数值分析第二章 插值法

求5、6月份的日照时间的变化规律。 • 多项式插值的存在唯一性
一、引言
2.多项式插值
• 一个例子 日照时间的变化设为 y(x)=a0+ a1x + a2x2, 根据三组数据: (1, 13.53), (31, 14.21),(61, 14.40)， 导出关于a0，a1，a2的线性方程组
a0 a1 a2 13.53 2 a0 31a1 (31) a2 14.21 2 a0 61a1 (61) a2 14.40
一、引言
1.插值问题的提出
• 插值问题
• 提出原因 - 将复杂函数用简单函数近似 - 曲线、曲面拟合 • 一些基本概念
一、引言
1.插值问题的提出
• 插值问题
• 提出原因 • 一些基本概念
一、引言
1.插值问题的提出
• 插值问题
• 提出原因 • 一些基本概念 插值函数
插值区间 插值节点
一、引言
1.插值问题的提出
1 1 m f [ xk , , xk m ] fk , m m!h m 1,2,, n.
三、均差与牛顿插值
• 插值问题
• 提出原因 • 一些基本概念
- 已知f(x)在点a ≤ x0 <x1<…<xn≤b上的值y0=f(x0) ,…, yn=f(xn)，若存在一简单函数P(x)，使
P ( xi ) yi
(i 0,1,, n),
P(x)为f(x)的插值函数，点x0,x1,…,xn称为插值节点， [a,b]称为插值区间，求P(x)的方法称为插值法.
三、均差与牛顿插值
3.差分形式的牛顿插值公式
若x0,x1,…,xn 为等距节点，即xk=x0+kh (k=0,1,...,n) 时，可将牛顿插值公式简化
三、均差与牛顿插值
3.差分形式的牛顿插值公式
• 差分
• 均差与差分关系 • 牛顿前插公式
三、均差与牛顿插值
3.差分形式的牛顿插值公式
• 差分 设 xk 点的函数值为 f k f ( xk )(k 0,1,, n) ， 称f k f k 1 f k 为 xk 处的一阶（向前）差分.
二、拉格朗日插值
1.拉格朗日插值多项式
Ln ( x ) l 0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1 l n ( x ) yn
插值基函数lj(x) (j = 0,1,…,n)在n+1个节点x0 <x1<…<xn上满足条件
1 lk ( x j ) 0 jk jk
f [ x, x0 ,, xn1 ] f [ x0 , x1 ,, xn ] f [ x, x0 , x1 ,, xn ](x xn ).
将后一式代入前一式，得 • Newton插值和Lagrange插值的关系
三、均差与牛顿插值
2.牛顿插值多项式
f ( x) f 0 f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 ,, xn ]( x x0 ) ( x xn1 ) f [ x, x0 ,, xn ]n1 ( x) Pn ( x) Rn ( x)
• 性质
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
• 性质 • 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
• 性质 （1）f (x)的k阶均差可表示为函数值f (x0),f (x1),……, f (xn)的线性组合，即
f ( xi ) f [ x0 , x1 ,, xn ] i 0 ( xi x0 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi xn )
• 性质 （3）设f (x)在[a,b]上具有n阶导数，且x0,x1,…,xn [a,b]，则n阶均差与导数的关系如下： f ( n ) ( ) f [ x0 , x1 ,, xn ] [ a, b]
n!
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
• 性质 - 差商表 • 均差的计算 x
(j,k=0,1,…,n)
( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
n1 ( x ) ( x xk ) n1 ' ( xk )
称Pn(x)为Newton均差插值多项式。 • Newton插值和Lagrange插值的关系
三、均差与牛顿插值
2.牛顿插值多项式
• Newton插值多项式
• Newton插值和Lagrange插值的关系
三、均差与牛顿插值
2.牛顿插值多项式
• Newton插值多项式
• Newton插值和Lagrange插值的关系 - 牛顿插值多项式和拉格朗日插值多项式是恒等 的，它们的差异仅是书写形式不同而已，但这 种差异却为计算带来了很大方便
• Newton插值多项式
其中 Pn ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 )
f [ x0 , x1 ,, xn ]( x x0 ) ( x xn1 )
Rn ( x) f ( x) Pn ( x) f [ x, x0 , , xn ]n1 ( x)
x2 f ( x 2 )
f [ x2 , x3 ]
f [ x1 , x2 , x3 ]
x3 f ( x3 )
f [ x3 , x4 ]
x4 f ( x 4 )
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
•x 均差定义 f(x) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 • -2 性质 -56 • -1 均差的计算 -16 40 0 - 差商表 -2 14 -13
xk f ( xk ) 一阶均差
0
二阶均差
三阶均差
四阶均差
f ( x0 )
f [ x0 , x1 ]
x1 f ( x1 )
f [ x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] f [ x0 , x1 ,, x4 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x2 , x3 , x4 ]
• 误差估计
二、拉格朗日插值
2.插值余项与误差估计
• 插值余项
• 误差估计 - 设 f (x)在[a,b]上具有n阶连续导数, 且f (n+1)(x) 存在,节点a ≤ x0 <x1<…<xn≤b，Ln (x)是满足条 件 Ln (xj)= yj (j = 0,1,2,…,n)的插值多项式， 则对任何x[a,b]，插值余项
第二章 插值法
一、引言
1.插值问题的提出
• 插值问题
• 提出原因 • 一些基本概念
一、引言
1.插值问题的提出
• 插值问题
- 通俗来说，对于平面（或空间）中给定一些离 散点，构造适当的连续函数使其通过这些离散 点 • 提出原因 • 一些基本概念
一、引言
1.插值问题的提出
• 插值问题
• 提出原因 • 一些基本概念
• 多项式插值的存在唯一性
一、引言
2.多项式插值
• 一个例子
• 多项式插值的存在唯一性
一、引言
2.多项式插值
• 一个例子
• 多项式插值的存在唯一性 - 定理 对n+1个插值节点x0,x1,…,xn的次数不超 过n的插值多项式P(x)是存在唯一的.
一、引言
2.多项式插值
• 一个例子
• 多项式插值的存在唯一性 - 定理 对n+1个插值节点x0,x1,…,xn的次数不超 过n的插值多项式P(x)是存在唯一的.
n n j
三、均差与牛顿插值
3.差分形式的牛顿插值公式
• 差分
• 均差与差分关系 • 牛顿前插公式
三、均差与牛顿插值
3.差分形式的牛顿插值公式
• 差分
• 均差与差分关系 f k 1 f k f k f [ xk , xk 1 ] , xk 1 xk h f [ xk 1 , xk 2 ] f [ xk , xk 1 ] 1 2 f , f [ xk , xk 1 , xk 2 ] k 2 2 h xk 2 xk • 牛顿前插公式
• 插值多项式的求解可转化为求解线性方程组. • 还有更简单的求解算法：Lagrange和Newton插值.
二、拉格朗日插值
1.拉格朗日插值多项式
问题 设有n+1个互异节点x0 <x1<…<xn，且已知 yi=f (xi) (i=0,1,…,n) 构造多项式Ln (x)，使Ln (xj)= yj ( j = 0,1,…,n)
二、拉格朗日插值
2.插值余项与误差估计
• 插值余项
• 误差估计
二、拉格朗日插值
2.插值余项与误差估计
• 插值余项
- 若在[a,b]上用Ln (x)近似f (x)，则其截断误差 Rn (x)＝f (x)- Ln (x)称插值多项式的余项。 • 误差估计
二、拉格朗日插值
2.插值余项与误差估计
• 插值余项
f ( n1) ( ) Rn ( x) f ( x) Ln ( x) n1 ( x), (n 1)!
[ a , b ].
三、均差与牛顿插值
1.插值多项式的逐次生成
• 提出原因
• 逐次生成插值多项式的方法
三、均差与牛顿插值
拉格朗日插值法当节点增减时，计算需全部重新进 行，为了计算方便，可重新设计一种逐次生成插值 多项式的牛顿插值方法。在实际操作执行时，该方 法更易实现且计算复杂度更低。
一、引言
1.插值问题的提出
• 插值问题
• 提出原因 • 一些基本概念 若P( x)是次数不超过 n的代数多项式， 即 其中 ai 为实数，就称 P ( x ) 为插值多项式，相应 的插值法称为多项式插值.
P( x) a0 a1 x an x n
一、引言
1.插值问题的提出
• 插值问题
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
• 性质 • 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
f ( xk ) f ( x0 ) - 一阶均差：f [ x0 , xk ] x x k 0 f [ x0 , xk ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , xk ] 二阶均差： xk x1 f [ x0 ,, xk 2 , xk ] f [ x0 , x1 , xk 1 ] f [ x0 , x1 , xk ] k阶均差： xk xk 1
n
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
• 性质 （2）k阶均差可重新写为：
f [ x1 , x2 ,, xk ] f [ x0 , x1 , xk 1 ] f [ x0 , x1 , xk ] xk x0
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
• 提出原因 • 一些基本概念 若 P ( x )为三角多项式 ，就称为三角插值. 若 P ( x ) 为分段的多项式，就称为分段插值.
一、引言
2.多项式插值
• 一个例子
• 多项式插值的存在唯一性
一wenku.baidu.com引言
2.多项式插值
• 一个例子 例 某地区某年夏季时节间隔 30 天的日出日落 时间为
5月1日 日出 5：51 日落 19：04 5月31日 5：17 19：38 6月30日 5：10 19：50
1 3 -2 4 0 3 -7 1 2 2
三、均差与牛顿插值
2.牛顿插值多项式
• Newton插值多项式
• Newton插值和Lagrange插值的关系
三、均差与牛顿插值
2.牛顿插值多项式
• Newton插值多项式
根据均差定义
f ( x) f ( x0 ) f [ x, x0 ](x x0 ), f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ](x x1 ),
类似地称 2 f k f k 1 f k 为 xk 处的二阶差分. 一般地称 n f k n1 f k 1 n1 f k 为 xk 处的n阶差分.
• 均差与差分关系
• 牛顿前插公式
n f k (1) f nk j , j 0 j