知识的一阶谓词逻辑表示法

4.1一阶谓词逻辑基本理论（续）
6 谓词公式的等价性与永真蕴含性 推理规则 (1) P规则：在推理的任何步骤上都可以引入前提。 (2) T规则：推理时，如果前面步骤中有一个或多个公式 永真蕴含公式S，则可以把S引入推理过程中。 (3) CP规则：如果能从R和前提集合中推出S来，则可以 从前提集合推出R→S来。 (4) 反证法：P Q，当且仅当，P∧Q F ，即Q为P的逻 Q是不可满足的。 辑结论，当且仅当P∧ 定理4-1 Ｑ为P1,P2,„,Pn的逻辑结论，当且仅当 (P1∧P2∧P3∧„∧Pn)∧﹁Ｑ 是不可满足的。
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4. 谓词(谓词填式)
定义4-4 将表示谓词的符号和表示个体的符号组合成一 个函词，就称谓词填式，简称谓词。如果没有特殊说明 ，以后我们提到的谓词均指谓词填式。与命题逻辑相似 ，谓词逻辑中也有谓词常项和谓词变项之分。含有个体 变元的谓词没有真值，但当谓词中的变元都用指定的个 体取代时，谓词就有了特定的值T或F。
置换（substitution）：
一个有序对的集合s={ti/vi}（i=1, 2,„, n）称为代 换。 其中vi（i=1, 2, ... n）是互不相同的变量，ti （i=1, 2, ... n）是不同于vi的项，可以是常量、 函数，或者其他的变量。 当ti都是基项时，代换称为基代换。不含任何元素 的代换称为空代换。它是一个空集，记作ε 。
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3. 范式的求解 对任一合式公式可通过以下步骤化成前束范式： (1) 消去多余的前束(量词)。这在化简过程都要随时注 意到，因为可能出现母式中没有其前束中相对应的约束 变元，因而这个前束是多余的，应及时消去。 (2) 消去蕴涵符号(“→”联结词)。反复使用具有 “→”联结词的等值公式，把公式中所有的“→”都消 去。 (3) 内移否定词“”的辖域范围。反复使用摩根定律和 量词互换式，把否定词标到只作用于原子公式为止。 (4) 变量标准化。对变量作必要的换名，使每一量词只 约束一个唯一的变量名。由于变量名可任意设定，因而 该过程不影响合式公式的真值。 (5) 把所有量词都集中到公式左面，移动时不要改变其 相对顺序。
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谓词与函数的区别： 1、谓词的真值是真和假，而函数无真值可言，其 值是个体域中的某个个体。 2、谓词实现的是从个体域中的个体到T或F的映射 ，而函数实现的是同一个个体域中从一个个体到 另一个个体的映射。 3、在谓词逻辑中，函数本身不能单独使用，它必 须嵌入到谓词中。
人工智能中的谓词演 算及应用
河南理工大学计算机学院 陈峰 xfchengf@hpu.edu.cn
人工智能中的谓词演算及应用
1 学习目标： 了解一阶谓词演算的基本体系，掌握命题逻辑和谓 词逻辑的归结方法，以及基于归结的提取问题回答的方 法，掌握基于规则的正向演绎方法和逆向演绎方法。 2 学习指南： 本章内容是在一阶谓词逻辑的基础上介绍有关的方 法，假定读者已经学习过一阶谓词逻辑的有关内容。在 学习的同时，自己尝试重新做一遍例题，将有助于你的 学习。在有条件的情况下，可以尝试用程序实现本章介 绍的一些主要方法，不过有一定的难度。
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例：证明 ((P→Q)→R)→((R→P)→(S→P)) T
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7 谓词公式的范式 （1）. 前束范式 定义4-13 设F为一谓词公式，如果其中的所有 量词均非否定地出现在公式的最前面，且它们的 辖域为整个公式，则称F为前述范式。一般地， 前束范式可写成 (Q1x1)„(Qnxn)M(x1,„,xn) 其中，Qi(i＝1,2,„,n)为前缀，它是一个由全 称量词或存在量词组成的量词串，M(x1,„,xn) 为母式，它是一个不含任何量词的谓词公式。
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定义1：谓词公式X是谓词公式A的一部分，则称X 为A的子公式。若子公式为（ X）P(X)或 （ X）P(X)，则称X为指导变元，P(X)为相应量 词的作用域或辖域。在辖域中X的所有出现称为X 在公式A中的约束出现（即X为相应量词的指导变 元所约束），A中不是约束出现的其它变元称为 自由变元。 定义2：设X是谓词合式公式A的一个个体变元，若 以y代替x后不产生变元的新的约束出现，则称 A（X）关于y是自由的。
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定义4-10 若公式G在解释I下为T，即取值为真 ，则称解释I满足公式G，或称解释I是G的一个模 型。 对于公式集Γ ，可以看成是其中的每个公式G的 合取，即 Γ =G1∧G2∧„∧Gn， 若G1，G2，„，Gn皆为真，则其合取亦为真，故 定义在公式G上的定义都可推广到公式集Γ ，也 是适用的。
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6 谓词公式的等价性与永真蕴含性 定义4-11 设P与Q是两个谓词公式，D是它们共同 的个体域，若对于D上的任何解释，P和Q都有相 同的真值，则称P与Q在个体域D上是等价的，如 果D是任意个体域，则称P和Q是等价的，记作 P Q。 定义4-12 对于谓词公式P和Q，如果P→Q永真，则 称P永真蕴含Q，且称Q为P的逻辑结论，称P为Q的 前提，记作P Q。
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(2). Skolem范式 定义4-14 如果前束范式中所有的存在量词都 在全称量词之前，则称这种形式的谓词公式为 Skolem范式。求该范式方法： 把公式变换成等价的前束范式； 把不含量词的母式变换成等价的合取范式； 消去所有存在量词： 若不受全称量词约束，用母式中没有的常量 符号代换； 若受全称量词约束，用母式中没有的函数来 代换；
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5 谓词公式的永真性与可满足性 定义4-7 如果谓词公式P对于个体域上的任何一 个解释都取得真值Ｔ，则称P在D上是永真的，换 句话说，P在每一个非空个体域上均永真，则称P 永真。 定义4-8 对于谓词公式P，在个体域D中，至少 存在一个解释使得公式P在此解释下真值为T，则 公式P是可满足的或相容的。 定义4-9 如果谓词公式P对个体域D上任何一个 解释都取得真值F，则称P在D上永假的，又称为 不可满足性或不相容性的。
人工智能中的谓词演算及应用 3 难重点： 命题逻辑的归结方法，谓词逻辑的归结方法， 基于归结的问题回答方法，基于规则的正向演绎 方法和基于规则的逆向演绎方法。
4.1一阶谓词逻辑基本理论
一、命题与联结词 定义4-1 具有确定真值的陈述句，称为命题。
命题若是简单的陈述句，不能分解成更简单的句子，我们称 这样的命题为简单命题或原子命题。可以用英文字母P，Q，R，„或 是带有下标的大写英文字母Pi等表示简单命题，将命题用合适的符 号表示，称为命题符号化。 对于简单命题来说，它的真值是确定的，因而又称为命题常项 或命题常元。 真值可以变化的简单陈述句称为命题变项或命题变元。
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2. 谓词 定义4-3 用于刻画个体的性质、状态或个体之间的关系 ，称为谓词。 谓词一般也用P,Q,R等大写字母表示。 3. 函数符号 函数符号，又称函词，是从若干个思维对象到某个思维 对象的映射的符号。 n元函数f(x1,x2,„,xn)规定为一个映射： f: Dn →D
定义：设θ ={t1/x1,t2/x2,„,tn/xn}， λ ={u1/y1,u2/y2„um/ym}是两个代换。θ 与λ 的 复合代换，记作θ · λ ，是由下列集合 {t1λ /x1,t2λ /x2,„,tnλ /xn,u1/y1,u2/y2„ um/ym} 删除所有满足tiλ =xi的元素以及所有yi出现在 {x1,x2,„xn}中的元素得到的集合。 例：设θ ={f(y)/x,z/y}, λ ={a/x,b/y,y/z} 复合代换一般不满足交换律。
置换s表示将公式（表达式）中的所有变量vi用项ti代替。 对公式E施以置换s，记作Es。 Es称作公式E的代换实例。 一个公式的任何代换实例都是原公式的逻辑结论。 例： 设有置换s={z/x, a/y}， 则：P[x, f(y), b]s=P[z, f(a), b] 。 这里x被换成了z，y被换成了a。
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定理1：设X是谓词公式A的一个个体变元，A的论 域为D，A(x)关于y是自由的，则 (x)P(x)=P(y) 特例： (x)P(x)=P(X) 上述公式称为全称固化。 定理2：设X是谓词公式A的一个个体变元，A的论 域为D，A(x)关于y是自由的，则 (x)P(x)=P(y)，其中y是个体域中某 一个可使P(y)为真的个体。
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n元谓词：含有n个个体符号的谓词P(x1,x2,„,xn)，它表 示一个映射： P：Dn →{T，F}或是(D1×D2ׄ×Dn)→{T，F} 谓词的语义是由使用者根据需要人为定义的。 谓词中包含的个体数目称为谓词的元数，如：Q(x)是一元 谓词，P(x, a)是二元谓词，A(x1,x2,„,xn)是n元谓词。 若X是个体常元、变元或函数，谓词称为一阶谓词；如果 某个X本身又是一个一阶谓词，则谓词称为二阶谓词。依 次类推。 与谓词联系着的n个个体的出现顺序不是任意的。 同一谓词的个体变元取值于不同个体域时，所得命题真假 值可以不同。
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定义4-5 下述规则得到谓词演算的合式公式： (1) 单个谓词是合式公式，称为原子谓词公式； (2) 若A是谓词公式，则 A也是合式公式； (3) 若A，B都是合式公式，则A∨B，A∧B，A→B ，A B也都是合式公式； (4) 若A是合式公式，x是任一个体变元，则(x)A (x)A也都是合式公式。 ，
4.1一阶谓词逻辑基本理论（续） 2、联结词
（1）“否定”联结词，当命题P为真时，则﹁P为假，反之为真。 （2） ∨：“析取”联结词，它表示两个命题存在“或”的关系。 （3）∧：“合取”联结词，它表示两个命题之间具有“与”关系。 （4）→：“蕴含”、“单条件”，P→Q表示“如果P，则Q”。其中 P为前件，Q为后件。 ：“等价”、“双条件”，P Q表示“P当且仅当Q”。 （5）
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三、量词
设谓词P(x)表示x是正数，F(x,y)表示x与y是好朋 友，则： (x)P(x)：表示个体域中所有个体x都是正数。 (x) (y)F(x,y)：表示在个体域中所有个体x,都 存在个体y，x与y是好朋友。
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四、 谓词公式 项： 单独一个个体符号（包括常量和变量）是项； 若t1，„„，tn是项，则f(t1,„,tn)是项； 所有项由上述两规则生成。 原子公式： 若t1，„„，tn是项，P是n元谓词符号，则单 独一个谓词P(t1,„,tn)称为原子谓词公式； n=0时退化为原子命题公式。简称原子
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4.1一阶谓词逻辑基本理论（续） 二、个体词与谓词
1. 个体词 定义4-2 个体 (个体词)是指所研究对象中可以独立存在的具体事 物、状态或个体之间的关系。 在谓词逻辑中，个体可以是常量也可以是变量(变元)。 个体常量：表示具体的或特定的个体，用a,b,c,d表示； 个体变量：表示抽象的或泛指的个体，用x,y,z表示； 个体域(论域)：个体变量的（取值范围）值域，常用D表示。个体域 可以是有限的也可以是无限的
4.1一阶谓词逻辑基本理论（续）
2. 公式的解释 在命题逻辑中，对命题公式中各个命题变元的一次真值 指派称为命题公式的一个解释。一旦解释确定，根据各 联结词的定义就可求出命题公式中真值(T或F)。 定义4-6 解释I有四个要素： (1) 给出非空论域D； (2) 对公式G，对每个常量指派D中的一个元素； (3) 对公式G，对每个n元谓词指派一个Dn →{T，F}的映 射； (4) 对公式G，对每个n元函数指派一个Dn →D的映射。