第一章 金属自由电子气体模型

费米面附近 kT 范围，费米分布函数有明显变化。 低能电子的激发几率很小
只有费米面附近电子对电导、热容等有贡献。
数目估计： 激发能：
g (ε F ) ⋅ k BT
∆u = u − u0 ≈ g (ε F ) ⋅ (k BT )
2 B
2
cV = (∂u ∂T )n ≈ g (ε F ) k T = γ T
从自由电子近似模型，推出金属电导的欧 姆定律：
J = σE , σ = ne τ m
2
20
一、准经典近似
思考：电子受外电 场作用如何运动？
描述金属电导时，自由电子模型中，假设：
–电子运动是经典的 –驰豫时间近似：Δt时间内，电子受散射的几率为
Δt/τ；电子从非平衡到平衡需要的时间。
电子的动力学方程：
dp p = F (t ) − dt τ
d vd vd m = F(t ) − m dt τ
单粒子的牛顿运动方程，最后一项是阻尼。 描述粒子在有粘滞阻力时的运动－朗之万
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二、金属电导率
在恒定电场下，电子达到临界速度（vd 是定向漂 移速度，而不包括无规热运动速度）：
F(t ) = −eE, dv d dt = 0, v d = − eτE m
χ=
µ0 M
B
2 = µ 0 µ B g (ε F )
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小结： 费米分布决定电子的热、电磁性质。只在费米 面附近KT范围的电子有明显的激发，所以，固 体的热、电磁等性质由费米面处的电子决定。 常温下，T<<TF (KT<<EF)，发生热激发（泡利 顺磁化）的电子数目只占价电子的小部分。
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1.4 电场中的自由电子
z
费米面半径 :
kF
V 4 3 N = 2× 3 × π kF 8π 3 3 2 kF = 3π n TF = εF kB ≈10 ~ 10 K
4 5
8
kx
ky
电子的平均动能 为费米能时，体 系具有的温度
四、态密度
V ρk = 3 8π
()
在k-空间，电子是准连续的，引入态密度g
V V dN = g k d k = 2 3 d k g k = 3 8π 4π V 2 V 2 dN = g(k )d k = 2 k d k g(k) = 2 k
–离子看成均匀的正电荷背景：凝胶模型
忽略：电子—电子互作用
–独立电子近似
3
二、单电子的本征态（复习）
一维导体：电子在一维金属体内运动，看成电子
在一维无限深势阱中运动（定态薛定谔方程）： U 2 2
L x
ℏ d +U(x)ψ (x) = Eψ (x) − 2 2m dx
本征态：
1 ikx 0, L > x > 0 ψk (x) = e U(x) = L ∞, x < 0, x > L （平面波解）
E(k) = ℏ k 2m
2 2
K 满足何条件？
4
自由电子 色散关系
量子力学中，常用驻波边界。固体物理中常采用周 期性边界条件：导线两端相连接。对宏观固体，由 于边界的影响可以忽略，两种边界条件没有差别。
ψ (x + L ) = ψ (x )
e
ikL
=1
2π kn = n, n = 0,±1,⋯ L
iky L
e
ikx L
=e
=e
ikz L
=1
2π 2π 2π kx = nx , ky = ny , kz = nz L L L 3 V K-空间态密度： ∆k = (2 L) π ρk = 3 8π
()
宏观固体，准连续
三、费米球
思考：一维、二维自由电子 气体在T=0K时的费米球？
T=0时，泡利不相容原理决定，N个电子在k-空间 占据球（费米球，费米面，费米能） k
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五、泡利顺磁性
µB ↓
εF
ε
↑ µB
ε
εF εF
g (ε )
ε
εF εF
g (ε )
εF
g (ε )
在外场下能够翻转的电子只在Fermi面附近，只站 总电子的少部分，数目：
1 ∆n = g (ε F ) ⋅ µ B B 2
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五、泡利顺磁性 每个翻转的电子贡献磁矩：2 µ B
2 总磁矩： M = 2 µ B ⋅ ∆n = µ B g (ε F )B
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K-空间中，本征波矢均匀分布，间隔：2π/L.由 于L很大，称为准连续谱 定义k-空间的态密度：k-k+dk范围的状态数：
ρ(k) = L 2π
三维导体
电子在三维金属体内运动，看成电子在三维无限 深势阱中运动（单电子薛定谔方程）：
ℏ2 2 ∇ +U(r)ψ (r) = Eψ (r) − 2m 2m
本征态：
（平面波解）
1 ik⋅r ψk (r ) = e V
V = L× L× L
E(k ) = ℏ k 2m
2 2
6
周期性边界条件：
ψ ( x + L, y, z ) = ψ ( x, y, z ) ψ ( x, y + L, z ) = ψ ( x, y, z ) ψ ( x, y, z + L ) = ψ ( x, y, z )
第一章 金属自由电子气体模型
金属自由电子气体模型的基础 金属自由电子气体模型的成就、不足
目 录
1-1 模型与基态性质 1-2 自由电子气体的热性质 1-3 泡利顺磁性 1-4 电场中的自由电子 1-5 霍耳效应与磁阻 1-8 自由电子气体模型的局限性
2
1.1 模型及基态性质
一、自由电子气体模型 忽略：电子—离子互作用
电流密度： 欧姆定律：
ne τ J = −nev d = E m 2 ne τ J = σE, σ = m
2
22
1.8 自由电子气体的局限性
自由电子气体模型，加上费米统计理论， 取得令人惊奇的成就：
–电子热容量；泡利顺磁性；金属电导欧姆定
律
由于模型的简化，其局限性很明显
–电导率的方向性，温度关系 本书目标： 改善自由电子模型 –电导率与晶体结构的关系 解释这些问题 –电导率与价的关系 –费米球面性质 –为什么有导体、绝缘体、半导体
北京大学2000年研究生入学考试试题 考试科目：固体物理
三、（16分）由泡利不相容原理，金属中费米面 附近的自由电子容易被激发，费米能级以下很低 能级上的自由电子很难激发，通常称为费米冻结。 用此物理图象，（1）估算在室温下金属中自由电 子的比热。（2）估算T→0K金属中自由电子的泡 利自旋顺磁性磁化率。
()
()
π
π
在k-空间，k - k+dk 范围电子状态数
9
V 3 dN = g(ε )d ε = 2 3 2m ε d ε πℏ V 3 g(ε ) = 2 3 2m ε ∝ ε πℏ
在能量层 ε－ε+ dε范围的电子状态数 请讨论1、2维电子的能态密度
kz
g (ε )
kx
ky
ε
例：应用态密度计算电子的基态能
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一、费米分布
T=0时，电子先占据低能量状态： f (ε )
limT →0
1, ε i < µ f (ε i ) = 0, ε i > µ
T>0 时，量子态上（自由） 电子占据的几率：
µ
ε
f (ε i ) =
eLeabharlann Baidu
(ε i − µ ) k BT
1
+1
k
∆ε ~ k BT
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问题：常温下电子的热容量可以忽略？
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五、泡利顺磁性 电子自旋带有磁矩μB ,在外磁场作用下， 无外场时，取向无轨，无磁化，M=0。在外 磁场下，电子磁矩偏向外场方向，热运动 破坏定向磁化，所以磁化率与温度有关。 按照经典理论：磁化率（居里定律） µ0 M c = χ≡ B T +∆ 但测量结果与温度无关，且远小于经典结 果，这也是Fermi统计的结果
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习题、 习题、思考题
习题：1.2， Q1-1 什么是费米面、费米能，和费米温度? Q1-2 求出1、2维自由电子气体的能态密度g(E)。 Q1-3 描述一维、二维自由电子气体在T=0K时的费米球。 Q1-4 试解释电子的热容量在高温下可以忽略，而在极低温 下不能忽略。 Q1-5 自由电子气体模型在解释固体电导问题时，有哪些不 足？
单位体积内自由电子气体的总能量：
E 2 = V V
ℏ k 2 V →∞ ∑ 2m → V k <kF
2 2 F
2
2
k <kF
∫
ℏ k g (k )dk 2m
2
2
E ℏ k 3 = = εF 2 V 10mπ 5
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1.2 自由电子气体的热性质 1.3 泡利顺磁性
问题：常温下 1. 电子的热容量很小 2. 电子气体的磁化率很低