5.4 非简谐效应
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
导率。
其中我们利用的关系 Lorentz number
2 3k B
3 cV nk B 2
是由统计物理的能均分定理得出 ．
2 0.124 10 12 (erg / esu K ) 2 1.11 10 8 W / K 2 T 2e
1 1 W 1 1 W mK 7 erg 11 s 2 4 erg T 1m 1 K K 2 10 s 9 10 cm / K ) 9 10 cmK 2
nq s
1
e
/k T q s B
k BT 1 q s
晶体中的总声子数比例于温度T。 声子总数越多，声子受到的碰撞亦越频繁，弛豫时间 大体比例于 1/T变化。由于此时声子比热 cv 遵从杜隆—珀蒂定律与温度无关， 则热导率
1 T
1、在低温下，T D ，晶体中的声子 s (q ) D 相应的波矢 亦较小， q qD ，如初终态的波矢均远小于 qD ，则晶体动量守恒 式中 Gh 0 。这种在声子碰撞中初终态总格波动量严格相等的过
由此得到热导率：
1 2 v cV v cV 3
2 x
从这一表达式出发，可以得出一个重要的比(Wiedemann -Franz law)：
1 2 1 2 v cV 2 mv cV 3 2 2 2 ne / m 3ne
3 3 2 k BT nk B 2 3 k 2 2 BT 3ne 2 2e 2
格临爱森近似计算
j dU 1 1 d ln j p ( j j / k BT ) dV 2 e 1 V d ln V j
d ln j d ln V
对所有的振动相同 — 格临爱森常数
j dU 1 1 d ln j ( j j / k BT ) 压强 p dV 2 e 1 V d ln V j
常过程，由于无法改变格波总动量，晶体将有无穷大的热导率。
3、晶体动量守恒式中 Gh 0 的过程称为 U过程 (Umklapp process )， q3 q1 q2 Gh 与之相差一 q 这过程要求q1 在第一布里渊区外， 2 q 倒格矢。这样 3 的方向几乎与 q1 q2 相反 能有效的降低热
程称为正常过程，或N过程。这是低温下，声子碰撞的主要过程。
，声子总波矢为零，没有 2、在热平衡状态，由于 (q ) s ( q ) s 热流。当体系由于温度梯度的存在而处在非平衡状态时，声子的分 布有非零的总格波动量 qns (q ) ，相应的有热流存在，仅有正
qs
(5.4.1 1)
对于各向同性的立方晶体， l 为晶体膨胀系数的1/3，即：
(5.4.1 2)
(5.4.1 3) (5.4.1 4)
K为体积弹性模量 Bulk modulus
1 p l 3 K T V
V (p / T )V T (p / V )T p K V p V T
振动幅度，即有较多的声子被激发，“声子”密度高
—— 这些声子通过和晶体中其它声子发生碰撞，总使得温度 较低的区域具有同样的“声子”密度
—— 因而“声子”在无规则运动的基础上产生定向运动 — 声 子的扩散运动，相应的热量从晶体较高温度区域传到温度较低 区域
声子之间的碰撞要遵从能量守恒律
qs
i f s (q )nqs s (q )nqs
(5.4.1 8)
1 s ( q ) / k BT s (q ) k BT ln 1 e (5.4.1 9) qs 2
eqn 1 s (q ) s (q ) s ( q (5.4.1 10) U ) / k BT V 1 e qs 2 s q
5.4非简谐效应
到目前为止，我们一直在简谐近似下讨论晶体的运动，其
优点是可以将晶格的运动分解成一些独立的简正坐标的简 谐振动，并在此基础上引进声子的概念． 简谐近似的缺点是固体的一些重要物理性质在这一近似下 无法得到说明．例如热膨胀，对一严格的简谐晶体，原子 的平衡位置并不依赖于温度，晶体体积与温度无关．在简 谐晶体中，声子态是定态．
q ln q 1 1 s s l n n (5.4.1 11) qs qs qs V 3K q 3K q V T T ln V s s
Lorentz常数的实验值在 2 3 108Watt Ohm / K 2 附近，因此当初 Drude计算的结果因为一个两倍的错误与实验值符合得好极了。 Drude估算的Lorentz常数的量级是对的，后来的固体物理发展证明， 他的正确结果建立在两个大错误的互相抵消上，即室温下的电子比 热高估了100倍而电子平均速度的均方值低估了100倍。 温度高( T D )时，热平衡的声子占据数
晶格的平均振动能
j 1 E ( j j / k BT ) 2 e 1 j
dU E 晶体的状态方程 p dV V
晶体的热膨胀
dU E 晶体在p=0下，体积随温度的变化 dV V
—— 原子在平衡位置作微小振动，热膨胀较小，按泰勒级数展 开
dU E dV V
晶格热导率
dT —— 如果在晶体中存在温度梯度 dx
dT 能流密度 j dx
—— 单位时间内通过单位面积的热能
—— 为晶体的热导系数
—— 不考虑电子对热传导的贡献，晶体中的热传导主要依靠声 子来完成
—— 固体中存在温度梯度时，“声子气体”的密度分布是不
均匀的
—— 温度较高的区域将有产生较多的振动模式和具有较大的
q x
dT j dx 比例系数 称为热导率。假设在 x0 vx 处有高温热源，在x0 vx 处有低温热源，电子速度为 v x ，则能流密度为：
q jx j q ( x0 x0 ) j q ( x0 x0 )
1 1 d dT nvx (T ( x v x )) (T ( x vx )) nvx (2v x ) 2 2 dT dx dT 2 v xcv dx
压力对温度的依赖仅决定于简正模频率 ( q )是否随晶体平衡体积变 s (q ) 与体积无关，因为简谐运动的频率除去 化。在简谐近似下，
和原子质量有关外，还决定于相互作用的力常数。从(5.4.1-8)式看， 力常数随原子平距离的变化 3次或更高 联系于相互作用势的 / x 次微商，在简谐近似中，恰好略去不计，因而无热膨胀。 准简谐近似的处理，假定体系的能量依然由(5.4.1-8)给出，非简谐 效应体现在 s (q ) 可以随晶体的平衡体积变化，从而有：
2
—— 静止晶格的体变模量
dV 1 CV —— 热膨胀系数 dT V0 K 0 V —— 格临爱森定律
每对于金属，在计算p时，还须考虑自由电子气体的贡献，(5.4.1-14) 必须加上电子比热项，而电子比热仅在10K左右或更低温度下重要， 此时应有 l T 变化。
5.4.2
qs
i f 和n 分别为碰 nq s qs
撞前后的声子占据数 由于晶体的平移对称性，还应遵从晶体动量守恒定律
i f G q n q n qs qs h
热导率：(Heat Conductivity and
Wiedemann- Franz Law)
当温度在某一方向上有梯度时，就会有热流从高温流向低温。此 能流密度正比于温度梯度：
l
CV
3K
由于体积弹性模量K 对温度的依赖很弱，热膨胀系数随温度的变化， 大体与 CV (T ) 相似。T D 时， 为常数，在很低温度下， l 3 比例于 l 变化。 T
—— 晶体体积V改变时，格波的频率也要变化
F 因此 p ( )T V
d j dU 1 p ( j / k BT ) dV 2 e 1 dV j
dU dU dU ( )V0 ( 2 )V0 V dV dV dV
—— 保留至第二项
2
2
dU 第一项 ( )V0Leabharlann Baidu 0 dV
E dU ( 2 )V0 V V dV
V V0
d 2U V0 ( 2 )V0 dV
E ( ) V
dU K 0 V0 ( 2 )V0 dV
为 能级的平均占据数。 nq s qs
q s CV nq s V T qs
(5.4.1 12)
为晶格定 容比热
ln q s
ln V
qs
格林艾森假定 是一与 无关的常数，称为格林艾森常数。 则(5.4.1-11)可写成
(5.4.1 5)
F p V T
F按定义与体系的配分函数Z相联系：
(5.4.1 6)
F kBT ln Z
对于简谐晶体，总能量为：
(5.4.1 7)
E U F U
p V
eqn
eqn
1 nqs s (q ) 2 qs
本节将以简谐晶体的声子解作为出发点，在此基础上做些
修改，这种处理方法称为准简谐近似．假设晶格振动是严
格简谐的，就没有热膨胀、热传导。实际的热膨胀、热传 导是原子之间的非谐作用所引起的。
5.4.1热膨胀
长度为的 l 的样品的线热膨胀系数定义为：
1 l l l T p 1 l 3V V T p
其中我们利用的关系 Lorentz number
2 3k B
3 cV nk B 2
是由统计物理的能均分定理得出 ．
2 0.124 10 12 (erg / esu K ) 2 1.11 10 8 W / K 2 T 2e
1 1 W 1 1 W mK 7 erg 11 s 2 4 erg T 1m 1 K K 2 10 s 9 10 cm / K ) 9 10 cmK 2
nq s
1
e
/k T q s B
k BT 1 q s
晶体中的总声子数比例于温度T。 声子总数越多，声子受到的碰撞亦越频繁，弛豫时间 大体比例于 1/T变化。由于此时声子比热 cv 遵从杜隆—珀蒂定律与温度无关， 则热导率
1 T
1、在低温下，T D ，晶体中的声子 s (q ) D 相应的波矢 亦较小， q qD ，如初终态的波矢均远小于 qD ，则晶体动量守恒 式中 Gh 0 。这种在声子碰撞中初终态总格波动量严格相等的过
由此得到热导率：
1 2 v cV v cV 3
2 x
从这一表达式出发，可以得出一个重要的比(Wiedemann -Franz law)：
1 2 1 2 v cV 2 mv cV 3 2 2 2 ne / m 3ne
3 3 2 k BT nk B 2 3 k 2 2 BT 3ne 2 2e 2
格临爱森近似计算
j dU 1 1 d ln j p ( j j / k BT ) dV 2 e 1 V d ln V j
d ln j d ln V
对所有的振动相同 — 格临爱森常数
j dU 1 1 d ln j ( j j / k BT ) 压强 p dV 2 e 1 V d ln V j
常过程，由于无法改变格波总动量，晶体将有无穷大的热导率。
3、晶体动量守恒式中 Gh 0 的过程称为 U过程 (Umklapp process )， q3 q1 q2 Gh 与之相差一 q 这过程要求q1 在第一布里渊区外， 2 q 倒格矢。这样 3 的方向几乎与 q1 q2 相反 能有效的降低热
程称为正常过程，或N过程。这是低温下，声子碰撞的主要过程。
，声子总波矢为零，没有 2、在热平衡状态，由于 (q ) s ( q ) s 热流。当体系由于温度梯度的存在而处在非平衡状态时，声子的分 布有非零的总格波动量 qns (q ) ，相应的有热流存在，仅有正
qs
(5.4.1 1)
对于各向同性的立方晶体， l 为晶体膨胀系数的1/3，即：
(5.4.1 2)
(5.4.1 3) (5.4.1 4)
K为体积弹性模量 Bulk modulus
1 p l 3 K T V
V (p / T )V T (p / V )T p K V p V T
振动幅度，即有较多的声子被激发，“声子”密度高
—— 这些声子通过和晶体中其它声子发生碰撞，总使得温度 较低的区域具有同样的“声子”密度
—— 因而“声子”在无规则运动的基础上产生定向运动 — 声 子的扩散运动，相应的热量从晶体较高温度区域传到温度较低 区域
声子之间的碰撞要遵从能量守恒律
qs
i f s (q )nqs s (q )nqs
(5.4.1 8)
1 s ( q ) / k BT s (q ) k BT ln 1 e (5.4.1 9) qs 2
eqn 1 s (q ) s (q ) s ( q (5.4.1 10) U ) / k BT V 1 e qs 2 s q
5.4非简谐效应
到目前为止，我们一直在简谐近似下讨论晶体的运动，其
优点是可以将晶格的运动分解成一些独立的简正坐标的简 谐振动，并在此基础上引进声子的概念． 简谐近似的缺点是固体的一些重要物理性质在这一近似下 无法得到说明．例如热膨胀，对一严格的简谐晶体，原子 的平衡位置并不依赖于温度，晶体体积与温度无关．在简 谐晶体中，声子态是定态．
q ln q 1 1 s s l n n (5.4.1 11) qs qs qs V 3K q 3K q V T T ln V s s
Lorentz常数的实验值在 2 3 108Watt Ohm / K 2 附近，因此当初 Drude计算的结果因为一个两倍的错误与实验值符合得好极了。 Drude估算的Lorentz常数的量级是对的，后来的固体物理发展证明， 他的正确结果建立在两个大错误的互相抵消上，即室温下的电子比 热高估了100倍而电子平均速度的均方值低估了100倍。 温度高( T D )时，热平衡的声子占据数
晶格的平均振动能
j 1 E ( j j / k BT ) 2 e 1 j
dU E 晶体的状态方程 p dV V
晶体的热膨胀
dU E 晶体在p=0下，体积随温度的变化 dV V
—— 原子在平衡位置作微小振动，热膨胀较小，按泰勒级数展 开
dU E dV V
晶格热导率
dT —— 如果在晶体中存在温度梯度 dx
dT 能流密度 j dx
—— 单位时间内通过单位面积的热能
—— 为晶体的热导系数
—— 不考虑电子对热传导的贡献，晶体中的热传导主要依靠声 子来完成
—— 固体中存在温度梯度时，“声子气体”的密度分布是不
均匀的
—— 温度较高的区域将有产生较多的振动模式和具有较大的
q x
dT j dx 比例系数 称为热导率。假设在 x0 vx 处有高温热源，在x0 vx 处有低温热源，电子速度为 v x ，则能流密度为：
q jx j q ( x0 x0 ) j q ( x0 x0 )
1 1 d dT nvx (T ( x v x )) (T ( x vx )) nvx (2v x ) 2 2 dT dx dT 2 v xcv dx
压力对温度的依赖仅决定于简正模频率 ( q )是否随晶体平衡体积变 s (q ) 与体积无关，因为简谐运动的频率除去 化。在简谐近似下，
和原子质量有关外，还决定于相互作用的力常数。从(5.4.1-8)式看， 力常数随原子平距离的变化 3次或更高 联系于相互作用势的 / x 次微商，在简谐近似中，恰好略去不计，因而无热膨胀。 准简谐近似的处理，假定体系的能量依然由(5.4.1-8)给出，非简谐 效应体现在 s (q ) 可以随晶体的平衡体积变化，从而有：
2
—— 静止晶格的体变模量
dV 1 CV —— 热膨胀系数 dT V0 K 0 V —— 格临爱森定律
每对于金属，在计算p时，还须考虑自由电子气体的贡献，(5.4.1-14) 必须加上电子比热项，而电子比热仅在10K左右或更低温度下重要， 此时应有 l T 变化。
5.4.2
qs
i f 和n 分别为碰 nq s qs
撞前后的声子占据数 由于晶体的平移对称性，还应遵从晶体动量守恒定律
i f G q n q n qs qs h
热导率：(Heat Conductivity and
Wiedemann- Franz Law)
当温度在某一方向上有梯度时，就会有热流从高温流向低温。此 能流密度正比于温度梯度：
l
CV
3K
由于体积弹性模量K 对温度的依赖很弱，热膨胀系数随温度的变化， 大体与 CV (T ) 相似。T D 时， 为常数，在很低温度下， l 3 比例于 l 变化。 T
—— 晶体体积V改变时，格波的频率也要变化
F 因此 p ( )T V
d j dU 1 p ( j / k BT ) dV 2 e 1 dV j
dU dU dU ( )V0 ( 2 )V0 V dV dV dV
—— 保留至第二项
2
2
dU 第一项 ( )V0Leabharlann Baidu 0 dV
E dU ( 2 )V0 V V dV
V V0
d 2U V0 ( 2 )V0 dV
E ( ) V
dU K 0 V0 ( 2 )V0 dV
为 能级的平均占据数。 nq s qs
q s CV nq s V T qs
(5.4.1 12)
为晶格定 容比热
ln q s
ln V
qs
格林艾森假定 是一与 无关的常数，称为格林艾森常数。 则(5.4.1-11)可写成
(5.4.1 5)
F p V T
F按定义与体系的配分函数Z相联系：
(5.4.1 6)
F kBT ln Z
对于简谐晶体，总能量为：
(5.4.1 7)
E U F U
p V
eqn
eqn
1 nqs s (q ) 2 qs
本节将以简谐晶体的声子解作为出发点，在此基础上做些
修改，这种处理方法称为准简谐近似．假设晶格振动是严
格简谐的，就没有热膨胀、热传导。实际的热膨胀、热传 导是原子之间的非谐作用所引起的。
5.4.1热膨胀
长度为的 l 的样品的线热膨胀系数定义为：
1 l l l T p 1 l 3V V T p