第六章 杆系结构的有限单元法 有限单元法与程序设计 教学课件

e l T 1 T
T
T
dN dξ dξ
l {R} = ∫ N f ( x)dx = ∫ N f (ξ ) dx −1 0 2
第六章 杆系结构的有限单元法
一、拉压杆单元
3、单元分析 d）单元平衡方程 2结点杆单元的单刚： 结点杆单元的单刚：
EA 1 − 1 [k ] = − 1 1 l
lxz = cos( , z) = sinα x lzz = cos( , z) = cosα x (i =1,2)
z轴的方向余弦为： 轴的方向余弦为：
lzx = cos( , x) = −sinα z ui = lxxui + lxz wi
两种坐标系间，线位移的转换关系为： 两种坐标系间，线位移的转换关系为：
k0 k c0
k0 c kcc
e
∆ 0 R0 = ∆ c Rc
e
e
是单元中需要凝聚掉的自由度， 其中 ∆ c是单元中需要凝聚掉的自由度， 参加总刚集成的自由度。 参加总刚集成的自由度。
{ }
是单元中需要保留， {∆是单元中需要保留，也即将 0}
T
b）广义坐标法建立形函数
2
dw , θi = dx i
3
(i = 1,2)
2个结点，4个自由度，故在自然坐标下设： 个结点， 个自由度，故在自然坐标下设：
w = a1 + a 2ξ + a3ξ + a 4ξ
则： θ =
x − x1 其中： = ξ ,0 ≤ ξ ≤ 1 l
dw dw 1 = = (a2 + 2a3ξ +3a4ξ 2 ) dx ldξ l
dNT (ξk ) Mk {R}e = ∫0 NT qldξ +∑NT (ξ j )Pj −∑ dξ l j k k
1
第六章 杆系结构的有限单元法
四、平面杆件系统
1、平面杆系结构的特点 1）杆件和荷载都处于同一面内 2）有较明确的传力路径 3）杆件之间可以是铰接也可以是刚接
C0问题
第六章 杆系结构的有限单元法
一、拉压杆单元
3、单元分析 a）建立自然坐标
ξ=
2 (x − xc ), xc = x1 + x2 l 2
−1 ≤ ξ ≤ 1
b）试凑法建立形函数 2结点单元： N1 = 结点单元：
1 1 (1 − ξ ), N 2 = (1 + ξ ) 2 2
第六章 杆系结构的有限单元法
一、拉压杆单元
3、单元分析 d）单元平衡方程 将位移函数带入总势能方程，并对势能取驻值得： 将位移函数带入总势能方程，并对势能取驻值得：
[k]e[∆]e −{R e = 0 }
其中： 其中：
1 2 EA dN dN dN [k ] = ∫ EA dx = ∫−1 dξ 0 dx dx l e l
C1问题
l EI l d w dw 2 dx − ∫ q(x)wdx −∑Pj wj + ∑Mk Π= 0 0 2 ∫ dx dx k j k
第六章 杆系结构的有限单元法
三、纯弯杆单元
3、单元分析 a）结点位移
{∆} = {w1 θ1
e
w2 θ 2 }
e
[k ]e = [kij ]2×2
第六章 杆系结构的有限单元法
四、平面杆件系统
2、局部坐标系下的平面杆单元
[ ]
ea
a kij e kij = 0
0 , (i, j = 1,2) b kij
EA 1 − 1 [k ] = l − 1 1
12 6l 4l 2 EI = 3 l 对 称 − 12 − 6l 12
一、拉压杆单元
3、单元分析 b）试凑法建立形函数 3结点单元： 结点单元： c）位移插值函数
1 1 2 N1 = ξ (1 − ξ ), N 2 = 1 − ξ , N 3 = ξ (1 + ξ ) 2 2
u = ∑ Ni (ξ )ui = [N ]{∆}
i =1 n e
第六章 杆系结构的有限单元法
第六章 杆系结构的有限单元法
四、平面杆件系统
2、局部坐标系下的平面杆单元 1）结点位移－轴向＋弯曲 结点位移－轴向＋
{∆}e = {u1
w1 θ1 u2 w2 θ2 }
T
2）单元刚度方程－轴向＋弯曲 单元刚度方程－轴向＋
[ ]
a kij e kij = 0
0 , (i, j = 1,2) b kij
第六章 杆系结构的有限单元法
三、纯弯杆单元
3、单元分析 b）广义坐标法建立形函数 将结点坐标及位移代入上面三式: 将结点坐标及位移代入上面三式:
w = ∑ (Ni wi + N ziθi ) = ∑[N ]i {∆i } = [N ]{∆}
i =1 i =1
2
பைடு நூலகம்
2
e
[N ] = [N1
N z1 N2
并对势能取驻值得： 并对势能取驻值得：
[k]e[∆]e −{R e = 0 }
其中： 其中：
[k ]e = ∫
1
0
EI d N 2 3 l d ξ
2
T
d 2N 2 dξ d ξ
第六章 杆系结构的有限单元法
三、纯弯杆单元
3、单元分析 c）单元平衡方程
第六章 杆系结构的有限单元法
三、纯弯杆单元
2、基本方程
d 2w a）几何方程 χ = − dx 2 d 2w b）物理方程 M = EIχ = − EI dx 2 dM d 3w c）平衡方程 Q = = − EI 3 , dx dx
d）总势能
2 2
dQ d 4w − = EI 4 = q( x) dx dx
所以单元坐标转换矩阵为： 所以单元坐标转换矩阵为：
(i = 1,2)
[T ] = diag [λ
λ]
lxx lxz 0 cosα sinα 0 [λ ] = lzx lzz 0 = − sinα cosα 0 0 0 1 0 0 1
第六章 杆系结构的有限单元法
[k]e[∆]e −{R e = 0 }
[k ] = ∫
e 1
0
EI d N 2 3 l d ξ
2
T
d 2N 2 dξ d ξ
12 6l 4l 2 EI = 3 l 对 称
− 12 − 6l 12
6l 2l 2 − 6l 4l 2
[k ]
eb
EA 0 l 12 EI l3 6l [k ]e = 2l 2 − 6l 2 4l
0 6 EI l2 4 EI l
−
EA l 0 0 −
0 12 EI l3 6 EI − 2 l 0 12 EI l3
EA l
6 EI 2 l 2 EI l 0 6 EI − 2 l 4 EI l 0
第六章 杆系结构的有限单元法
四、平面杆件系统
3、平面杆单元的坐标变换 设局部坐标 x轴和总体坐标 x 轴间的夹角为 则x轴的方向余弦为： 轴的方向余弦为：
α
lxx = cos( , x) = cosα x
第六章 杆系结构的有限单元法
四、平面杆件系统
5、内部铰结点的处理 a) 凝聚自由度法 从方程的第二式可得： 从方程的第二式可得：
{∆ c } = [kcc ] ({Rc }− [kc 0 ]{∆ 0 })
−1
代回第一式可得： 代回第一式可得：
[k ] {∆ 0 } = {R0 } * −1 其中： 其中： [k ] = [k0 ] − [k0c ][kcc ] [kc 0 ] * −1 {R0 } = {R0 }− [k0c ][kcc ] {Rc }
第六章 杆系结构的有限单元法
一、拉压杆单元 二、扭转杆单元 三、纯弯杆单元 四、平面杆系结构 五、空间杆系结构
第六章 杆系结构的有限单元法
一、拉压杆单元
图示等截面直杆，其中 是轴向的分布荷载， 图示等截面直杆，其中f(x)是轴向的分布荷载，P1、P2、P3等是轴向的集中荷载
1、计算假定 a）应力在截面上均匀分布 b）原来垂直于轴线的截面变形后仍保持和轴线垂直 三维问题简化为一维问题，只有沿x轴方向的位移u 三维问题简化为一维问题，只有沿x轴方向的位移u
wi = lzxui + lzz wi
转动位移的转换关系为： 转动位移的转换关系为：
θi =θi
(i =1,2)
第六章 杆系结构的有限单元法
四、平面杆件系统
3、平面杆单元的坐标变换 两种坐标系间，位移的转换关系为： 两种坐标系间，位移的转换关系为：
ui lxx lxz 0ui w = [λ ]{∆ } {∆i } = wi = lzx lzz 0 i i θ 0 0 1θ i i
第六章 杆系结构的有限单元法
三、纯弯杆单元
图示等截面梁，其中q 图示等截面梁，其中q(x) 是横向作用的分布荷载， 是横向作用的分布荷载， P1…；M1 …等是横向 集中荷载和弯矩
1、计算假定 变形前垂直梁中心线的截面，变形后仍保持为平面， 变形前垂直梁中心线的截面，变形后仍保持为平面， 且仍垂直于中心线－ 且仍垂直于中心线－克希霍夫假定 三维问题简化为一维问题，基本未知量只有中线的挠度w 三维问题简化为一维问题，基本未知量只有中线的挠度w
* *
第六章 杆系结构的有限单元法
四、平面杆件系统
5、内部铰结点的处理 a) 凝聚自由度法 对于图中2号杆，凝聚后的单刚： 对于图中2号杆，凝聚后的单刚：
EA l * [k ] = 0 3EI l3 0 3EI l2 3EI l − EA l 0 0 EA l − 0 3EI l3 3EI − 2 l 0 3EI l3 0 0 0 0 0 0
第六章 杆系结构的有限单元法
一、拉压杆单元
2、基本方程
du du σ x = Eε x = E b）物理方程 a）几何方程 ε x = dx dx d 2u d c）平衡方程 ( Aσ x ) = f (x) 即： AE 2 = f ( x) dx dx
d）总势能
l EA l du Π= ∫0 dx dx − ∫0 f (x)udx −∑Pjuj 2 j 2
e
3个以上结点的杆单元，内部自由度可以在单元层次凝聚掉，以 个以上结点的杆单元，内部自由度可以在单元层次凝聚掉， 提高计算效率
第六章 杆系结构的有限单元法
二、扭转杆单元－自由扭转
1、基本方程 a）几何方程 b）物理方程
dθ x α= dx dθ x M = GJα = GJ dx
d 2θ x dM c）平衡方程 = GJ = mt ( x) 2 dx dx
四、平面杆件系统
4、整体坐标系下的单元平衡方程
[k ]e[∆]e −{R}e = 0
其中： 其中：
[k ]
e
= [T ] [k ] [T ]
T e
{R } = [T ] {R}
e T
e
第六章 杆系结构的有限单元法
四、平面杆件系统
5、内部铰结点的处理 a) 凝聚自由度法 单元在参加系统集成前，在自身局部坐标 单元在参加系统集成前， 系内的平衡方程可表示为： 系内的平衡方程可表示为：
d）总势能
l GJ l dθx Π= ∫0 dx dx − ∫0 mt (x)θxdx 2 2
C0问题
第六章 杆系结构的有限单元法
二、扭转杆单元－自由扭转
2、单元分析 参考拉压杆单元的分析过程， 参考拉压杆单元的分析过程，对扭转杆单元进行分 并写出2 析，并写出2结点杆单元的刚度矩阵
Nz2 ]
形函数矩阵
N1 =1−3ξ 2 + 2ξ 3
N2 = ξ − 2ξ 2 +ξ 3 l
(
)
Nz1 = 3ξ 2 − 2ξ 3
Nz2 = ξ 3 −ξ 2 l
(
)
形函数
第六章 杆系结构的有限单元法
三、纯弯杆单元
3、单元分析 c）单元平衡方程 将位移函数带入总势能方程
l EI l d w dw Π= ∫0 dx2 dx − ∫0 q(x)wdx −∑Pj wj + ∑Mk dx k 2 j k 2 2