菲涅尔衍射

波带在Q点引起振动的 振幅大小，不仅取决于 波带的数目，还取决于 每个波带露出部分的大 小。
图3-28 轴外点带的分布
圆屏菲涅耳衍射
应用巴比内原理: E (P) E (P) E (P)
①轴上 p 点：由于
E ( p)

E1 2
。 E ( p)

1 2
(E1

EM
)
∴
E
(P)
• 屏上与线光源S平行方向上的各观察点具有相同的振幅。
–振幅可以用基尔霍夫衍射公式(3-18)式计算求得;; –也可以采用振幅矢量加法处理。
振幅矢量加法
• 基本思想：
–先把直边外的波面相对P点分成若干直条状波 带，然后将露出直边的各个条状波带在P点产
生的光场复振幅进行矢量相加。
• 具体方法：
–先将直边屏MM’拿 掉，如图3-32(a) 所示，以SM0P0为 中线，将柱面波 的波面分成许多 直条状半波带。
趋于零。
二、菲涅尔透镜
1、菲涅尔透镜
已知菲涅尔圆孔衍射P0点复振幅为：
E~ E~1 E~2 E~3 E~4 1n E~n
若制成一个特殊的光阑将奇数波带或偶数波带阻挡， 则剩下的各波带在P0产生的复振幅将同相位叠加。光 强将会大大增加。
定义：将奇数波带或偶数波带挡住的特殊光阑称为菲涅 尔波带。由于它的聚光作用类似于一个普通透镜，故称 为菲涅尔透镜。
菲涅尔波带
2、菲涅尔透镜的焦距
若波带片是对应距离为z1的轴上点P0设计的, 当单色光 垂直照射波带片时，P0 为一亮点，称为波带片的焦点， z1 即为波带片的焦距。
由公式 得：
N


2 N
(1

1)
r0 R
f
z1

N2 N
1 R

1 r0

N

2 N
3、菲涅尔透镜的成像关系
s ﹣l
N


2 N
(1

1)
r0 R
N与圆孔的大小ρN有关，孔大，露出的的波 带多，衍射效应不显著，孔小，露出的的波
带少，衍射效应显著；
当孔趋于无限大- 即没有光阑时，
aN
0, A

a1 2
• 即整个波面对P点的作用等于第一半波带在该点作用的 一半。
• 由于半波带的面积非常小，
所以没有遮蔽的整个波面的光能传播，几
a1
a1
点的振动相差
/N
C
N
O
n2
第一、二个半波带 在P点振动的贡献
n 1/ 2
a2 a1
a1
a2
A2 a1 a2
A 2 AF
I 2IF
AF A
每个半波带是 一个直径逐渐 减小的半圆
向中心逐 渐盘曲的 密螺旋线
P点合振动的位相落后波 带中心次波源在P点振动
位相 / 2
奇
数
个 半
A1
An
A奇
波
带
A(P)

A奇

a1 2

an 2
偶
数Βιβλιοθήκη Baidu
个 半
A1
An
波
A偶
带
A(P)

A偶

a1 2

an 2
自
a3 a2 a1 自由传播情况下
由 空
…
an 0
间 传 播
a1 / 2 An... A3 A2
An

a1 2
P点合振动的振幅矢量和
2.菲涅耳圆孔衍射
圆孔衍射
S
*
HP
(1)r0对衍射现象的影响 (2)ρN对衍射现象的影响 (3)光源对衍射现象的影响 (4)轴外点Q的衍射
以获得高衍射效率、高光强的主焦点。
矩形FZP和条形FZP
工作原理及参数
1.
E( p)

1 2
E1

1 2
EM

E1( p)
返回
(1)r0对衍射现象的影响
当波长、圆孔位置R、大 小ρh给定后，由
N


2 N
(1

1)
r0 R
P点的振幅与P点的位置r0有关，即移动观 察屏，P点出现明暗交替变化；
随r0增大，N减小，菲涅耳衍射效应显著； 当r0大到一定程度时，r0→∞，露出的波带数N
不变化，且为
N
N m ax
菲涅耳衍射 Fresnel diffraction
菲涅耳衍射
菲涅耳-基尔霍夫衍射积分直接进行近场衍射积分非常复杂
代数加法或矢量加法
定性 半定量解释
一.菲涅耳半波带法
R
r0
3 2
r0

r0


2
432 1
S
O r0
P
各半波带在P点的振ai 相邻 带在P点产生的振动位相 相反
An (P) a1 a2 a3 ... (1)n1an
• P2点与S的连线交波面于C2点。
–C2以下的半个波面被直边屏 遮挡，C2以上的半个波面也
有一部分被遮挡。
–P2点的合光场振幅矢量的一 端为Z，另一端为M1”，即为 M1”Z，
–P2点的光强度正比于(M1”Z)2。
M1”
• M1”随P2点的位置不同，沿着螺
线移动，
–P2离P0愈远，其上光强愈小; –当P2离P0足够远时，光强度

E1 2

1 2
(E1

EM
)


1 2
EM
（M 是从 p 点对圆屏所作的半波带数）
P 始终是亮点（泊松亮点）。M 增大， EM 减小，亮度减弱。
②轴外点 p : E ( p) 不定，难于应用巴比内原理.但由圆 对称性，菲涅耳衍射图形仍然是亮暗相间的圆环条纹。
泊松亮点:1818年,巴黎科学院
波带特点 P点的振幅
• 条状波带面积随波带 序数N的增大而快速 减小。
• 各波带在P点的光场复振幅， 当波带序数N的增大时，迅速 下降；
–波带面积减小、到P点的距 离增大、倾角加大。
• 不能应用环形波带的有关公式 进行讨论。如何做？
• 微积分思想：
–将每个直条波带按相邻波 带间相位差相等的原则，再 分成若干个波带元。
–先求出每个波带元在P点的 光场再合成求出整个波带在 P点的光场。
(a)A(OC)是M0上边两个条状波
带M0M1、M1M2在P点的光场；
(b)A(OZ)是M0上边所有条状波
带在P点的光场；
(c)A(Z’Z)是所有条状波带在P
点的光场。
• 图中曲线称为科纽螺线。
2.菲涅耳直边衍射
• 根据振幅矢量法，可 以很方便地讨论菲涅 耳直边衍射图样。
An (P)

a1 2
二.振幅矢量法 考虑每一个半波带分为更小的子波带—
r0


2
r0

i
2N
一个均匀的振幅矢量对P点的贡献 第一半波带分成N个子带
S
O
r0
P 第一半波带中心到边缘划分的各相 邻子带对应点相同的光程差 / 2N
和相同的位相差 / N
n 1
第一个半波带在P点振动贡献
相邻子带在P
乎可以看作是沿直线OP进行的－－光在没 有遇到障碍物时是沿直线传播的。
(2)ρN对衍射现象的影响
当孔趋于无限大- -即没 有光阑时，
an
0, A

a1 2
• 若圆孔具有一定大小，对观察点P，仅有一个半波带露 出，则有Ap=a1，
• 与不用光阑相比，此时P点的光强是不用光阑时的4倍。
亦即有光阑比没光阑时还要亮,小光阑具有聚光本领。
波带片
s' l'
11 1 l' l f 其中：
f
z1

N2 N
4、菲涅尔透镜的成像特点
1）菲涅尔透镜除主焦点P0外，还存在光强较小的次焦
点P1 P2 P3… ，它们距波带片的距离分别为f/3、
f/5、f/7、 … 2）还存在一系列与实焦点对称的虚焦点P’0 P’1 P’2 P’3… 3）菲涅尔透镜的焦距与波长成反比。 4）采用二元光学方法补偿波带相位，且增大台阶数可
根据球冠面积可求出第K个半波带的面积
ΔS

SK

SK 1

R
R r0
rK
任一半波带的面积和它到P电 的距离之比是与K无关的常数
各半波带P点的振幅区别只与倾斜因子有关
0 F ( ) 1 cos
2
F( ) 0
各半波带在P点的振幅是 一个单调下降的收敛数列
a1 a2 a3... an
An (P)

a1 2
( a1 2
a2

a3 2
) ( a3 2

a4

a5 2
)
...
( an2 2
an1

an ) 2
an 2
n 为奇数
（ an3 2

an1

an1 ） 2
an1 2
an
n 为偶数
近似有
ai
依据菲涅耳-基尔霍夫积分 P点的合振动决定于 波带面积 距离 倾斜因子
1. 球冠高 h
第K个半波带的外缘半径
B
R

r
S
O h O
P
B
K 2

R2

(R

h)2

(r0

K
2
)2

(r0

h)2

2 Rh

h2

r0 K

K 22
4

2r0h
h2
h

r0 K

K 22
4
2(R r0 )
– 随着P1点位置的改变，P1点的 振幅或光强是改变的;
– 与M2′、M4′…相应的点有最 大光强度，与M3′、M5′…相 应的点有最小的光强度。
• 在几何阴影界上方靠近P0处的光强分布不均匀，有亮 暗相间的衍射条纹，对于离P0足够远的地方，光强度 基本上正比于 (Z’Z)2，有均匀的光强分布。
③讨论图中P2点光强
举行了一次解释衍射的有奖竞赛, 评委中许多著名科学家,如毕奥,拉 普拉斯,泊松等,都是光的微粒学说 的忠实拥护者。 年轻的菲涅耳报
告了“应用子波叠加原理解释衍射 现象”的论文。会后，泊松仔细审 阅了菲涅耳的论文，导出了“园屏 衍射中心会出现一个亮点”这一看 似离奇的结论，使菲涅耳原理又面 临新的考验。不久，阿喇果在实验 中果然观察到了这一惊人现象（又 称为阿喇果亮斑）。这一发现对光 的波动学说提供了有力的支持。

ai1 2

ai1 2

An (P)

a1 2

an 2
An (P)

a1 2

an1 2

an
n 为奇数 n 为偶数
A(P) a1 an 22
自由空间传播的球面波 an 0
球面波自由传播时整个波面上各次波源在 P 点产生的
合振动振幅等于第一半波带在该点产生振幅之半强度
为1/4
–这就是通常情况下，不易见到光的衍射现象的原因之 一。
(4) 轴外点的衍射
• 方法：图3-27所示，为 了确定不在轴上的任意 点P的光强。
–先设想衍射屏不存在， 以M0为中心，对于P点 作半波带；
–然后再放上圆孔衍射 屏，圆孔中心为O。
图3-27 轴外点波带的分法
由于圆孔和波面对P点的 波带不同心，波带的露 出部分如图 3-28所示， 图中为了清楚起见，把 偶数带画上了网格线。
• 在几何阴影区的一定范 围内，光强度不为零， 而在阴影区外的明亮区 内, 光强度出现有规律 的不均匀分布。
S为一个垂直于图 面的线光源，其波 面AB是以光源为 中心的柱面，MM’ 是垂直于图面有一
直边的不透明屏，
并且直边与线光源 平行。
1.振幅矢量加法
• 观察屏上各点的光强度取决于波阵面上露出部分在该点 产生的光场;

2 N
R
称为菲涅耳数，它是一个描述 圆孔衍射效应的很重要的参量。
此后，随着r0的增大，P点光强不再出现明暗交替 的变化，逐渐进入夫朗和费衍射区。
而到一当r定0很程小度时时，，N可很视大光，为衍直射线效传应播不。明-显-。几当何r区0小
(2)ρN对衍射现象的影响
当波长、P点的位置r0、 圆孔位置R给定后，由
The Spot of Arago
x0
x1
Stop
Input beam with hole
Beam after some distance
This irradiance can be quite high and can do some damage!
菲涅耳直边衍射图样
• 一个平面光波或柱面光 波通过与其传播方向垂 直的不透明直边(刀片的 直边)后，将在观察屏幕 上呈现出左图所示的衍 射图样；
(3)光源对衍射的影响
• 波长对衍射的影响
N


2 N
(1

1)
r0 R
– 当波长增大时，N减少。即在ρN、R、r0一定的情况 下，长波长光波的衍射效应更为显著，更能显示出其
波动性。
• 若S不是理想的点光源－－扩展光源（实际光源）
–光源上的每一点均要产生自己的衍射图样，各图样间 是不相干的，若某些点的亮纹落在另外一些点的暗纹 上，叠加后整个图样就模糊了。
① 讨论右图中P0点 –光源与直边边缘连 线上的观察点，
• 直边屏把下半部分波面全部遮住，只有上半部分波面 对P0点产生作用；
• P小0点Z’Z的的光一场半振，幅而大光小强O为Z为其波1/面4。无任何遮挡时的振幅大
②讨论图中P1点光强
与P0点情况相比较，相 当于M0点移到了C1,
C1以上的半个波面 完全不受遮挡，它 在P1点产生的光场 振幅由科纽螺线上 的OZ表示；
–C1以下的半个波面， 有一部分被直边
屏遮挡， 只露出
一小部分对P1有作 用，以M1’O表示.
• 露出的波面对P1点产生的光场 复振幅，在科纽螺线中以OZ和
M1 O’的矢量和，即M1’Z表示.
②讨论图中P1点光强
• M1’在科纽螺线中的位置取决 于P1点到P0点的距离;
– P1点离P0愈远，M1’点沿螺线愈 接近Z’;