运筹学课后习题答案--林齐宁版本--北邮出版社

1
y2
3
1
1
2
0
1
OBJ= 3
zj
1
1
2
zj cj
0
0
1
0
1
0
1
Cj
1
1
1
0
0
CB
YB
b
y1
y2
y3
y4
y5
1
y3
4
1
0
1
1
0
1
y2
11
3
1
0
2
1
OBJ= 7
zj
2
1
1
1
1
zj cj
1
0
0
1
1
入变量
答：迭代到第三步，x1 为入变量，但主列中技术系数全为负值，故对偶问题 有可行解但解无界，由弱对偶定理推论可知，原问题无可行解。
0
0 14/5 2/5
bi/aij*
答：最优解为 x1 =14，x2 =33，目标函数值为 254。
2、用大 M 法解下面问题，并讨论问题的解
max f (x) 10x1 15x2 12x3
5x1 3x2 x3 9
s.t.
5x1 6x2 15x3 15
2x1 x2 x3 5
x1, x2 , x3 0,
y4 +
4 y5 3
y1, y2 , y3 , y4 , y5 0
有对偶问题解的单纯形表如下：
Cj
1
1
1
0
0
CB
YB
b
y1
y2
y3
y4
y5
0
y4
4
1
0
1
1
0
0
y5
3
1
(1)
2
0
1
OBJ=
0
zj
0
0
0
0
0
zj cj
1
1
1
0
0
Cj
1
1
1
0
0
CB
YB
b
y1
y2
y3
y
y5
0
y4
4
1
0
(1)
1
0
2
3、用单纯形法解下面的线性规划
max f (x) 2x1 5x2 3x3
3x1 2x2 x3 610
s.t.
x1 6x2 3x3 125 2x1 x2 0.5x3 420
x1, x2 , x3 0,
解 ：在约束行 1,2,3 分别添加 x4, x5, x6 松弛变量，有初始基础可行解和单纯形 法迭代步骤如下：
0 11/2 0 9/8 11/8 0
答：最优解为 x1 =244.375, x2 =0, x3 =123.125, 剩余变量 x6 =847.1875；最优解 的目标函数值为 858.125。
运筹学作业标准答案 (教师用)
3
No.2 两阶段法和大 M 法
1、用两阶段法解下面问题：
min f (x) 4x1 6x2
0
x4 1705/3 (10/3) 0
2
1 1/3 0 170.5
5
x2
125/6 1/6 1
1/2
0
1/6 0
－
0
x6 2395/6 11/6 0
0
0 1/6 1
－
OBJ= 625/6 zj 5/6 5
5/2
0
5/6 0
cj - zj 17/6 0
1/2
0 5/6 0
Cj
2
5
3
0
0
0
CB
XB
b
x3
x4
x5
x6 bi/aij*
0
1 3/5 1/5 3/5 1/5
1
0 1/5 2/5 1/5 2/5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 1
第二阶段
Cj 4 6
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
6
x2
33
0
1 3/5 1/5
4
x1
14
1
0 1/5 2/5
OBJ= 254 zj 4 6 14/5 2/5
cj - zj
1
1
0
0
1
1
OBJ= 5M
zj
2M
M
M
0
0
cj - zj
10+2M
15+M
12+M
0
0
Cj 10
15
12
0
0
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
10 x1
9/5
1
3/5 1/5 1/5
0
0
x5
24
0
9 (16) 1
1
M x7
7/5
0
1/5 3/5 2/5
0
M
M
M
0
0
M
x6
x7
0
0
0
0
1
1
OBJ= 187M/5 zj
2
1
0
1
0
80
(3)
1
0
1
0
1 75/3*
4 3
1
1
1 1
4
3
1 1
0
0
0
0
0
0
1 1
x1
x2
x3
x4
x5
x6 bi/aij*
0 (5/3) 1 1/3
1 1/3 553/5*
1
1/3
0 1/3 0 1/3 253
0 5/3 1 1/3 1 1/3
0
5/3 1 1/3
0 4/3
0
0
0
0
1 1
x1
x2
No.3 线性规划的对偶问题
1、写出下列线性规划问题的对偶问题：
max f (x) 2x1 3x2 5x3
(1)
s.t.
x1 x2 x3 x4 5 2x1 x3 4
x2 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4 不限
解：对偶问题为
min g( y) 5y1 4 y2 6 y3
CB 1 1 OBJ=
XB x5 x6 155
CB
XB
1
x5
0
x1
OBJ= 55
CB
XB
0
x2
0
x1
OBJ= 0
Cj b 80 75
zj cj - zj
Cj b 55 25
zj cj - zj
Cj b 33 14
zj cj - zj
0
0
0
0
1 1
x1
x2
x3
x4
x5
x6 bi/aij*
1
解：第 1、2 行约束条件添加 x4, x5 松弛变量，第 3 行添加 x6 剩余变量和 x7
运筹学作业标准答案 (教师用)
4
人工变量，有如下初始单纯形表和迭代步骤：
Cj 10
15
12
0
0
0
M
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
0
x4
9
(5)
3
1
1
0
0
0
0
x5
15
5
6
15
0
1
0
0
Hale Waihona Puke M x752
Cj
2
5
3
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6 bi/aij*
2
x1 1955/8 1
3/2
0
3/8 1/8 0
3
x3
985/8
0
5/2
1
1/8 3/8 0
0
x6 13555/16 0 11/4 0 11/16 1/16 1
OBJ= 6865/8 zj
2 21/2 3 9/8 11/8 0
cj - zj
x1 x2 x3 x3 x4 5
s.t.
6x1 7x2 9x3 9x3 x5 16 19x1 7x2 5x3 5x3 x6 13
19x1 7x2 5x3 5x3
x7 13
x1, x2 , x3 , x3, x4 , x5 , x6 , x7 0
运筹学作业标准答案 (教师用)
4
s.t.
y3 y4
3
y5 y6 8
y1, y3 , y5 0, y2 , y4 , y6 0
第二种解法：将原问题的约束条件该写为
00xx21
2 4
6 10
0 x3 12 4
并 令 x1 x1 2, x2 x2 4, x3 x3 12, 则 原 问题改写为下左式，并有对偶问题如下 式，
1
OBJ= 33M/2 zj
10
93/8+
12
21/8+
5/8+
M
43M/80
7M/16 3M/80
M
cj - zj
0
27/8
0
21/8
5/8
M
0
43M/80
7M/16 3M/80
答：最后单纯形表中检验数都小于等于 0，已满足最优解判定条件，但人工
变量 x7 仍未迭代出去，可知原问题无可行解(无解)。
max f (x) 4x1 3x2 解 ：对偶问题为
约束条件标准化为
x1 x2 1
s.t.
x2 1 x1 2x2 1
x1, x2 0,
min g( y) y1 y2 y3
s.t.
y1
y1 y2
y3 4 2y3
3
y1, y2 , y3 0
y1 y1
y2
y3 2 y3
min f (x) 4x1 3x2 8x3 116
x1 8
s.t
x2
x3
10 4
x1 , x2 , x3 0
max g( y) 8y1 10 y2 4 y3
y1 4
s.t
y2 y3
3 8
y1, y2 , y3 0
2、写出下问题的对偶问题，解对偶问题，并证明原问题无可行解
(2)如果组织这次生产有一次性的投入 20 万元，由于与产品的生产量无关， 故上述模型只需要在目标函数中减去一个常数 20 万，因此可知对模型的 解没有影响。
2、将下列线性规划化为极大化的标准形式
min f (x) 2x1 3x2 5x3
x1 x2 x3 5
s.t.
|196xx11 x1, x
y1 2 y2 2
s.t.
y1
y3 3
y1 y2 y3 5
y1
y3 0
y1 0, y2 0, y3 不限
min f (x) 4x1 3x2 8x3
(2)
2 x1 6
s.t.
4 x2 14
12 x3 8
解：原问题的约束条件可改写为右式
x1 6
运筹学作业标准答案 (教师用)
1
No.1 线性规划
1、某织带厂生产 A、B 两种纱线和 C、D 两种纱带，纱带由专门纱线加工而
成。这四种产品的产值、成本、加工工时等资料列表如下：
项目
产品
A
B
C
D
单位产值 (元) 单位成本 (元) 单位纺纱用时 (h) 单位织带用时 (h)
168
140
1050
406
42
0
0
14/5 2/5
min{( zj - cj)/ai*j} ai*j<0 {4,3*}
{2/5*,6}
答：最优解为 x1 =14，x2 =33，目标函数值为 254。
运筹学作业标准答案 (教师用)
6
3、用对偶单纯形法求下面问题
min f (x) 4x1 6x2
s.t.
3x1x12 xx22
80 75
x1, x2 0
解：
CB
XB
0
x3
0
x4
OBJ=
0
CB
XB
6
x2
0
x4
OBJ= 240
CB
XB
6
x2
4
x1
OBJ= 254
Cj b
80 75 zj zj - cj
max f(x)=(16842)x1 +(14028)x2 +(1050350)x3 +(406140)x4 =126 x1 +112 x2 +700 x3 +266 x4
3x1 2x2 10x3 4x4 7200
s.t.
2x3 0.5x4 1200
xi 0, i 1,2,3,4
s.t.
3x1x12 xx22
80 75
x1, x2 0
解：将原问题变为第一阶段的标准型
max f (x) 0 x1 0 x2 x5 x6
s.t.
3x1x12 xx22
x3 x4
x5 x6
80 75
x1, x2 , x3, x4 , x5 , x6 0
第一阶段单纯形表
Cj
2
5
3
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6 bi/aij*
0
x4
610
3
2
1
1
0
0 610/2
0
x5
125
1 (6)
3
0
1
0 125/6*
0
x6
420
2
1
1/2
0
0
1 420/1
OBJ= 0
zj
0
0
0
0
0
0
cj - zj
2
5
3
0
0
0
Cj
2
5
3
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6 bi/aij*
x1
2
x2 14 x2 4
x3 8
x3 12
x1
不限, x2
0, x3
0
令改写后约束条件每行对应的对偶变量为 y1,...,y6，则有对偶规划如下：
运筹学作业标准答案 (教师用)
5
max g( y) 6 y1 2 y2 14 y3 4 y4 8y5 12 y6
y1 y2
28
350
140
3
2
10
4
0
0
2
0.5
工厂有供纺纱的总工时 7200h，织带的总工时 1200h。
(1) 列出线性规划模型，以便确定产品的数量使总利润最大；
(2) 如果组织这次生产具有一次性的投入 20 万元，模型有什么变化？对模型