还不显然；则再把它当作结论，进一步研究它成立 的充分条件，直至达到已知条件为止，从而使命题得到证 明。这种思维过程通常称为“执果寻因”
8、综合法：在研究或证明命题时，如果推理的方向是从已 知条件开始，逐步推导得到结论，这种思维过程通常称为 “由因导果”
3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对 象性质的差异，分各种不同情况予以考查；这种分类思考 的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要 的解题策略。
4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形 式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可 以了。为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往 往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或 方程组就使问题得到解决。
在课堂教学中如何渗透数学思想方法PPT演示课件
例2：如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙 （墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔 有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2． （1）求S与x的函 数关系式；
17
（2）如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的 长是多少米？ （3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果 能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能， 请说明理由．
18
例3：全国高考题：如果实数x、y满足
y
（x-2）2 + y2 =3，那么 是．
x
的最大值
y
2
x
1 x2
4 x
1
19
4、化归与转化思想
化归与转化思想是解决数学问题的一种重 要思想方法。化归的手段是多种多样的,其最 终目的是将未知的问题转化为已知问题来解。 实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简 单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽 象问题向具体问题转化等。如在加法的基础 上，利用相反数的概念，化归出减法法则， 使加、减法统一起来，得到了代数和的概念； 在乘法的基础上，利用倒数的概念，化归出 除法法则，使互逆的两种运算得到统一。
2
一、对概念的理解
所谓数学思想，是指人们对数学理 论与内容的本质认识，是对数学知识和 数学方法的进一步抽象和概括，它直接 支配着数学的实践活动，属于对数学规 律的理性认识的范畴。
所谓数学方法， 是指某一数学活动 过程的途径、程序、手段，它具有过程 性、层次性和可操作性等特点。
3
数学思想是数学方法的灵魂，数学 方法是数学思想的表现形式和得以实现 的手段，同一数学成果，当用它去解决 别的问题时，则称为方法；当论及它在 数学体系中的价值和意义时，则称之为 思想。
A
AE42 2或 １
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（2）如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的 长是多少米？ （3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果 能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能， 请说明理由．
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例3：全国高考题：如果实数x、y满足
y
（x-2）2 + y2 =3，那么 是．
x
的最大值
y
2
x
1 x2
4 x
1
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4、化归与转化思想
化归与转化思想是解决数学问题的一种重 要思想方法。化归的手段是多种多样的,其最 终目的是将未知的问题转化为已知问题来解。 实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简 单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽 象问题向具体问题转化等。如在加法的基础 上，利用相反数的概念，化归出减法法则， 使加、减法统一起来，得到了代数和的概念； 在乘法的基础上，利用倒数的概念，化归出 除法法则，使互逆的两种运算得到统一。
2
一、对概念的理解
所谓数学思想，是指人们对数学理 论与内容的本质认识，是对数学知识和 数学方法的进一步抽象和概括，它直接 支配着数学的实践活动，属于对数学规 律的理性认识的范畴。
所谓数学方法， 是指某一数学活动 过程的途径、程序、手段，它具有过程 性、层次性和可操作性等特点。
3
数学思想是数学方法的灵魂，数学 方法是数学思想的表现形式和得以实现 的手段，同一数学成果，当用它去解决 别的问题时，则称为方法；当论及它在 数学体系中的价值和意义时，则称之为 思想。
A
AE42 2或 １
高中数学学法指导 PPT课件 图文
二.具备数学四大思想方法----思想
4.分类讨论思想！
题目结论受一些不定因素的影响，会有不同的结果！ 要重视讨论的完整，不要漏掉情况！
例如：集合的空集问题，二次函数动轴定区间问题， 系数对函数单调性的影响等等。本次期中考试在大 题中多次出现！
y=ax2 x1
三.学习数学的技巧、策略----方法
数学不是给聪明人学的，而是可以让一个人变 得聪明，因此它是适合所有人学的！
期中考试第12题：
f(x ) lo g 2x x 2 3 ,f(x 1 ) 8
一.兴趣与抗挫能力----心态
从数学题目中寻找满足感，有利于培养对数学 的信心和兴趣。
“玩”数学！
一.兴趣与抗挫能力----心态
很努力，很认真的学，就是成绩不好！ 数学成绩总是起伏不定。
----抗挫能力！
对于数学，我们有时很期待，有时又很无奈，但它 就在那里！
二.具备数学四大思想方法----思想
1.转化与划归思想！ 将复杂化为简单，陌生化为熟悉，难化为易！ 例如：
求值域：
y
1 4
x
1 2
x
1
y
1 3
x2 2 x1
基本初等函数，就是我们的简 单、熟悉、容易的函数！
怎样学好高中数学
高一数学
考试的时候，那些分分钟让人想暴 走的瞬间。。。。
学好高中数学需要具备的三个条件：
一.兴趣与抗挫能力----心态 二.高中数学的四大思想方法----思想 三.学习高中数学的技巧、策略----方法
一.兴趣与抗挫能力----心态
数学可以锻炼一个人的思维，让一个人在生活 中遇到复杂问题，找到最有效率的方法予以解决！
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中国古代数学 ——中华民族的智慧精粹
1．中国古代数学概况
2．《九章算术》
3．《几何原本》与《九章算术》比较
1．中国古代数学概况
注重实际应用
从解决实际问题中发明了各种算法 数学精英：刘徽、祖冲之、杨辉 等
2．《九章算术》（1）
流传至今的最早著作
采取问题集的形式：提出问题 具体算法 一类问题的普遍方法
《九章算术》共收录246个问题 ，包括 算术、代数和几何的许多算法
2．《九章算术》（2）
第一章 “方田”：面积和分数计算； 第二章 “粟米”：比例问题； 第三章 “衰分”：比例分配； 第四章 “少广”：开方问题； 第五章 “商功”：几何体体积的计算； 第六章 “均输”：处理输送和征税问题； 第七章“盈不足”：商业中的盈亏和比例； 第八章 “方程”：多元一次方程组的解法； 第九章 “勾股”：勾股定理的应用。
教学安排
３．网上答疑（一小时，4月24日） ４．小组活动（4月17日） ５．E-mail：
课程综述
数学思想与方法:是研究数学思想方法及 其教学的一门课程。 小学教育专业必修 课。
本课程的目标： 1）了解数学思想的发展脉络 2）灵活掌握各种数学方法 3）体会这门课程对小学数学教育的意义
课程综述
２．毕达哥拉斯学派（4）
毕达哥拉斯学派将抽象的数与 形结合起来，使数学逐渐成为一门 独立的学科。他们在数学中引入逻 辑因素，对命题加以证明，是欧几 里得公理化体系的先驱。
３．欧几里得与《几何原本》（1）
欧几里得(Euclid，约公元前330—275)伟 大的数学家、教育家。
欧几里得使几何脱离哲学而独立成为真 正的演绎科学。
希腊人善于通过精细的思考和严密的推 理去认识世界
解决了“为什么要这样做”的问题，
“经验数学”
“理论数学
２．毕达哥拉斯学派（1）
毕达哥拉斯(Phthagoras，公元前580?一 501年？ )
毕达哥拉斯学派
２．毕达哥拉斯学派（2）
毕达哥拉斯发现了勾股定理 （毕达哥拉 斯定理）：
1）它的证明是论证数学的发端； 2）它是历史上第一个把数与形（代数与几何）
本课程的内容：介绍数学思想发展的概 貌、重要的数学方法，最后将数学思想 与方法落实到教学过程中。
本课程的意义： 1）培养数学素养和数学能力 2）指导小学数学教学实践 3）有意识地指导自己的教育行为
学习数学的意义
数学：是研究数量关系与空间形式的一门 学科。
1）数学无处不在 2）数学是自然科学和人文科学的基础 3）数学有利于提高个人能力
３．欧几里得与《几何原本》（2）
《几何原本》（Elements）是世界数学史 上最伟大的著作之一 。
总结前人工作，并作了许多修订和补充
重视数学命题的逻辑证明，力求把数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知 识建立在必然性的理论基础上，追求严密 的公理化体系
３．欧几里得与《几何原本》（3）
公理化体系： 23个定义，5个公设、5个公理 465个定理
《几何原本》仅次于《圣经》，大约成为 西方世界历史中翻版和研究最广的书。 （斯威克 ）
３．欧几里得与《几何原本》（4）
《几何原本》的主要贡献在于：
1）成功地将零散的数学理论编辑为一个从 基本假定到最复杂结论的整体结构； 2）对命题作了公理化演绎。从定义、公理、 公设出发建立了几何学的逻辑体系； 3）为人们提供了使知识条理化和严密化的 强有力的手段，成为训练逻辑推理的最有 力的教育手段。
３．欧几里得与《几何原本》（5）
《几何原本》的不足： 1）定义并不严格 2）公理并不总是自明的：如第五公设
３．欧几里得与《几何原本》（6）
第五公设的等价公设：过已知直线外一点 能且只能作一条直线与已知直线平行
高斯 、罗巴切夫斯基 、波约 ——创立非 欧几何
这场几何学的革命冲破了欧氏几何传统的 束缚，从此几何学呈现出更加精彩纷呈的 局面
把科学的理论研究和实际应用相结合
４．阿基米德（2）
第一个提出了圆周长、圆面积和扇形面积 的准确公式
得出圆周率的近似值3．14（阿基米德值）
微积分的鼻祖：利用穷竭法和微分三角形
古希腊数学的伟大成就
1）使数学成为一门抽象性科学 2）建立了演绎证明 3）创立几何学、三角学，奠定数论基础 4）萌芽了一些高等数学 5）发现定理及证明
数学思想与方法
年级专业：03秋 小学教育本 任课教师：陈明晖
教学安排
1．教材:《数学思想方法》
2．共五次课（单周周日13:00-18:00）
1）第一、二章 数学史
2）第三至五章
数学发展趋势及抽象与概括
3）第六、七章 猜想与反驳；演绎与化归
4）第八至十章 算法、建模及其他方法
5）第十一至十三章 数学思想方法教学及案例
学习数学史的意义
数学史：研究数学发展历史的学科。
主要研究数学分支的原始创新、重要概念 和思想的产生、发展和完善的历史过程， 以及主要代表人物的思想方法和治学做人。
“若想预见数学的将来，正确的方法是研 究它的历史和现状”（庞加莱）
第一章 数学思想方法的两个源头
1．希腊的《几何原本》：古希腊数学概况； 《几何原本》的形成、基本内容、特点 和意义。
联系起来的定理； 3）它导致了无理数的发现，由此引发了第一次
数学危机； 4）它是欧氏（欧几里得）几何的基础定理。
２．毕达哥拉斯学派（3）
“万物皆数” ——毕派的信念
第一次数学危机——不可公度量：
1）几何量不能完全由整数及其比表示，几何学开始 在希腊数学中占有特殊地位
2）直觉和经验不一定靠得住，推理证明才可靠。从 此,希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎 推理，建立起几何学体系。
2．中国的《九章算术》： 中国古代数学 概况；《九章算术》的形成、基本内容、 特点和意义。
古希腊数学 ——现代理论数学的摇篮
１．古希腊概况 ２．毕达哥拉斯学派 ３．欧几里得与《几何原本》 ４．阿基米德
１．古希腊概况
１．古希腊概况
希腊的数学内容包括算术（含代数）、 几何学和三角形。“算术、“几何”、 “三角学”名称均来自希腊
３．欧几里得与《几何原本》（7）
欧几里得有史以来第一次总结了以往希 腊人的数学知识，构成一个标准化的演 绎体系。
这对数学乃至哲学、自然科学的影响一 直延续到19世纪。
欧几里得结束了开创初等几何学和使几 何学成为逻辑体系的时代。
４．阿基米德（1）
阿基米德（Archimedes，公元前287—212）