高考数学压轴专题专题备战高考《平面向量》难题汇编含答案
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D选项， 的最大值为 ，选项D正确.
故选： .
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，以及模的求法，掌握向量平行、垂直、数量积的坐标运算是解题的关键，是基础题.
8．若向量 ， ， 满足 ，则 （）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算，求得 ，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案.
A．1005B．1006C．2010D．2012
【答案】A
【解析】
【分析】
根据an+1=an+a，可判断数列{an}为等差数列，而根据 ，及三点A，B，C共线即可得出a1+a2010=1，从而根据等差数列的前n项和公式即可求出S2010的值.
【详解】
由an+1=an+a，得，an+1﹣an=a；
∴{an}为等差数列；
∴cos∠BAC∈（﹣1，1），
∴7﹣2cos∠BAC∈（5，9），
故选C．
【点睛】
此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．
2．已知点 在以 为圆心，以1为半径的圆上，距离为 的两点 在圆 上，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设 中点 ，得到 ，求得 ，再利用圆与圆的位置关系，即可求解故 ，得到答案.
A．①④B．①②④C．①②⑤D．③⑥
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用向量的基础知识的应用求出结果.
【详解】
对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；
对于②：若 ，则 ，必须有 ，故②错误；
对于③： ， 与 不共线，故③错误；
对于④： ，根据三角不等式的应用，故④正确；
对于⑤：若 ，则 为一个三角形的三个顶点，也可为 ，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.
【详解】
由| |＝| |，可得| |＝| |，
取AM的中点为O，连接ON，则ON⊥AM，
又 ，
所以 • （ ）2 （ • ） （4 16+2×4 ）＝6，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的几何表示，数量积的几何意义，运算求解能力，属于中档题
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=an+a(n∈N*，a为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量 满足 ，A，B，C三点共线且该直线不过O点，则S2010等于（）
【详解】
解：由题意，画图如下：
则： ，
.
∴
.
故选A．
【点睛】
本题主要考查基底向量的建立以及用两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积的计算．本题属基础题．
17．如图，两个全等的直角边长分别为 的直角三角形拼在一起，若 ，则 等于（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
建立坐标系，求出 点坐标，从而得出 ， 的值．
A．1B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
以 为基底，将 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.
【详解】
,
,
.
故选:C.
【点睛】
本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.
12．已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为
A． B． C．1D．
【答案】C
【解析】
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 ，将 都用基底 表示，再根据 求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
故选：B
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理和共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
10．已知P为边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
依题意，设 中点 ，
则 ，所以 ，
， 在以1为半径，以 为圆心的圆上，
，
故 .
【点睛】
本题主要考查了圆的方程，圆与圆的位置关系的应用，以及平面向量的数量积的应用，着重考查了推理论证能力以及数形结合思想，转化与化归思想.
3．下列说法中说法正确的有（）
①零向量与任一向量平行；②若 ，则 ；③ ④ ；⑤若 ，则 ， ， 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
【分析】
根据 在 方向上的投影定义求解.
【详解】
在 方向上的投影为 ，
选C.
【点睛】
本题考查 在 方向上的投影定义，考查基本求解能力.
13．在 中， 、 分别为 、 的中点，且 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量的加减法运算，求得 ，进而得出 ，列式分别求出 和 ，即可求得 .
根据 中点 中点 ，通过向量运算得到 ，从而有 ，用两点间距离公式得到 ，再根据 不平行于 ，由 求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
因为 不平行于 ，
所以 ，
所以 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
19．如图，向量 等于
【详解】
A选项，若 ，则 ，即 ，A正确.
B选项，若 ，则 ，则 ，B不正确.
C选项， ，其中 .取得最大值时， ， ， ，则 ，则C正确.
D选项，由向量减法、模的几何意义可知 的最大值为 ，此时 ， 反向.故选项D正确.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查向量平行、垂直的坐标表示，考查向量数量积的运算，考查向量减法的模的几何意义，属于中档题.
【解析】
【分析】
建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解．
【详解】
建立如图所示坐标系，
设 ，则 ，所以
，
故
所以当 时， 的最小值为 .
故选：A．
【点睛】
本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
11．已知 中， ，则 （）
【详解】
解：已知 、 分别为 、 的中点，
由向量的加减法运算，
得 ，
，
，
又 ，
则 ，
则 .
故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的加减法运算以及向量的基本定理的应用.
14．在平行四边形 中， ， ， ， 为 的中点， 为平面 内一点，若 ，则 （）
A．16B．12C．8D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件及向量加减法的几何意义即可得出| |＝| |，再根据向量的数量积公式计算即可
【详解】
由题意，向量 ， ， ，则向量 ，
所以 ，解得 ，故选A.
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
9．在 中， 为边 上的点，若 ， ，则 （）
A． B． C． D．
5．已知菱形 的边长为2， ，则 （）
A．4B．6C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．
【详解】
如图所示，
菱形形 的边长为2， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
【详Βιβλιοθήκη Baidu】
由向量减法的运算法则可得 ，
20．已知向量 ， ，则以下说法不正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 取得最大值，则 D． 的最大值为
【答案】B
【解析】
【分析】
A选项利用向量平行的坐标表示来判断正确性.B选项利用向量垂直的坐标表示来判断正确性.C选项求得 的表达式，结合三角函数最值的求法，判断C选项的正确性.D选项利用向量模的运算来判断正确性.
高考数学《平面向量》练习题
一、选择题
1．在 中，已知 ， ，点D为BC的三等分点(靠近C)，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量加法法则把所求数量积转化为向量 的数量积，再利用余弦函数求最值，得解．
【详解】
如图，
＝8﹣1
＝7﹣2cos∠BAC
∵∠BAC∈（0，π），
6．如图,在梯形 中, , 为线段 上一点,且 ， 为 的中点,若 （ ， ）,则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用向量的线性运算，化简求得 ，求得 的值，即可得到答案.
【详解】
由题意，根据向量的运算法则，可得：
又因为 ，所以 ，
所以 ，故选B.
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算及其应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，合理应用向量的三角形法则化简向量 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
【详解】
解： ， ， ， ，
以 ， 为坐标轴建立坐标系，则 ．
， ，
．
，
， ，
．
故选： ．
【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．
18．已知平面直角坐标系 中有一凸四边形 ，且 不平行于 不平行于 ．设 中点 中点 ，且 ，求 的取值范围（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
7．已知向量 ， ，则以下说法不正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 取得最大值，则 D． 的最大值为
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量平行、垂直、模以及向量的数量积的坐标运算即可判断.
【详解】
A选项，若 ，则 ，即 ，A正确.
B选项，若 ，则 ，则 ，B不正确.
C选项，若 取得最大值时，则 ，取得最大值时， ， ，又 ，则 ，则C正确.
由 ，
所以A，B，C三点共线；
∴a1005+a1006=a1+a2010=1，
∴S2010 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，其前n项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
16．在 中， ， ， ，若 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要是找到两个基底向量 ， ，然后用两个基底向量表示 ， ，再通过向量的运算即可得出结果．
综上：①④正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
4．在 中，已知 ， ， ，则 的值为（）
A．22B．19C．-19D．-22
【答案】D
【解析】
由余弦定理可得 ，又 ，故选D.
【思路点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以、余弦定理解三角形，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2） ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
故选： .
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，以及模的求法，掌握向量平行、垂直、数量积的坐标运算是解题的关键，是基础题.
8．若向量 ， ， 满足 ，则 （）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算，求得 ，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案.
A．1005B．1006C．2010D．2012
【答案】A
【解析】
【分析】
根据an+1=an+a，可判断数列{an}为等差数列，而根据 ，及三点A，B，C共线即可得出a1+a2010=1，从而根据等差数列的前n项和公式即可求出S2010的值.
【详解】
由an+1=an+a，得，an+1﹣an=a；
∴{an}为等差数列；
∴cos∠BAC∈（﹣1，1），
∴7﹣2cos∠BAC∈（5，9），
故选C．
【点睛】
此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．
2．已知点 在以 为圆心，以1为半径的圆上，距离为 的两点 在圆 上，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设 中点 ，得到 ，求得 ，再利用圆与圆的位置关系，即可求解故 ，得到答案.
A．①④B．①②④C．①②⑤D．③⑥
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用向量的基础知识的应用求出结果.
【详解】
对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；
对于②：若 ，则 ，必须有 ，故②错误；
对于③： ， 与 不共线，故③错误；
对于④： ，根据三角不等式的应用，故④正确；
对于⑤：若 ，则 为一个三角形的三个顶点，也可为 ，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.
【详解】
由| |＝| |，可得| |＝| |，
取AM的中点为O，连接ON，则ON⊥AM，
又 ，
所以 • （ ）2 （ • ） （4 16+2×4 ）＝6，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的几何表示，数量积的几何意义，运算求解能力，属于中档题
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=an+a(n∈N*，a为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量 满足 ，A，B，C三点共线且该直线不过O点，则S2010等于（）
【详解】
解：由题意，画图如下：
则： ，
.
∴
.
故选A．
【点睛】
本题主要考查基底向量的建立以及用两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积的计算．本题属基础题．
17．如图，两个全等的直角边长分别为 的直角三角形拼在一起，若 ，则 等于（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
建立坐标系，求出 点坐标，从而得出 ， 的值．
A．1B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
以 为基底，将 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.
【详解】
,
,
.
故选:C.
【点睛】
本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.
12．已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为
A． B． C．1D．
【答案】C
【解析】
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 ，将 都用基底 表示，再根据 求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
故选：B
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理和共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
10．已知P为边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
依题意，设 中点 ，
则 ，所以 ，
， 在以1为半径，以 为圆心的圆上，
，
故 .
【点睛】
本题主要考查了圆的方程，圆与圆的位置关系的应用，以及平面向量的数量积的应用，着重考查了推理论证能力以及数形结合思想，转化与化归思想.
3．下列说法中说法正确的有（）
①零向量与任一向量平行；②若 ，则 ；③ ④ ；⑤若 ，则 ， ， 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
【分析】
根据 在 方向上的投影定义求解.
【详解】
在 方向上的投影为 ，
选C.
【点睛】
本题考查 在 方向上的投影定义，考查基本求解能力.
13．在 中， 、 分别为 、 的中点，且 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量的加减法运算，求得 ，进而得出 ，列式分别求出 和 ，即可求得 .
根据 中点 中点 ，通过向量运算得到 ，从而有 ，用两点间距离公式得到 ，再根据 不平行于 ，由 求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
因为 不平行于 ，
所以 ，
所以 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
19．如图，向量 等于
【详解】
A选项，若 ，则 ，即 ，A正确.
B选项，若 ，则 ，则 ，B不正确.
C选项， ，其中 .取得最大值时， ， ， ，则 ，则C正确.
D选项，由向量减法、模的几何意义可知 的最大值为 ，此时 ， 反向.故选项D正确.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查向量平行、垂直的坐标表示，考查向量数量积的运算，考查向量减法的模的几何意义，属于中档题.
【解析】
【分析】
建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解．
【详解】
建立如图所示坐标系，
设 ，则 ，所以
，
故
所以当 时， 的最小值为 .
故选：A．
【点睛】
本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
11．已知 中， ，则 （）
【详解】
解：已知 、 分别为 、 的中点，
由向量的加减法运算，
得 ，
，
，
又 ，
则 ，
则 .
故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的加减法运算以及向量的基本定理的应用.
14．在平行四边形 中， ， ， ， 为 的中点， 为平面 内一点，若 ，则 （）
A．16B．12C．8D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件及向量加减法的几何意义即可得出| |＝| |，再根据向量的数量积公式计算即可
【详解】
由题意，向量 ， ， ，则向量 ，
所以 ，解得 ，故选A.
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
9．在 中， 为边 上的点，若 ， ，则 （）
A． B． C． D．
5．已知菱形 的边长为2， ，则 （）
A．4B．6C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．
【详解】
如图所示，
菱形形 的边长为2， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
【详Βιβλιοθήκη Baidu】
由向量减法的运算法则可得 ，
20．已知向量 ， ，则以下说法不正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 取得最大值，则 D． 的最大值为
【答案】B
【解析】
【分析】
A选项利用向量平行的坐标表示来判断正确性.B选项利用向量垂直的坐标表示来判断正确性.C选项求得 的表达式，结合三角函数最值的求法，判断C选项的正确性.D选项利用向量模的运算来判断正确性.
高考数学《平面向量》练习题
一、选择题
1．在 中，已知 ， ，点D为BC的三等分点(靠近C)，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量加法法则把所求数量积转化为向量 的数量积，再利用余弦函数求最值，得解．
【详解】
如图，
＝8﹣1
＝7﹣2cos∠BAC
∵∠BAC∈（0，π），
6．如图,在梯形 中, , 为线段 上一点,且 ， 为 的中点,若 （ ， ）,则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用向量的线性运算，化简求得 ，求得 的值，即可得到答案.
【详解】
由题意，根据向量的运算法则，可得：
又因为 ，所以 ，
所以 ，故选B.
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算及其应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，合理应用向量的三角形法则化简向量 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
【详解】
解： ， ， ， ，
以 ， 为坐标轴建立坐标系，则 ．
， ，
．
，
， ，
．
故选： ．
【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．
18．已知平面直角坐标系 中有一凸四边形 ，且 不平行于 不平行于 ．设 中点 中点 ，且 ，求 的取值范围（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
7．已知向量 ， ，则以下说法不正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 取得最大值，则 D． 的最大值为
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量平行、垂直、模以及向量的数量积的坐标运算即可判断.
【详解】
A选项，若 ，则 ，即 ，A正确.
B选项，若 ，则 ，则 ，B不正确.
C选项，若 取得最大值时，则 ，取得最大值时， ， ，又 ，则 ，则C正确.
由 ，
所以A，B，C三点共线；
∴a1005+a1006=a1+a2010=1，
∴S2010 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，其前n项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
16．在 中， ， ， ，若 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要是找到两个基底向量 ， ，然后用两个基底向量表示 ， ，再通过向量的运算即可得出结果．
综上：①④正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
4．在 中，已知 ， ， ，则 的值为（）
A．22B．19C．-19D．-22
【答案】D
【解析】
由余弦定理可得 ，又 ，故选D.
【思路点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以、余弦定理解三角形，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2） ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.