布里渊区
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a
jk
,
b2
2
a
k＋i
,
b3
2
a
i j
K n n1b1 n2b2 n3b3
2 a
n2 n3 i n1 n3 j n1 n2 k
20
4
a
b1
b2
b3
21
3.离原点最近的倒格点 体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的倒格点有十二个。在直角坐标系中的坐标分别为:
11
6.二维正方格子的能带交叠 第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k'方向上能量最高点C。 C点的能量比第二布里渊区B点高。
12
二维(包括三维)和一维情形有一个重要的区别—不同能带在能量上不一定 分隔开而可以发生能带之间的交叠。第一布里渊区和第二布里渊区能带 的重叠。
13
7.二维斜格子的第一布里渊区
第一布里渊区—倒格子空间中的WS原胞。
1
2.布里渊区的特点 (1)各布里渊区的体积相等，都等于倒格子原胞的体积。
＝b1 b2 b3
2 3
(2)波矢k的代表点是均匀分布的，每个代表点的体积为：
1 N1
b1
2 N2
b2
3 N3
b3
14
8.二维六角格子其它布里渊区的形成
15
9.二维六角格子其它布里渊区的形状 每个布里渊区经过适当的 平移之后和第一布里渊区 重合
16
10.二维格子布里渊区的特点 (1)尽管布里渊区在图中看起来好像被分割为不相连的若干小区, 但是,实际上能量 是连续的。属于一个布里渊区的能级构成一个能带。不同的布里渊区对应不同的 能带。 (2)每个布里渊区的形状尽管各异，但是面积都相等, 等于倒格子原胞的面积。 (3)计入自旋，每个能带包含2N个量子态。 (4)每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合。
垂直平分线和第一布里渊区边界所围成第二布里渊区大小
( 2 )2
a 7
4.第三布里渊区 由4个倒格点
2b1, 2b2 2b1, 2b2
垂直平分线和第二布里渊区边界边界所围成第三布里渊区大小
( 2 )2
a
8
第一、第二和第三布里渊区
9
5.正方格子其它布里渊区的形状
10
每个布里渊区经过适当的平移之后和第一 布里渊区重合
2 3
N
(3)第一布里渊区又称为简约布里渊区。简约布里渊区所包含的波矢的数目(即状态数)为晶体中的原胞数N。
2 3 2 3＝N
N
2
二、二维正方格子的布里渊区分布
正
格
子
基
矢:
a1
ai , a2
aj ,
a3
ak;
倒格子基矢: b1
2
a
i , b2
5
2.第一布里渊区 倒格子空间离原点最近的四个倒格点
垂直平分线方程
kx a
ky
a
第一布里渊区大小
( 2 )2
a
b1, b1, b2 , b2
6
3.第二布里渊区 由4个倒格点
(b1 b2 ) (b1 b2 ) (b1 b2 ) (b1 b2 )
17
三、简单立方格子的布里渊区
正格子基矢
a1 ai , a2 aj , a3 ak
倒格子基矢
b1
2
a
i,
b2
2
a
j,
b3
2
a
k
简单立方格子的倒格子也是简立方，其第一布里渊区是边长为2/a的立方体。第一布里渊区为原点和6个近邻 格点的垂直平分面围成的立方体。
§6.2 布里渊区 一、布里渊区
1.布里渊区 在倒格子空间以某一倒格点为原点，从原点出发做所有倒格矢的中垂面, 这
些平面把倒格子空间划分成许多包围原点的多面体,离原点最近的多面体称为第 一布里渊区。离原点次近的多面体与第一布里渊区之间的区域称为第二布里渊 区……。或者从原点出发不跨过任何垂直平分面的点的集合称为第一布里渊区； 从原点出发只跨过一个垂直平分面的所有点的集合称为第二布里渊区……从原点 出发跨过(n-1)个垂直平分面的所有点的集合称为第n布里渊区。
j
a
b1 b2
2
i
a
kx
4
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
： 表 示 第 一 布 里 渊 区简 约 布 里 渊 区的 中 心 ；
： 表 示 布 里 渊 区 边 界 线的 中 点 ； ： 表 示 布 里 渊 区 角 顶 点； ： 表 示 布 里 渊 区 中 心到 边 界 线 的 中 点的 连 线 ； ： 表 示 布 里 渊 区 中 心到 角 顶 点 的 连 线 。
2
a
j,
b3
2
a
k;
倒格矢 : K h n1b1 n2b2
1.布里渊区的画法 (1)利用倒格矢画出倒格子空间中倒格点的分布图; (2)分别找出近邻的倒格点、次近邻倒格点……做所有倒格矢的垂直平分面; (3)确定相应的布里渊区。
3Hale Waihona Puke -2 ia
ky
2
j
a
O
- 2
Ν
2 1 , 1 ,0
a 2 225
五、面心立方格子的布里渊区
1.面心立方正格子基矢
a1
a 2
(
j
k);
a2
a 2
(k
i);
a3
a (i 2
2 1,1,0
a
2 1,0,1
a
2 0,1,1
a
2 1,1 ,0
a
2 1,0,1
a
2 0,1 ,1
a
倒格矢的长度(基矢的长度)为:
2 1 ,1,0
a
2 1 ,0,1
a
2 0,1,1
a
2 1 ,1 ,0
a
2 1 ,0,1
a
2 0,1 ,1
a
2 2
Kn a
22
4.体心立方第一布里渊区 离原点最近的十二个倒格点的中垂面围成一个菱形十二面体。其体积等于倒格子原胞的体积。
23
24
5.对称点和对称轴
k
Δ
H
j
i
波 矢k
Γ
2 0,0,0
a
Η
2 1,0,0
a
Ρ
2 1 , 1 , 1
a 2 2 2
b1 , b2 , b3
18
第一布里渊区
19
四、体心立方格子的布里渊区
1.体心立方正格子基矢
a1
a (i 2
j k )；a2
a (i 2
j k )；a3
a (i 2
j k )；
2.体心立方对应的倒格子基矢和倒格矢
b1
2
jk
,
b2
2
a
k＋i
,
b3
2
a
i j
K n n1b1 n2b2 n3b3
2 a
n2 n3 i n1 n3 j n1 n2 k
20
4
a
b1
b2
b3
21
3.离原点最近的倒格点 体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的倒格点有十二个。在直角坐标系中的坐标分别为:
11
6.二维正方格子的能带交叠 第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k'方向上能量最高点C。 C点的能量比第二布里渊区B点高。
12
二维(包括三维)和一维情形有一个重要的区别—不同能带在能量上不一定 分隔开而可以发生能带之间的交叠。第一布里渊区和第二布里渊区能带 的重叠。
13
7.二维斜格子的第一布里渊区
第一布里渊区—倒格子空间中的WS原胞。
1
2.布里渊区的特点 (1)各布里渊区的体积相等，都等于倒格子原胞的体积。
＝b1 b2 b3
2 3
(2)波矢k的代表点是均匀分布的，每个代表点的体积为：
1 N1
b1
2 N2
b2
3 N3
b3
14
8.二维六角格子其它布里渊区的形成
15
9.二维六角格子其它布里渊区的形状 每个布里渊区经过适当的 平移之后和第一布里渊区 重合
16
10.二维格子布里渊区的特点 (1)尽管布里渊区在图中看起来好像被分割为不相连的若干小区, 但是,实际上能量 是连续的。属于一个布里渊区的能级构成一个能带。不同的布里渊区对应不同的 能带。 (2)每个布里渊区的形状尽管各异，但是面积都相等, 等于倒格子原胞的面积。 (3)计入自旋，每个能带包含2N个量子态。 (4)每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合。
垂直平分线和第一布里渊区边界所围成第二布里渊区大小
( 2 )2
a 7
4.第三布里渊区 由4个倒格点
2b1, 2b2 2b1, 2b2
垂直平分线和第二布里渊区边界边界所围成第三布里渊区大小
( 2 )2
a
8
第一、第二和第三布里渊区
9
5.正方格子其它布里渊区的形状
10
每个布里渊区经过适当的平移之后和第一 布里渊区重合
2 3
N
(3)第一布里渊区又称为简约布里渊区。简约布里渊区所包含的波矢的数目(即状态数)为晶体中的原胞数N。
2 3 2 3＝N
N
2
二、二维正方格子的布里渊区分布
正
格
子
基
矢:
a1
ai , a2
aj ,
a3
ak;
倒格子基矢: b1
2
a
i , b2
5
2.第一布里渊区 倒格子空间离原点最近的四个倒格点
垂直平分线方程
kx a
ky
a
第一布里渊区大小
( 2 )2
a
b1, b1, b2 , b2
6
3.第二布里渊区 由4个倒格点
(b1 b2 ) (b1 b2 ) (b1 b2 ) (b1 b2 )
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三、简单立方格子的布里渊区
正格子基矢
a1 ai , a2 aj , a3 ak
倒格子基矢
b1
2
a
i,
b2
2
a
j,
b3
2
a
k
简单立方格子的倒格子也是简立方，其第一布里渊区是边长为2/a的立方体。第一布里渊区为原点和6个近邻 格点的垂直平分面围成的立方体。
§6.2 布里渊区 一、布里渊区
1.布里渊区 在倒格子空间以某一倒格点为原点，从原点出发做所有倒格矢的中垂面, 这
些平面把倒格子空间划分成许多包围原点的多面体,离原点最近的多面体称为第 一布里渊区。离原点次近的多面体与第一布里渊区之间的区域称为第二布里渊 区……。或者从原点出发不跨过任何垂直平分面的点的集合称为第一布里渊区； 从原点出发只跨过一个垂直平分面的所有点的集合称为第二布里渊区……从原点 出发跨过(n-1)个垂直平分面的所有点的集合称为第n布里渊区。
j
a
b1 b2
2
i
a
kx
4
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
： 表 示 第 一 布 里 渊 区简 约 布 里 渊 区的 中 心 ；
： 表 示 布 里 渊 区 边 界 线的 中 点 ； ： 表 示 布 里 渊 区 角 顶 点； ： 表 示 布 里 渊 区 中 心到 边 界 线 的 中 点的 连 线 ； ： 表 示 布 里 渊 区 中 心到 角 顶 点 的 连 线 。
2
a
j,
b3
2
a
k;
倒格矢 : K h n1b1 n2b2
1.布里渊区的画法 (1)利用倒格矢画出倒格子空间中倒格点的分布图; (2)分别找出近邻的倒格点、次近邻倒格点……做所有倒格矢的垂直平分面; (3)确定相应的布里渊区。
3Hale Waihona Puke -2 ia
ky
2
j
a
O
- 2
Ν
2 1 , 1 ,0
a 2 225
五、面心立方格子的布里渊区
1.面心立方正格子基矢
a1
a 2
(
j
k);
a2
a 2
(k
i);
a3
a (i 2
2 1,1,0
a
2 1,0,1
a
2 0,1,1
a
2 1,1 ,0
a
2 1,0,1
a
2 0,1 ,1
a
倒格矢的长度(基矢的长度)为:
2 1 ,1,0
a
2 1 ,0,1
a
2 0,1,1
a
2 1 ,1 ,0
a
2 1 ,0,1
a
2 0,1 ,1
a
2 2
Kn a
22
4.体心立方第一布里渊区 离原点最近的十二个倒格点的中垂面围成一个菱形十二面体。其体积等于倒格子原胞的体积。
23
24
5.对称点和对称轴
k
Δ
H
j
i
波 矢k
Γ
2 0,0,0
a
Η
2 1,0,0
a
Ρ
2 1 , 1 , 1
a 2 2 2
b1 , b2 , b3
18
第一布里渊区
19
四、体心立方格子的布里渊区
1.体心立方正格子基矢
a1
a (i 2
j k )；a2
a (i 2
j k )；a3
a (i 2
j k )；
2.体心立方对应的倒格子基矢和倒格矢
b1
2