(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答

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习题8-1

1. 求下列函数的定义域： (1) y x z -= ；

解：0,0x y D ≥≥⇒=

(

){,0,x y y x ≥≥

(2) 2

2

1)ln(y

x x

x y z --+

-=；

解：2

2

0,0,1y x x x y D -≥≥--⇒=(){}

2

2,01x y y x x

y >≥+<且

(3) )0(1

2

2

2

2

2222>>-+++

---=

r R r

z y x z y x R u ；

解：2

2

2

2

2

2

2

2

0R x y z x y z r ≤---<++-⇒，0

D ⇒=

(){}

2

2222,,x y z r

x y z R <++≤

(4) 2

2

arccos

y

x z u +=。

221,0x y D ≤+≠⇒=

(

){}

22,0x y z x y ≤

+≠

2. 求下列多元函数的极限:： (1) 2

2

y 0

1)e ln(lim

y

x x y x ++→→；

解：y 1ln 2x y →→=

= (2) xy xy y x 4

2lim

0+-→→；

解：令t=xy

，1

2

0000

1(4)1

2lim 14x t t y t -→→→→-+===-

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(3) x xy

y x sin lim

5

0→→；

解：0050

sin sin lim

5lim 55x x y y xy xy

x x →→→→==

(4) 2

2x 2

2220

0e

)()cos(1lim

y y x y x y x ++-→→；

解：2222222

2

222x 001cos()1

1cos()2(sin ),lim 20022()e

y x y x y x y x y x y →→+-+-+=∴=⋅⋅=+Q (5) xy

y x y x )(lim 220

+→→。

解：0,xy >设22

ln()xy x y +两边取对数，由夹逼定理

2200

222222lim ln()

2

2

2

2000

ln()()ln()

0lim ln()0,lim()1

x y xy x y xy

x x y y xy x y x y x y xy xy x y x y e

→→+→→→→≤+≤++<+=∴+==xylnxy 当时同理可得,

3. 证明下列极限不存在： (1) y x y

x y x -+→→0

0lim

；

证明：(1)(,)(,)(,)(1)m x x y y mx f x y f x mx m x

+===

-当沿直线趋于原点(0,0)时.

00

1lim

,1x y x y m

m x y m →→++=--不同时,极值也不同,所以极限不存在。

(2) 222220

0)(lim y x y x y x y x -+→→。

证明：

22

22200

(,)(,)(,)1,lim 1

()x y x y x y y x f x y f x x x y x y →→====+-当沿直线趋于原点(0,0)时,

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22

22200

(,)2(,)(,2)0lim 0,()x y x y y x f x y f x x x y x y x y →→====+-当沿直线趋于原点(0,0)时,极值不同，所以不存在

4. 讨论下列函数在点(0,0)处的连续性：

(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,

00

),ln()(),(2

2222222y x y x y x y x y x f ； 解：2222

000

lim (,)lim()ln()0(0,0)x x y y f x y x y x y f →→→→=++==连续，

(2) ⎪⎩⎪⎨⎧

=≠+=0,

00

,1cos )(),(x x x

y x y x f ； 解：0

000

1

0lim (,)lim()cos

0,0,lim (,)0

x x x y y y x f x y x y x f x y x →→→→→→≠=+===连续，时，时

lim (,)(0,0)0x y f x y f →→∴==

(3) ⎪⎩

⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(22222

2y x y x y x xy

y x f 。

解：22

2,()00xy

f x x y

=

+不连续在（，）处极限不存在。 2

2(,)(0)(,)(,)1m x y y mx m f x y f x mx m =≠==

+当沿直线趋于原点(0,0)时.

2

00

2lim (,),1x y m

f x y m m

→→=

+不同时,极值也不同,所以极限不存在。

习题 8-2

1. 求下列函数的一阶偏导数： (1) y

x xy z +

=