07应力和应变分析 强度理论
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材料力学应力和应变分析强度理论
§7–5 广义虎克定律
y
一、单拉下旳应力--应变关系
x
x
E
y
E
x
ij 0 (i,j x,y,z)
二、纯剪旳应力--应变关系
z
E
x
z
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
z
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下旳应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
i j
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 xy
y
1
25 3 y 45MPa
° 5
0
Ox
6095MPa 6025 3MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
y
2
sin 2
xy cos 2
25 3 x 45 sin 120o 25 3 cos120o
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 M z 0
xy x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下图中旳A、B、C点旳已知单元体。
F
A
y
F x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
F
Mex
yx
C
xy
FP
07 应力和应变分析 强度理论
σx
n
τxy
σy
σx σ x
α
τα
σα
n
τxy
τ yx
σy
t
∑F =0
n
∑F =0
t
二向应力状态分析——解析法 §7.3 二向应力状态分析 解析法
列平衡方程
∑F =0
n
σx
α
τα
σα
n
τxy
σ α dA + τ xy (dA cos α ) sin α − σ x (dA cos α ) cos α
脆性材料扭转时为什么沿45 螺旋面断开 脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？ 45 螺旋面断开？
小实验： 小实验：扭断粉笔 归根结底为应力状态
§7.1 应力状态概述
提到“应力” 必须指明作用在哪一点，哪个（方向） 提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上 同一截面的情况
My σ= Iz
§7.1 应力状态概述
σz
z
τ zy τ yz
τ zx
x
σx
σ3
σy
τ xz
σ2
τ xyτ yx
y
σ1
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ，
单元体上没有切应力的面称为主平面； 单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力 主平面 称为主应力， 表示， 称为主应力，分别用 σ1,σ2 ,σ3 表示，并且 主应力 该单元体称为主应力单元。 该单元体称为主应力单元。 主应力单元
dA cos α
dA
dA sin α
二向应力状态分析——解析法 §7.3 二向应力状态分析 解析法
1 cos2 α = (1+ cos 2α) 2 1 sin2 α = (1−cos 2α) 2
第七章 应力和应变分析、强度理论(3)
D
所以：OF s E D
24
第7章:应力和应变分析、强度理论
所以：
OF s
D ED
FE CEsin(20 2) CEsin 20 cos2 CEcos20 sin 2
CDsin 20 DA t xy 所以： FE t
y )2
4t
2 xy
(主平面定义)
tan
2 0
2t xy sx sy
9
第7章:应力和应变分析、强度理论
例 2 (书例7.5)
已知: A点应力
s = -70MPa, t = 50MPa。
求：A点主应力和
主平面，及其它点
的应力状态。
解：u A点单元体
u 取x轴向上为正
s x 0, s y 70 MPa,
21
坐标。
s s 1
1 90
1 2
(s
x
s
y
)
1 2
(s max
s min )
s
32
第7章:应力和应变分析、强度理论
33
4.极值正应力方向：
tan 20
s
2t xy x s
y
s s90 sx sy
y
sy tyx
sx txy x
t max t min
s
x
s
2
y
2
t
2 xy
7.极值剪应力方向：
tan
21
s
x s 2t xy
y
材料力学第07章应力状态与应变状态分析
以上由单元体公式
应力圆（原变换）
下面寻求： 由应力圆
单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价
换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
为什么说有这种对应关系？
DE R sin[180o ( 2 20 )] R sin( 2 20 )
( R cos 20 ) sin 2 ( R cos 20 )cos 2
2
cos2
xy
sin 2
同理：
x
y
2
sin 2
xy
cos2
n
Ox
图2
二、极值应力
令:d
d
0
x
y
sin202 xycos200
由此得两个驻点：
01、（
01
2
）和两个极值：
tg20
2 xy x
y
y
mm
ax in
x
y ±（x
2
y
2
）2
2 xy
0 0极值正应力就是主应力 ！
y
O
x
七、主单元体、主平面、主应力：
y
y
主单元体(Principal bidy)：
x
各侧面上剪应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
A
材料力学刘鸿文第六版最新课件第七章 应力和应变分析 强度理论
不相同，此即应力的点的概念。
5
7-1 应力状态的概述
直杆拉伸斜截面上的应力
k
F
{ F
p cos cos2
k
F
k p
k
p sin cos sin sin 2
2
直杆拉伸应力分析结果表明：即 使同一点不同方向面上的应力也是各
不相同的，此即应力的面的概念。
6
7-1 应力状态的概述
点的应力状态：
虚线：主压应力迹线 实线：主拉应力迹线
思考：在钢筋混泥土梁中，钢筋怎么放置最佳。 30
内容小结：
（1）根据已知点的应力状态求任意截面的应力。 （2）根据已知点的应力状态求主应力、主平面。 （3）结合前五章内容，掌握梁在拉、压、剪、扭、弯 等状态下，求某点的应力，并计算主应力和主平面。
31
第七章 应力和应变分析
58.3MPa 22
7-3 二向应力状态分析-解析法
（2）主应力、主平面
y xy
max
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
68.3MPa
x
min
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
23
7-3 二向应力状态分析-解析法
y
主平面的方位：
2
2sin cos sin2
并注意到 yx xy （切应力互等）
化简得出：
1 2
( x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2
5
7-1 应力状态的概述
直杆拉伸斜截面上的应力
k
F
{ F
p cos cos2
k
F
k p
k
p sin cos sin sin 2
2
直杆拉伸应力分析结果表明：即 使同一点不同方向面上的应力也是各
不相同的，此即应力的面的概念。
6
7-1 应力状态的概述
点的应力状态：
虚线：主压应力迹线 实线：主拉应力迹线
思考：在钢筋混泥土梁中，钢筋怎么放置最佳。 30
内容小结：
（1）根据已知点的应力状态求任意截面的应力。 （2）根据已知点的应力状态求主应力、主平面。 （3）结合前五章内容，掌握梁在拉、压、剪、扭、弯 等状态下，求某点的应力，并计算主应力和主平面。
31
第七章 应力和应变分析
58.3MPa 22
7-3 二向应力状态分析-解析法
（2）主应力、主平面
y xy
max
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
68.3MPa
x
min
x
y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
23
7-3 二向应力状态分析-解析法
y
主平面的方位：
2
2sin cos sin2
并注意到 yx xy （切应力互等）
化简得出：
1 2
( x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2
工程力学07第七章 应力应变分析 强度理论-修改.
§7-2 平面应力状态分析-解析法
e
x
xy
α
n
α
α
α
ayx
f
y
t
e
dA
dAcos α
a dAsinf
3.任意斜截面上的应力
设斜截面的面积为dA , a-e的面积为dAcos, a-f 的面积为 dAsin
对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得
Fn 0 dA ( xydAcos )sin ( xdAcos )cos
应力
哪一个面上？ 哪一点？
哪一点？ 哪个方向面？
4.一点的应力状态
过一点不同方向面上应力的情况,称之为这一点的应力状 态,亦指该点的应力全貌.
§7-1 应力状态概述
二、应力状态的研究方法
1. 单元体 2. 单元体特征
（1）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布
（2）任意一对平行平面上的应力相等 2 3
2
xy cos 2 ]
0
tan20
2 xy x
y
0 0
90
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力
所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面.
§7-2 平面应力状态分析-解析法
2.最大正应力
将 0和 0+90°代入公式
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
得到max和min (主应力）
低碳钢 （low- carbon steel）
铸铁 （cast-iron）
为什么脆性材料扭转时沿45°螺旋面断开？
§7-1 应力状态概述
3.重要结论
（1）拉中有剪,剪中有拉;
材料力学第七章知识点总结
研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化
规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建 立适当的强度条件。
材料力学
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态，可对一个 包围该点的微小正六面体——单 元体进行分析
在单元体各面上标上应力 各边边长 dx , dy , dz
——应力单元体
三、几个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面
上的正应力和切应力；
y
σy
n
τ
H (σα ,τα )
τ yxHτ xy来自αxσx
(σy ,Dτyx)
2α A (σx ,τxy)
c
σ
σx +σ y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
α =α0
=
−2⎢⎡σ x
⎣
−σ y
2
sin 2α0
+τ xy
cos
2α
0
⎤ ⎥
⎦
=0
=
−2τ α 0
τα0 = 0
tg
2α 0
=
− 2τ xy σx −σ y
可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为
最大正应力和最小正应力所在平面。
主平面的方位
(α0 ; α0′ = α0 ± 900 )
主应力的大小
材料力学
四、在应力圆上标出极值应力
τ
τ max
x
R
O σ min
2α12α0A(σx ,τxy)
c
σ
σ
max
(σy ,τyx) D
规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建 立适当的强度条件。
材料力学
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态，可对一个 包围该点的微小正六面体——单 元体进行分析
在单元体各面上标上应力 各边边长 dx , dy , dz
——应力单元体
三、几个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面
上的正应力和切应力；
y
σy
n
τ
H (σα ,τα )
τ yxHτ xy来自αxσx
(σy ,Dτyx)
2α A (σx ,τxy)
c
σ
σx +σ y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
α =α0
=
−2⎢⎡σ x
⎣
−σ y
2
sin 2α0
+τ xy
cos
2α
0
⎤ ⎥
⎦
=0
=
−2τ α 0
τα0 = 0
tg
2α 0
=
− 2τ xy σx −σ y
可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为
最大正应力和最小正应力所在平面。
主平面的方位
(α0 ; α0′ = α0 ± 900 )
主应力的大小
材料力学
四、在应力圆上标出极值应力
τ
τ max
x
R
O σ min
2α12α0A(σx ,τxy)
c
σ
σ
max
(σy ,τyx) D
第七章 应力和应变分析、强度理论(2)
( x d Acos ) sin
( yx d Asin ) sin
( y d Asin ) cos 0
13
第7章:应力和应变分析、强度理论
Ft 0
d A ( xy d A cos ) cos
( x d Acos ) sin ( yx d Asin ) sin
y
y yx
x
xy
x
y
yx y
x
x
xy
9
第7章:应力和应变分析、强度理论
l 二向应力状态的表示
u 切应力的下标 x y
作用面的法线 切应力的方向
u 正负号规定 F 正应力
x
x x
y
yx y
x
x
xy
x
10
第7章:应力和应变分析、强度理论
F 正应力 拉为正，压为负。
即： 主剪平面上的正应力为平均正应力。
l 主平面与主剪平面的关系
由
0
和 1
21
的公式可得：
2 0
π 2
tan
20 1
tan 21 0
π
4
1
即：主平面与主剪平面的夹角为45º。
22
第7章:应力和应变分析、强度理论
23
tan
21
x 2 xy
y
若 1 满足上式，则 1 +90º也满足上式，代入
切应力公式可得：
max min
x
2
y
2
2 xy
1 2
材料力学07应力与应变分析 强度理论PPT文档共58页
பைடு நூலகம் 16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
材料力学07应力与应变分析 强度理论
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
工程力学(材料力学部分第七章)
4 主应力及应力状态的分类
主应力和主平面
切应力全为零时的正应力称为主应力；
主应力所在的平面称为主平面；
主平面的外法线方向称为主方向。
主应力用1 , 2 , 3 表示 (1 2 3 ) 。
应力状态分类
单向应力状态
11
应力状态分类
单向应力状态 二向应力状态(平面应力状态)
三向应力状态(空间应力状态)
D点
由 y 40, yx 60
D'点
画出应力圆
52
圆心坐标
OC x y 80 (40)
2
2
20
半径
R
x
2
y
2
2 xy
80 (40) 2
(60)2
84.85 85
2
53
圆心坐标 OC 20
半径
R 85
1 OA1 OC R
E
105 MPa
3 OC R
65 MPa
D (x ,xy)
x y
2
R 1 2
x y
2
4
2 xy
38
3 应力圆上的点与单元体面上的应力的对应关系 (1) 点面对应
应力圆上某一点 的坐标值对应着 单元体某一方向面上的正应力和切应力。
39
(1) 点面对应
应力圆上某一点的坐 标 值对应着单元体某 一方向面上的正应力 和切应力。
D点对应的面与E点 对应的面的关系
主应力。
从半径CD转到CA1 的角度即为从x轴转
到主平面的角度的
两倍。
44
主应力 即为A1, B1处的正应力。
max min
x
y
2
x
2
应力和应变分析和强度理论
机械设计
01
02
03
零件强度校核
通过应力和应变分析，可 以校核机械零件的强度， 确保零件在正常工作载荷 下不会发生破坏。
优化装配设计
通过应力和应变分析，可 以优化机械装配设计，减 少装配误差和应力集中， 提高装配质量和可靠性。
振动和噪声控制
通过应力和应变分析，可 以预测和控制机械系统的 振动和噪声，提高机械系 统的性能和舒适性。
总结词
最大拉应力理论
详细描述
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素，当最大 拉应力达到材料的极限抗拉强度时，材料发生断裂。
第二强度理论
总结词
最大伸长应变理论
详细描述
该理论认为最大伸长应变是导致材料 破坏的主要因素，当最大伸长应变达 到材料的极限抗拉应变时，材料发生 断裂。
第三强度理论
总结词
03
应力和应变的应用
结构分析
结构稳定性
01
通过应力和应变分析，可以评估结构的稳定性，预测结构在不
同载荷下的变形和破坏模式。
结构优化设计
02
通过对应力和应变的精确计算，可以优化结构设计，降低结构
重量，提高结构效率。
结构疲劳寿命预测
03
通过应力和应变分析，可以预测结构的疲劳寿命，为结构的维
护和更换提供依据。
能量法
总结词
能量法是一种基于能量守恒和变分原理 的数值分析方法，通过将问题转化为能 量泛函的极值问题，并采用变分法或有 限元法进行求解。
VS
详细描述
在应力和应变分析中，能量法可以用于求 解各种力学问题，如弹性力学、塑性力学 等。通过构造合适的能量泛函和约束条件 ，能量法能够提供精确和高效的数值解。 同时，能量法还可以用于优化设计、稳定 性分析和控制等领域。
材料力学第七章应力应变分析
x
y
2
x
2
y
cos 2
xy sin 2
x
y
2
sin 2
xy cos 2
1、最大正应力的方位
令
d d
2[
x
y sin 2
2
xy cos 2 ] 0
tg 2 0
2 xy x
y
0 0
90
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应 力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.
的方位.
m
m a
A
l
解： 把从A点处截取的单元体放大如图
x 70, y 0, xy 50
A
tan 20
2 xy x y
2 50 1.429
1
3
(70) 0
0
A
x
0
27.5 62.5
3
1
因为 x < y ，所以 0= 27.5° 与 min 对应
max min
x
2
y
(
x
2
y )2
三、应力状态的分类
1、空间应力状态
三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2、平面应力状态
三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3、单向应力状态
三个主应力 1 、2 、3 中只有一个不等于零
2 3
2
1
1
1
1
1
3 2
2
1
例题 1 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.
F
5
S平面
4
3
l/2
2
l/2 1
任意一对平行平面上的应力相等
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y
y
FS
1 2 z 3 x 4 z 2
4
3
MZ
T
x
1
z
3 2
Mz T 1 x1 Wt Wz
T 4 FS 2 Wt 3 A
x3
T Mz 3 Wt Wz
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题3 分析薄壁圆筒受内压时的应力状态
m n
z
y
p
D
m
l
n
(1)沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F
F p
薄壁圆筒的横截面面积
4
A D
F p 4 pD A D 4
D 2
n
D
D 2
′
p
(Analysis of stress-state and strain-state)
(2)假想用一直径平面将圆筒截分为二，并取下半环为研究对象
单元体取法的示例1—轴向拉伸
P
A
P
A
横截面
(Analysis of stress-state and strain-state)
单元体取法的示例2—圆轴扭转 B A
A
B
横截面
横截面 外轮廓线
应力状态的一般情况 (Analysis of stress-state and strain-state)
"
p
直径平面
FN
O
FN
d
y
D Fy 0 pl 2 sin d plD 0 pD 2 l plD 0 2
(Analysis of stress-state and strain-state)
§7-2 平面应力状态分析-解析法 (Analysis of plane stress-state)
Mechanics of Materials
Chapter7 Analysis of Stress and Strain Failure Criteria
主讲：罗松南
(Analysis of stress-state and strain-state)
第七章 应力和应变分析 强度理论 Chapter7 Analysis of Stress and Strain Strength Theories
P
P
P
P
P A
(Analysis of stress-state and strain-state)
3、重要结论（Important conclusions) (1) 拉中有剪，剪中有拉; (2) 不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力; (3) 同一面上不同点的应力各不相同; (4) 同一点不同方向面上的应力也是各不相同
(Analysis of stress-state and strain-state)
4、主平面(Principal plane)
切应力为零的截面 5、主应力(Principal stress)
主面上的正应力
说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面均为主平面, 三个互相垂 直的主应力分别记为 1 ,2 , 3 且规定按代数 值大小的顺序来排列, 即
x y
x y
cos 2 xy sin 2
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
(Analysis of stress-state and strain-state)
二、最大正应力及方位 (Maximum normal stress and it’s direction)
5
S平面
5 4
4
3 2 1
3 2
1
2 x1
1
3
x1
x2
2
x2
2
3
3
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 2 画出如图所示梁 危险截面危险点的应力状态 单元体
1 2 z y S 4 l
F
3
x
FS
2 4
a
z
MZ
T
3
(Analysis of stress-state and strain-state)
Fn 0
dA ( xydAcos ) sin ( x dA cos )cos ( yx dA sin ) cos
( ydA sin ) sin 0
(Analysis of stress-state and strain-state)
(Analysis of stress-state and strain-state)
§7-1 应力状态概述 (Introduction of stress-state)
一、应力状态的概念 (Concepts of stresses-state)
1、低碳钢和铸铁的拉伸实验 (A tensile test of low-carbon steel and cast iron) 2、低碳钢和铸铁的扭转实验 (A torsional test of low-carbon steel and cast iron)
应 力
哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？ 4、一点的应力状态（state of stresses of a given point) 过一点不同方向面上应力的情况，称之为这一点的应 力状态（state of stresses of a given point)，亦指该点的应力 全貌.
(Analysis of stress-state and strain-state)
1、截面法 (Section method) 假想地沿斜截面 ef 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象
y n
e
yx x
f
e
x
x
x
xy
α
α
n α
xy
α
f
a
a
yx
y
(Analysis of stress-state and strain-state)
y
n
e
yx
§7-1 应力状态概述(Concepts of stress-state) §7-2 平面应力状态分析-解析法(Analysis of plane stress-state) §7-3 平面应力状态分析-图解法(Analysis of plane stress-state) §7-4 三向应力状态分析 (Analysis of three-dimensional stress-state) §7-5 平面应变状态分析 (Analysis of plane strain-state) §7-6 广义虎克定律(Generalized Hook’s law) §7-7 复杂应力状态的变形比能(Strain-energy density in general stress-state ) §7-8 强度理论 ( Failure criteria)
e
x
xy
α
α
n α
e
α
f
dAcos α
a
dA
a
yx
y
dAsin
f
3、任意斜截面上的应力(The stress acting on any inclined plane)
设斜截面的面积为 dA , ae的面积为 dAcos ,af 的面积为 dAsin
对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应 力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.
y
y yx
y
xy
yx x
x
x
xy
z
平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元 体上有x ,xy 和 y , yx
(Analysis of stress-state and strain-state)
一、斜截面上的应力(Stresses on an oblique section)
2
3
2
1
1
1
1
1 1
3 2
2
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 1 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.
F
5 S平面
4
3
l/2 l/2
2 1
(Analysis of stress-state and strain-state)
(Analysis of stress-state and strain-state)
低碳钢和铸铁的拉铁 (cast-iron)
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
(Analysis of stress-state and strain-state)
x
f
x
e
x
x
xy
α
α
n α
xy
a
α
f
a
yx
y
2、符号的确定 (Sign convention)
(1) 由x轴转到外法线n，逆时针转向时则为正
（2)正应力仍规定拉应力为正
（3)切应力对单元体内任一点取矩，顺时针转为正
(Analysis of stress-state and strain-state)
1、最大正应力的方位(The direction of maximum normal stress )
2 2 x y sin 2 xy cos 2 2