07应力和应变分析 强度理论

1、最大正应力的方位(The direction of maximum normal stress )
2 2 x y sin 2 xy cos 2 2

x y

x y
cos 2 xy sin 2
d x y 令 2[ sin 2 xy cos 2 ] 0 d 2 2 xy 0 tg 2 0 90 0 x y
5
S平面
5 4
4
3 2 1
3 2
1
2 x1
1
3
x1
x2
2
x2
2
3
3
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 2 画出如图所示梁 危险截面危险点的应力状态 单元体
1 2 z y S 4 l
F
3
x
FS
2 4
a
z
MZ
T
3
(Analysis of stress-state and strain-state)
(Analysis of stress-state and strain-state)
4、主平面(Principal plane)
切应力为零的截面 5、主应力(Principal stress)
主面上的正应力
说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面均为主平面, 三个互相垂 直的主应力分别记为 1 ,2 , 3 且规定按代数 值大小的顺序来排列, 即
P
P
P
P
源自文库


P A
(Analysis of stress-state and strain-state)
3、重要结论（Important conclusions) (1) 拉中有剪，剪中有拉; (2) 不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力; (3) 同一面上不同点的应力各不相同; (4) 同一点不同方向面上的应力也是各不相同
(Analysis of stress-state and strain-state)
2、单元体特征 (Element characteristic) 单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布 任意一对平行平面上的应力相等
2
3、主单元体(Principal body)
3
1
1 3 2
各侧面上切应力均为零的单元体
Mechanics of Materials
Chapter7 Analysis of Stress and Strain Failure Criteria
主讲：罗松南
(Analysis of stress-state and strain-state)
第七章 应力和应变分析 强度理论 Chapter7 Analysis of Stress and Strain Strength Theories
低碳钢和铸铁的扭转
低碳钢 (low- carbon steel)
铸铁 (cast-iron)
为什么脆性材料扭转时沿45º 螺旋面断开？
(Analysis of stress-state and strain-state)
构件上不同的点有不同的应力 —— 应力为位置的函数。 构件上同一点不同的方向面上应力不尽相同 应力为方 向面的函数。
(Analysis of stress-state and strain-state)
低碳钢和铸铁的拉伸
低碳钢 (low- carbon steel)
铸铁 (cast-iron)
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
(Analysis of stress-state and strain-state)

x y

x y
cos 2 xy sin 2
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
(Analysis of stress-state and strain-state)
二、最大正应力及方位 (Maximum normal stress and it’s direction)
Ft 0
dA ( xydAcos ) cos ( x dA cos )sin ( yx dA sin ) sin
( ydA sin ) cos 0
化简以上两个平衡方程最后得
2 2 x y sin 2 xy cos 2 2 90 x y 不难看出
1、截面法 (Section method) 假想地沿斜截面 ef 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象
y n
e
yx x
f
e

x
x
x
xy
α
α
n α
xy
α
f
a
a
yx
y
(Analysis of stress-state and strain-state)
y
n
e
yx
e
x
xy
α
α
n α
e
α
f
dAcos α
a
dA
a
yx
y
dAsin
f
3、任意斜截面上的应力(The stress acting on any inclined plane)
设斜截面的面积为 dA , ae的面积为 dAcos ,af 的面积为 dAsin
对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得
二、应力状态的研究方法 (The method for investigating the state of stress)
1、单元体（Element body）
单元体法：围绕一点取微小的正六面体 单元体
z
dz
y dy
dx
x
x面、y面、z面
(Analysis of stress-state and strain-state)
单元体取法的示例1—轴向拉伸
P
A
P


A
横截面


(Analysis of stress-state and strain-state)
单元体取法的示例2—圆轴扭转 B A


A
B



横截面
横截面 外轮廓线
应力状态的一般情况 (Analysis of stress-state and strain-state)
y
y
yz xy zy zx xz
yx
9个应力分量：
x xy xz yx y yz
x
z
x
zx zy z
z
单元体6个表平面共6×3（每个表平面3个应力分量） ＝18个应力分量，在相互平行的两个表平面上应力分 量两两相等→18÷2＝9个应力分量；由剪应力互等定 理可知， yz zy , zx xz , xy yx，因此，9个应 力分量中只有六个独立的应力分量。
x
f

x
e
x
x
xy
α
α
n α
xy
a
α
f
a
yx
y
2、符号的确定 (Sign convention)
(1) 由x轴转到外法线n，逆时针转向时则为正
（2)正应力仍规定拉应力为正
（3)切应力对单元体内任一点取矩，顺时针转为正
(Analysis of stress-state and strain-state)
1 2 3
(Analysis of stress-state and strain-state)
三、应力状态的分类(The classification of stresses-state)
1、空间应力状态(triaxial stress-state or three-dimensional stress-state ) 三个主应力1 、2 、3 均不等于零 2、平面应力状态(biaxial stress-state or plane stress-state) 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零 3、单向应力状态(uniaxial stress-state or simple stress-state ) 三个主应力 1 、2 、3 中只有一个不等于零
2
3
2
1
1
1
1
1 1
3 2
2
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 1 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.
F
5 S平面
4
3
l/2 l/2
2 1
(Analysis of stress-state and strain-state)
应 力
哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？ 4、一点的应力状态（state of stresses of a given point) 过一点不同方向面上应力的情况，称之为这一点的应 力状态（state of stresses of a given point)，亦指该点的应力 全貌.
(Analysis of stress-state and strain-state)
y
y yx
y
xy
yx x
x
x
xy
z
平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元 体上有x ,xy 和 y , yx
(Analysis of stress-state and strain-state)
一、斜截面上的应力(Stresses on an oblique section)
y
y
FS
1 2 z 3 x 4 z 2
4
3
MZ
T
x
1
z
3 2
Mz T 1 x1 Wt Wz
T 4 FS 2 Wt 3 A
x3
T Mz 3 Wt Wz
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题3 分析薄壁圆筒受内压时的应力状态
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应 力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.
Fn 0
dA ( xydAcos ) sin ( x dA cos )cos ( yx dA sin ) cos
( ydA sin ) sin 0
(Analysis of stress-state and strain-state)
"
p
直径平面
FN
O
FN
d
y
D Fy 0 pl 2 sin d plD 0 pD 2 l plD 0 2

(Analysis of stress-state and strain-state)
§7-2 平面应力状态分析-解析法 (Analysis of plane stress-state)
§7-1 应力状态概述(Concepts of stress-state) §7-2 平面应力状态分析-解析法(Analysis of plane stress-state) §7-3 平面应力状态分析-图解法(Analysis of plane stress-state) §7-4 三向应力状态分析 (Analysis of three-dimensional stress-state) §7-5 平面应变状态分析 (Analysis of plane strain-state) §7-6 广义虎克定律(Generalized Hook’s law) §7-7 复杂应力状态的变形比能(Strain-energy density in general stress-state ) §7-8 强度理论 ( Failure criteria)
m n

z
y
p
D
m
l
n
(1)沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F
F p
薄壁圆筒的横截面面积
4
A D
F p 4 pD A D 4
D 2
n
D
D 2
′
p
(Analysis of stress-state and strain-state)
(2)假想用一直径平面将圆筒截分为二，并取下半环为研究对象
(Analysis of stress-state and strain-state)
§7-1 应力状态概述 (Introduction of stress-state)
一、应力状态的概念 (Concepts of stresses-state)
1、低碳钢和铸铁的拉伸实验 (A tensile test of low-carbon steel and cast iron) 2、低碳钢和铸铁的扭转实验 (A torsional test of low-carbon steel and cast iron)