四川大学现代科学工程计算基础课后习题答案
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
3!
√3 ������3,要求截断误差不超
27
过10;5,则√3 ������3 10;5 ������ 4 481 × 10;2,则步长 h 最大取0 0448。
27
6.(1)解:
1 f,������0- = f(������0) = ������0
f,������0,
������1-
=
f(������1);f(������0) ������1;������0
依次代入x0, x1,···, x������;1得: a0������0(x0) = 0, 又 ω0(������) = 1, 可得a0 = 0 a0������0(x1) + a1������1(x1) = 0, 可得a1 = 0 ······
a0������0(xk;1) + a1������1(x������;1) +··· +a������;1������������;1(x������;1) = 0, 可得a������;1 = 0
则有������������ f(x) ∑������������<0 ������������������������(������) ������������,原命题得证.
2.(2)证明: 原式 = ∑������������<0(������������ − ������)������ ������������(������)
=0 则∑������������<0(������������ − ������)������ ������������(������) 0, (������ = 1,2,···, n),原命题得证.
3.解:
f(x)在 x=100,121,144 三点的二次插值多项式为
(x − 121)(x − 144) L2(x) = √100 × (100 − 121)(100 − 144) + √121
最后代入x������得: a0������0(xk) + a1������1(x������) +··· +a������������������(x������) = 0, 可得a������ = 0
由于a0 = a1 = a2 =···= a������;1 = a������ = 0,所以*������������(x)+(������ = 0,1,··· , n)线性无关.
=
������������+1(������) (������:1)!
������������:1(������),
因为k = 0,1,···, n
n,f(x)的
n
阶导数:f ������(x)
=
������! (k; )!
������������;������(k
n),
所以有 f ������:1(x)=0,可得f(x) − ������������=R������(x) =0,f(x)= ������������.
=
−
1 ������0������1
,f,������1
,
������2-
=
f(������2);f(������1) ������2;������1
=
−
1 ������1������2
2.(1)证明:
令f(x) = ������������,则f(x)的 n 次 Lagrange 插值多项式������������ = ∑������������<0 ������������������������(������),
讨论其插值余项R������(x)
=
f(x)
−
������������
L1(x) = 0
考察插值余项R1(x)
=
f(x)
−
������1(������)
=
������
(������) 2!
(������
−
������)(������
−
������),
又L1(x)
=
0,可得f(x)
=
������
(������) 2!
(������
−
������)(������
−
������),
f (ξ) R2(x) = 3! (������ − ������0)(������ − ������1)(������ − ������2)
f (ξ) = 3! · ������������ · (������ − 1)������ · (������ − 2)������
f |
(ξ) 3!
·
������3
现代科学工程计算基础课后习题
<Version 1.0 >
第一章 绪论
基本上不会考,略
第二章 函数的插值与逼近
1.(1) 证明: 由题意有������������(x) = (x − ������0)(x − ������1) ··· (x − ������k;1),则有以下式子: ω0(������) = 1 ω1(������) = 0, (������ = ������0) ω2(������) = 0, (������ = ������0, ������1) ······ ω������;1(������) = 0, (������ = ������0, ������1,···, ������������;2) ω������(������) = 0, (������ = ������0, ������1,···, ������������;2, ������������;1) 考察a0������0(x) + a1������1(x) +··· +a������;1������������;1(x) + a������������������(x) = 0 的系数,
1.(2)证明:
由题意有������������ (x)
=
(x;������0)···(x;������������−1)(x;������������+1)···(x;������������) (������������;������0)···(������������;������������−1)(������������;������������+1)···(������������;������������)
(x − 100)(x − 144) × (121 − 100)(121 − 144) + √144
(x − 100)(x − 121) × (144 − 100)(144 − 121)
代入 x=115 得f(115)
������(115)
=
10.735。f
(x) = − 1 ������;32, f
代入x������得:a������������������(x������) =0,又������������(x������) = 1,可得a������ = 0 由于a0 = a1 = a2 =···= a������;1 = a������ = 0,所以*������������(x)+(������ = 0,1,···, n)线 性无关.
得 t = 1 ± √3。
3
g(t)在闭区间[0,2]内先增后减再增,其中 g(0)=g(2)=0。g(t)的
两个极值点及对应的值分别为:g .1 − √3/ = 2√3 , g .1 + √3/ = − 2√3
3
9
3
9
则0 |g(t)| 2√3。
9
可得R2(x)
1 ������3 · |������(������ − 1)(������ − 2)|
(������;������)2 8
������m≤���a���≤x������|������
(������)|,原命题得证。
5.解: 考察函数f(x) = sinx, 由于 x ∈ ,−π, π-, 则f (x) = −������������������������ ∈ ,−1,0-。
在三点节点x = x0, x0 + ������, x0 + 2������(������ 为步长)上进行插值,设插值区 间上某点x = x0 + ������������(0 ������ 2),则插值余项为
2!
显然是由于使用了不同的数学模型,精确度有所不同。
4.证明:
对 f(x)在 x=a,b 两处进行插值,则插值多项式为
������ − ������
������ − ������ ������(������)<������(������)<0
L1(x) = f(a) ������ − ������ + f(b) ������ − ������ ⇒
(x − 121)
(x − 100)
L1(x) = √100 × (100 − 121) + √121 × (121 − 100)
代入 x=115 得f(115) ������1(115) = 10.714。误差限R1(x) =
������2(������ 2!
)
������2(������
)
������2(121) |(115 − 100)(115 − 121)| = 0 01690。结果不同
∵ (������ − ������)(������ − ������) = .������ − ������:������/2 + ������������ − .������:������/2 (������;������)2 (������ ������ ������),
2
2
4
∴ ������(������) = ������ (������) (������ − ������)(������ − ������),两边同时取绝对值得:
,
以及������������ (������������ )
=
������������������
=
{10,,
������ ������
= ≠
������������(������,
������
=
0,1,···,
n).
考察a0������0(x) + a1������1(x) +··· +a������;1������������;1(x) + a������������������(x) = 0 的系数, 代入x0得:a0������0(x0) =0,又������0(x0) = 1,可得a0 = 0 ······
= ∑������������<0,∑������������<0(������������)������������������;������(−������)������ ������������(������)- (二项式定理) = ∑������������<0,∑������������<0(������������)������������������;������(−������)������ ������������(������)= ∑������������<0,(������������)(−������)������ ∑������������<0 ������������������;������ ������������(������)- (交换符号顺序) = ∑������������<0,(������������)(−������)������������������;������- (2.1 中结论,其中k − i = 0,1,···, n) = (x − x)������ (二项式定理)
2!
|������(������)| = | ������ (������) (������ − ������)(������ − ������)| |������ (������) · (������;������)2|对x ∈ ,a, b-恒成立。
2!
2
4
则������m≤���a���≤x������ |������(������)|
·
������(������
−
1)(������
−
2)|
1 ������3 · |������(������ − 1)(������ − 2)| ,t ∈ ,0,2-
3!
考察函数g(t) = ������(������ − 1)(������ − 2), g’(t) = 3t2 − 6t + 2.令g’(t) = 0,
4
(x) =
−
3 8
������;52,误差限R2(x)
=
������3(������) 3!
������3(������)
������3(144) |(115 − 100)(115 −
3!
121)(115 − 144)| = 0 001748167。
使用内插法,f(x)在 x=100,121 两点的一次插值多项式为
√3 ������3,要求截断误差不超
27
过10;5,则√3 ������3 10;5 ������ 4 481 × 10;2,则步长 h 最大取0 0448。
27
6.(1)解:
1 f,������0- = f(������0) = ������0
f,������0,
������1-
=
f(������1);f(������0) ������1;������0
依次代入x0, x1,···, x������;1得: a0������0(x0) = 0, 又 ω0(������) = 1, 可得a0 = 0 a0������0(x1) + a1������1(x1) = 0, 可得a1 = 0 ······
a0������0(xk;1) + a1������1(x������;1) +··· +a������;1������������;1(x������;1) = 0, 可得a������;1 = 0
则有������������ f(x) ∑������������<0 ������������������������(������) ������������,原命题得证.
2.(2)证明: 原式 = ∑������������<0(������������ − ������)������ ������������(������)
=0 则∑������������<0(������������ − ������)������ ������������(������) 0, (������ = 1,2,···, n),原命题得证.
3.解:
f(x)在 x=100,121,144 三点的二次插值多项式为
(x − 121)(x − 144) L2(x) = √100 × (100 − 121)(100 − 144) + √121
最后代入x������得: a0������0(xk) + a1������1(x������) +··· +a������������������(x������) = 0, 可得a������ = 0
由于a0 = a1 = a2 =···= a������;1 = a������ = 0,所以*������������(x)+(������ = 0,1,··· , n)线性无关.
=
������������+1(������) (������:1)!
������������:1(������),
因为k = 0,1,···, n
n,f(x)的
n
阶导数:f ������(x)
=
������! (k; )!
������������;������(k
n),
所以有 f ������:1(x)=0,可得f(x) − ������������=R������(x) =0,f(x)= ������������.
=
−
1 ������0������1
,f,������1
,
������2-
=
f(������2);f(������1) ������2;������1
=
−
1 ������1������2
2.(1)证明:
令f(x) = ������������,则f(x)的 n 次 Lagrange 插值多项式������������ = ∑������������<0 ������������������������(������),
讨论其插值余项R������(x)
=
f(x)
−
������������
L1(x) = 0
考察插值余项R1(x)
=
f(x)
−
������1(������)
=
������
(������) 2!
(������
−
������)(������
−
������),
又L1(x)
=
0,可得f(x)
=
������
(������) 2!
(������
−
������)(������
−
������),
f (ξ) R2(x) = 3! (������ − ������0)(������ − ������1)(������ − ������2)
f (ξ) = 3! · ������������ · (������ − 1)������ · (������ − 2)������
f |
(ξ) 3!
·
������3
现代科学工程计算基础课后习题
<Version 1.0 >
第一章 绪论
基本上不会考,略
第二章 函数的插值与逼近
1.(1) 证明: 由题意有������������(x) = (x − ������0)(x − ������1) ··· (x − ������k;1),则有以下式子: ω0(������) = 1 ω1(������) = 0, (������ = ������0) ω2(������) = 0, (������ = ������0, ������1) ······ ω������;1(������) = 0, (������ = ������0, ������1,···, ������������;2) ω������(������) = 0, (������ = ������0, ������1,···, ������������;2, ������������;1) 考察a0������0(x) + a1������1(x) +··· +a������;1������������;1(x) + a������������������(x) = 0 的系数,
1.(2)证明:
由题意有������������ (x)
=
(x;������0)···(x;������������−1)(x;������������+1)···(x;������������) (������������;������0)···(������������;������������−1)(������������;������������+1)···(������������;������������)
(x − 100)(x − 144) × (121 − 100)(121 − 144) + √144
(x − 100)(x − 121) × (144 − 100)(144 − 121)
代入 x=115 得f(115)
������(115)
=
10.735。f
(x) = − 1 ������;32, f
代入x������得:a������������������(x������) =0,又������������(x������) = 1,可得a������ = 0 由于a0 = a1 = a2 =···= a������;1 = a������ = 0,所以*������������(x)+(������ = 0,1,···, n)线 性无关.
得 t = 1 ± √3。
3
g(t)在闭区间[0,2]内先增后减再增,其中 g(0)=g(2)=0。g(t)的
两个极值点及对应的值分别为:g .1 − √3/ = 2√3 , g .1 + √3/ = − 2√3
3
9
3
9
则0 |g(t)| 2√3。
9
可得R2(x)
1 ������3 · |������(������ − 1)(������ − 2)|
(������;������)2 8
������m≤���a���≤x������|������
(������)|,原命题得证。
5.解: 考察函数f(x) = sinx, 由于 x ∈ ,−π, π-, 则f (x) = −������������������������ ∈ ,−1,0-。
在三点节点x = x0, x0 + ������, x0 + 2������(������ 为步长)上进行插值,设插值区 间上某点x = x0 + ������������(0 ������ 2),则插值余项为
2!
显然是由于使用了不同的数学模型,精确度有所不同。
4.证明:
对 f(x)在 x=a,b 两处进行插值,则插值多项式为
������ − ������
������ − ������ ������(������)<������(������)<0
L1(x) = f(a) ������ − ������ + f(b) ������ − ������ ⇒
(x − 121)
(x − 100)
L1(x) = √100 × (100 − 121) + √121 × (121 − 100)
代入 x=115 得f(115) ������1(115) = 10.714。误差限R1(x) =
������2(������ 2!
)
������2(������
)
������2(121) |(115 − 100)(115 − 121)| = 0 01690。结果不同
∵ (������ − ������)(������ − ������) = .������ − ������:������/2 + ������������ − .������:������/2 (������;������)2 (������ ������ ������),
2
2
4
∴ ������(������) = ������ (������) (������ − ������)(������ − ������),两边同时取绝对值得:
,
以及������������ (������������ )
=
������������������
=
{10,,
������ ������
= ≠
������������(������,
������
=
0,1,···,
n).
考察a0������0(x) + a1������1(x) +··· +a������;1������������;1(x) + a������������������(x) = 0 的系数, 代入x0得:a0������0(x0) =0,又������0(x0) = 1,可得a0 = 0 ······
= ∑������������<0,∑������������<0(������������)������������������;������(−������)������ ������������(������)- (二项式定理) = ∑������������<0,∑������������<0(������������)������������������;������(−������)������ ������������(������)= ∑������������<0,(������������)(−������)������ ∑������������<0 ������������������;������ ������������(������)- (交换符号顺序) = ∑������������<0,(������������)(−������)������������������;������- (2.1 中结论,其中k − i = 0,1,···, n) = (x − x)������ (二项式定理)
2!
|������(������)| = | ������ (������) (������ − ������)(������ − ������)| |������ (������) · (������;������)2|对x ∈ ,a, b-恒成立。
2!
2
4
则������m≤���a���≤x������ |������(������)|
·
������(������
−
1)(������
−
2)|
1 ������3 · |������(������ − 1)(������ − 2)| ,t ∈ ,0,2-
3!
考察函数g(t) = ������(������ − 1)(������ − 2), g’(t) = 3t2 − 6t + 2.令g’(t) = 0,
4
(x) =
−
3 8
������;52,误差限R2(x)
=
������3(������) 3!
������3(������)
������3(144) |(115 − 100)(115 −
3!
121)(115 − 144)| = 0 001748167。
使用内插法,f(x)在 x=100,121 两点的一次插值多项式为