奥数知识点 翻杯子

翻杯子
●不能翻成功
一个杯口朝上的杯子，要翻成杯口朝下，要翻动1次、3次、5次……即奇数次。

这样，根据奇、偶数的性质，可以发现：当杯子总数N为奇数而每次翻动的个数M为偶数时，无论翻几次，都不能成功。

因为需翻动杯子的总次数为奇数（奇数个奇数的和为奇数），而实际翻动总次数一定为偶数，显然奇数≠偶数，所以不能成功。

除此之外的其它情况都能翻成功，即：（杯子总数为N、每次翻动的个数为M）
①N为奇数、M为偶数时，无法翻成功;
②N为奇数、M为奇数时，且需翻动奇数次; (N<2M，为3次)
③N为偶数、M为奇数时，且需翻动偶数次; (N<2M，为4次)
④N为偶数、M为偶数时，且翻动奇、偶次均可。

(N<2M，为3次)
●最少需翻几次，怎样翻？
解题步骤：①能不能翻成功②能成功，翻几次
1、当N=M倍，需翻N÷M次
例1、8个杯口全部向上的杯子，每次将其中4个同时翻转，几次翻转杯口能全部向下?
解：①∵N与M同为偶数；∴能翻成功
②翻2次（=8÷4）
通常，考题中的N是不能被M整除的，也就是说，在翻的过程中肯定有些杯子是需要重复翻的，这时，翻成功的次数必≥3次，具体最少是几次，取决于第一次翻动之后，剩余杯子数(N-M)和每次翻动杯子数M之间的关系。

①N=M+1；②N>2M；③N<2M。

2、当N=M+1时，需翻次数=杯子总数=N次（轮翻）
例1、有8个杯口全部向上的杯子，每次将其中7个同时翻转，几次翻转杯口能全部向下? 解：①∵N为偶数，M为奇数；∴(偶数次)能翻成功
②翻8次（轮翻，次数=N）
具体操作如下：(○表示杯口朝上，●表示杯口朝下) ○○○○○○○○
第1次●●●●●●●○第2次○○○○○○●●
第3次●●●●●○○○第4次○○○○●●●●
第5次●●●○○○○○第6次○○●●●●●●
第7次●○○○○○○○第8次●●●●●●●●
（第1次第1个不翻，第2次第2个不翻，每3次第3个不翻。

第8次第8个不翻）结论：通过上图发现，每两次就能翻成两个，所以8个杯子每次翻7个需8次翻成功，共翻了56次，每个杯子翻了7次。

事实上，每当重复翻动一个杯子，即将已翻成杯口朝下的杯子先翻回杯口朝上，下次再翻成杯口朝下，这个过程实际上是将一个杯子多翻了两次，假设不重复翻的话，相当于在原杯子总数N的基础上另外增加了两个杯子，即有(N+2)个杯子。

同理，若需要重复翻动a个杯子就可看做共有(N+2a)个杯子需要翻动。

显然，8个杯子，每次须翻动7个，那么第二次翻动时一定有6个杯子被重复翻动，可看成每次增加2×6=12个杯子，则翻动次数为(8+12×4)÷7=8(次)，8+12×4=56表示总次数，还可知每个杯子均被翻56÷8=7次。

2、当N>2M
例2：有13个杯口全部向上的杯子，每次将其中5个同时翻转，几次翻转杯口全部向下? 解：①∵N为奇数，M为奇数；∴能翻成功
②需翻动奇数次（13个奇数之和是奇数=5×翻动次数，翻动次数存在且必为奇数）具体操作如下：(○表示杯口朝上，●表示杯口朝下) ○○○○○○○○○○○○○
第1次●●●●●○○○○○○○○（剩下的是偶数，先翻一个，再由左边补足）
第2次●●●●○●●●●○○○○
第3次●●●●●●●●●●●●●
（当剩下的杯子数是小于2M的偶数时，先翻动它的一半，再由左边的补足）
例3：有12个杯口全部向上的杯子，每次将其中5个同时翻转，几次翻转杯口全部向下? 解：①∵N为奇数，M为偶数；∴能翻成功
②需翻动偶数次（12个奇数之和是偶数=5×翻动次数，翻动次数存在且必为偶数）具体操作如下：(○表示杯口朝上，●表示杯口朝下) ○○○○○○○○○○○○
第1次●●●●●○○○○○○○（剩下的是奇数，先翻一个，再由左边补足）
第2次○○○○●●○○○○○○（剩下的是偶数，先翻一个，再由左边补足）
第3次●●●●●●●○○○○○
第4次●●●●●●●●●●●●
（当剩下的杯子数是小于2M的奇数时，先翻动它的一个，再由左边补足，变为乘下偶数）
3、当N<2M
(1)若N与M同偶或同奇，需3次。

(2)若N是偶数，M是奇数，需4次。

例4：有8个杯口全部向上的杯子，每次将其中5个同时翻转，几次翻转杯口能全部向下? 解：①∵N为偶数，M为奇数；∴能翻成功
②需翻动偶数次（8个奇数之和是偶数=5×翻动次数，翻动次数存在且必为偶数）具体操作如下：(○表示杯口朝上，●表示杯口朝下) ○○○○○○○○
第1次●●●●●○○○（剩下的是奇数，先翻一个，再由左边补足）
第2次●○○○○●○○（剩下的是偶数，先翻一个，再由左边补足）
第3次○●●●○○○○
第4次●●●●●●●●。