(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答

1 / 28
习题8-1
1. 求下列函数的定义域： (1) y x z -= ；
解：0,0x y D ≥≥⇒=
(
){,0,x y y x ≥≥
(2) 2
2
1)ln(y
x x
x y z --+
-=；
解：2
2
0,0,1y x x x y D -≥≥--⇒=(){}
2
2,01x y y x x
y >≥+<且
(3) )0(1
2
2
2
2
2222>>-+++
---=
r R r
z y x z y x R u ；
解：2
2
2
2
2
2
2
2
0R x y z x y z r ≤---<++-⇒，0
D ⇒=
(){}
2
2222,,x y z r
x y z R <++≤
(4) 2
2
arccos
y
x z u +=。

221,0x y D ≤+≠⇒=
(
){}
22,0x y z x y ≤
+≠
2. 求下列多元函数的极限:： (1) 2
2
y 0
1)e ln(lim
y
x x y x ++→→；
解：y 1ln 2x y →→=
= (2) xy xy y x 4
2lim
0+-→→；
解：令t=xy
，1
2
0000
1(4)1
2lim 14x t t y t -→→→→-+===-
2 / 28
(3) x xy
y x sin lim
5
0→→；
解：0050
sin sin lim
5lim 55x x y y xy xy
x x →→→→==
(4) 2
2x 2
2220
0e
)()cos(1lim
y y x y x y x ++-→→；
解：2222222
2
222x 001cos()1
1cos()2(sin ),lim 20022()e
y x y x y x y x y x y →→+-+-+=∴=⋅⋅=+Q (5) xy
y x y x )(lim 220
+→→。

解：0,xy >设22
ln()xy x y +两边取对数，由夹逼定理
2200
222222lim ln()
2
2
2
2000
ln()()ln()
0lim ln()0,lim()1
x y xy x y xy
x x y y xy x y x y x y xy xy x y x y e
→→+→→→→≤+≤++<+=∴+==xylnxy 当时同理可得,
3. 证明下列极限不存在： (1) y x y
x y x -+→→0
0lim
；
证明：(1)(,)(,)(,)(1)m x x y y mx f x y f x mx m x
+===
-当沿直线趋于原点(0,0)时.
00
1lim
,1x y x y m
m x y m →→++=--不同时,极值也不同,所以极限不存在。

(2) 222220
0)(lim y x y x y x y x -+→→。

证明：
22
22200
(,)(,)(,)1,lim 1
()x y x y x y y x f x y f x x x y x y →→====+-当沿直线趋于原点(0,0)时,
3 / 28
22
22200
(,)2(,)(,2)0lim 0,()x y x y y x f x y f x x x y x y x y →→====+-当沿直线趋于原点(0,0)时,极值不同，所以不存在
4. 讨论下列函数在点(0,0)处的连续性：
(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,
00
),ln()(),(2
2222222y x y x y x y x y x f ； 解：2222
000
lim (,)lim()ln()0(0,0)x x y y f x y x y x y f →→→→=++==连续，
(2) ⎪⎩⎪⎨⎧
=≠+=0,
00
,1cos )(),(x x x
y x y x f ； 解：0
000
1
0lim (,)lim()cos
0,0,lim (,)0
x x x y y y x f x y x y x f x y x →→→→→→≠=+===连续，时，时
lim (,)(0,0)0x y f x y f →→∴==
(3) ⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(22222
2y x y x y x xy
y x f 。

解：22
2,()00xy
f x x y
=
+不连续在（，）处极限不存在。

2
2(,)(0)(,)(,)1m x y y mx m f x y f x mx m =≠==
+当沿直线趋于原点(0,0)时.
2
00
2lim (,),1x y m
f x y m m
→→=
+不同时,极值也不同,所以极限不存在。

习题 8-2
1. 求下列函数的一阶偏导数： (1) y
x xy z +
=
4 / 28
解：
21,z z
y x xy x y y
-∂∂=+=-∂∂ (2) 2
2
arcsin
y
x x z +=；
解：()
2222,y z z xy x x y y y x y ∂∂-==
∂+∂+ (3) ⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+=x y y x z arctan -2
2e )(；
解：
arctan arctan arctan 222212()(1)(1)(2)1()y y y
x x x
z xe x y e y x e x y y x x ----∂=++⋅-⋅⋅-=+∂+
arctan arctan arctan 222112()(1)(2)1()y y y
x x x
z ye x y e y e y x y y x x
---∂=++⋅-⋅⋅=-∂+
(4) x
y y x z ⋅=；
解：1()()(ln )y x
x y y x z x y y x x y y x y x x x
-∂∂∂=+=⋅+∂∂∂， 11ln (ln )y x y x y x z
x x y x xy x y y x x y
--∂=⋅+⋅=+∂ (5) )ln ln(),(v u v u f +=；
解：
111,ln ln f f u u v v u v v
∂∂==⋅∂+∂+ (6) t y x f y
x
t d e ),(2
⎰
=；
解：
2222, x x y y f x f y e e e e x x y y
∂∂∂∂=-⋅=-=⋅=∂∂∂∂ (7) z
y x u =
解：
11,ln ,ln ln z z z z y y z y z u u u y x x x z y x x y y x y z
--∂∂∂=⋅=⋅⋅=⋅∂∂∂ (8) )2sin(21n nx x x u +++=Λ。

5 / 28
解：
121212cos(2),2cos(2),,n n u u x x nx x x nx x x ∂∂=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅∂∂
12cos(2)n n
u
n x x nx x ∂=++⋅⋅⋅+∂ 2. 求下列函数在指定点处的一阶偏导数： (1) y x
y x z arcsin
)1(-+=, 点 (0,1)；
解：
(0,1)1(=101,z
z
y x
x ∂∂=+-∴+=∂∂
(0,1)
0((=0z z y y y ∂∂
=+-∴
∂∂ (2) x
y
x e x z y
arctan )1(2-+=, 点 (1,0)。

解：
22(1,0)1
2arctan (1),=2+0+0=2;1y z y
y z e x x x x x x y x ∂∂⎛⎫=⋅++--∴
⎪∂∂⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭
22(1,0)1
1(1),=1+0=11y z
z
x e x y
x y y x ∂∂⎛⎫=+-∴
⎪∂∂⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭
3. 求曲线⎪⎩
⎪⎨⎧=+=
4422y y x z 在点 (2,4,5) 处的切线对于x 轴的倾斜角。

解：(2,4)(2,4)1,tan 1,24
x x z π
θθ=
=∴=∴= 4. 设⎪
⎩⎪⎨⎧
=+≠++=,0,
0,0,),(22222
2y x y x y x xy y x f 证明),(y x f 在点)0,0(处连续且偏导数
存在。

6 / 28
解：220,
y x +≠≤
≤Q
连续性：当x 时, (,)(0,0)
lim
(,)0(0,0). (,)00x y f x y f f x y →∴==∴在（，）处连续
00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→+∆--===∆∆
00(0,0)(0,0)00
(0,0)lim lim 0y y y f y f f y
y ∆→∆→+∆--===∆∆
5. 求下列函数所有的二阶偏导数： (1) y
x y x f =),(；
解：22
12112,(1),(ln ),ln ,y y y y y f f f f y x y y x x y x x x x x x x y y
----∂∂∂∂=⋅=-=+=⋅∂∂∂∂∂ 222
(ln )y f
x x y
∂=∂ (2) x
y
y x f arctan ),(=； 解：
2
222222
11
1=()=,=()=,11f y y f
x x
x x y y
x x y y y x x ∂-∂=⋅-=⋅∂+∂+⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
222222222
22222222222
2
2222()2,,()()()()f xy f xy f f x y x y x x x y y x y x y y x x y x y ∂∂∂∂+--==-===∂+∂+∂∂∂∂++
(3)t
x
z ln =
解：2ln 1ln ln 221ln ,lnx ,ln (ln 1),t t
t z z z t x x t t x x t t x --∂∂∂=⋅=⋅=-∂∂∂ 2ln 1ln 1ln 1111ln ln (1ln ln )t t t z x t x x x t x x t t t t ---∂=+⋅=+⋅∂∂
2ln 2ln ln 2221ln ln lnx ln (1)(ln 1)t t
t z x x x x t x x x t t t
-∂=⋅⋅+⋅-=⋅⋅-∂ 6. 求下列函数指定的高阶偏导数：
7 / 28
(1) 2
323,),
ln(y x z
y x z
xy x z ∂∂∂∂∂∂=； 解：
22323
222
111ln()ln()1,,111
0, z z xy x y xy y x xy x xy x z z z x x y x y xy y x y y ∂∂=+⋅⋅=+=⋅=∂∂∂∂∂==⋅==-∂∂∂∂∂∂
(2) 623
,a
b c
u u x y z x y z
∂=∂∂∂。

解：61123
23
(1)((1)(2))a b c a b c u u ax y z ax b b y c c c z x x y z ----∂∂==-⋅--∂∂∂∂ 2311122
(1)a b c a b c
u u ax by z ax b b y z x y x y ----∂∂==-∂∂∂∂ 7. 证明2
2
2
z y x r ++=满足方程r
z r y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂。

解：
1
222
21()22
r x y z x x -∂=++⋅=∂
322222222
222311()()22r
y z y z x x y z x x
r r r -∂++=-++⋅=⋅=∂
由对称性，有：222222
23
23,r x z r x y y r z r ∂+∂+==∂∂
2222222222332()22
r r r x y z r x y z r r r
∂∂∂++∴++===∂∂∂
习题8-3 1. 求下列函数在指定点的全微分： (1) )2,1(),1ln(02
2
P y x z ++=；
解：2222(1,2)2211z z x y
dz dx dy dx dy x y x y x y ∂∂=
+=+∂∂++++
8 / 28
1112
21411411433
dx dy dx dy =
⋅⋅+⋅=+++++
(2) ⎪⎭
⎫
⎝⎛++=+4,4,
)sin(0ππP e y x x z y
x 。

解：(sin()cos())(cos())x y
x y dz x y x x y e
dx x x y e dy
++=+++++++
2
2
11(,)4
4
(1)dz e dx e dy ππππ∴=++
2. 求下列函数的全微分： (1) )sin()cos(xy y x z ++=；
解：(sin()cos )(sin()cos )dz x y y xy dx x y x xy dy =-+++-++ (2) y
x y
x z -+=arctan ； 解：212
1
((
)(()(1)()()))1()
dz x y x y x y dx x y x y
--=⋅+--+-+++- 212222
21(()(()()()))1()y x x y x y x y dy dx dy x y x y x y x y
---⋅+-+-=+++++- (3) 222ln z y x u ++=；
解
：
11112
2
22222222222
2
22
11()()2()()22
du x y z x y z xdx x y z x y z --=++⋅++⋅+++⋅++
1
1
2
2
2222
2
2222
12()()22xdx ydy zdz ydy x y z x y z zdz x y z -++⋅+++⋅++⋅=
++ (4) yz
x u =。

解：()()1
ln ln yz yz yz du yzx dx zx x dy yx x dz -=++
3. 证明函数
9 / 28
⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin )(),(22222
22
2y x y x y x y x y x f
在点(0,0)处可微，但偏导数在(0,0)处不连续。

证明：22
01
()sin
0(0,0)(0,0)
()
(0,0)lim
lim 0x x x x f x f x f x x
∆→∆→∆-+∆-∆===∆∆
22
01
()sin
0(0,0)(0,0)
()(0,0)lim
lim 0y y y y f y f y f y
y
∆→∆→∆-+∆-∆===∆∆
当(,)(0,0)x y ≠时，222222
121
(,)2sin
cos x x f x y x x y x y x y
=-+++ 当点(,)P x y 沿直线y x =趋于(0,0)时，
22(,)(0,0)
0111lim
(,)lim 2sin cos 22x x x x f x y x x x x →→⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭不存在，所以
(,)x f x y 在(0,0)不连续；同理可证(,)y f x y 在(0,0)不连续。

2222
22
1
()()1
0(0)
()()f f x f y
x y x y ρ∆-∆-∆=
=
∆+∆=→→∆+∆
故(,)f x y 在(0,0)可微，且(0,0)
0.df =
*4. 利用全微分计算下列函数的近似值： (1) 33)97.1()02.1(+；
解：
00 x 1 y 2 =0.02 y=-0.03f x ===∆∆令，，，，
1
13
33
32
2
(x,y)=f(1,2)+f (1,2)(1,2)y 0.5()3 0.5()3x y x y f x y x f f x y x f x y y --=+∆+∆∆+∆=+⋅=+⋅，
10 / 28
(2) ο
ο46tan 29sin 。

解：00(,)sin tan ,x , y , =,y=
6
4
180
180
f x y x y x π
π
π
π
==
=
∆-
∆令
2
1tan cos ,sin ,sin 29tan 460.502cos x y f y x f x y
==
∴=o o
习题8-4
1. 求下列函数的导数或偏导数： (1) dt
dz t y t x y x z 求
,1,1),
ln(2
+=+=+=；
解：112
2
221(1)(112t t dz z dx z dy dx y dy dt x dt y dt x y dt x y dt --++∂∂=+=+=∂∂++
=(
)
21
1⎛+ (2) dx
du x y x
y u 求
,1,2-==
；
解：12211(1)(2)(1)2du x x x dx x -=--+-==(3) θ
θθ∂∂∂∂==-=z
r z r y r x xy y x z ,,
sin ,
cos ,
2
2求
； 解：2
2
2
2
3
cos sin cos sin sin cos (cos sin ),z r r r r r θθθθθθθθ=-=-
()()()233sin cos cos sin ,sin cos 13sin cos z z r r r θθθθθθθθθ
∂∂=-=+-∂∂ (4) w
t
v t u t wu z vw y uv x xy z t ∂∂∂∂∂∂====,,,,,),
sec(求。

解：2
sec()t wu uv w =
()()()22222sec sec tan t
w uv w w uv uv w uv w u
∂=+∂
11 / 28
()()22222sec tan t
w u v uv w uv w v
∂=∂ ()()()22222sec sec tan t
u uv w u v w uv w uv w w
∂=+∂ 2. 求下列函数的一阶偏导数（其中f 为可微函数）： (1) ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=y x xy f z ,；
解：
121221,z z x
yf f xf f x y
y y ∂∂=+=-∂∂
(2) (
)xy
e y x
f z ,22-=；
解：
12122,2xy xy z
z
xf ye f yf xe f x
y
∂∂=+=-+∂∂ (3) (
)2
2
2z y x f u -+=；
解：
2,2,2u
u
u
xf yf zf x y z
∂∂∂'''===-∂∂∂ (4) ),,(xyz xy x f u =； 解：
123233,,u
u
u
f yf yzf xf xzf xyf x y z
∂∂∂=++=+=∂∂∂ 3. 设dx
dz e v x u dt e z x u
v u
t 求
,,sin ,22
2===
⎰
+-。

解：
2222
()4()(2)v u u dz d v u d u e e dx dx dx -+-+=-
22
2
(sin )24sin (2cos )2cos x
e
x x x e e x e x -+-=⋅+-⋅
4. 设)(u xF xy z +=，而)(,u F x
y
u =为可微函数，证明：
xy z y
z y x z x
+=∂∂+∂∂。

证明：
2'()(1)()()'()z y
y F u x yx F u y F u F u x x
-∂=+-+=+-∂
12 / 28
'()2()z
x F u y
z z
x y xy xF u xy z
x y
∂=+∂∂∂∴+=+=+∂∂
5. 设)
(22y x f y
z -=
，其中)(u f 为可导函数，证明：
211z z z
x x y y y
∂∂+=∂∂。

证明：2
2
22'(),
()
z z u xyf u u x y x u x f u ∂∂∂=-=⋅=-∂∂∂令
22
1'()
(2)()()
111()z z u yf u y y u y f u f u z z z x x y y yf u y
∂∂∂-=⋅=+⋅-∂∂∂∂∂∴+==∂∂ 6. 设)(2
2
y x f z +=，其中f 有二阶导数，求2
2222,,y z
y x z x z ∂∂∂∂∂∂∂。

解：2222
222'2,4''2',4'',4''2'z z z z f x x f f xyf y f f x x x y y
∂∂∂∂=⋅=+==+∂∂∂∂∂ 7. 设f 有二阶连续偏导数，求下列函数的二阶偏导数： (1) (
)22,xy
z f x y e
=-；
解：22222121112222244xy xy xy
z f y e f x f xye f y e f x ∂=++++∂
()()222221112221422xy xy xy z
xy e f xyf x y e f xye f x y
∂=+-+-+∂∂ 22222121112222244xy xy xy z
f x e f y f xye f x e f y
∂=-++-+∂ (2) (
)y
x e y x f z +=,cos ,sin 。

解：
1323cos ,(sin )x y x y z z
f x f e f y f e x y ++∂∂=⋅+⋅=⋅-+⋅∂∂
13 / 28
()222131113332sin cos 2cos x y x y x y z
xf e f xf e xf e f x +++∂∴=-++++∂ ()22312133233cos sin cos sin x y x y x y x y z
e f x yf e xf e yf e f x y
++++∂=-+-+∂∂ ()222232223332cos sin 2sin x y x y x y
z yf e f yf e yf e f y
+++∂=-++-+∂
习题 8-5
1. 求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数： (1) 2
sin 0x
y e xy --=, 求
dy dx
； 解：2
2
(,)sin ,(,),(,)cos 2,
x
x
x y F x y y e xy F x y e y F x y y xy =--=--=-
2
(,)(,)cos 2x x y F x y dy e y dx F x y y xy +∴=-=
-
(2) arctan y x
=，求22d y d x ；
解：(,)arctan
,y
F x y x
= 222
2221
(,),1x x
y x y F x y x y x x y y x +⎛⎫
=
--= ⎪++⎝
⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭
222
22
1
1(,),1y y
y x F x y x y
x x y y x -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭
()()222
322
(1)()(1)(1)2(,),(,)()x y dy dy
x y x x y F x y dy x y d y dx dx dx F x y x y dx x y x y +--+-++∴=-===--- (3) xyz
z e
=, 求
,z z
x y
∂∂∂∂；
14 / 28
解：(,,),(,,),(,,),
xyz xyz xyz x y F x y z e z F x y z yze F x y z xze =-==
(,,)1,,11
xyz xyz
xyz
z xyz xyz dz yze dz xze F x y z xye
dx xye dy xye =-∴=-=---
(4) z
z e xy +=，求2z
x y
∂∂∂。

解：(,,),(,,),(,,),(,,)1,
z z x y z F x y z z e xy F x y z y F x y z x F x y z e =+-=-=-=+
(,)(,),,(,)11(,)1y x z z z
z z F x y F x y z y y z x
x F x y e e y F x y e ∂-∂∴=-=-==-=∂++∂+
()
()()
2
2
2
3
(1)111z z z z
z z z e y e e xye z y
x y
e e ∂+-⋅⋅
+-∂∂==
∂∂++
2. 设(,),(,),(,)x x y z y y x z z z x y ===都是由方程(,,)0F x y z =所确定的具有连续偏导数的函数，证明
1x y z
y z x
∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂。

证明：()()()1y z x x y z
F x y z F F
y z x F F F ∂∂∂⋅⋅=---=-∂∂∂
3. 设函数(,)z z x y =由方程,0z
z F x y y
x ⎛⎫
+
+= ⎪⎝
⎭
所确定，证明
z z
x
y z xy x y
∂∂+=-∂∂。

证明：
2212121212(1)(1),1111y x z z F F F x F y F F z
z x F y F F F F F y x y x
--+--+∂∂=-=-=-=-∂∂⋅+⋅⋅+⋅
z z
x
y z xy x y
∂∂∴+=-∂∂ 4. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：
(1) 22
222
,
2320,
z x y x y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩ 求,dy dz dx dx ；
15 / 28
解：22222
(,,)0,(,,)23200,
F x y z x y z
G x y z x y z =+-==++-=
()()220,246061,23131
x x x x x yy z x yy zz x z dy dz x dx y z dx z +-=++=-+∴
==
++
(2) 22222
0,
0,
x y uv xy u v ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩ 求,,,u u v v x y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂； 解：2
2020,2220220y y x x y y x x y u v uv x u v uv xy uu vv y uu vv --=--=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨-+=-+=⎪⎪⎩⎩ 2
222
2222224242,,,2222u xv uy u yv xyu v xv vy v yu xyv
x u v y u v
x u v y u v
∂+∂+∂-∂-====∂+∂+∂+∂+
(3) 2
(,),
(,),
u f ux v y v g u x v y =+⎧⎨
=-⎩ 其中,f g 有一阶连续偏导数，求
,u v x x
∂∂∂∂。

解：1212(())0
((1)2)0x x x x
x x u f u x u f v v g u g y vv -⋅++=⎧⇒⎨
-⋅-+⋅=⎩
()()()()()()122111112211221
211,121121uf yvg f g g xf uf u v x xf yvg f g x xf yvg f g ---+-∂∂==∂---∂---
5. 设(,)y f x t =，(,,)0F x y t =，其中,f F 有连续一阶偏导数，证明
x t t x
t t y
f F f F dy dx F f F -=+。

证明：(),y x x t t x x t t t t t y
F F f F f F
dy dy dy f f dx F F dx dx F f F -=+--⋅∴=+
习题8-6
1. 求函数ln()z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)
到点(2,2+的方向导数。

解：111
cos ,cos , ,2x y f f x y x y α=
=β====++
16 /
28
11(1,2), ,(1,2)33x y l f f f ∴===
2. 求下列函数在指定点沿指定方向l v
的方向导数：
(1) arctan ,(1,1),(2,1)y
z x P l x
==v ；
解：2
2221arctan
()arctan ,1x y x y xy
z y x
x x x y
y x =+⋅⋅-=-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭
222,cos 1()(1,1)cos (1,1)cos 22y l x y x z x y z p z z π=α=β=
+⎫=α+β=
-⎪⎝⎭
(2) cos ,(0,1,0),(2,1,2)x
u e yz P l ==-v
；
解：cos ,(sin ),(sin )x x x x y z u yz e u e yz z u e yz y
=⋅=-⋅=-
2122
cos ,cos ,cos ,()3333
l u p γα=β==-∴=
(3) ln ,(3,4,12),(3,6,2)u r r P l ===-v
其中。

解：cos ,(sin ),(sin ),
x x x
x y z u yz e u e yz z u e yz y =⋅=-⋅=-
2122
cos ,cos ,cos ,()3333
l u p α=β=χ=-∴=
3. 求下列函数在指定点的梯度：
(1) (
)
22
(,)ln (1,1)f x y x xy y P =++-，； 解：2222
12(2),, (1,1)x y y x
f x y f grad f x xy y x xy y
+=
⋅+==-++++ (2) 2
2
2
(,,)23326,(1,1,1)f x y z x y z xy x y z p =++++--。

解：23,42,6 6. (6,3,0)x y z f x y f y x f z grad f =++=+-=-∴= 4. 求函数2
2
(,)f x y x xy y =-+在点0(1,1)P 处的最大方向导数。

解：002,2, (1,1),()x y l f x y f x y grad f f p =-=-+==
17 / 28
习题8-7
1．求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程：
(1) 23(1),,(1,0,1)x t y t z =+=；
解：2
000'2(1),'3, ''()2,'()0,'()0
x t y t z x t y t z t =+==
===
101
:
;:1200
x y z l S x ---∴===切线方程法平面方程 (2) 2
2
0002,,(,,)y mx z m x x y z ==-； 解：
000
2002(,)(,)4,40221(,)(,)y m F G F G y z mz z z
y z z x -⎛⎫⎛⎫∂∂==== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭
()()000
000
0000000
22(,)1
2(1,,)10(,)2:;
1121
02m y F G m y l x y y z x x y y z z l m y z m x x y y z z y z -⎛⎫∂==-⇒=- ⎪
∂⎝⎭---==--+
---=v 切线方程法平面方程S: (3) 2222
2
2
,(0,0,),
x y z a a x y ax ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩。

解：
2
2222(,)(,)0,22002(,)(,)y z z x F G F G a
y x a y z z x ⎛⎫⎛⎫∂∂====- ⎪ ⎪-∂∂⎝⎭⎝⎭
2
222(,)0,(0,2,0)22(,):;:0
020
x y F G l a x a y x y x y z a
l S y a ⎛⎫∂==⇒=- ⎪
-∂⎝⎭
-⇒===-v 切线方程法平面方程
2. 求曲线2
3
,,x t y t z t ===上的点，使曲线在该点的切线与平面24x y z ++=平行。

18 / 28
解：23
2
000000002
00'()1,'()2,z'()3,:123x t y t z t x t y t t t t l t t ---=====
()2
0000111114301,1,1,1,,,33927t t t ort ⎛⎫∴++=⇒=-=-⇒---- ⎪⎝⎭
所求点为
3. 求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程： (1) 3,(0,1,2)x
e xy z ++=；
解：,,1(2,0,1)
x
x y z F e y F x F n =+==⇒=v
12
220;201x y z x z --∴+-===
切平面方程为：法线方程为： (2) arctan ,1,1,y z x π⎛⎫
= ⎪4⎝⎭
； 解：2
22
1
11,,1(,,1)221x y z y
F F F n x y
y x =-
==-⇒=--+⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
v
11(1)(1)()0,20;
2242
11
4
11
2
x y z x y z z x y ππ
π
⇒-+---=-+-=---==
-切平面方程为：-即：法线方程为：
(3) 2,(1,1,2)y z
x e
-=。

解：221,2,(1,2,1)
y z
y z x y z F F e
F e n --=-==-⇒=--v
1211)0,210;112
121
x y z x y z x y z ∴-++-+=-+-=---==
-法平面方程为：（）（）-(即：
法线方程为：
4. 求曲面2
22
x z y =+平行于平面226x y z +-=的切平面方程。

解：0000,2,1(,2,1)(2,2,1)2,1,
x y z F x F y F n x y x y ===-⇒=-=-⇒==v
032(2)2(1)30,2230
z x y z x y z ∴=∴-+---=+--=，
切平面方程为：（）即：
19 / 28
习题8-8
1. 求下列函数的极值： (1) 3
3
(,)3f x y xy x y =--；
解：22330,330,(0,0)(1,1)
x y f y x f x y =-==-=∴稳定点、
226,6,3,
(0,0)=9>0,(1,1)=270,60,(1,1)1
xx yy xy f x f y f B AC B AC A f =-=-=---<=-<=在点处，故无极值；
在点处，故取得极大值，极大值
(2) 2
3
2
2
(,)3332f x y x y y x y =+--+；
解：2
2
6603360(0,0)(0,2)(1,1)(1,1)
x y f xy x f x y y =-==+-=∴-，，稳定点、、、 22
266 666,
(1,1)(1,1)=36>0,(0,0)=360,60,(0,0)2(0,2)=60,60(0,2)2
xx yy xy f y f y f x B AC B AC A f B AC A f =-=-=----<=-<=--<=>=-，，在点、处，故无极值；
在点处，故取得极大值，极大值在点处，故取得极小值，极小值
(3) (
)(,)1cos y
y
f x y e
x ye =+-；
解：(1)sin 0,cos 0,(2,0)
y
y y y
x y f e x f e x e ye k π=-+==--=∴稳定点 2
(1)cos , cos 2,cos (2,0)=10,20,2y y y y y xx yy xy f e x f e x e ye f e x
k B AC A π=-+=--=---<=-<∴在点处，故取得极大值，极大值为
(4) (,)cos x
f x y e y =。

解：cos 0,sin 0,x x
x y f e y f e y ===-=稳定点不存在 所以没有极值 2. 求下列函数在有界闭区域D 上的最大值和最小值：
(1) {}
2
2
2
(,)4,(,)||1,||1f x y x y x y D x y x y =+++=≤≤； 解：2
220,20,(0,0),(0,0)4x y f x xy f y x f =+==+=∴=稳定点。

21211111111,1,()()5,1119
11,()210,,(1)5,(1)7,(),()
224
119
1;(1)7,()24
x y y y y y y y y y y x φφφφφφφφφ=±=±==++'-≤≤=+==--==-=∴=±=-=区域边界分别为对应的函数分别为在区域边界上的最大值、最小值分别为；
20 / 28
211111111121,()2,11,()40,0,(0)5,(1)(1)7,()1(0)5,(1)(1)7;1()1 1.(1,1)7(0,0)4
y x x x x x x x y y x x D f f ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ'==-≤≤=====-=∴===-==-=-≤≤∴±==同理，区域边界对应的函数为+5在区域边界上的最大值、最小值分别为:区域边界, 5.函数在上的最大值，最小值
(2) {
}
2
2
22
(,)22,(,)4f x y x x y D x y x y =++-=+≤； 解：1117410,20,(,0), (,0)448
x y f x f y f =+===∴--=-
稳定点。

222=422,()2,()210,
117
,(2)4,(2)8,().2247117(2,0)8(,0)448
x y x z x x x x x x z f f ϕϕϕϕϕ'+-≤≤==++=+==--==-=∴∴=-=-在区域边界上，在区域边界的最大值为8,最小值为。

函数在D 上的最大值，最小值
(3) 2
(,)1,:f x y xy x y D y x =+--=由抛物线和直线y=4所围区域。

解：1010(1,1)(1,1)0;x y f y f x f =-==-=∴=，，
稳定点， 23222=422,()3(1),(2)9,(2) 3.=22,()
21,()320,0,,(2)9,(2) 3.(0)13
25()=327
(2,y x z x x z y x x z x x x x x x x x x z y x f ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-≤≤==--=-=∴-≤≤='=--+=-===-=-===∴∴在区域边界上，在区域边界的最大值为3,最小值为-9。

在区域边界上，，，在区域边界上的最大值为3,最小值为-9。

函数在D 上的最大值4)3(2,4)9
f =-=-，最小值
3. 用拉格朗日乘数法求下列函数f 在附加条件下的最大值和最小值： (1) 22(,),1xy
f x y e
x y -=+=；
解：22(,,)(1)
xy
L x y e x y λλ-=++-
1222
1122
20
120210,xy x xy
y L ye x L xe y x y e L x y f e f
e λλλλ---⎧=-+=⎪=-+=⇒=±
==⎨⎪=+-=⎩⎛⎛∴== ⎝
⎝
m 最大值最小值
21 / 28
(2) 222
(,,),236f x y z xyz x y z =++=； 解：2
2
2
(,,)(236),
L x y xyz x y z λλ=+++-
222201,40601,23601,1,1,1,x y z L yz x x y z L xz y L xy z x y z L x y z f f f f λ
λλλλλ=+=⎧⎧==±==⎪⎪
=+=⎪⎪
⇒⎨⎨=+=⎪⎪==±==⎪⎪=++-=⎩⎩⎛⎛∴±=±= ⎝⎝⎛⎛±=±= ⎝⎝最大值最小值
(3) 2
2
2
2
(,,,),1f x y z t x y z t x y z t =++++++=； 解：2
2
2
2
(,,,,)(1)
L x y z t x y z t x y z t λλ=+++++++- 2222
1201120,12120
1,11202
10
11111111,,,2,,,,2
22222222x y z t L x L y x y z t L z x y z t L t L x y z t f f λλλλλλλ=+=⎧⎪⎧
=+======-⎪⎪⎪⎪=+=⇒⎨⎨⎪⎪====-==+=⎪⎪⎩⎪=+++-=⎩⎛⎫⎛⎫
∴=----=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
最大值最小值
(4) 22
(,)2,1,4f x y x y x y z y z =+++=+=。

解：22
1212(,,,,)2(1)(4)L x y z x y x y z y z λλλλ=++++-++-
12
112121212
22102201,1,20
1,1,1040
x y z L x L y x y z L z x y z L x y z L y z λλλλλλλλλλλ⎧=+=⎪⎧
=++=⎪====-=⎪⎪⎪=+=⇒⎨⎨⎪⎪====-==++-=⎪⎪⎩
⎪=+-=⎩
最大值(
1,
1f =+
(
1,1f =-
4. 求表面积为12m 2的无盖长方形水箱的最大容积。

22 / 28
解：,(,,)2()12
V x y z x y z xz yz xy δ=⋅⋅=++= max
(,,,)(2212)
220220412201221202
x y z L x y z xyz xz yz xy x L yz z y y L xz z x V z L xy x y L xz yz xy λ
λλλλλλλλλ=+++-=⎧=++=⎧⎪=⎪⎪=++=⎪⎪⇒⇒∴=⎨⎨==++=⎪⎪
⎪⎪=-=++-=⎩⎪⎩ 5. 平面220x y z ++-=与抛物面22
z x y =+的交线是一椭圆，求原点到该椭圆的最长与最短距离。

解：22222
1212(,,,,)()(22)
L x y z x y z x y z x y z λλλλ=++++-+++-
12121212max min 22
11221,222011,2202112202,,2801,
3322010233x y z x L x x x y L y y y L z z z f f L x y z L x y z λλλλλλλλλλλλ⎧=⎧⎧⎪=++=⎪=-⎪⎪⎪
==++==-⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
=-+=⇒==⇒==⎨⎨⎨⎪⎪⎪=+-==-=-⎪⎪⎪⎪⎪⎪
=++-=⎩=-⎪⎪=-⎩⎩
习题8-9
1. 求函数22
(,)2635f x y x xy y x y =----+在点(1,2)-处的泰勒公式。

解：22
001,2,(,)2635,(1,2)5
x y f x y x xy y x y f ==-=----+-=
()()()()
22
(1,2)0,(1,2)0,(,)4,(,)1,2(,)521122x y xx xy yy f f f x y f x y f f x y x x y y -=-===-=-∴=+---+-+ 2. 求函数(,)ln(1)x
f x y e y =+的三阶麦克劳林公式。

解：11ln(1),,ln(1),,11x
x
x x x y xx xy f e y f e
f e y f e y y
=+==+=++
23 / 28
()()()()()()222233322344323411
(1),(,)23322!3!
4686ln 1(01)241111x yy x f e y f x y y xy y x y xy y R e x y x y xy y R x y y y y y θθθθθθθ-=-+∴=+
-+-++⎡⎤=++-+-<<⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦
第八章 总练习题
1. 在“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”四者中选择一个正确的填入下列空格中：
(1) (,)f x y 在点(,)x y 可微是(,)f x y 在该点连续的（充分非必要）条件； (2) (,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数,z z
x y
∂∂∂∂存在是(,)f x y 在该点可微分的（必要非充分）条件；
(3) (,)f x y 在点(,)x y 连续是(,)f x y 在该点的偏导数存在的（既不充分又不必要）条件；
(4) (,)z f x y =在点(,)x y 连续且偏导数,z z x y
∂∂∂∂存在是(,)f x y 在该点可微分的（必要非充分）条件；
(5) (,)z f x y =的偏导数,z z x y
∂∂∂∂在点(,)x y 存在且连续是(,)f x y 在该点可微分的（_充分非必要）条件；
(6) (,)z f x y =的两个二阶混合偏导数2z x y ∂∂∂及2z
y x
∂∂∂在区域D 内连续是这两个混合
偏导数在D 内相等的（充分非必要）条件。

2. 证明极限2
2400
lim x y xy x y →→+不存在。

证明：2
2
(0,0),(,),1m
y mx f x y m ==
+趋于时极限不唯一，所以不存在 3. 证明：若(,)f x y 在全平面连续，且
22lim (,)x y f x y A +→+∞
=存在，则(,)f x y 是有界
函数。

24 / 28
证明：
22
lim (,)x y f x y A +→+∞
=，故对给定的1,ε=存在0,G >当22x y G +>时，有
1(,)1(,)1f x y A f x y A M -<⇒<+=；又若(,)f x y 在全平面连续，故在闭区间
22x y G +≤连续有界，即存在20,M >使得2(,)f x y M <。

令12max{,}M M M =，
显然，对一切(,)x y ，有(,)f x y M ≤，即(,)f x y 是有界函数。

4. 设222
22
22,0,(,)0,0,x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
求(,),(,)x y f x y f x y 。

解：()()()
222322
22
2222222()22,0,,0,0.x xy x y x y x xy x y x y x y f x y x y ⎧+-⋅=+≠⎪++=⎨⎪
+=⎩
()()
42222
2
2
222,0,,0,0.y x x y x y x y f x y x y ⎧-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
5. 求下列函数的一阶及二阶偏导数： (1) (
)2
ln z x y =+；
解：21x z x y =
+, 2
2y y z x y
=+, ()
2
21
xx z x y =-
+, ()
2
22xy y
z x y =-
+, ()
2
2
222yy x y z x y -=
+
(2) y z x =。

解：1
y x z yx
-=, ln y y z x x =,
()21y xx z y y x -=-, 11ln y y xy z x yx x --=+, ()2
ln y
yy z x x =
6．设()2222
3
2
2222,0,(,)0,
0,x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪⎪=+⎨⎪
+=⎪⎩ 证明(,)f x y 在点(0,0)处连续且偏导数
存在，但不可微分。

25 / 28
证明：()
()()
2
2
22222
332
2222
2
104x y x y
x y x
y
x y ++≠<
≤=++当时，0
()
22
302
22
lim
0(0,0(,)(0,0)x y x y f f x y x
y
→→∴==+）,在连续。

(
)23
220022
222
2
220
0(0,)(0,0)
(0,0)=lim lim
0,(0,0)(0,0)0()(),[()()](0,0),(1)x x x x y x x f x y f f f x x
f f f x f y
x y y k x x y k k k ∆→∆→∆⋅-∆++∆-==∴∆∆=∆-∆-∆∆∆=
=∆=∆∆+∆+Q Q
存在，
同理存在。

它沿趋于时的极限为随的不同而不同，即其极限不存(0)(,)(0,0)f x y ρ→在，
所以在不可微。

7. 设(,)z f x y =在点(1,1)处可微，且(1,1)
(1,1)
(1,1)1,
2,
3f f f x
y
∂∂===∂∂，
()(),(,)x f x f x x ϕ=，求
1
()x d x dx
ϕ3
= 。

解：
332()(,(,))3(,(,))[()]d d f f f f x f x f x x f x f x x dx dx x y x y
ϕ∂∂∂∂==++∂∂∂∂
1
()3[23(23)]51x d x dx
ϕ3
=∴
=++=
8．设(,,)u f x y z =有连续的一阶偏导数，又函数(),()y y x z z x ==分别由
2xy e xy -=和0
sin x z
x
t e dt t -=⎰
确定，求du
dx。

解：由2xy
e xy -=，()0,,xy
y
e y xy y xy y x
'''+--==-
由0
sin x z
x
t
e dt t
-=
⎰
，0sin sin()(1),1sin()x z x x t x z dz dz x z e dt e t x z dx dx x z ---==⋅-=---⎰
26 / 28
123123[1]sin()
x du dy dz y x z f f f f f f e dx dx dx x x z -∴
=++=-+--，即 ()()()
123sin sin x
x z e x z du y f f f dx x x z ---=-+- 9. 求由方程组22
33x u v
y u v z u v =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩ 所确定的隐函数(,)z f x y =在点(1,1)处的偏导数
,z z x y
∂∂∂∂。

解：本题三个方程五个变量，题目隐含要求确定,,z u v 是,x y 的函数。

利用全微分一阶形式不变性，每个方程两边求全微分，得：
2222()3223()22332()dy vdx dx du dv du u v dy udu vdv dz uvdx u v dy udx dy
dv dz u du v dv u v -⎧
⎧=+=⎪-⎪⎪=+⇒⇒=-++⎨⎨
-⎪⎪==+⎩⎪-⎩
(1,1)
(1,1)3
3,().(1,1)0,1,23
0,
2
z z uv u v uv u v x y z
z x y ∂∂∴=-=+=+=∂∂∂∂∴
==∂∂点对应
10. (2)x
z e
f x y -=--， 当0y =时2z x =，求
z x
∂∂。

解：当0y =时2
z x =，2(),x
f x e x -∴=-(2)2(2)x x y z e e x y ---=-+-
224x y x z
e e x y x
--∂∴
=-++-∂ 11. 求螺旋线cos sin x a y a z b θθθ=,=,=在点(,0,0)a 处的切线及法平面方程。

解：'()sin ,'()cos ,'(),(,0,0)0,
x a y a z b a θθθθθθ=-==↔=
;00x a y z
ay bz a b -∴==+=切线方程为：法平面方程为：
12. 在曲面z xy =上求一点，使这点处的法线垂直于平面390x y z +++=，并写出这法线的方程。

27 / 28
解：0 1x y z F z xy F y F x F =-==-=-=，，
，， ()0
000000:
3901
313
=3=133,1,3:131
x x y y z z l x y z x x y z x y z l ---=
=+++=-++-----∴==法线方程，与垂直,有，，=,即所求点为，
13. 证明：曲面y z xf x ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
的所有切平面都经过坐标原点。

证明：(,,),,,x y y y y y y F x y z z xf F f f F f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=-=-+=-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
令
1z F =。

过点000(,,)x y z 的切平面方程为：
00000000000[]()[]()()0y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
''-+-+--+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
上述这些切平面均过原点(0,0,0)，即有
00000000000[]()[]()()0y y y y f f x f y z x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
''-+-+--+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,0000y z x f
x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
14. 设x 轴正方向到方向l 的转角为ϕ，求函数2
2
(,)f x y x xy y =-+在点(1,1)处沿方向l 的方向导数，并分别确定转角ϕ，使这导数有: (1) 最大值；(2) 最小值； (3) 等于0。

解：
(1,1)(1,1)
cos sin cos sin z f f x y ϕϕϕϕ∂∂∂=+=+∂∂∂l ; 4πϕ=
, 54πϕ=
时有最小值3744
ππ
ϕϕ=
=或时为0. 15. 过曲面2
2
2
236x y z ++=上点0(1,1,1)P 处指向外侧的法向量为n
，求函数
u =
0P 处沿方向n 的方向导数。

解：2
2
2
(,,)236,(4,6,2)F x y z x y z n x y z =++-=v
，0
;n =v
(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)x y z u u u =
==Q ，
28 /
28
117gradu ∴=
=
16. 在椭圆2
2
44x y +=上求一点，使其到直线2360x y +-=的距离最短。

解：22236
(,,)(44)7
x y L x y x y λλ+-=
++- 2228207533180,757544056x y L x x L y y L x y λλλλ⎧⎧=+==⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
=+=⇒==⎨⎨
⎪⎪
⎪⎪=+-==-⎪⎪⎩⎩
距离最小值。