第1章 传感器的一般特性

1.2.1 动态特性的一般数学模型

1、零阶传感器的数学模型
a0Y (t ) b0 X (t )
Y (t )
b0 X (t ) KX (t ) a0
例3 图1-8所示线性电位器是一个 图1-8 线性电位器 零阶传感器。设电位器的阻值 沿长度L是线性分布的，则输出电压和电刷位移之间的关系为
0
1
1 2
1 2 2 1 2
1 d 2T1 2 dT1 T1 T0 2 2 0 dt 0 dt
1.2.2 传递函数
传递函数是输出量和输入量之间关系的数学表示。如 果传递函数已知，那么由任一输入量就可求出相应输出量。 传递函数的定义是输出信号与输入信号之比。 (an Dn an1Dn1 a1D a0 )Y (t )
根据一阶线性微分方程，如果已知T0的变化规律，求出微 分方程式的解，就可以得到热电偶对介质温度的时间响应。
1.2.1 动态特性的一般数学模型

3、二阶传感器的数学模型
( D2
d 2Y (t ) d Y (t ) a2 a1 a0Y (t ) b0 X (t ) 2 dt dt a0 b0 a1 / 2 a0 a2 0 K a2 a0
i 1
n
2
n 1
重复性所反映的是测量结果 偶然误差的大小，而不表示与真值 之间的差别。有时重复性虽然很好， 但可能远离真值。
图1-7 传感器的重复性
1.1.2 静态特性指标


7、零点漂移 传感器无输入(或某一输入值不变)时，每隔一段时间进 行读数，其输出偏离零值(或原指示值)，即为零点漂移。 Y0 零漂 100% YFS 8、温漂 温漂表示温度变化时，传感器输出值的偏离程度。一般 以温度变化1 ℃输出最大偏差与满量程的百分比来表示。

1.1.2 静态特性指标

4、最小检测量和分辨力 最小检测量是指传感器能确切反映被测量的最低极限量。 最小检测量越小，表示传感器检测微量的能力越高。 由于传感器的最小检测量易受噪声的影响，所以一般用 相当于噪声电平若干倍的被测量为最小检测量，用公式表示 为 CN M K 例2 电容式压力传感器的噪声电平为0.2 mV，灵敏度K为5 mV/mm，若取C=2，则根据上式计算得最小检测量为0.08 mm。

例4 如图1-9所示，使用不带保护套管 的热电偶插入恒温水浴中进行温 度测量是一个典型的一阶传感器 的应用。
dT1 m1C1 q01 dt q01 T0 T1 R1
图1-9 一阶测温传感器
dT R1m1C1 1 T1 T0 dt
1
dT1 T1 T0 dt

图1-4 传感器的线性度
1.1.2 静态特性指标
解:(1)端基法 设始点与终点的连线方程为 y＝a0+Kx 因为X=0时，Y＝1;X=0.5时，Y＝1.225， 所以a0=1,k=0.225/0.5=0.45 拟合直线方程为： y＝1+0.45x 由 d(Y-y)/dX=d((1＋X)1/2-(1+0.45x))/dX =-0.45+1/(2(1＋x)1/2)＝0 得X=0.234时存在最大偏差 ΔYmax=[(1＋X)1/2-(1+0.45x)]|X=0.234=1.11-1.1053=0.0047 YF.S＝1.225-1＝0.225 δL端基法＝ΔYmax/ YF.S*100％＝0.0047/0.225*100％＝2.09％
(bm Dm bm1Dm1 b1D b0 ) X (t ) bm Dm bm1Dm1 b1D b0 Y W (D) (D) an Dn an1Dn1 a1D a0 X
(an S n an1S n1 a1S a0 )Y ( S )
1.1.2 静态特性指标

5、迟滞 迟滞是指在相同工作条件下作全测量范围校准时，在同 一次校准中对应同一输入量的正行程和反行程其输出值间的 最大偏差。
H
H max 100% YFS
迟滞现象反映了传感器机械结构 和制造工艺上的缺陷，如轴承摩擦、 间隙、螺钉松动、元件腐蚀或碎裂 及积塞灰尘等。
max 温漂 100% YFST
1.2.1 动态特性的一般数学模型
在研究传感器动态特性时，根据传感器的运动规律，其动 态输入和动态输出的关系可用微分方程式来描述。
d nY (t ) d n 1Y (t ) d Y (t ) an an 1 a1 a0Y (t ) n n 1 dt dt dt d m X (t ) d m 1 X (t ) d X (t ) bm bm 1 b1 b0 X (t ) m m 1 dt dt dt

0
2

2
0
D 1)Y (t ) KX (t )
例5 图1-10所示为带保护套管式热电偶 插入恒温水浴中的测温系统。
dT2 m2C2 q02 q01 dt T T q02 0 2 R2 T2 T1 q01 R1
图1-10 二阶测温传感器
U SR U SC x Kx L 输出电压U SC与位移x成正比，它对任何频率输入均无时间滞 后。实际上由于存在寄生电容和电感，高频时会引起少量失真， 影响动态性能
1.2.1 动态特性的一般数学模型

2、一阶传感器的数学模型
dY (t ) a1 a0Y (t ) b0 X (t ) dt ( D 1)Y (t ) KX (t )
第1章 传感器的一般特性
一般特性：输出与输入之间的关系特性 影响因素：系统模型和输入信号形式
主要内容
1.1 传感器的静态特性 1.1.1 静态特性概述 1.1.2 静态特性指标 1.2 传感器的动态特性 1.2.1 动态特性一般数学模型 1.2.2 传递函数 1.2.3 传感器的动态响应及其动态特性指标
1.1.1 静态特性概述


1、静态特性的定义 传感器在被测量的各个值处于稳定状态时，输出量和输入 量之间的关系称为静态特性。 2、静态特性的表达式及其曲线的形式
Y a0 a1 X a2 X an X
2
n
Y a1 X
Y a1 X a3 X 3 a5 X 5

Y a0 KX
图1-2 端基法拟合直线
1.1.1 静态特性概述

(2)最小二乘法
设拟合直线方程为
Y=a0+KX
若实际校准测试点有n个，则第i个 校准数据与拟合直线值之间的差值 为
i Yi (a0 KX i )
最小二乘法拟合直线的原理就是使 ∑(Δi)2为最小值，也就是使∑(Δi)2 对K
1.1.2 静态特性指标
(2)最小二乘法
Xi Yi X i2 0 1 0 0.1 1.048 0.01 0.2 1.095 0.04 0.3 1.140 0.09
2
0.4 1.183 0.16
0.5 1.225 0.25
XiYi
求和XiYi Xi平方的和
0
1.751 0.55
0.1048
0.219
Y a1 X a2 X 2 a4 X 4
Y a1 X a2 X 2 a3 X 3 a4 X 4
图1-1 传感器4种典型静态特征
1.1.1 静态特性概述
3、静态特性曲线的直线拟合方法 (1)端基法 把传感器校准数据的零点输出平均值和满量程输出平均 值连成的直线作为传感器特性的拟合直线。 方程式为
(an Dn an1Dn1 a1D a0 )Y (t ) (bm Dm bm1Dm1 b1D b0 ) X (t )
(an S n an1S n1 a1S a0 )Y ( S ) (bm S m bm1S m1 b1S b0 ) X (S )
bm S m bm1S m1 b1S b0 Y W (S ) (S ) X an S n an1S n1 a1S a0
(bm S m bm1S m1 b1S b0 ) X ( S )
和a0一阶偏导数等于零。
n n i 1 i 1
(i )2 Yi (a0 KX i ) min
2
图1-3 最小二乘法拟合直线
1.1.1 静i a0 )( X i ) 0
2

n
2 i
2 (Yi KX i a0 )(1) 0
1.1.2 静态特性指标
由 d(Y-y)/dX=d((1＋X)1/2-(1.0034+0.4695＊x))/dX =-0.4695+1/(2 (1＋X)1/2)＝0有 x=1/(0.939)2-1=0.134时存在最大偏差 ΔYmax=[(1＋X)1/2-(1.0034+0.4695x)]|x=0.134 =1.065-1.066=-0.001 YF.S＝0.225 δL二乘法＝-ΔYmax/ YF.S*100％ ＝0.001/0.225*100％ ＝0.0044*100％ ＝0.44％
i 1 n
i
i 1
i
i 1
i i
n
在获得K和a0 之值后代入式拟合直线方程即可得到拟合直线。
1.1.2 静态特性指标

1、线性度 在规定条件下，传感器校准 曲线与拟合直线间最大偏差与满 量程(F· S)输出值的百分比称为 线性度。 Ymax L 100% YFgS 例1 已知某传感器静态特性方程 为Y=（1＋X）1/2 ,试分别用端基 法和最小二乘法在0＜X≤0.5范围 内求拟合直线，并求出相应的线 性度。
1.2.1 动态特性的一般数学模型
由于R1>>R2，所以q01可以忽略。上式经整理后得 联立上三式，消去中间变量T2，便得到 dT2 R2 m2C2 T2 T0 此测量系统的微分方程式 dt
2
dT2 dT T2 T0 1 1 T1 T2 dt dt
d 2T1 dT 1 2 ( 1 2 ) 1 T1 T0 dt 2 dt
图1-6 传感器的迟滞特性
1.1.2 静态特性指标

6、重复性 重复是指在同一工作条件下，输入量按同一方向在全测量 范围内连续变动多次所得特性曲线的不一致性。 在数值上用各测量值正、反行程标准偏差最大值的两倍或 三倍与满量程的百分比表示： 2 ~ 3 k 100% YFS

(Yi Y )
1.1.2 静态特性指标

2、灵敏度 传感器的灵敏度指到达稳定工作状态时输出变化量与引 起此变化的输入变化量之比。
图1-5 传感器灵敏度的定义
1.1.2 静态特性指标
3、精确度(精度) 1）精密度δ 说明测量结果的分散性——随机误差 2）正确度ε 说明测量结果偏离真值大小的程度——系统误差 3）精确度η 说明了测量的综合优良程度，可以简单的表示为η＝δ＋ε
Xi的和 Xi和的平方
0.342
1.5 2.25
0.473
Yi的和
0.612
6.691
1.751*1.5 6.691* 0.55 2.6265 3.68 a 0 2.25 6 * 0.55 1.05 1.0034 6.691*1.5 6 *1.751 10.0365 10.506 0.4695 K 1.05 2.25 6 * 0.55 y 1.0034 0.4695* x
n n
根据上式求出K和a0为
K n X iYi X i Yi
i 1 i 1 i 1
n X ( X i ) 2
i 1 2 i i 1
n
n
a0
X Y X X Y
i 1 2 i
n
n
n
n
n X ( X i ) 2
i 1 2 i i 1