第4章 截切立体的投影

1、平面立体截切的基本形式
2、截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其形状取 决于平面体的形状及截平面对平面体的截切位置。 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。
求截交线的实质是求两平面的交线
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平面与平面立体相交
3、平面截切体的画图方法和步骤
关键是正确地画出截交线的投影。
（1） 求截交线的两种方法：
平面与回转体相交
例2 已知切口圆锥的正 面投影，求其余两个投影。
解题步骤：
(1)画出完整圆锥的投影。 （2）求截交线的投影。 （3）整理轮廓线，判别可见性。 （4）检查加深，完成全图。
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平面与回转体相交
例3 求圆锥被截切后的水平和侧面投影。
1 2
●
2
●
1
●
●
2
●
1
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平面与回转体相交
截交线是截平面与回转体表面的共有线。 三、解题方法与步骤
⒈ 空间及投影分析
⑴ 分析截平面与被截立体的相对位置，以 确定截交线的形状。
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小结
⑵ 分析截平面与被截立体对投影面的相对位置，以确定截交 线的投影特性。 ⒉ 求截交线 当截交线的投影为非圆曲线时，要先找特殊点，再补充 中间点，最后光滑连接各点。 注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影。 ⒊ 当单体被多个截平面截切时，要逐个截平面进行截交线的 分析与作图。当只有局部被截切时，先按整体被截切求出 截交线，然后再取局部。
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平面与平面立体相交
例2: 求三棱锥S—ABC被正垂面P截切后的投影。 分析：平面P与三棱锥的三个棱面相交，交线为三角形，三角形 的顶点是三棱锥三条棱线 SA、SB、SC与平面P的交点。
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平面与平面立体相交
s
S
3 2
● ●
3
● ● ●
1 ●
2
1
a
b 3
●
c
c
c
a
b
解题步骤：
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
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平面与回转体相交
例2：求圆柱截切后的侧面投影
●
●
●
●
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平面与回转体相交
例2：求圆柱截切后的侧面投影
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A A
1
B
B1
A
A
1
a (a1)
平面与回转体相交
例3：求圆柱截切后的水平投影
4 5 ●
●
4
●
3 2
6
● ●
●
1
6
5
（1）画出完整六棱柱的侧面投影 （2）求截交线的侧面投影
4
1
（3）确定各棱线的侧面投影，并
判别可见性。
2
3
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平面与平面立体相交
（1）画出完整六棱柱的侧面投影
（2）求截交线的侧面投影 （3）确定各棱线的侧面投影，并
判别可见性。
（4）检查、加深图线、完成全图
概述
2、 截交线的性质与形状 截交线的性质：
共有性 : 截交线是立体表面与截平面的共有线。截交线 上的点也是它们的共有点。 封闭性 : 截交线是封闭的平面曲线或折线。
截交线的形状取决于：
a) 被截立体的形状。 b) 截平面与立体的相对位置。
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平面与平面立体相交
4.2 平面与平面立体相交
4、应用举例
例1:已知斜截正六棱柱的正面投影和水平投影, 求其侧面投影。
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Байду номын сангаас 平面与平面立体相交
3(5 ) (6) 2
4 5 ●
6
● ● ●
4
●
3 2
1
●
1
6
5
（1）画出完整六棱柱的侧面投影 （2）求截交线的侧面投影
4
1
2
3
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平面与平面立体相交
3(5 )
(6) 2 1
截切立体的投影
第 4章
截切立体的投影
• 4.1 概述 • 4.2 平面与平面立体相交
• 4.3 平面与回转体相交
目录
概述
4.1 概述
1、 概念和术语
截交： 立体被平面所截。 截平面 : 用以截切物体的平面。 截切体 : 截切后的物体（立体）。 截交线 : 截平面与物体表面的交线。
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平面与回转体相交
球体截切实例 例1：求半球体截切后的水平和侧面投影。
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例2：求半球体截切后的侧面投影。
例2：求半球体截切后的侧面投影。
小结
小 结
一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成的封闭的平面 多边形，多边形的边是截平面与棱面的交线。 求截交线的方法：棱线法 棱面法
二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。
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平面与回转体相交
应用举例
例1：求圆柱截切后的侧面投影
同一立体被多个 平面截切，要逐个截 平面进行截交线的分 析和作图。
●
解题步骤：
★空间及投影分析 截平面与立体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
●
●
●
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平面与回转体相交
应用举例
例1：求圆柱截切后的侧面投影
（2）画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
先找特殊点，补充中间点。
将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。
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平面与回转体相交
4、平面截切圆柱体
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱 轴线的相对位置
PV PV PV
P
P
P
垂直 圆
倾斜 椭圆
平行 两平行直线
(1)画出完整圆锥的投影。 （2）求截交线的投影。 （3）整理轮廓线，判别可见性。
（4）检查加深，完成全图。
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平面与回转体相交
例2 已知切口圆锥的正 面投影，求其余两个投影。
解题步骤：
(1)画出完整圆锥的投影。 （2）求截交线的投影。 （3）整理轮廓线，判别可见性。
（4）检查加深，完成全图。
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1、回转体截切的基本形式
2、截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。 截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。 截交线都是封闭的平面图形。
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平面与回转体相交
3、回转截切体的画图步骤
（1） 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。 ☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，予见未知投影。
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作业要求
1、画投影图时，直接量尺寸画，不 要画45°线； 2、点的投影画“·”，并用相应的 小写字母表示； 3、水平或垂直的作图线用细实线并 保留，以便复习。
1、求斜截正六棱柱的侧面投影。
2、求三棱锥S—ABC被截切后的投影。
3、求圆柱截切后的侧面投影
4、已知切口圆锥的正 面投影，求其余两个投影。
应用举例
例1 过锥顶的截平面斜截圆锥，已知它的正 面投影，求其 余两个投影。
解题步骤：
(1)画出完整圆锥的投影。 （2）求截交线的投影。 （3）整理轮廓线，判别可见性。
（4）检查加深，完成全图。
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平面与回转体相交
应用举例
例1 过锥顶的截平面斜截圆锥，已知它的正 面投影，求其 余两个投影。
解题步骤：
★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
（2） 求截交线的步骤：
★ 空间及投影分析
☆ 截平面与立体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 确定截交 线的形状
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交线， 并连接成多边形。
确定截交线 的投影特性
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平面与平面立体相交
5、求圆锥被截切后的水平和侧面投影。
6、求半球体截切后的侧面投影。
6、平面截切球体
平面截切球时，不论截平面的位置如何，截交线的形状均 为圆，该圆的直径大小与截平面到球心的距离有关，但由于截 平面相对于投影面的位置不同，截交线投影的形状也不同。
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平面与回转体相交
球体截切实例 例1：求半球体截切后的水平和侧面投影。
两个侧平面截圆球的截 水平面截圆球的截交线 交线的投影，在侧视图 的投影，在俯视图上为 上为部分圆弧，在俯视 部分圆弧，在侧视图上 图上积聚为直线。 积聚为直线。
求截交线的步骤如下：
（1）画出完整三棱锥的投影。 （2）求截交线上的点。
1 a
●
s
●
2
（3）依次连线，判别可见性。
平面与平面立体相交
求截交线的步骤如下：
（1）画出完整三棱锥的投影。 （2）求截交线上的点。 （3）依次连线，判别可见性。
（4）检查、加深全图，完成全图。
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平面与回转体相交
4.3 平面与回转体相交
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平面与回转体相交
例3：求圆柱截切后的水平投影
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平面与回转体相交
5、平面截切圆椎体
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不 同，截交线有五种形状。
PV
PV θ PV PV α
θ
α
θ PV
α
θ = 90° 圆
过锥顶 两相交直线
θ ＞α 椭圆
θ =α 抛物线
θ = 0°＜α 双曲线
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平面与回转体相交