高二数学双曲线知识点及例题

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高二数学双曲线

2 y x2 1( x 1) 则P点的轨迹方程为。 8
例2．一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s，
（1）爆炸点应在怎样的曲线上？
（2）已知 A, B 两地相距800m，并且此时声速为 340m / s ，求曲线的方程。
解：（1）由声波及 A, B 两处听到爆炸声的时间差，可知 Nhomakorabeay
P
A O B
2a 680, a 340
∴ 2c 800, c 400
又∵ | AB | 800
x
b2 c2 a 2 44400
又∵ | PA | | PB | 680 0 所求的双曲线的方程为
2
∴
x0
2
x y 1( x 0) 115600 44400
。
x2 y 2 （3）以椭圆 64 16 1
的短半轴长为 a 值，长轴长为
y 2 x2 1 16 48
焦距且焦点在 y 轴上的双曲线的方程
。
例２．已知| F1F2 |＝10, | |PF1|-|PF2| | = 6，求点Ｐ的轨迹方程.
变题①.已知| F1F2 |＝10, |PF1|-|PF2| = 10 ，求点Ｐ的轨迹方程.
变题②.已知| F1F2 |＝10, | |PF1|-|PF2| | = 10，求点Ｐ的轨迹方程
例题 :
例1．已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线上两点 P 1, P 2
坐标分别为 (3, 4 2), ( ,5) ，求双曲线的标准方程。
解：因为双曲线的焦点在 y 轴上，所以设所求双曲线的 2 2 y x 标准方程为 ① 1( a 0, b 0) a 2 b2 ∵点 P 1, P 2 在双曲线上， ∴点 P 1, P 2 的坐标适合方程①。

高中数学《双曲线》典型例题12例(含标准答案)

《双曲线》典型例题12例典型例题一例1 讨论192522=-+-ky k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9<k ，259<<k ，25<k ，分别进行讨论．解：（1）当9<k 时，025>-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．（2）当259<<k 时，025>-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）25<k ，9=k ，25=k 时，所给方程没有轨迹．说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．典型例题二例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫⎝⎛-5316，Q 且焦点在坐标轴上．（2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．（3）与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点()223，解：（1）设双曲线方程为122=+ny m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12592561162259nm n m 解得⎩⎨⎧=-=916n m∴所求双曲线方程为191622=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．（2）∵焦点在x 轴上，6=c ，∴设所求双曲线方程为：1622=--λλy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴16425=--λλ∴5=λ或30=λ（舍去）∴所求双曲线方程是1522=-y x说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．（3）设所求双曲线方程为：()160141622<<=+--λλλy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λλ ∴4=λ或14-=λ（舍）∴所求双曲线方程为181222=-y x 说明：（1）注意到了与双曲线141622=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为141622=+--λλy x 后，便有了以上巧妙的设法．（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．典型例题三例3 已知双曲线116922=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F∠的大小．分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形．解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF∴362212221=-+PF PF PF PF ∴1002221=+PF PF ∵()100441222221=+==b a c F F ∴ 9021=∠PF F说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化．（2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．典型例题四例 4 已知1F 、2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．分析：利用双曲线的定义及21PF F ∆中的勾股定理可求21PF F ∆的面积．解：∵P 为双曲线1422=-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点．∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ 9021=∠PF F∴在21F PF Rt ∆中，202212221==+F F PF PF ∵()162212221221=-+=-PF PF PF PF PF PF∴1622021=-PF PF ∴221=⋅PF PF ∴1212121=⋅=∆PF PF S PF F说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．典型例题五例5 已知两点()051，-F 、()052，F ，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹．解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． ∵5=c ，3=a∴16435222222==-=-=a c b∴所求方程116922=-y x 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线．说明：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算．（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解．典型例题六例6 在ABC ∆中，2=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹．分析：要求点A 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()01，-B ，()01，C ．设()y x A ，，由A B C sin 21sin sin =-及正弦定理可得：121==-BC AC AB ∵2=BC∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：()0012222>>=-b a b y a x ， ∴12=a ，22=c ∴21=a ，1=c ∴43222=-=a c b ∴所求双曲线方程为134422=-y x ∵01>=-AC AB ∴21>x ∴点A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分典型例题七例7 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：（1）与⊙()2222=++y x C ：内切，且过点()02，A （2）与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()41222=++y x C ：都外切．（3）与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()13222=+-y x C ：内切．分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C 、⊙2C 的半径为1r 、2r 且21r r >，则当它们外切时，2121r r O O +=；当它们内切时，2121r r O O -=．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r（1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ，r MA =，2=-MC MA∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：22=a ，2=c ，27222=-=a c b ∴双曲线方程为()2172222-≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ，112=-MC MC∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有：21=a ，1=c ，43222=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为：⎪⎭⎫⎝⎛≥=-43134422y x y （3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切 ∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有：2=a ，3=c ，5222=-=a c b∴所求双曲线方程为：()215422≥=-x y x 说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．典型例题八例8 在周长为48的直角三角形MPN 中，︒=∠90MPN ，43tan =∠PMN ，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．分析：首先应建立适当的坐标系．由于M 、N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知a PN PM 2=-，c MN 2=，所以利用条件确定MPN ∆的边长是关键．解：∵MPN ∆的周长为48，且43tan =∠PMN ， ∴设k PN 3=，k PM 4=，则k MN 5=．由48543=++k k k ，得4=k ． ∴12=PN ，16=PM ，20=MN ．以MN 所在直线为x 轴，以∴MN 的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为12222=+by a x )0,0(>>b a ．由4=-PN PM ，得42=a ，2=a ，42=a ．由20=MN ，得202=c ，10=c ．由96222=-=a c b ，得所求双曲线方程为196422=-y x ．说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．典型例题九例9 P 是双曲线1366422=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值．分析：利用双曲线的定义求解．解：在双曲线1366422=-y x 中，8=a ，6=b ，故10=c ．由P 是双曲线上一点，得1621=-PF PF ． ∴12=PF 或332=PF ．又22=-≥a c PF ，得332=PF ．说明：本题容易忽视a c PF -≥2这一条件，而得出错误的结论12=PF 或332=PF ．典型例题十例10 若椭圆122=+n y m x )0(>>n m 和双曲线122=-ty s x )0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值是( ) ．A ．s m -B ．)(21s m - C ．22s m - D ．s m -分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P 在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到1PF 和2PF的关系式，再变形得结果．解：因为P 在椭圆上，所以m PF PF 221=+．又P 在双曲线上，所以s PF PF 221=-．两式平方相减，得)(4421s m PF PF -=⋅，故s m PF PF -=⋅21．选(A)．说明：(1)本题的方法是根据定义找1PF 与2PF的关系．(2)注意方程的形式，m ，s 是2a ，n ，t 是2b ．典型例题十一例11 若一个动点),(y x P 到两个定点)0,1(-A 、)0,1(1A 的距离之差的绝对值为定值a )0(≥a ，讨论点P 的轨迹．分析：本题的关键在于讨论a ．因21=AA ，讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：0=a ，)2,0(∈a ，2=a ，2>a ．解：21=AA ．(1)当0=a 时，轨迹是线段1AA 的垂直平分线，即y 轴，方程为0=x ．(2)当20<<a 时，轨迹是以A 、1A 为焦点的双曲线，其方程为14142222=--a y a x ．(3)当2=a 时，轨迹是两条射线)1(0≥=x y 或)1(0-≤=x y ． (4)当2>a 时无轨迹．说明：(1)本题容易出现的失误是对参变量a 的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面．(2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线．典型例题十二例12 如图，圆422=+y x 与y 轴的两个交点分别为A 、B ，以A 、B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左方的交点分别为C 、D ，当梯形ABCD 的周长最大时，求此双曲线的方程．分析：求双曲线的方程，即需确定a 、b 的值，而42=c ，又222b a c +=，所以只需确定其中的一个量．由双曲线定义a BC AC 2=-，又BCA ∆为直角三角形，故只需在梯形ABCD 的周长最大时，确定BC 的值即可．解：设双曲线的方程为12222=-bx a y (0,0>>b a )，),(00y x C (00<x ，00>y )，t BC =(220<<t )．连结AC ，则︒=∠90ACB ．作AB CE ⊥于E ，则有AB BE BC ⋅=2．∴4)2(02⨯-=y t ，即4220t y -=．∴梯形ABCD 的周长0224y t l ++=即10)2(21822122+--=++-=t t t l ．当2=t 时，l 最大．此时，2=BC ，32=AC ．又C 在双曲线的上支上，且B 、A 分别为上、下两焦点， ∴a BC AC 2=-，即2322-=a ． ∴13-=a ，即3242-=a ． ∴32222=-=a c b ．∴所求双曲线方程为13232422=--x y ．说明：解答本题易忽视BC 的取值范围，应引起注意．仰望天空时，什么都比你高，你会自卑; 俯视大地时，什么都比你低，你会自负; 只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。

高中数学双曲线经典例题

高中数学双曲线经典例题一、双曲线定义及标准方程1．两圆C1：〔x+4〕2+y2=2，C2：〔x﹣4〕2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，那么动圆圆心M的轨迹方程是〔〕A．x=0 B．C． D．2、求适合以下条件的双曲线的标准方程：1〕焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为；2〕顶点间的距离为6，渐近线方程为．3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是4、求焦点在坐标轴上，且经过点A〔，﹣2〕和B〔﹣2，〕两点的双曲线的标准方程．5、P是双曲线=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，假设|PF1|=17，那么|PF2|的值为．二、离心率1、点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，假设△PF1F2为等腰直角三角形，那么该双曲线的离心率为．2、设F1，F2是双曲线C：〔a＞0，b＞0〕的两个焦点．假设在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，那么C的离心率为．3、双曲线的焦距为2c，直线l过点〔a，0〕和〔0，b〕，且点〔1，0〕到直线l的距离与点〔﹣1，0〕到直线l的距离之和．那么双曲线的离心率e的取值范围是〔〕A． B． C． D．3、焦点三角形1、设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，A〔3，1〕，那么|PA|+|PF|的最小值为．2、．F1，F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面积．3、双曲线焦点在 y轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍．求：1〕双曲线的渐近线方程；2〕假设P为双曲线上一点，且满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积．4、直线与双曲线的位置关系过点P〔1，1〕的直线L与双曲线只有一个公共点，那么直线L的斜率k= ＿＿＿＿5、综合题型如图，椭圆x2y2(a>b>0)的离心率为2a2b212，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4( 2＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.求椭圆和双曲线的标准方程；设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1·k2＝1；是否存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？假设存在，求λ的值；假设不存在，请说明理由．高中数学双曲线经典例题参考答案与试题解析一．选择题〔共2小题〕1．〔2021秋?洛阳校级期末〕两圆C1：〔x+4〕2+y2=2，C2：〔x﹣4〕2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，那么动圆圆心M的轨迹方程是〔〕A．x=0B．C．D．2 2【解答】解：由题意，①假设两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆C1：〔x+4〕+y=2，C2：〔x﹣4〕2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，|MC1|=|MC2|，即M点在线段C1，C2的垂直平分线上又C1，C2的坐标分别为〔﹣4，0〕与〔4，0〕∴其垂直平分线为y轴，∴动圆圆心M的轨迹方程是x=0②假设一内切一外切，不妨令与圆C1：〔x+4〕2+y2=2内切，与圆C2：〔x﹣4〕2+y2=2外切，那么有M到〔4，0〕的距离减到〔﹣4，0〕的距离的差是2，由双曲线的定义知，点M的轨迹是以〔﹣4，0〕与〔4，0〕为焦点，以为实半轴长的双曲线，故可得b2=c2﹣a2=14，故此双曲线的方程为综①②知，动圆M的轨迹方程为应选D．2．〔2021?齐齐哈尔三模〕双曲线的焦距为2c，直线l过点〔a，0〕和〔0，b〕，且点〔1，0〕到直线l的距离与点〔﹣1，0〕到直线l的距离之和．那么双曲线的离心率e的取值范围是〔〕A．B．C．D．【解答】解：直线l的方程为+=1，即bx+ay﹣ab=0．由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点〔1，0〕到直线l的距离，同理得到点〔﹣1，0〕到直线l的距离.，．由，得．．242于是得5≥2e，即4e﹣25e+25≤0．由于e＞1＞0，所以e的取值范围是．应选D．二．填空题〔共5小题〕3．〔2021秋?城区校级期末〕P是双曲线=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，假设|PF1|=17，那么|PF2|的值为33．【解答】解：由双曲线方程知，a=8，b=6，那么c==10．∵P是双曲线上一点，||PF1|﹣|PF2||=2a=16，又|PF1|=17，|PF2|=1或|PF2|=33．又|PF2|≥c﹣a=2，|PF2|=33．故答案为334．〔2021秋?海淀区期末〕点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，假设△PF1F2为等腰直角三角形，那么该双曲线的离心率为．【解答】解：由题意，角F1或角F2为直角，不妨令角F2为直角，双曲线方程﹣=1此时P〔c，y〕，代入双曲线方程﹣=1解得y=又三角形PF1F2为等腰三角形得PF2=F1F2，故得=2c，即2ac=c2﹣a2，即e2﹣2e﹣1=0，解得e=1故双曲线的离心率是故答案为．5．〔2021秋?象山县校级月考〕设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，A〔3，1〕，那么|PA|+|PF|的最小值为﹣2 ．【解答】解：设双曲线左焦点为F2，由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF|=2a，即|PF|=|PF2|﹣2a，那么|PA|+|PF|=|PF2|+|PA|﹣2a≥|F2A|﹣2a，当P、F2、A三点共线时，|PF2|+|PA|有最小值，此时F2〔﹣2，0〕、A〔3，1〕，那么|PF2|+|PA|=|AF2|=，而对于这个双曲线，2a=2，所以最小值为﹣2．故答案为：﹣2．6．〔2021秋?张家港市校级期末〕与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是．【解答】解：设所求双曲线的方程为，∵双曲线的焦点为〔±，0〕∴所求双曲线中的c2=5①∵双曲线过点∴②且c2=a2+b2③联立①②③解得a2=4，b2=1，∴双曲线的方程为．故答案为：．7．〔2021?湖南〕设F1，F2是双曲线C：〔a＞0，b＞0〕的两个焦点．假设在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，那么C的离心率为．【解答】解：依题意可知∠F1PF2=90°|F1F2|=2c，|PF1|=|F1F2|=c，|PF2|=|F1F2|=c，由双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a=〔﹣1〕ce==．故答案为：．三．解答题〔共4小题〕8．F1，F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且F1PF2=120°，求△F1PF2的面积．【解答】解：由题意，双曲线3x2﹣5y2=75，可化为=1由余弦定理可得160=PF2+PF22﹣2PF1?PF2cos120°=〔PF1﹣PF2〕2+3PF1?PF2=100+3PF?PF2，PF1?PF2=20．S△F1PF2=PF1?PF2sin120°=×20×=5．故答案为：A．9．〔2021春?湄潭县校级期中〕双曲线焦点在y轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍．求：1〕双曲线的渐近线方程；2〕假设P为双曲线上一点，且满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积．【解答】解：〔1〕设双曲线方程为〔a＞0，b＞0〕，那么∵焦距是实轴长的2倍，∴c=2a，∴b==a，∴双曲线的渐近线方程为y=±x；〔2〕由余弦定理可得222﹣2PF1?PF2cos60°=〔PF1﹣PF2〕4c=PF1+PF2∴2+PF1?PF2=4a2+PF1?PF2，∵焦距为10，2c=10，2a=5PF1?PF2=75．S△F1PF2=PF1?PF2sin60°=?75?=．10．〔2021秋?岳阳校级期末〕求焦点在坐标轴上，且经过点A〔，﹣2〕和B〔﹣2，〕两点的双曲线的标准方程．【解答】解：设所求双曲线方程为：mx2﹣ny2=1，〔mn＞0〕，因为点A〔，﹣2〕和B〔﹣2，〕在双曲线上，所以可得：，解得，故所求双曲线方程为．11．〔2021秋?天心区校级期末〕求适合以下条件的双曲线的标准方程：1〕焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为；2〕顶点间的距离为6，渐近线方程为．【解答】解：〔1〕焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为 =1．由题意，得解得a=8，c=10．b2=c2﹣a2=100﹣64=36．所以焦点在x轴上的双曲线的方程为．〔2〕当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为=1由题意，得解得a=3，b=．所以焦点在x轴上的双曲线的方程为．同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为．。

双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2021-2022学年高二数学上学期

3.2.2双曲线的简单几何性质（基础知识+基本题型）知识点一双曲线的性质根据双曲线的标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>>研究它的几何性质．1．范围,x a y R ≥∈，即,x a x a y R ≥≤-∈或．双曲线位于两条直线x a =±的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,x y 的范围，由不等式222211x y a b =+≥，得||x a ≥，由222211y x b a--≥-，得y R ∈. 提示双曲线在直线x a =与x a =-之间没有图象，当x 无限增大时，y 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的.2．对称性双曲线的图象关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把x 轴、y 轴叫做双曲线的对称轴，原点(0,0)O 叫做双曲线的对称中心，简称中心. 提示（1）把双曲线标准方程中的x 换成x -，方程并没有发生变化，说明当点(,)P x y 在双曲线上时，它关于y 轴的对称点1(,)P x y -也在双曲线上，所以双曲线的图象关于y 轴成轴对称.（2）同理，把双曲线标准方程中的y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于关于x 轴成轴对称；把双曲线标准方程中的x 换成x -，y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称. （3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性.（4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中心是双曲线的对称中心.3．顶点与实轴、虚轴如图所示．（1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a . （2）线段12A A 叫做双曲线的实轴，线段12B B 叫做双曲线的虚轴.（3）实轴长122A A a =，虚轴长122B B b =，,a b 分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长.拓展双曲线中,,a b c 的几何意义及特征三角形：（1）当双曲线焦点在x 轴上时，a 是半实轴长，b 是半虚轴长，且222c a b =+，所以以,,a b c 为三边长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中22Rt OA B ∆称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上.（2）当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似的结论.4．渐近线（1）渐近线画法：经过点1(,0)A a -，2(,0)A a 作y 轴的平行线x a =±，经过点1(0,)B b -，2(0,)B b 作x轴的平行线y b =±，四条直线围成一个矩形，矩形两条对角线，这两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线.双曲线22221x y a b-=的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.（2）渐近线方程：by x a =±.拓展（1）双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为ay x b=±，两者容易混淆，可先将双曲线方程中的“1”换成“0”，再因式分解即可得渐近线方程，这样就不容易记错了.（2）双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.（3）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可设为2222221()x y b a a b λλλ-=-<<-+.5．离心率（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，定义式c e e a =⇒（2）范围：1e >.由等式222c a b =+，得b a ==e 越大，b a 也越大，即渐近线b y xa=±的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就越陡，由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔. 提示因为c e a =，c ，所以e =，b a222(1)b a e =-，在,,,a b c e 四个参数中，只要知道其中两个，就可以求出另两个，关键要熟悉它们之间的关系. 知识点二等轴双曲线与共轭双曲线1.实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线有如下性质：（1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3.2. 以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线.例如，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与22221(0,0)y x a b b a -=>>是一对共轭双曲线，其性质如下：（1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线；（2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. 知识点三直线与双曲线的位置关系 1. 直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点. （3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一个点.2. 当直线与双曲线相交时，先联立直线方程与双曲线方程可求得两个交点的坐标，从而根据距离公式求出弦长，再结合双曲线的定义，还可以求解焦点三角形的周长等.3. 当直线与双曲线相交时，涉及中点问题，可首先设出直线与双曲线两交点的坐标，然后分别代入双曲线方程，最后作差，即得中点坐标与该直线的斜率的关系式.考点一由方程求双曲线的几何性质例 1 求双曲线22494y x-=-的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图.解：将双曲线化为221 419x y-=，可知半实轴长4293a=，半虚轴长1b=，于是有2241319c a b=+=+=，所以焦点坐标为13(，离心率为13cea==渐近线方程为by xa=±，即32y x=±.为画出双曲线的草图，首先在平面直角坐标系中画出渐近线32y x =±，且顶点坐标为2(,0)3±，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，如取1y=，算出230.94x=≈.由题意，知点(0.94,1)±在双曲线上，将三点(0.94,1)-，2(,0)3，(0.94,1)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，画出第一、第四象限内双曲线的一支，最后由对称性可画出双曲线位于第二、三象限内的另一支，得双曲线的草图如图所示.已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这样便于直观写出,a b的值，进而求出c的值及双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.考点二由双曲线的几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一个焦点为(0,13)，且离心率为135；（2）渐近线方程为12y x=±，且经过点(2,3)A- .解：（1）由题意，知双曲线的焦点在y 轴上，且13c =，由于135c a =，所以5a =，12b =. 故所求双曲线的标准方程为22125144y x -=.（2）因为双曲线的渐近线方程为12y x =±，若焦点在x 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则12b a =.（Ⅰ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22491a b -=. （Ⅱ）联立（Ⅰ）（Ⅱ），无解.若焦点在y 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，则12a b =.（Ⅲ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22941a b -=. （Ⅳ）联立（Ⅲ）（Ⅳ），解得228,32a b ==. 故所求双曲线的标准方程为221832y x -=.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应分类讨论.为了避免讨论，也可设双曲线方程为221(0)mx ny mn -=>，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为by x a =±，则可设方程为2222(0)x y a b λλ-=≠，避免讨论焦点的位置. 考点三双曲线的离心率1．求离心率的值例3 已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直与x 轴的双曲线的弦，如果0290PF Q ∠=,求双曲线的离心率.解：设1(,0)F c ，将x c =代入双曲线方程，得22221c y a b -=，所以2b y a =±.由22PF QF =,0290PF Q ∠=,知112PF F F =,所以22b c a =，22b ac =，所以2220c ac a --=.即2210e e --=，解得1e =+1e =.故所求双曲线的离心率为1求双曲线离心率的常用方法（1）依据条件求出,a c ，计算c e a=；（2）依据条件建立关于,,a b c 的关系式，一种方法是消去b 转化为关于e 的方程求解；另一种方法是消去c 转化为含b a 的方程，求出ba后利用221b e a =+求解.例4 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距长为2c ，直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b 两点，已知原点到直线l的距离为34c ，则双曲线的离心率为 . 解析：如图所示，在△OAB 中，OA a =，OB b =，34OE c =，22AB a b c =+=.因为AB OE OA OB ⋅=⋅, 所以3c ab =223)a b ab +=，两边同除以2a 233()0b b a a -=，解得3ba=3b a =所以212c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.答案：2223)a b ab +=，此方程可称为关于,a b 的齐次方程，转化为以ba为变量的一元二次方程是求解的关键.2．求离心率的范围例5 双曲线22221(1,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点(,0)a ，(0,)b 两点，且点(1,0)到直线l 的距离与点(1,0)-到直线l 的距离之和45s c ≥，求双曲线的离心率e 的取值范围.解：由题意，知直线l 的方程为1x ya b +=，即0bx ay ab +-=. 因为点(1,0)到直线l 的距离122d a b =+，点(1,0)-到直线l 的距离222d a b =+，所以122abs d d c=+=. 由45s c ≥，得2ab c 45c ≥，即252c .于是得22e ，即22425250e e -+≤.解得2554e ≤≤.因为1e >，所以e的取值范围是. 求双曲线离心率的范围时，要根据题意挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线的离心率的取值范围.例6 双曲线222:1(0)x C y a a-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点,A B ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 .解：由22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得到2222(1)220a x a x a -+-=，由题意知，24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得(0,1)(1,2)a ∈.所以c e a ===，所以(2,)e ∈+∞.答案：(2,)+∞ .利用一元二次方程根的判别式构建不等关系是一种常用的方法，另外也可利用基本不等式构建不等关系，线性规划中的区域符号也可构建不等关系. 考点四直线与双曲线的位置关系例7 已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-.若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数则k 的取值范围.解：由2211x y y kx ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得到22(1)220k x kx -+-=，由题意，知2221048(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得k <，且1k ≠±. 故实数k 的取值范围是(1)(1,1)(1,2)--.直线与双曲线交点问题，常利用直线方程与双曲线方程构成的方程组求解.。

高二数学双曲线的几何性质的应用

巩固练习一： 1、双曲线 2kx2-ky2=1的一个焦点是F（0，4），则 K为（ A ）（A）-3/32 （B）3/32 （C）-3/16 （D）3/16
2、方程 x2 y2 1 所表示的曲线是双曲线，则
9k 4k
它的焦点坐标是
（C ）
( A)13,0(B)0,13
(C)( 13,0)(D) 0, 13
表示焦点在
变形练习 1、若方程表示双曲线，求m的范围。
2、若表示焦点在x轴的椭圆时，求m的范围。
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写内容必须在话题范围之内，立意自定，文体自选，题目自拟，不少于800字，不得抄袭。 [写作提示]从话题形式上看，“命运与××”这是一道填空式关系型话题，“改变了环境，便能改变命运”告诉我们，这两个概念之间可以理解为因果关系，也可理解为条件关系。 “××”是指什么？话题虽未明示，但由引导语可知，是指“环境”“选择”“机遇”。它还暗示我们进行联想和想象：“命运”与“个性”有关，命运的悲剧，往往是个性的悲剧；命运与时代有关，命运的悲剧往往也是时代的悲剧；命运与国家兴衰相关，国家兴亡，匹夫有责。 “命运与××”话题比较宽泛，可用“添加法”，在话题前后添上相关词语，使题目内涵具体化，如“挑战命运与创造奇迹”等。从选材上看，可选社会热点，也可选历史人物，可以是他人他事，也可以是亲身经历，只要与命运有关，是自己熟悉的能够展示自己才华的都可以写。 2. 阅读下面文字，根据要求作文。 2005 年10月12日17时29分，航天员费俊龙打开神舟六号返回舱与轨道舱之间的舱门，进入轨道舱开展空间科学实验。这个在距地面343公里太空中的小小动作，标志着中国载人航天迈出关键一步。中国科学院院士胡文瑞说，人的参与使空间科学实验实现了质的飞跃，那小小动作实现了质的飞跃。

08 高二数学重难点知识汇总双曲线

高二数学重难点知识汇总第八讲双曲线一．重难点讲解知识点一双曲线的定义平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于21F F 且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

注意（1）在此定义中“常数要大于0且小于21F F ”这一限制条件十分重要,不可去掉。

（2）如果定义中常数改为等于21F F ,此时动点轨迹是以1F 、2F 为端点的两条射线(包括端点)。

（3）如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段1F 2F 的垂直平分线。

（4）如果定义中常数改为大于21F F ,此时动点轨迹不存在。

（5）若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。

（6）设()y x M ,为双曲线上的任意一点,若M 点在双曲线右支上,则()02,2121>=->a a MF MF MF MF ；若M 在双曲线的左支上,则a MF MF MF MF 2,2121-=-<,因此得a MF MF 221±=-,这是与椭圆不同的地方。

知识点二双曲线的标准方程1.如何正确理解双曲线的标准方程的两种形式（1）通过比较两种不同类型的双曲线方程()0,12222>>=-b a b y a x (焦点在x 轴上)和()0,12222>>=-b a bx a y (焦点在y 轴上),可以看出,如果2x 项的系数是正的,那么焦点就在 x 轴上；如果2y 项的系数是正的,那么焦点就在y 轴上。

对于双曲线，a 不一定大于b ,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。

焦点在x 轴上的方程，只要将y x ,互换就能得到焦点在y 轴上的方程。

(2)无论双曲线的焦点在哪个坐标轴上，标准方程中的c b a ,,三个量都满足222b ac +=所以c b a ,,恰好构成一个直角三角形的三边,且c 为斜边,如图所示。

双曲线高考6大常考基础题型总结(解析版)--2024高考数学常考题型精华版

第20讲双曲线高考6大常考基础题型总结【考点分析】考点二：双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为22b a．考点三：双曲线常考性质结论①双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b ；顶点到两条渐近线的距离为常数ab c;②双曲线上的任意点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数222a b c；考点四：双曲线焦点三角形面积为2tan2b θ（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）【题型目录】题型一：利用双曲线定义解题题型二：求双曲线的标准方程题型三：双曲线焦点三角形面积题型四：双曲线的渐近线有关题型题型五：双曲线的离心率问题题型六：双曲线的最值问题【典型例题】题型一：利用双曲线定义解题【例1】已知双曲线()222:1012x y C a a -=>的左右焦点分别为1F 、2F ，0y +=，若点M在双曲线C 上，且15MF =，则2MF =（）A ．9B ．1C ．1或9D ．1或7【例2】已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=【例3】已知双曲线122=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为．【答案】121,22,a c PF PF a ==∴-==22112224PF PF PF PF ∴-+=22212121221212,(2)8,24,()8412,PF PF PF PF c PF PF PF PF PF PF ⊥∴+==∴=∴+=+=∴+= 【例4】已知曲线C 的方程为221mx ny +=，下列说法正确的是（）A ．若0mn >，则曲线C 为椭圆B ．若0mn <，则曲线C 为双曲线C ．若曲线C 为焦点在x 轴的椭圆，则0m n >>1n【题型专练】1.设双曲线221169x y -=的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆2216x y +=相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则MN MO -=（）A ．12B ．1C ．32D ．22.已知F 1、F 2分别为双曲线C :29x -227y =1的左、右焦点，点A 为C 上一点，点M 的坐标为(2，0)，AM为∠F 1AF 2的角平分线．则|AF 2|=.3.方程132m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A ．23m -<<B ．20m -<<C ．2m <-或3m >D ．32m -<<题型二：求双曲线的标准方程【例1】与椭圆22:11612y x C +=共焦点且过点(的双曲线的标准方程为（）A ．2213y x -=B ．2221yx -=C ．22122y x -=D ．2213y x -=【答案】C 【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得a 的值，再由b =b 的值，结合双曲线的焦点位置可求得双曲线的标准方程.【详解】椭圆C 的焦点坐标为()0,2±，设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，由双曲线的定义可得2a =-=，a ∴2c = ，b ∴=因此，双曲线的方程为22122y x -=.故选：C.【例2】已知圆22:(4)16M x y ++=，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点(4,0)A ，线段PA 的垂直平分线l 与直线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（）A ．221(2)412x y x -=≤-B ．221412x y -=C ．221(1)3y x x -=≤-D ．2213y x -=【例3】已知双曲线H ：219x y a -=（0a >），以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形ABCD 的面积为4a ，则双曲线的方程为（）A ．22199x y -=B ．221189x y -=C ．221279x y -=D ．221369x y -=【例4】已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线C 的右支上，12MF MF ⊥，若1MF 与C 的一条渐近线l 垂直，垂足为N ，且12NF ON -=，其中O 为坐标原点，则双曲线C 的标准方程为（）A ．2212016x y -=B ．221204x y -=C ．221416x y -=D ．221420x y -=，【题型专练】1．已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点在y ，则双曲线的标准方程是（）A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212xy -=D ．2212y x -=2．已知双曲线C 的焦点为1F ，)2F ，点P 在双曲线C 上，满足112PF F F ⊥，14PF =，则双曲线C 的标准方程为（）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．22132x y -=D ．22123x y -=3．已知圆M ：()2224x y ++=，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点()2,0A ，线段PA 的垂直平分线l 与直线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（）A ．221(2)412x y x -=≤-B ．221412x y -=C ．221(1)3y x x -=≤-D ．2213y x -=4.已知双曲线方程为222x y k -=，焦距为6，则k 的值为________.故答案为：±6.5．（2022·重庆·三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点为1F ，2F ，左右顶点为1A ，2A ，过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，设12PA A α∠=，21PA A β∠=，当直线l 绕着2F 转动时，下列量保持不变的是（）A ．1PQA △的周长B ．1PF Q 的周长与2PQ之差C ．tan tan αβD ．tan tan αβ⋅【答案】BD 【解析】【分析】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，可判断A ，根据双曲线定义求解可判断B ，设(),P x y ，则tan ,tan y y a xx aαα==-+-根据商与积的值可判断CD ．【详解】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，故A 不正确；1PF Q 的周长为1122442PF QF PQ a PF QF PQ a PQ++=+++=+所以1PF Q 的周长与2PQ之差为4a ，故B 正确；设(),P x y ，则tan ,tan y ya x x aαα==-+-，由tan tan a xa xαβ-=+不是常量，故C 不正确；由22222222221tan tan x b y y a y b a x a x a x a x aαβ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅==-+---为常量，故D 正确；故选：BD题型三：双曲线焦点三角形面积【例1】设双曲线2222:1(00)x y C a b a b，-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F．P 是C 上一点，且12F P F P ⊥．若△12PF F 的面积为4，则a =（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案．【解析】解法一：ca=c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=，12F P F P ⊥ ，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A ．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2tan 221θb S F PF =．∴︒45tan 2b =4，则2=b ，又∵5==ace ，∴1=a ．解法三：设n PF m PF ==21,，则421==mn S F PF ，a n m 2=-，5,4222===+ace c n m ，求的1=a ．【例2】已知1F ，2F 是双曲线C ：()2210,0436x y a b -=>>的左、右焦点，M ，N 是C 上关于原点对称的两点，且12MN F F =，则四边形12MF NF 的面积是______．，即可求得四边形【题型专练】1．已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22144x y -=的左、右焦点，P 是C 上一点，且位于第一象限，120PF PF ⋅= ，则（）A ．PB ．12PF =C ．12PF F △的周长为4D ．12PF F △的面积为42.设1F ，2F 是双曲线2:13C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则△12PF F 的面积为（）A ．72B ．3C ．52D ．2【答案】B【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，∵121||1||2OP F F ==，∴点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，∴2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，∴12F F P S =△121||||32PF PF =，故选B ．题型四：双曲线的渐近线有关题型焦点在x 轴上的渐近线为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-±=02222b y a x x a b y 焦点在y 轴上的渐近线为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-±=02222b x a y x b a y 若双曲线的方程为122=+ny mx ，要求渐近线只需令022=+ny mx ，解出即可即已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。

双曲线知识点及例题

双曲线知识点及例题一、双曲线的定义平面内到两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）的距离之差的绝对值等于常数\（2a\）（＼（0 ＜2a ＜｜F_1F_2|＼））的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离\（｜F_1F_2|＼）叫做焦距，记为\（2c\）。

二、双曲线的标准方程焦点在\（x\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2}＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。

焦点在\（y\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2}＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。

三、双曲线的几何性质1、范围焦点在\（x\）轴上的双曲线，＼（x\）的取值范围是\（x ＼leq a\）或\（x ＼geq a\）；＼（y\）的取值范围是\（R\）。

焦点在\（y\）轴上的双曲线，＼（y\）的取值范围是\（y ＼leq a\）或\（y ＼geq a\）；＼（x\）的取值范围是\（R\）。

2、对称性双曲线关于\（x\）轴、＼（y\）轴和原点都对称。

3、顶点焦点在\（x\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼）。

4、渐近线焦点在\（x\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{b}｛a}x\）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{a}｛b}x\）。

5、离心率双曲线的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（e ＞ 1\）），它反映了双曲线的开口大小。

四、例题解析例 1：已知双曲线的方程为\（＼frac{x^2}｛9} ＼frac{y^2}｛16} ＝1\），求其顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程和离心率。

第18讲双曲线的简单几何性质 2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习(解析版)

第１８讲双曲线的简单几何性质
知识点详释
双曲线的简单几何性质
典题精讲
双曲线的简单几何性质利用双曲线的几何性质求双曲线方程求双曲线的离心率
双曲线的几何性质综合问题
考点巩固练习课后分层练习
ｚｈｇ学习目标
１．掌握双曲线的简单几何性质；２．会利用双曲线的几何性质求解相关的问题
了解要点，作到心中有数
ｙ＝±ｘ，对于Ｂ：ａ＝１，ｂ＝√３，ｃ＝２，ｅ＝２，渐近线
故Ｂ错误；
对于Ｃ：ａ＝３，ｂ＝√３．ｃ＝２√３，ｅ＝２渐近线ｙ＝±５ｘ．故Ｃ正确；
对于Ｄ：ａ＝３，ｂ＝√３，ｃ＝２√３，ｅ＝２３５渐近线ｙ＝±√３ｘ，故Ｄ错误．
故选：Ｃ．
－２４＝１３．下列选项中的曲线与
共焦点的双曲线是（）
Ａ．４－Ｙ＝２
离心率为５，
６－＝１，对于双曲线
顶点坐标为（０，±４），渐近线方程为ｙ＝±ｇｘ，焦点坐标为（０，±５），
离心率为
因此，这两个双曲线有相同的渐近线，故选：Ｂ．
４．如图，Ｆ？Ｆ？是双曲线Ｃ：ｘ２－弩＝１与椭圆Ｃ？的公共焦点，点Ａ是Ｃ？，Ｃ？在第一象限的公共点，若ＩＦ？Ｆ？Ｉ＝
ＩＦ？Ａ｜，则Ｃ？的短轴长为（）ｙＡ
ｌ：√３ｘ－ｙ＋１＝０平行，则双曲线Ｃ的标准方程为（）
Ａ．ｘ２－等＝１Ｂ．琴－ｙ２＝１ｃ．－路＝１
Ｄ．－２＝１
【答案】Ａ
【分析】利用已知条件求出ａ、ｂ、ｃ的值代入方程即可
【详解】由题意知
＝解得，故双曲线Ｃ的标准方程为ｘ２－＝１．
故选：Ａ．
２．与双曲线－ｙ２＝１有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（）
Ａ
Ｆ？ＯＦ？ｘ
Ａ．１
Ｂ．２

高二数学双曲线试题答案及解析

高二数学双曲线试题答案及解析1.已知抛物线（）的焦点为双曲线（）的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线（）的焦点，它也是双曲线（）的一个焦点，所以有①，由两曲线交点的直线恰过点，可知它们在第一象限的交点为，此点也在双曲线上，故有②，由①②消去，得，即，即，因为，所以，选择B，求离心率的值关键是寻找到关于的等式，然后转化到的方程，从而解出.【考点】圆锥曲线的性质2.双曲线的渐近线方程为．【答案】【解析】由题意得：双曲线的渐近线方程为即.【考点】双曲线的渐近线方程3.过双曲线的左焦点作圆的两条切线，切点分别为、，双曲线左顶点为，若，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．3D．2【答案】D.【解析】如图，根据对称性，，∴为等边三角形，∴，∴.【考点】双曲线离心率的计算.4.若双曲线的离心率为2,则等于（）A．B．C．D．1【答案】D.【解析】由，又∵.【考点】双曲线的标准方程.5.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．1D．【答案】B.【解析】由题意可知双曲线的顶点坐标为，渐近线方程为，因此顶点到渐近线的距离为.【考点】双曲线的标准方程与渐近线方程.6.直线与曲线的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B.【解析】根据曲线的方程可分两种情况讨论：（1）当时，联立曲线方程与直线得：，应舍去；（2）当时，联立曲线方程与直线得：.【考点】直线与曲线的综合应用.7.已知双曲线，点为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若，则的值为__________．【答案】．【解析】根据双曲线方程为，可得焦距，因为，所以．再结合双曲线的定义，得到，最后联解、配方，可得，从而得到．故答案为：.【考点】双曲线的简单性质．8.与双曲线有共同的渐近线，并且过点A(6,8)的双曲线的标准方程为__________．【答案】【解析】设所求双曲线为，把点(6,8)代入，得,解得λ=-4，∴所求的双曲线的标准方程为．故答案为：．【考点】双曲线的性质和应用．9.如图,设有双曲线,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上．(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积;(2)若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积是多少?若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积又是多少?(3)观察以上计算结果,你能看出随∠F1MF2的变化,△F1MF2的面积将怎样变化吗?试证明你的结论．【答案】(1) ; (2) ,; (3) θ增大时面积变小，证明过程见解析．【解析】(1) 设,, 直角三角形△F1MF2中，利用双曲线定义得,平方得，求得面积；(2) △F1MF2中由余弦定理可得，|MF1|·|MF2|，由面积公式可得面积；(3) 由双曲线定义与余弦定理，可得面积与θ的关系，所以θ增大时面积变小．解：(1)由双曲线方程知a=2,b=3,,设, ()．由双曲线定义,有,两边平方得,,即,也即,求得． 4分(2)若∠F1MF2=60°,在△MF1F2中,由余弦定理得, ,所以．求得．同理可求得若∠F1MF2=120°, ． 8分(3)由以上结果猜想,随着∠F1MF2的增大,△F1MF2的面积将减小．证明如下:令∠F1MF2=θ,则．由双曲线定义及余弦定理,有②-①得,所以,因为0<θ<π,,在内,是增函数，因此当θ增大时, 将减小． 12分【考点】双曲线的定义，余弦定理，三角形面积公式．10.设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A,B两点，F为该双曲线的右焦点．若, 则该双曲线的离心率的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由双曲线方程可知其渐近线方程为，将代入上式可得即。

双曲线知识点总结例题

（二）双曲线知识点及巩固复习1. 双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F i，F2为两定点，P为一动点，⑴若||PF i|-|PF2||=2a①0<2a<|F 1F2I则动点P的轨迹是 _______________________________②2a=|F 1F2I则动点P的轨迹是________________________________③2a=0则动点P的轨迹是_________________________________⑵若|P F i|-|PF2|=2a① ______________________________________________________ 0<2a<|F i F2|则动点P的轨迹是_______________________________________________② ____________________________________________________ 2a=|F 1F2I则动点P的轨迹是_________________________________________________③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程 ________________________x,y的范围 __________________________________顶点__________ 焦点________________ 对称轴_______________ 对称中心实半轴的长 ____________ 虚半轴的长__________________ 焦距 _______________ 离心率e= _____ 范围_____________ e越大双曲线的开口越____ e越小双曲线渐近线焦半径公式|PF i|= |PF2|= ________________ (F l，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的(1)焦点在y轴上的双曲线标准方程 ________________________x,y的范围 __________________________________顶点 __________ 焦点________________ 对称轴_______________ 对称中心_____ 实半轴的长 ____________ 虚半轴的长_________________ 焦距 _______________ 离心率e= _____ 范围_____________ e越大双曲线的开口越____ e越小双曲线的开口越 ________准线 _________________ 渐近线______________________ 焦半径公式|PF i|= [PF2|= _______________________ (F i，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)1. 等轴双曲线：®特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直'丄；③离心率为 _____2. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线的共轭双曲线是6.双曲线系(1)共焦点的双曲线的方程为2,c为半焦距)(2)共渐近线的双曲线的方程为例题在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支考点1、双曲线定义例1、已知动圆M与圆C1 : (x + 4)2 + y2= 2外切,内切，求动圆圆心M的轨迹方程与圆C2: (x - 4)2 + y2 = 2= l(m> 0)与双曲线a白F2, P是两条曲线的一个交点,则|PF i| |PF2|的值是A.m-aS °)有相同的焦点F i,)J±=l例3】已知双曲线与点M (5 , 3)F为右焦点，若双曲线上有一点最小，则P点的坐标为考点2、求双曲线的方程求双曲线标准方程的方法1.定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程.2 •待定系数法(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法一x2 y2 x2 y2①与双曲线a2 —b2 = 1有共同渐近线的双曲线方程可表示为a2 —b2 = t(t工0)；②若双曲线的渐近线方程是y=±a x,则双曲线的方程可表示为a2—y2=t(t却)；一x2 y2 x2 y2③与双曲线a2 —b2 = 1共焦点的方程可表示为a2- k—b2 + k = 1(—b2V k V a2);一x2 y2④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为m + n = 1(mn V0);一x2 y2 x2 y2⑤与椭圆a2 + b2 = 1(a > b > 0)有共同焦点的双曲线方程可表示为a2 -入+ b2 -U1(b2v 入V a2).例4、求下列条件下的双曲线的标准方程.x2 y2(1)与双曲线9 —16 = 1有共同的渐近线，且过点(一3，2);(2)与双曲线16 — 4 = 1有公共焦点,且过点(3, 2).1•在双曲线的标准方程中，若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.2. 若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx2 + ny2 = 1(mn v 0)，以避免分类讨论.考点3、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程x2例5、(12分)双曲线C: a2 —y2b2 = 1(a >0，b >0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0),若C上存在一点P，AP PQ使T f=0，求此双曲线离心率的取值范围.x2例6、活学活用】3.（2012北京期末检测）若双曲线a2的两个焦点分别为F i 、F 2, P 为双曲线上一点，且|PF i |二3|PF 2|,则该双曲线的离心率e 的取值范围是 _________的右焦点，斜率k =2.若'与双曲线的两个交点分别在左右两支上,则双曲线的离心率e 的范围是评注】解题中发现△ PF 1F 2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维=1(a >0, b > 0)例7】直线！过双曲线口' 沪 B.1<e < 门C.1< e < 乓^-―=1p 卩例8】设尸为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点，若I 叭I I 布」° ,则“陋的面积为（C.】2人D. 24能力，这正是命题人的高明之处. 渐近线一一双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开 .双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中设而不求一一与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求请看下例：设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：例9】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.共轭双曲线一一虚、实易位的孪生弟兄—2 --j —1将双曲线 ' 的实、虚轴互易，所得双曲线方程为 .这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不例10】两共轭双曲线的离心率分别为证明：例11】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为评注】在双曲线即为其渐近线.根据这一点，可-1例12】在双曲线- 上,是否存在被点M （1，1 ）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用设而不求”的手段，会有如下解法练习1. （2011安徽高考）双曲线2X2—y2= 8的实轴长是（）A. 2B. 2C. 4D. 4x2 y2 o o2. （2011山东高考）已知双曲线a2 —b2 = 1（a> 0, b > 0）的两条渐近线均和圆C: x2+ y2—6X+ 5 = 0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2A. 5 —4 = 1B.4 —5 = 1C.3 —6 = 1D. 6 —3 = 1x23. （2012嘉兴测试）如图，P是双曲线4 —y2= 1右支（在第一象限内）上的任意一点，A，A2分别是左、右顶点，O是坐标原点，直线PA1，PO，PA>的斜率分别为k1, k2，k3,则斜率之积k j k2k3的取值范围是（）1 1 1A. （0,1）B. （0，8）C. （0，4）D. （0，2）4. （金榜预测）在平面直角坐标系xOy中，已知△ ABC的顶点A（—5,0）和C（5,0），顶点Bx2 y2 sin B在双曲线16 —9 = 1上，则|sin A —sin C|为（）3 2 5 4A.2B.3C.4D.5x2 y25. P为双曲线9 —16 = 1的右支上一点，M、N分别是圆（X+ 5）2+ y2= 4和（X—5）2+ y2=1上的点，则|PM|—|PN|的最大值为（）A. 6B. 7C. 8D. 96 . （2012南宁模拟）已知点F i, F2分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，若厶PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（）A. + 1B.+ 1C. 2D. 2x2 y27.方程2 —m + |m| —3 = 1表示双曲线.那么m的取值范围是& （2012大连测试）在双曲线4x2—y2= 1的两条渐近线上分别取点A和B,使得|OA| OB|= 15,其中0为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是______________x2 y2 b2 + 19.双曲线a2 —b2 = 1(a> 0 , b >0)的离心率是2,贝U 3a的最小值是_____________10（2012肇庆模拟）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（—3,0）, 一条渐近线的方程是x—2y= 0.（1）求双曲线C的方程；⑵若以k（k丸）为斜率的直线I与双曲线C相交于两个不同的点M , N ,且线段MN的一81垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求k的取值范围.11.(文用)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0).⑴求双曲线C的方程；(2)若直线：y= kx+ m(k丸,m丸)与双曲线C交于不同的两点M、N ,且线段MN的垂直平分线过点A(0，- 1),求实数m的取值范围.12已知中心在原点，顶点A i、A2在x轴上，离心率e=' 的双曲线过点P(6 , 6) (1)求双曲线方程.(2)动直线丨经过△ A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线I,使G平分线段MN ,证明你的结论■13 .已知双曲线，问过点A （1 , 1）能否作直线*，使'与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线I的方程，若不存在，说明理由di14已知点N （1，2），过点N的直线交双曲线工于A、B两点，求直线AB的方程；（2）若过N的直线丨交双曲线于C、D两点，且⑵ D四点是否共圆？为什么？（二）双曲线知识点及巩固复习1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，⑴若||PR|-|PF2||=2a①______________________________________________________ 0<2a<|F1F2I则动点P的轨迹是___________________________________________② 2a=|F 则动点P 的轨迹是 ___________________________________ ③ 2a=0则动点P 的轨迹是 _________________________________ ⑵若 |P F i |-|PF 2|=2a①0<2a<|F 1F 2I 则动点P 的轨迹是 _________________________________ ②2a=|F 1F 2I 则动点P 的轨迹是 ________________________________ ③ 2a=0则动点P 的轨迹是3. 双曲线的性质（1）焦点在x 轴上的双曲线标准方程 ________________________x,y 的范围 ___________________________________顶点 ___________ 焦点 _______________ 对称轴 ________________ 对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= _____ 范围 ____________ e 越大双曲线的开口越 ____ e 越小双曲线[PF 2F ___________________________ （F i ，F 2分别为双曲线的左右两焦点，P 为椭圆上的2.双曲线的标准方程焦半径公式|PF i |=渐近线（2）焦点在y轴上的双曲线标准方程________________________x,y的范围___________________________________顶点___________ 焦点 ________________ 对称轴 _______________ 对称中心_____ 实半轴的长_____________ 虚半轴的长 ________________ 焦距________________ 离心率e= _____ 范围 ____________ e越大双曲线的开口越____ e越小双曲线的开口越_________准线__________________ 渐近线 ______________________ 焦半径公式|PF i|= [PF2|= _______________________ （F i, F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点）3. 等轴双曲线：° V-WF特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直F一'*③离心率为 _____4. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线的共轭双曲线是6.双曲线系(3)共焦点的双曲线的方程为（0<k<c 2,c为半焦距）y3(4) 共渐近线的双曲线的方程为考点1。

高二数学双曲线复习专题及考试题型

双曲线---专项复习【1、基本知识点】双曲线的第一定义：双曲线的第二定义：注意点：（1）双曲线定义中，“距离的差”一定要加绝对值，否则只表示双曲线的一支。

（2）定义中的小于||21F F 这一限制条件标准方程：【2、几何性质】【 3、弦长公式】1、若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则221212()()AB x x y y =-+-，()22221212121141||AB k x x k x x x x k a ∆=+-=++-=+，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则()21212122211114AB y y y y y y k k =+-=++-。

2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦长ab AB 22||=。

3、若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB ＝2121ky y +-。

4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解【4、常见双曲线题型】题型一双曲线定义的应用1、如图所示，在△ABC 中，已知|AB|=42，且三内角A 、B 、C 满足2sinA+sinC=2sinB ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解：如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A(-22,0)、B(22 , 0 )．由正弦定理得sinA =2a R ，sinB =2b R ，sinC =2c R . ∵2sinA+sinC=2sinB ，∴2a+c=2b ，即b -a=2c .从而有|CA| - |CB|=21|AB|=22<|AB|.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a=2，c=22，∴b 2= c 2 - a 2= 6.所以顶点C 的轨迹方程为221,26x y -= (x>2)．【反思感悟】使用双曲线的定义时易漏掉“差的绝对值”，即||PF 1|-|PF 2||=2a ，而|PF1|-|PF2|=2a 表示一支．2、P 是双曲线x216－y220＝1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|＝9，求|PF2|的值．解在双曲线x216－y220＝1中，a ＝4，b ＝2 5.故c ＝6.由P 是双曲线上一点，得||PF1|－|PF2||＝8. ∴|PF2|＝1或|PF2|＝17.又|PF2|≥c －a ＝2，得|PF2|＝17.3、已知双曲线116922=-y x 的左右焦点分别是1F 、2F ，若双曲线上一点P 使得02190=∠PF F ,求21PF F ∆的面积。

高中数学双曲线知识点及题型总结(学生版)

，两准线之距为 K 1K 2 21 双曲线定义：① 到两个定点 F 1 与 F 2 的距离之差的绝对值等于定长（ < |F 1F 2| ）的点的轨迹PF 1 PF 2 2a F 1F 2 （ a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值 .（ 2）2a < |F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同 . 当|MF1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点 F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点 F 1所对应的一支；当 2a=|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以 F 1、F 2 为端点向外的两条射线；当 2a > | F 1F 2| 时，动点轨迹不存在 .②动点到一定点 F 的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 e （e > 1）时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线 l 叫做双曲线的准线2 2 2 22.双曲线的标准方程： x2 y2 1和 y 2 x 2 1（a >0，b >0）.这里 b 2 c 2 a 2，其中| F 1 F 2 |=2c. a 2 b 2 a 2 b 2 要注意这里的 a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同 .223.双曲线的标准方程判别方法是：如果x 2项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果 y 2 项的系数是正数，则焦点在 y 轴上 .对于双曲线， a 不一定大于 b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上4. 求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解 .5. 曲线的简单几何性质在 y 轴上）双曲线知识点及题型总结④特别地当 b时可设为 x 2 离心率 eb y= x ， a 2 b y= － x a 两渐近线互相垂直，分别为（什么是共轭双曲线 ?）⑸准线： l 1：x=－y= x ，此时双曲线为等轴双曲线，a 2 a 2，l 2：x=ca 2c22xy2 － 2 =1（a >0，b >0）a2 b 2⑴范围： |x|≥a ， y ∈R⑵对称性：关于 x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点 A 1（－ a ，0），A 2 ⑷渐近线： a ，0）yM1M 2PF 1 A 1 K 1 o K 2 A 2 F 2①若双曲线方程为 2x 2a 2y b2 2x渐近线方程 2ay b 2②若渐近线方程为 b y0 双曲线可设为2x2 a2y b2 ③若双曲线与 2x 2 a2 y b2 1有公共渐近线，可设为 2x 2a2 y b 20 ，焦点在 x 轴上， 0 ，焦点y1 k 12 y 2 y 1⑹焦半径： PF 1PF 2 a 2e(x )c2 e(a x) cex ex a ，(点 P 在双曲线的右支上a ，(点 P 在双曲线的右支上当焦点在 y 轴上时，标准方程及相应性质(略) 2 ⑺与双曲线 x 2 a 2 x 2 ⑻与双曲线 x 2 a 2 2 yb 2 2 y b 2 1共渐近线的双曲线系方程是 1共焦点的双曲线系方程是2 x a 2x 2a 2k2 y b 2 2 y b 2 6 曲线的内外部 (1) 点 P(x 0,y 0) 在双曲线 (2) 点 P(x 0,y 0) 在双曲线 2 x2 a2 x 2 a2y b2 2 y b2 1(a 1(a 7 曲线的方程与渐近线方程的关系 (1 )若双曲线方程为 2 x 2 a 2 y b 2 0,b 0,b (2) 若渐近线方程为 bx a x a )； x a )；0)0) 的内部0) 的外部渐近线方程： b y 0 2 x 2a 2 yb 2双曲线可设为2 (3) 若双曲线与 x 2 a 2 在 y 轴上) . 2 y b 2 1有公共渐近线，可设为2 x 2a 2y b 2 8 双曲线的切线方程 2 x (1) 双曲线 x 2 a 2 yb 2 1(a 2 x0 2a2 x 0y 02b 22 y 0 b 21. 1.bx .a2x 2 a2 y b2 0 ，焦点在 x 轴上，0,b 0) 上一点 P(x 0,y 0 )处的切线方程是 02 02 1. ab 0 ，焦点2 x 2 a 2x 3)双曲线 x 2 a 2 2)过双曲线 b 2 2 b y 2 1(a b1(a 0,b 0)外一点 P(x 0,y 0)所引两条切线的切点弦方程是 22 0,b 0)与直线 Ax By C 0 相切的条件是 A 2a 2 x 0x2 a22B 2b2y 0y1 b 02 1.2c .AB (x 1 x 2) 2 (y 1 y 2)2 若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB ， A 、B 两点分别为 A(x 1，y 1)、 AB 9 线与椭圆相交的弦长公式 B(x 2,y 2)，则弦长x 2 x 122 k 2)[( x 1 x 2)24x 1x 2] 1(1 12) [(y 1 y 2)2 4y 1y 2] ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想； k 2(1A. 10B. 5C. 3x 2y 21 已知双曲线 x a2 － y b 2 = 1 (a > 0,b > 0)的左右焦点分别为∣PF 1∣=4∣PF 2∣,则此双曲线的离心率 e 的最大值为 45 A ．3 B ．3 2y22.已知 F 1,F 2 是双曲线于 A 、B 两点 ,若A. 2x 23.过双曲线 M: C,且|AB|=|BC|, 则双曲线F 1、 F 2，点 P 在双曲线的右支上，且) 7D ．7322 x2 y21,(a b 0 )的左、右焦点,过 F 1且垂直于 x 轴的直线与双曲线的左支交 a2b 2ABF 2 是正三角形 ,那么双曲线的离心率为 ( )B. 32 y b 2C ．２ C. 2 D. 31 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于M 的离心率是 ( )105D. 2B 、题型一：双曲线定义问题A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件222. 若 k R ，则“ k 3”是“方程 x y 1表示双曲线”的 ( )k3k3A.充分不必要条件 .B.必要不充分条件 .C.充要条件 .D. 既不充分也不必要条件 .22 3. 给出问题： F 1、F 2是双曲线 x－ y =1 的焦点，点 P 在双曲线上 .若点 P 到焦点 F 1的距离等于 16 20P 到焦点 F 2的距离 .某学生的解答如下：双曲线的实轴长为 8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1 或 17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上 . _____ .4. 过双曲线 x 2-y 2=8的左焦点 F 1有一条弦 PQ 在左支上，若 | PQ|=7 ，F 2是双曲线的右焦点，则△ PF 2Q 的周长是 .题型二：双曲线的渐近线问题题型三：双曲线的离心率问题高考题型解析1.“ ab<0”是“曲线ax 2+by 2=1 为双曲线”的 ( 9，求点x 21.双曲线43 A. y=± x22 y=1 的渐近线方程是92.过点( 2，－ 2) 22yx A. － =1 242B.y=± x3x 22 2y 2=12 C.y=±9x 4D.y= ± 4 x9且与双曲线2 xB. － 4－y 2=1 有公共渐近线的双曲线方程是22yx C. － =1 422 x D. － 22 y 2=1414.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为 2，焦点到相应准线的距离为 2，则该双曲线的离心率为 ( ) A. 22题型四：双曲线的距离问题2x－ 1y6 =1 的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是题型五：轨迹问题1.已知椭圆 x 2+2y 2 =8 的两焦点分别为 F 1、 F 2， A 为椭圆上任一点。

高二数学双曲线试题(有答案)

高二数学双曲线试题一：选择题1．双曲线()2210x y mn m n -=≠的离心率为2，有一个焦点与椭圆2211625x y +=的焦点重合，则m 的值为（） A ． B ．C ．D ．【答案】A2．以112422-=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（） A ．1121622=+y x B ．1161222=+y x C ．141622=+y x D ．116422=+y x 【答案】A3．设12F F 、分别是双曲线2213y x -=的两个焦点，P 是该双曲线上的一点，且123||4||PF PF =，则12PF F ∆的面积等于（）（A ）45（B ）315（C ）53（D ）210【答案】B4.已知双曲线的中心在坐标原点，两个焦点为F 1（﹣，0），F 2（，0），点P 是此双曲线上的一点，且•=0，||•||=4，该双曲线的标准方程是（） A ．B ．C ．D ．解：设双曲线的方程为：﹣=1， ∵两焦点F 1（﹣，0），F 2（，0），且•=0，∴⊥，∴△F 1PF 2为直角三角形，∠P 为直角； ∴+===28；①又点P 是此双曲线上的一点， ∴||PF 1|﹣|PF 2||=2a ，∴+﹣2|PF1|•|PF2|=4a2，由||•||=4得|PF1|•|PF2|=4，∴+﹣8=4a2，②由①②得：a2=5，又c2==7，∴b2=c2﹣a2=2．∴双曲线的方程为：﹣=1，故选C．5.已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k FN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．6.已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C．x=D．y=解：∵椭圆和双曲线有公共焦点∴3m2﹣5n2=2m2+3n2，整理得m2=8n2，∴=2双曲线的渐近线方程为y=±=±x故选D7.已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣=1C．﹣y2=1D．x2﹣y2=1解：设双曲线的方程为，渐近线方程为∵双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，∴，=1∴b=1，a=∴双曲线的方程为﹣y2=1故选A．8.已知抛物线y2=8x的准线与双曲线相交于A，B两点，点F是抛物线的焦点，若双曲线的一条渐近线方程是，且△FAB是直角三角形，则双曲线的标准方程是（）A．B．C．D．解：依题意知抛物线的准线x=﹣2．代入双曲线方程得y=±．双曲线的一条渐近线方程是，∴则不妨设A （﹣2，），F （2，0）∵△FAB 是等腰直角三角形， ∴=4，解得：a=，b=4∴c 2=a 2+b 2=2+16=20， ∴双曲线的标准方程是故选C9..已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心学率为3.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）221205x y += 【答案】D【解析】因为椭圆的离心率为23，所以23==a c e ，2243a c =，222243b a ac -==，所以2241a b =，即224b a =，双曲线的渐近线为x y ±=，代入椭圆得12222=+bx a x ，即1454222222==+b x b x b x ，所以b x b x 52,5422±==，2254b y =，b y 52±=，则第一象限的交点坐标为)52,52(b b ，所以四边形的面积为16516525242==⨯⨯b b b ，所以52=b ，所以椭圆方程为152022=+y x ，选D. 10.设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为（） A ．B ．C ．D ．解：设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，设|AF 2|=1，|AF 1|=3，双曲线中2a=|AF 1|﹣|AF 2|=2，，∴离心率，故选B ．11.设双曲线的﹣个焦点为F ；虚轴的﹣个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解：设双曲线方程为，则F （c ，0），B （0，b ）直线FB ：bx+cy ﹣bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b 2=ac所以c 2﹣a 2=ac ，即e 2﹣e ﹣1=0，所以或（舍去）12．已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值围是( C )A.33(,)33- B.(3,3)- C.33[,]33- D.[3,3]-13.如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.33 B 。

高二数学双曲线几何性质的应用

y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
x2 y2 1 9 25
则c=4，c/a=2，b2=c2-a2，解得a2=4，b2=12，所以所求的双曲线方程为
y2 x2 1 4 12
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4 1 2 1 2 由题意得 a b 2 2 a b 4 2
解之得a2=b2=3
x2 y 2 所求双曲线的方程为 1 3 3
巩固练习二：
1、双曲线2 x2-y2=k的焦距是6，则 k 的值是（ B ） 6 5 （D）3 （A）124 （B） 6 （C） 5
x2 y2 1 的焦点坐标是____________ 2、双曲线 k 4
x2 y2 3、若方程 m 1 2 m 1 表示双曲线，则实数m的取
(o, 4 k )
-1<m<1,或 m>2 值范围是______________
例3、已知双曲线的焦点在 y轴上，并且双曲线上两点 P1、P2的坐标分别为（3，-4√2）、（9/4，5），求双曲线的标准方程。
解：因为双曲线的焦点在 y轴上，所以设所求双曲线的标 2 2 y x 准方程为 ① 2 1(a 0, b 0) 2
因为点P1，P2在双曲线上，所以点P1，P2的坐标适合方程①。将（3，-4√2）、（9/4，5）分别代入方程①中，得方程组
32 2 1 a2 b 2 25 9 / 4 1 a2 b2 1 1 m 2 ,n 2 , 则方程组化为 a b 2
表示焦点在
x轴上的双曲线，求m的范围。解：根据双曲线的性质有：
m-1＞0
2-m＜0 解得：m＞2

高二数学双曲线的几何性质人教版知识精讲

高二数学双曲线的几何性质人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：双曲线的几何性质二.1. 2.三.[例1] N （1）18021=∠+∠N MA N MA （2）N A MA 21⊥，N A MA 12⊥又x NA x NA 21,∠∠均为锐角 ∴ x NA x NA 2190∠-=∠即9021=∠+∠x NA x NA根据对称性，∴18021=∠+∠M NA M NA （2）仿（1）可求得),(22a b b M --∴ 1222221-=--⋅+--=⋅ab a b a b a b k k N A MA ∴ N A MA 21⊥，同理可证N A MA 12⊥[例2] 已知双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的焦点坐标是)0,(1c F -和)0,(2c F ，),(00y x P 是双曲线上的任一点，求证：||||01ex a PF +=，||||02ex a PF -=，其中e 是双曲线的离心率。

证明：双曲线12222=-by a x 的两焦点为)0,(1c F -、)0,(2c F ，相应的准线方程分别是c a x 2-=和ca x 2=。

∵ 双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率∴ e c a x PF =+||||201，e ca x PF =-||||202 化简得||||01ex a PF +=，||||02ex a PF -=[例3] 在双曲线191622=-y x 上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。

解：设P 点的坐标为),(y x ，1F 、2F 分别为双曲线的左、右焦点。

∵ 双曲线的准线方程为516±=x ∴ |516||||516|||21-=+x PF x PF ∵ ||2||21PF PF = ∴ P 在双曲线的右支上∴ 516||516||222-=+x PF x PF ∴ 548=x 把548=x 代入方程191622=-y x 得 11953±=y 所以P 点的坐标为)11953,548(±[例4] 已知双曲线方程为122=-y x ，双曲线左支上一点),(b a P 到直线x y =的距离是2，求b a +。

高中数学-双曲线-经典例题-分类指导

ABCP Oxy例题定义类1，已知，一曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支12||||610PF PF -=< ，的轨迹是双曲线的右支.其方程为 2双曲线的渐近线为，则离心率为点拨：当焦点在x 轴上时，，；当焦点在y 轴上时，， 3 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．[解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020）设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 上，由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线依题意得a=680, c=1020，用y=－x 代入上式，得，∵|PB|>|PA|,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处. 【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”4 设P 为双曲线上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为（）A ．B ．12C ．D ．24解析： △12(5,0),(5,0)F F -P 21,F F P )0(116922>=-x y x x y 23±=23=a b 213=e 23=b a 313=e 12222=-by a x 13405680340568010202222222222=⨯-⨯=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为5680±=x 10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即m 1068011222=-y x 363122:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由又△ 由△、△解得直角三角形，故选B 。

高中数学双曲线知识点及题型总结(学生版)

双曲线知识点及题型总结1 双曲线定义：①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.5.曲线的简单几何性质22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x aby ±=②若渐近线方程为x aby ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =a b x ，y =－abx (什么是共轭双曲线?)⑸准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2，两准线之距为2122a K K c=⋅⑹焦半径：21()a PF e x ex a c =+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；22()a PF e x ex a c=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）⑺与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x 0(≠λ⑻与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 6曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b⇔-<. 7曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. 8双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b-=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b -=.（3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=.9线与椭圆相交的弦长公式 AB =若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+= ]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；高考题型解析题型一：双曲线定义问题1.“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分又不必要条件2.若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k yk x 表示双曲线”的( )A .充分不必要条件. B.必要不充分条件. C.充要条件. D.既不充分也不必要条件.3.给出问题：F 1、F 2是双曲线162x －202y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上. _________.4.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .题型二：双曲线的渐近线问题1.双曲线42x －92y =1的渐近线方程是( )A . y =±23x B.y =±32x C.y =±49x D.y =±94x2.过点（2，－2）且与双曲线22x－y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )A .22y －42x =1 B.42x －22y =1 C.42y －22x =1 D.22x －42y =1题型三：双曲线的离心率问题1已知双曲线 x 2a 2 － y 2b2 = 1 (a ＞0,b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且∣PF 1∣=4∣PF 2∣,则此双曲线的离心率e 的最大值为（）A ．43B ．53C ．２D ．732.已知21,F F 是双曲线)0(,12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点,若2ABF ∆是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( )A.2 B.3 C. 2 D. 33.过双曲线M:2221y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 (4.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为( ) A.22 B. 2 C .2 D. 225..已知双曲线12222=-by a x (a>0,b<0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2) C .[2,+∞) D.(2,+∞) 题型四：双曲线的距离问题1.设P 是双曲线22ax －92y =1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则|PF 2|等于( ) A.1或5 B.6 C .7 D.92.已知双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是 A.(33-,33) B. (-3,3) C .[ 33-,33] D. [-3,3] 3.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.题型五：轨迹问题1.已知椭圆x 2+2y 2 =8的两焦点分别为F 1、F 2，A 为椭圆上任一点。

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高二数学双曲线知识点及例题一知识点1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。

2. 双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。

定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。

3. 双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上的：x a y ba b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。

注：c 2＝a 2＋b 2线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。

<>=>41离心率：e cae ()e 越大，双曲线的开口就越开阔。

<>±5渐近线：y bax =<>=±62准线方程：x a c5．若双曲线的渐近线方程为：x ab y ±= 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成： )0(2222≠=-λλby a x【典型例题】例1. 选择题。

121122.若方程表示双曲线，则的取值范围是（）x m y m m +-+=A mB m m ..-<<-<->-2121或C m mD m R ..≠-≠-∈21且2022.ab ax by c <+=时，方程表示双曲线的是（）A. 必要但不充分条件B. 充分但不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件322.sin sin cos 设是第二象限角，方程表示的曲线是（）ααααx y -=A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在y 轴上的双曲线D. 焦点在x 轴上的双曲线416913221212.双曲线上有一点，、是双曲线的焦点，且，x y P F F F PF -=∠=π 则△F 1PF 2的面积为（） A B C D (9)633393例2. ()已知：双曲线经过两点，，，，求双曲线的标准方程P P 12342945-⎛⎝ ⎫⎭⎪例3. 已知B （-5，0），C （5，0）是△ABC 的两个顶点，且sin sin sin B C A -=35，求顶点A 的轨迹方程。

例4. （1）求与椭圆x y 2294152+=有公共焦点，并且离心率为的双曲线的标准方程。

（2）求与双曲线x y M 22941921-=-⎛⎝ ⎫⎭⎪有共同渐近线，且经过点，的双曲线的标准方程。

例5. 已知双曲线方程x y 22421-= （1）过点M （1，1）的直线交双曲线于A 、B 两点，若M 为AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）是否存在直线l ，使点N 112，⎛⎝ ⎫⎭⎪为直线l 被双曲线截得的弦的中点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。

例六：1. 若x k y k 22211-+-=表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是（） A. ()1，+∞B. （0，2）C. ()2，+∞D. （1，2）2. 双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为（） A. 2或233B. 2C.233D. 33. 圆C 1：()x y ++=3122和圆C 2：()x y -+=3922，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程。

[例题答案]例一：解：1. 把所给方程与双曲线的标准方程对照易知：2+m 与m+1应同号即可。

∴+>+>⎧⎨⎩+<+<⎧⎨⎩20102010m m m m 或 ∴>->-⎧⎨⎩<-<-⎧⎨⎩m m m m 2121或 ∴>-<-m m 12或2022. 若表示双曲线，则一定有；ax by c ab +=<若当时，表示双曲线当时，表示直线ab c c <≠=⎧⎨⎩000∴选A300.sin cos ααα是第二象限角，，∴>< ∴<sin cos αα0 原方程化为：x y 221⋅-=sin cos sin cos αααα易知：x 2的系数为负，y 2的系数为正∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线 4. 由双曲线方程知：a ＝4，b ＝3，c ＝5设，，则，PF m PF n m n F F c 12128210==-=== 由余弦定理：(223222c m n mn )cos =+-⋅π()10022=-+-m n mn mn ∴=mn 36 ∴=⋅︒=⋅⋅=S mn F PF ∆12126012363293sin 、例二：解：设所求双曲线方程为Ax 2－By 2＝1，（AB>0）依题意：9321811625119116A B A B A B -=-=⎧⎨⎪⎩⎪⇔=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ ∴-=所求双曲线方程为：y x 221691 例三：分析：在△ABC 中由正弦定理可把sin sin sin B C A -=3转化为b c a -=35，结合∴-=<-顶点的轨迹方程为A x y x 2291613() 注：（1）利用正弦定理可以实现边与角的转换，这是求轨迹方程的关键；（2）对于满足曲线定义的，可以直接写出轨迹方程；（3）求轨迹要做到不重不漏，应删除不满足条件的点。

例四：解：（1）由椭圆方程知： a b c ===325，， ()()∴-焦点，，，F F 125050∴-=设双曲线的标准方程为：x a y b 2122121由已知条件得：c ca c ab a b 1111212121155221===+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒==⎧⎨⎩ ∴-=所求双曲线的标准方程为：x y 2241 （2）解法一： M 921，在第四象限-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 又双曲线的渐近线为 x y y x 2294123-==± 将点的横坐标代入M x y x ==-=-92233 ∴双曲线的焦点必在x 轴上 ∴-=设双曲线方程为：x a y b22221()∴=⎛⎝ ⎫⎭⎪--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒==⎧⎨⎩b a a ba b 239211188222222∴-=所求双曲线标准方程为：x y 221881 解法二：所求双曲线与已知双曲线有共同的渐近线y x =±23∴-=≠设所求双曲线方程为：x y 22940λλ() 又所求双曲线过点， M 921-⎛⎝ ⎫⎭⎪ ()∴⎛⎝ ⎫⎭⎪--=∴=92914222λλ， ∴-=所求双曲线方程为：x y 221881例五：解：（1）设AB 的方程为：y －1＝k （x －1）y kx k x y y =+--=⎧⎨⎪⎩⎪142122，消去()()124424602222-+--+-=k x k k x k k()()设，，，，则，A x y B x y M x x y y 1122121222++⎛⎝ ⎫⎭⎪∴+=--+=--=x x k k k x x k k k122212224412222121，即 ∴=k 12()()()又 ∆=----+-444122462222k k k k k 将代入k =>120∆ ∴-+=所求直线的方程为：AB x y 210 （1）另解法：()()设，，，，则，A x y B x y M x x y y 1122121222++⎛⎝ ⎫⎭⎪A B x y 、在双曲线上22421-= ∴-=<>-=<>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪x y x y 1212222242114212()()()()<>-<>+--+-=122012121212：x x x x y y y y 又， x x y y 121222+=+= ()()∴-=-241212x x y y当x 1＝x 2时，直线AB 与双曲线没有交点。

∴≠--=∴=x x y y x x k AB 1212121212，那么，∴-+=直线的方程为：AB x y 210 双曲线的一条渐近线为y x =22又，直线与双曲线有两个交点1222<∴ ∴-+=x y AB 210即为的方程（2）假设过N 112，⎛⎝ ⎫⎭⎪的直线l 交双曲线于C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）两点则x y x y 3232424242134214-=<>-=<>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()()<>-<>+---+=342034343434：x x x x y y y y 依题意，又，x x x x y y 34343421≠+=+= ∴--==y y x x k CD 34341双曲线的一条渐近线为y x =22∴>∴122，直线与双曲线没有公共点l ∴⎛⎝ ⎫⎭⎪使点，为弦的中点的直线不存在N 112例六：1. 答案：A2. 答案：A3. 分析：解决本题的关键是寻找动点M 满足的条件，对于两圆相切，自然找圆心距与半径的关系。

解：条件知：MC MC MA MBMC AC MC BC MC MC BC AC 1211222121312-∴=∴-=-∴-=-=-=即动点M 与两定点C 1、C 2的距离的差是2根据双曲线定义，动点M 的轨迹是双曲线左支（点M 与C 2的距离大于与C 1的距离）这里a c b ==∴=1382，，设M （x ，y ）∴轨迹方程为x y x 22810-=<()。

高二数学双曲线知识点及例题