二维波动方程的一种高精度紧致差分方法

精确 性 。
关键 词 ：二 维波 动方程 ；高精 度 紧致 差分 格式 ；交替方 向 隐式格式 中图分类号 ：０ ４ ． ２ ２ １８ 文献标 志码 ：Ａ 文章编 号 ：１ ０ — ６ ５ ２ １ ） ６ ２ ｌ —２ ０ １ ３ ９ （ ０ ２ ０ — ｌ ２ ０
ｄｉ１ ． ９ ９ ｊｉ ｎ １０ — ６ ５ ２ １ ． ６ ０ ８ ｏ ：０ ３ ６ ／ ． ｓ ． ０ １ ３ ９ ． ０ ２ ０ ． ２ ｓ
Ｈｉｈ－ｒ ｅ ｏ ａ ｔｄｆｅ ｅ ｃ ｔｏ ｏ ｏｖｎ ｇ ｏ ｄ ｒｃ ｍｐ ｃ ｉ ｒ ｎ ｅ ｍｅｈ ｄ ｆｒｓ ｌｉ ｇ ｆ
ｔ ｉ ｎ ｉ ｎ ｌｗａ ｅ ｅ ｕ ｔｏ ｗｏ ｄ ｍｅ ｓｏ ａ ｖ ｑ ａ ｉ ｎ
Ｒ ｕ — ａ ＥＮ Ｊ ｎｈ ｏ，ＸＩ ｎｒ ｉ Ｅ Ｄａ － ｎ
散格式为
¨
１
＝
（ ，， （ ，７ ｙ）＋ ｙ）
（） ６
基 金 项 目 ： 国家 自然 科 学基 金 资助 项 目（ １０ １６） ６ ０ １５
作者简 介： 任军号（９ ３ ） 男， １６ 一 ， 陕西周至人 ， 教授 ， 博士 ， 主要研究方向为智 能计算 、 城市 系统仿真等（ｅｊｎａ＠ｎ ｐ ．ｄ ．ｎ ； 丹蕊 （９ １ ） ｒｎｕｈ ｏ ｗ ｕｅ ｕ ｅ ） 解 １８ －
ｈ） 。 阶精度的数值 解。孙 志 忠 提 出 了求 解二 维波 动方 程 的 高精度交替方 向隐式 方法 ， 并且是无条件稳定 的。有关这方 面 最新 的一 些 工作 可参 见 文献 ［ ６—８ 。本文 在 此工 作基 础 之 ］
上， 利用 Ｒｃ ａ ｓｎ外推法进 一步 提 高计 算精 度 ， ｉ ｒｏ ｈｄ 最终 可得 到
女 ， 西户 县人 ， 士 ， 陕 博 主要 研 究 方 向为 智 能计 算 ．
第 ６期
任 军 号 ， ： 维波动 方程 的一 种 高精 度 紧致 差分 方法 等 二
・ １ ３・ ２１
２ Ｒｃ ａｄ ｏ ｉｈ ｒｓ ｎ外 推算 法
选取 正整数 和计算 所需到达时刻 ， 令 ｈ＝１Ｍ， 并 ／ Ｎ＝ ｒ 。式 （ ） ５ 的截断误差为
第２ ９卷 第 ６期 ２１ ０ ２年 ６ 月
计 算 机 应 用 研 究
Ａｐ ｌ ａ ｉｎ Ｒｅ ｅ ｒ ｈ ｏ ｏ ｕ ｅ ｓ ｐ ｉ ｔ ｓ ａ ｃ ｆＣ ｍｐ ｔ ｒ ｃ ｏ
Ｖｏ ． ９ ＮＯ． １２ ６
Ｊｎ ２ １ ｕ．０２
二 维 波 动 方 程 的一 种 高 精 度 紧 致 差分 方 法 术
ｉ ∈ａ ， ， ０≤凡≤Ⅳ
为 ｌ ｌ ＝√ 『
（ ｏｅｅｏ ｕ ｍ ｔ ｎ ｏｔｗｓ ｒ ｏ ｔ ｈ ｉ ｌ ｎ ｅｉ ， ｉａ １０ ２， ｈｎ ） Ｃ ｌｇ ｌ ｆＡ ｔ ａｉ ，Ｎ ｒ ｅｔｎＰ ｌ ｅ ｎｃ ｉｒ ｔ Ｘ ’ ｎ７ ０７ Ｃ ｉａ ｏ ｏ ｈ ｅ ｙ ｃ ａ Ｕ ｖ ｓｙ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｔ ｉ ｐ ｐ ｒｇ ｖ ｕ ｅｔｒｓ ｌ ｔ ｎ ｔ ｉｈ ｏ ｄ ｒｃ ｍｐ ｃ ｉ ｅ ｅ ｃ ｔ ｏ ｆｔ ｅｔ ｏ ｄ ｍｅ ｓｏ ａ ｗ ｖ ｑ ａ ｈ ｓ ａ ｅ ａ ｅｏ ｔ ｂ ｔ ｏ ｕｉ ａ ｈ ｇ —ｒ ｅ ｏ ａ ｔｄｆ ｒ ｎ ｅ ｍｅｈ ｄ ｏ ｗ － ｉ ｎ ｉｎ ｌ ａ ｅ ｅ ｕ — ａ ｅ ｏ ｏ ｆ ｈ ｔ ｎ ｉｓ ｙ， ｈ ｓｍｅｈ ｄ ｏ ｔｉ ｅ ｕ ｒ ａ ｅ ｕ ｔ ｏ ｉ ｅ ｅ ｔ ｉｅｍｅ ｈ ｓｂ ｓｎ ｉ ｈ ｏ ｄ ｒ ｌ ｒ ａ ｉｇ ｄ ｒ ｃｉｎ ｉ ｌ ｉ ｉ ．Ｆ ｒ ｔ ｔ ｉ ｔ ｏ ｂａｎ ｄ ｎ ｍｅ ｉ ｌ ｓ ｌ ｎ ｄ ｆ ｒ ｎ ｚ ｓ ｅ ｙｕ ｉ ｇ ａｈ ｇ ｒ ｅ ｔ ｎ ｔ ｉｅ ｔ ｍｐ ｉ ｔ ｏ ｌ ｃ ｒ ｓ ｆ ｓ ａｅ ｎ ｏ ｃ
进行特殊处理 、 省时 、 整体精度 高 、 对高频波有更好 的分辨率等 优越性 ， 日益受到重视 。文献 ［ ］ 出了求解二 维非定 常对流 ４提
扩散方程 的高精度 Ａ Ｉ 式。文献 ［ ］ 出 了二 维常 系数反 Ｄ格 ５提
源自文库
｛
ｆ 一 ６ ：８ ］ ＋ｊ （ 手 ［２ ； ａ， Ａ Ｂ＋ “ Ｂ ￣ ， Ｔ
（一—） 出其 Ａ ， ２ １ Ｂ ，ｈ ／ ， Ｂ 号 给 ， 中 ＝＋ ２ ：＋２ １ ｇ ２ ， ／ ￣２
、
和 表示二 阶中心差分算子 。
紧致 差分格式（ ） ５ 的截断误差 为 ０（ ＋ｈ ） 即空 间为 四 ｒ ，
阶精 度 、 间为二 阶精度 ， 时 并且是无条件稳定 的， 因为格式是三
ｔ）一 ，则 得 到 误 差 方程 ，
（一 ） —２） ＝ ） Ａ （ ， （ ； Ｔ２ ＋ ×
ｅ
，
Ｊ
＋Ｒ
０≤ ， ≤ 一１， Ｏ≤ ｎ≤ Ⅳ 一 １
用 ｒ表示时 间步 长 ， ｈ表 示空 间步 长 ， １给 出 了 当 ７＝ 表 －
（） ８
ｅ ＝ｏ
法 中， 交替 方向隐式 （ Ｄ ） Ａ Ｉ方法是求解 高维 问题 的一种 非常有 效 的方法 ， 传统的 ＰＲ、 ｏｇ ｓ Ｌ Ｄ格 式都 是二 阶精度 的 ， — Ｄ ｕｌ 及 Ｏ ａ 并引起 了许多学者 的关注 Ｊ 。 近年来 ， 高精度紧致差分格式 由于具有不需要对相邻 节点
其 中： ＝｛ ，）０≤ ｙ ｝ 厂为 力 的边界 ； （ Ｙ ｔ 为 待 （ Ｙ ： ， ≤１ ； ¨ ， ，）
ｔａ ｏａｉ ｎ ｍｅ ｈ ｄ ｒ ｐ ｌｔ ｔ ｏ ．Ｔ ｅ ｎ ｍｅ ｉａ ｘ ｅｉ ｎ ｓｄ ｍｏ ｓ ａｅ ｔ ｅ ｈｇ ｃ ｕ ａ ｙ，ｅ ｃｅ ｃ ｎ ｅ ｅ ｄ ｂ ｌ ｙ ｏ ｅ ｍｅｈ ｄ ｏ ｈ ｕ ｒ ｌｅ ｐ ｒ ｃ ｍｅ ｔ ｅ ｎ ｔ ｔ ｈ ｉｈ ａ ｃ ｒ ｃ ｒ ｉ ｆ ｉｎ ｙ ａ ｄ ｄ ｐ ｎ ａ ｉ ｔ ｆｔ ｔ ｏ ． ｉ ｈ Ｋｅ ｒ ｓ ｗｏ ｄ ｍｅ ｓｏ ａ ｖ ｑ ａｉｎ；ｈ ｇ — ｒ ｅ ｏ ａ ｔｓ ｈ ｍｅ；ａｔｒ ａｉ ｇ ｄ ｒ ｃｉｎ ｉ ｌ ｉ ｓ ｈ ｍｅ ｙ ｗｏ ｄ ：ｔ ｉ ｎ ｉｎ ｌ ｗａ ｅ ｅ ｕ ｔ ｏ ｉ ｈ ｏ ｄ ｒｃ ｍｐ ｃ ｃ ｅ ｌ ｎ ｔ ｉｅ ｔ ｍｐ ｉ ｔ ｃ ｅ ｅ ｎ ｏ ｃ
ｕ ｙ ［ （ ，） ） ０４ ＋ （ Ｊ 百４ 告÷ 一 （ ］ （＋ ， １ｎ 一 ６， 古 ＝ ｒ
即 分别在区 域 和 上得到解ｕ （≤ ≤ ） ｏ Ｍ 和吃 （≤ ， ｏｉ
ｊ． Ｍ） ＜２ 。用 Ｒ ｃａｄｏ ｉｈｒｓｎ外推 法 ， 得到 式 （ ） 可 １ 在 上 的截 断 误差为 ０ Ｔ ＋ｈ ） （ ４ 的近似值 ， 即
【Ｂ ｆ一 ｕ＝ “
（） ５
映扩散方 程 的紧 交 替方 向隐式 差 分 格式 ， 其精 度 为 ０（ 。＋ ｒ
ｈ ） 然后利用 Ｒｃ ａ ｓｎ外 推法 ， ４， ｉ ｒｏ ｈｄ 外推 一次 得到 具有 Ｏ（ ＋ ｒ
对于 过 渡 变 量 ：的 边 界 条 件， 以 由 ／ ＝ ， 可 ￣ ｉ ：
ｏ≤ √≤ 一１
４ ｔ ｈ ，＝１时刻 ， 本文格 式在不 同网格步 长下误 差 的 、 、
范数 ， 以及与四阶 Ａ Ｉ Ｄ 格式 计 算结 果 的 比较 。Ｌ 范 数定 义 ２
厂］ｉ 面＝广——一 『
ｄ］ ＝ ｏ 。 ｅ
＼ ｅ ＝０
。 ≤ Ｍ
一
１
层的。即每一次时间推进都需要知道前 两个 时间步 的值 ， ０ 第
求解该 问题 精度为 Ｏ（ ＋ 。 的数值解 。 ｈ）
１ 高 阶紧致 Ａ 格 式 ＤＩ
考虑如下二维波动方程
收稿 日期 ：２ １ － １ １ ；修 回 日期 ：２ １ －２ １ ０ １ １ —０ ０ １ １—９
层值 由式 （ ） ２ 精确给 出 ， 式 （ ） 与 ５ 相匹配 的第 一个 时间步 的离
Ｒ＝ 丑 （ ９
２０ ４
等×
加 （ ｆ ｈ ＋ｈ ）（ ６ ７）
＝１ ｎ 百 ４ ６
，
［ ６ （ ， ， ）＋ 占０ （ ，，ｔ） 日 ｔ Ａ ２ ｙ， ］＋ ｎ ２ｕ
（ ，） “ｈ ÷ 一 ７ ｈ 古ｊ （
（ ０≤ｉ ≤Ｍ， ． ０≤ｎ ≤Ｎ）
ｈ ［ （ Ｌ 曰
Ａ
（
３ 数值 验 证
对于式 （ ）一（ ） 令 （ ｙ ￣ ， ｉ（ ）ｉ（ｒ） （ １ ４， ， ）＝ ２ ｒｎ ｓ Ｔ ， ， ｒ ｓ ｎ ｙ
Ｙ ）＝０ｇ ， ，） ， 问题 的精确解 为 ／ ， ，）＝ ｉ（ 订 ） ，（ Ｙ ｔ ＝０ 则 ２ Ｙ ｔ ｓ ｔ （ ｎ ｓ （Ｔ）ｉ（ｒ） ｉ ＇ ｓ 叮 。数值 实验计算是用 Ｆ ￣ａ ７语言进行编程 ｎＩ ｎ ｙ Ｘ ｏ ｒｎ７
求未知量 ，，） Ｙ ｔ为非齐次项 ； ， ） （ Ｙ 和 ｇ ， ，） （ Ｙ 、 ， ） （ Ｙｔ 均为 已知 函数且具有充 分的光滑性 。用 表示 时间步长 ， 空间
取等距 网格 ， 步长用 ｈ表 示 。由文 献 ［ ］ ５ 可得 式 （ ） １ 的高精 度
紧致 Ａ Ｉ 式 为 Ｄ格
（ ４）
学的问题中均有应用 。由于物理 问题本身 的复杂性 ， 其精确解
往往不容易求得 ， 因此研究其 数值解 法具有 非常重 要的意 义。
） 力
¨ ， ，）＝ｇ ， ，） （ ｙ （ Ｙｔ （ Ｙｔ ， ）∈』 ｔ ０，’ ’ ∈（ ｊ
有限差分法是数值求解该 方程 的常用 方法之一 。在有 限差分
０ ｕ ２
０
２
ｕ
０
２ ／ ／ ， ２
０ 引言
双 曲型偏微分方程在航空 、 气象 、 海洋 、 水利等许多流体力
＝
ａ
２
ａ ｖ
＋ （ ｙ，） （ 川 ， ， ￡ ，
∈力×（ ］ 。，
（） Ｉ
（ ｙ０ （ Ｙ （ Ｙ ，， ）＝ ，） ，）∈ｎ
：
（ ２） （） ３
（ Ｄ ）ｄ ｆ ｅｃ ｃｅ ｅ ｗ ｉ ｅｅ ｆ ｒｅ ０ ＋ ，ｈ ｎｇｔ ｎ０（ 。 ｃｕａｙｓｌｔ ｎｖａ ｈ ｉ ａｄｏ ｘ Ａ Ｉ ｉｅ ｎ ｅｓ ｍ ， ｈ ｈｗ ｒ ｏ ｄ ｒ （ ｆｒ ｈ ｃ ｏ ｈ ） ｔｅ ＋ｈ ）ａｃｒｃ ｏ ｉ ｉ ｔｅＲｃ ｒｓｎｅ— ｏａ ｒ ｕｏ ｈ
任军号 ，解丹蕊
（ 北工业 大 学 自动化 学 院 ，西安 ７ ０ ７ ） 西 １０ ２ 摘 要 ：提 出了一种 求解二 维波 动方程 的 高精 度 紧致 差分 方 法 ， 方 法 首先 利 用 紧 交替 方 向 隐式 差分 格 式 ， 该 其
截 断误 差为 Ｄ ｜ ＋ ， 别在粗 网格 和细 网格 上 对原 方程 进行 求解 ， （ ｈ） 分 ｒ 然后 利 用 Ｒｃａ ｓｎ外推 计 算一 次 ， 一 ｉ ｒｏ ｈｄ 进 步提 高精度 ， 到 了二 维波动 方程具 有 Ｏ ｆ ＋ 。 精 度 的数 值 解 。数值 实验 验证 了该 方 法 的可 靠性 、 效性 和 得 （ ｈ） 有
且 在 Ｐ ｎｉ Ⅲ１０ Ｃ机 上 双 精 度 制 下 进 行 的 。 ｅｔ ｍ ｕ ０ ０Ｐ
假设 ｕ ｘ ， ， ） （ Ｙ ｔ 为定 解 问题 式 （ ）一（ ） ｊ １ ４ 的解 ， ， ｈ ｆ （ ，）
为差分格 式（ ） ５ 的解 ， 中 ０ ， 其 ≤ｉ ≤Ｍ， Ｊ ０≤ｎ ≤Ｎ， ｅ 记 ＝ ｕ ， （