第八章-湍流边界层中的动量传递

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2011-11-12
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动量厚度雷诺数
联立以上两式
1 ρu ∞δ 2 60,000 = 0.4409 µ
2 Re δ 2 = 0.4409 2
则局部临界雷诺数
Reδ 2 ,临界 = 0.4409 × 60, 000 = 162.65
管流和外部流动的 Reδ ,临界 非常接近，说明上 式适用性强。
Couette流动假定
壁面附近，v = v0 利用上述假定，可得
∂u 紧靠壁面的区域，忽略 ρ u ∂x
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壁面附近的切应力和速度分布
∂u ∂τ dP ρ v0 − + =0 ∂y ∂y dx
利用
y = 0 :τ = τ 0 , u = 0 y = y :τ = τ , u = u
( )
代入
−u v = ε M
' '
∂u ∂y
∂u 1 dP =0 + ∂y ρ dx
∂u ∂u ∂ µ +v − + ε M u ∂x ∂y ∂y ρ
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壁面附近的切应力和速度分布
定义
∂u τ µ = + εM ρ ρ ∂y
∂u ∂u ∂τ dP ρu + ρv − + =0 ∂x ∂y ∂y dx
( ) ( ) (
)
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普朗特混合长度理论
对湍流应力建立模型，称为湍流的封闭问题。 基本思想：湍流扩散与分子扩散具有相似性
∂u −u v = ε M ∂y
' '
在普朗特理论中，湍流粘性系数
εM = l2
∂u ∂y
其中
l =κy
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普朗特混合长度理论
du u +l dy
u
du u −l dy
+
( )
+
1
7
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壁面坐标中湍流边界层剖面
D C B A
10.8
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补充：壁面定律
在内层中，速度分布和外部压力梯度的关系 不大，总切应力很大，且基本保持为常数。 此区域内满足 u + = f ( y + ) ，称为壁面定律。
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补充：壁面定律
粘性底层 过渡层 对数律区
u =y
du u =l dy
'
v'
l
du dy
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湍流边界层中混合长度的变化
l = k ( y) y
l = 0.085δ 99
l = k ( y )δ 99
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湍流边界层的分层结构
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动量与热量传递率的解释
定常，忽略体积力
∂u ∂u ∂ µ ∂u ∂ ' ' 1 dP u +v − uv + =0 + ρ dx ∂x ∂y ∂y ρ ∂y ∂y
2
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湍流边界层动量方程
层流边界层动量方程
∂ρu ∂ ∂ ∂P ∂ ∂u + (G x u ) + (G y u ) = X − + µ ∂θ ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y
湍流边界层动量方程
∂ρu ∂ ∂ ∂P ∂ ∂u ∂ '2 ∂ ' ' + (Gxu) + (Gyu) = X − + µ − ρu + ρu v ∂θ ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂ρ u ∂ ∂ ∂P ∂ ∂u ∂ − + (G x u ) + (G y u ) = X − + µ ρ u 'v ' ∂θ ∂ x ∂y ∂ x ∂y ∂y ∂ y
临界雷诺数与实验条件有关，不普遍适用
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动量厚度雷诺数
假定过渡现象是局部的，采用局部雷诺数则 更为合理。 对于平板外部层流边界层，采用以动量厚度 定义的局部雷诺数
µx ρ u∞δ 22 δ 2 = 0.664 ⇒x= ρ u∞ 0.4409µ
Re x ,临界
ρ u∞ x µ = = 60, 000 ⇒ x = 60, 000 µ ρ u∞
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充分湍流区的速度分布
从粘性底层外沿积分：
1 y + dy + du + = ∫10.8 0.41 ∫10.8 y +
u+
1 ln 10.8 + ln y + 10.8 − = 2.439 ln y + + 5.0 u = 0.41 0.41
+
更一般地，对粘性底层以外的数据进行拟合
u = 8.75 y
τ0 ρ
ρ ∂y
两层的湍流边界层模型，包含粘性底层区段 和充分湍流区段。???
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粘性底层中的速度分布
粘性底层中分子粘性远大于湍流粘性
τ 0 µ du τ0 = ⋅ ⇒ du = dy ρ ρ dy µ
积分上式得：
∫
u
0
τ0 du = µ
பைடு நூலகம்
∫
+
y
0
τ0 dy ⇒ u = y µ
+
无量纲化得：
+
+
u + ≈ 5ln y + − 3.05 u + = 2.439 ln y + + 5.0
Ue − u y =F uτ δ
外层（尾迹律）
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参考文献
W. M. Kays et. al，Convective Heat and Mass Transfer, 2nd ed. McGraw-Hill Book Company,1980 赵学端 等，粘性流体力学，机械工业出版社，1992 张仲寅 等，粘性流体力学，国防工业出版社，1989 潘文全，流体力学基础（下），机械工业出版社，1982 陈义良 等，物理流体力学，中国科学技术大学出版社，2007
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临界雷诺数
长度雷诺数和水利直径雷诺数
ρ ux Re x = µ ρ ud Red = µ
(3～5)×105(零压力梯度 光滑表面 过渡 ～ × 零压力梯度/光滑表面 过渡) 零压力梯度 光滑表面/过渡 6×104(零压力梯度 大扰动下层流稳定 × 零压力梯度/大扰动下层流稳定 零压力梯度 大扰动下层流稳定) 2300(管道 大扰动下层流稳定 管道/大扰动下层流稳定 管道 大扰动下层流稳定)
u =y
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充分湍流区的速度分布
对无压力梯度和不可渗透壁面，两层模型的 临界 y + = 10.8 充分湍流区中分子粘性远小于湍流粘性
τ0 ∂u ∂u ∂u = εM = − κ y = − 0.41 y ∂y ∂y ∂y ρ
2 2
无量纲化得：
du + 1 = + dy 0.41 y +
1
= µ ρ uτ
u u∞ u u u = = = uτ τ0 ρ cf 2
+
v0 v0 v0 u ∞ v = = = uτ τ0 ρ cf 2
+ 0
y+ =
y
δv
=
yuτ ρ
µ
=
yρ τ 0 ρ
µ
dP dx µ ( dP dx ) p = 2 = 3 ρ uτ δ v ( ρ 1 2τ 0 2 )
第八章 湍流边界层中的动量传递
指导老师：程晓舫 组内成员：雷 佼 安江涛 毕昆 郑景川 邹丽 于建龙
2011年11月12日
内
容
边界层的定性结构及其判据 湍流边界层动量方程的封闭 普朗特混合长度理论与湍流边界层结构 壁面附近的切应力和速度分布
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边界层的定性结构
u∞
u∞
粘性底层 层流区 过渡区 湍流区
积分上式，整理得：
ρv0u dP y τ = 1+ + dx τ τ0 τ0 0
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总切应力分布表达式的无量纲化
2 τ 0 c f u∞ τ0 2 ⇒ uτ = 摩擦速度： uτ = = ρ 2 ρ
粘性长度：
ρ 2 δ v =ν τ 0
+
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总切应力分布表达式的无量纲化
总切应力分布表达式的无量纲形式：
τ + = 1 + v0 u + + p + y + τ0
只适用于Couette流动区域 边界层外沿，总切应力为零
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壁面附近切应力和速度分布
无压力梯度
p + = 0 ( dP dx = 0 )
壁面无吹出或吸入 v0+ = 0 ( v0 = 0 ) 简化后： τ ∂u τ0 µ =1⇒ = + εM