2018高二数学竞赛试题

2018年淅川二高二年级数学竞赛试题

一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b

；④

ln

>ln

.其中正确的不等式的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个

D ．4个

2．△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，

a =2，c =2，则B = ( )

A ．

π

12

B ．π6

C ．π4

D ．π3

3．当42

x ππ

≤<时，函数x x

x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为

（ ）

A ．2

B ．32

C ．4

D ．5

4.若{}n a 是等差数列，首项110071008100710080,0,0,a a a a a >⋅<+>则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是( )

A ．2 012

B ．2 013

C ．2 014

D ．2 015 5. 设集合则

A. 对任意实数a ，

B. 对任意实数a ，（2，1）

C. 当且仅当a<0时，（2，1）

D. 当且仅当

时，（2，1）

6. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为

A.

B.

C.

D.

二、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则

S 3a 3与S 5

a 5

的大小关系为________． 8．已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个角,,A B C 的对边，a ＝2，且

(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 ．

三、解答题：每题15分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9. （本小题满分15分)

已知数列满足

，，设．

（1）求

；

（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；

（3）求

的通项公式．

10.（本小题满分15分)

已知中国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元.设公司一年共生产该款手机 x 万部并全部销量完，每万部的销售收入为

()R x 万元，且2

4006,040

()

740040000,40

x x R x x x x (1)写出年利润 W （万元）关于年产量 x （万部）的函数解析式；

(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利

润.

11.（本小题满分15分）

ABC △的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =

（I ）求C ； （II ）若7,c ABC △=

的面积为

33

2

，求ABC △的周长． 12（本小题满分15分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n a S -=+ (2)n ≥，12a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n

n a b 2log 1

=

，n n n n b b b T 221+++=++ ，是否存在最大的正整数k ，使得对

于任意的正整数n ，有12

k

T n >

恒成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．

四、附加题，每题10分，计入总分。

13.解下列不等式：

ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． 14.（本小题13分）

设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅， 其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．

（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，

n

c M n

>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．

2018年淅川二高二年级数学竞赛试题答

一、1.C 2. A 3. D 4.C 5.D 6.A

1.解析：选C 法一：因为1a <1

b

<0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，

所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所

述，

可排除A 、B 、D ，故选C.

法二：由1a <1

b

<0，可知b

①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以

1a ＋b <1

ab

，故①正确； ②中，因为b －a >0，故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误；

③中，因为b －1b >0，所以a －1a >b －1

b

，故③正确； ④中，因为b a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③

正确。

5.【答案】D 【解析】分析：求出

及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.

详解：若

，则

且

，即若，则，

此命题的逆否命题为：若

，则有

，故选D.

点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设

，若，则；若，则，当一个问题从正面思考

很难入手时，可以考虑其逆否命题形式. 6.【答案】A

【解析】分析：首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果. 详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的， 所以在正方体中， 平面与线所成的角是相等的， 所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等， 要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，