代数不等式证明的求解策略

一．代数不等式证明的求解策略

策略一 合理代换

对于一些结构较为复杂、变元较多，并且变元之间的关系比较难理顺的数学问题，我们常常引入一些新的变量进行代换，以简化其结构，达到顺利解决问题的目的．合理的代换往往能简化题设的信息，使隐性条件显性化，从而有利于沟通量与量之间的联系，对发现解题的思路，优化解题的过程起到积极的推进作用．

代换法的本质是通过引进辅助元素进行映射转移，将分散条件联系起来．如果将代换法进行细化，一般可将其分为以下十种类型：

1．三角代换

三角函数蕴涵着丰富的公式与性质，巧妙地运用这些公式与性质可以顺利地解决许多综合问题．如三角函数中有以下三个同角平方关系式：22sin cos 1αα+=，221tan sec αα+=，

22

1cot csc αα+=．利用这三个关系式，可对形如：222x y a +=，222x y a -=的式子进行代

换处理，从而将一般的代数问题转化为三角问题．

2．参数代换

有些数学问题直接解决较困难，通过引进参数，可使原来较难处理的问题得以巧妙过渡． 3．整体代换

对于有些分式不等式问题，整体代换能起到积极有效的作用．即若原问题是由若干个分式组合而成，可将其中每个分式进行整体代换，局部处理，从而使原问题“柳暗花明”．

4．分母代换

当一个分式的分子较简捷而分母相对较复杂时，通过对分母进行代换可以使解题思路变得更顺畅．

5．减元代换

对于多元的问题，通过适当代换进行减元是解决问题、突破难点的一项重要策略． 6．增量代换

对于几个有大小关系的变量，有时通过引进增量的方法，建立它们之间的等量关系，可以给解题带来意外的收获．

7．分式代换

当已知条件中出现形如“abc =1”的式子时，运用分式代换能使原问题的解决峰回路转． 8．高次代换

当已知条件中出现形如“abc =1”的式子时，除了运用以上的分式代换外，有时也可运用高次代换降次处理．

9．均值代换

对于任意n 个实数12n a a a ，，，若12n a a a c +++= ，

则可设11c a t n

=+，22c a t n

=

+，…，

n n c a t n

=

+，其中120n t t t +++= ，此种代换称为均值代换．

10．目标代换

运用目标代换的主要思路是将所求代数式用一个待定系数进行代换，并通过它建立不等关系，运用重要不等式，最后根据重要不等式求最值的条件确定待定系数的值．

例1 设,,x y z R +∈1z =，试证明23

xy xz +≤

证明：（三角代换法）令2sin z a =2cos α，2cos sin x αβ=，2cos cos y αβ=，

,(0,

]2

π

αβ∈，

则2222(2)cos sin (cos cos 2sin )xy xz x y z αβαβα+=+=+

2

2

2

2

sin (2cos cos cos )(cos cos 2sin )2cos βαβαβααβ

=

-+-

2222

2

sin 2cos cos cos cos cos 2sin sin (

)2cos 2

2cos βαβαβαα

ββ

β

-++≤

=

--

构造斜率可得，当3

x =13y z ==

时，23

xy xz +≤

．

例2 已知,,a b c R +∈，证明

9473843248

a b c b c

c a

a b

+

+

≥

+++．

证明：（分母代换法）令3b c x +=，84c a y +=，32a b z +=， 则111386a x y z =-+

+

，131216

4b x y z =

-

+

，111616

12c x y z =

+

-

，

于是

9141914961

()()()38432861648

a b c y x z x z y b c

c a

a b

x y x z y z +

+

=

+++++-

+++． 由均值不等式，得

1419149611116147

()()()461286164886164848

y x z x z y x y x z y z +++++-≥⨯+⨯+⨯-=

． ∴

9473843248

a b c b c

c a

a b

+

+

≥

+++

例3 设a b c R +∈，，，且1abc =，求

11111

1

1

a b b c c a +

+

≤++++++

证明：（高次代换法）令3a x =，3b y =，3c z =，

其中x y z R +∈，，，则由已知条件有1xyz =，用比较法易证明：3322x y x y y x +≥+，从而有

同理，有

11

x b c x y z

≤

++++，

11

y c a x y z

≤

++++．

将以上三式相加，得

1

11

111

1

a b b c c a +

+

≤++++++，

例4 对所有a b c R +∈，，

1+≥

证明：

（整体代换法）令x y ==

，z =

，

则(0,)x y z ∈+∞，，．2

2

2

8a

x a bc

=+，因此，2

2

181bc x

a

-=．

同理有

2

2

181

ac y b

=

-，

2

2

181ab z

c

-=

，

2

2

2

sin (2cos )cos (cos cos 2sin )

2cos ββαβααβ

=

-+-3

3

2

2

2

2

1111

1

1

1

()

z z a b x y x y xy x y xy xyz

xyz x y z x y z

=

≤

=

=

++++++++++++＝