实变函数课件第三章测度论

第三章 测度论
授课对象：17级数应班 教师：侯利元
第二章
§1.外侧度 §2. 可测集 §3. 可测函数
§4.不可测集✷
第三章 测度论
• 1、掌握外测度的定义及其基本性质.
• 2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方 法.
• 3、深刻理解可测集的定义，学会用 Caratheodory条件验证集合的可测性.
i1
mE inf{ | Ii | : E Ii}
i 1
i 1
第一节 外测度 1、定义
下确界：
（1） 是数集 S 的下界，即 x S ， x （2） 是数集 S 的最大下界，即 0, x S, 使得 x
0, 开区间列{Ii },
使得 E
i 1
Ii
且
m*E | Ii | m*E i 1
n1
由
的任意性，即得
m*
(
n 1
An
)
n1
m* An
第一节 外测度 2、性质
注：一般证明都是从大的一边开始，因为外测 度的定义用的是下确界
第一节 外测度 3、例题
例1 设E是[0,1]中的全体有理数，试证明E 的外测度为0.
思考： 1. 证明平面上的有理点全体外测度为0 2. 平面上的X轴的外测度为0
Inm 近似替换 An ） In1, In2 ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Inm ,
, 使得 An
m1
Inm
且
m*
An
|
m1
I nm
|
m* An
2n
从而
n1
An
n1
m1
I
nm
，且
|
n,m1
I nm
|
n1
|
m1
I nm
|
(m* An
n1
2n
)
m* An
n1
可见
m*
( n1
An
)
n1
|
m1
I nm
|
m* An
即：用一开区间列{Ii } “近似”替换集合 E
第一节 外测度 2、性质
定理 (1)mE 0,当E 为空集时,则mE=0
(2)设A B,则m A mB(单调性)
(3)m( Ai ) m Ai (次可数可加性)
i 1
i 1
证明板书
第一节 外测度 2、性质
证明：对任意的 0 ,由外测度的定义知，对每个 An 都有一列开区间（即用一开区间
例2 对于区间I，有 m(I) I
外测度优点是任何集合都有外测度， 但是外测度只具有次可数可加性， 不具有可数可加性
当A、B Rn,且不相交，即d (A, B) 0,则有 m( A B) m( A) m*(B)
• 在Rn中的确存在互不相交一列集合，使得
m ( Ai ) m Ai
i 1
（2）新的积分（Lebesgue 积分,从分割值域入手）
记 Ei {x : yi1 f (x) yi } ， yi1 i yi ，则
n
(L)
[ a ,b ]
f
( x)dx
lim
0
i mEi
i 1
问题：如何把长度,面积,体积概念推广?
上积分（外包）（达布上和的极限）
b
n
a
f
( x)dx
• 第三节 常见可测集，测度空间，σ代数
第一节 外测度 1、定义
定义 设E 为Rn中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间
Ii E,作出它的体积总和= Ii , 所有这一切的 组
i 1
i 1
成一个下方有界的数集，它的下确界称为E的勒贝格测度
简称L 外测度，记为m E，即
mE inf
Ii
E Ii i1
i 1
• 外测度的次可数可加性的等号即使两集合 不交也可能不成立
• 需要对外测度的定义域进行限制
第二节 可测集
第二节可测集 1、定义
• \mu 需要满足某些运算的封闭性：如可数 并、交、差运算
• 由测度公理，\mu应该包含n维欧氏空间的 所有有限开区间
• 从可列可加性的条件出发 设E Rn,如果E ，则对于任意的开区间I 都有 I E, I Ec属于,且两者不相交，并集为I
I E I Ec ,I E I Ec I mI m( I E I Ec ) m(I E) m*(I Ec )
第二节可测集 1、定义
引理 设E Rn,则mI m(I E) m*(I Ec )对Rn 中任何开区间都成立的充要条件是对Rn 中任何点集 T 都有
mT m (T E) m*(T Ec )
长度公理：设有实数直线上的一些点集所构成的集合族
若对于每个 E ,都对应一个实数m，使得
（1）（非负性）m(E) 0
（2）（有限可加性）如果 E1, E2, , En 两两不相交，那么
m(E1 E2
En ) m(E1) m(E2 )
（3）（正则性）m([0,1]) 1
m(En )
勒贝格测度公理：对于实数直线上的一部分集合族
lim
||T ||0
i 1
M i xi
下积分（内填）达布下和的极限
b
n
a
f
( x)dx
lim
||T ||0
i 1
mi xi
• 第一节 可列可加，内填外包。
对于有界集合E，做一系列开区间之并所构 成的开集G，去覆盖E，G显然有测度，即为外 测度。
对于有界闭集F,存在区间I覆盖F，m(F) I m(I F) 内填闭集的测度的上确界为E的内测度。 • 第二节 用外测度定义可测性
使得每个E ,都对应一个实数m，满足
（1）（非负性）m(E) 0
（2）（可列可加性）如果 E1, E2, , En 两两不相交，那么
m(E1 E2
En ) m(E1)+m(E2 )+ +m(En )+
（3）（正则性）m([0,1]) 1
• [0,1]中有理数是可数集，由可数个点构成， 每个点的测度是0，故其测度是0.
• 实函数m(E)是否存在？集合族由哪些集合构 成？每个集合都有测度？
• 可列可加的测度m • 可测集类
(1) Riemann 积分回顾（分割定义域）
b
n
(R)
a
f (x)dx lim ||T ||0 i1
f (i )xi ， xi
xi
xi1 ， xi1 i
xi
积分与分割、介点集的取法无关。 几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。
• 4、掌握并能运用可测集的性质.
• 5、熟悉并掌握用开集、闭集、型集、型集刻 画可测集的几个定理，弄清可测集类和Borel 集类之间的关系.
• 6、了解一些集合可测的充要条件.
第二章介绍了集合中元素间距离，以及 度量空间（距离空间）
没有对集合本身的“长度”进行描述，现 实生活中我们已经有了长度、面积、体积 等概念，多为规则的图形。例如三角形， 圆等，或者利用极限方法可求曲边梯形的 面积。