龙岩一中2018年保送生考试试题(数学)

龙岩一中2021届高一实验班选拔考试
数 学
（考试时间：90分钟 满分：100分）
友情提示：请将答案填写在答题卷中，写在试卷上不得分．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．若1b a b -<<
，则31
,()a b a b a b
---一定是（ ） A ．
1a b -最小，3
()a b -最大 B
a b -最大 C ．1a b -最小，a b -最大 D ．1a b
-
2．如图1，在等边△ABC 中，D 是BC 的中点，
P 为AB 边上的一个动点，设AP =x ，图1中
线段DP 的长为y ，若表示y 与x 的函数关系 的图象如图2所示，则△ABC 的面积为
( ) A B ．1 C D ．3 3．如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．若关于
x 的不等式组333
x a x a ≥+⎧⎨<-⎩有解，则函数2
(4)21y a x x =---图象与x 轴的交点个数
为（ ） A ．2
B ．1或2
C ．1
D ．0
5．满足等式19=的正整数对(,)x y 的个数是( ) A. 19 B. 18 C ．1 D ．2
P
D
B
A 图1 图2
6．如果,a b 为质数,且22
90,90a a m b b m -+=-+=,那么a b
b a
+的值为( ) A ．
1451 B ．5314或2 C ．5314
D ．1451或2 7．有直径为4及12的两个圆柱，如图所示放置，且用金属线捆绑 在一起，则环绕着它们的最短金属线长为( ) A ．28833
π+
B ．839π+
C ．561633π+
D ．16833
π+
8．如图，△ABC 中，D 、E 是BC 边上的点，BD :DE :EC =5:3:2， M 在AC 边上，CM :MA =2:3，BM 交AD ，AE 于H ，G ，则BH :HG :GM 等于（ ） A ．5:3:2 B ．38:15:8 C ．115:45:24
D ．51:24:10
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
9．从如图所示的四个带圆圈的字母中，任取两个字母（既可以是相邻也可以是相对的两个字母）相互交换它们的位置，交换一次后能使A 、B 两字母在相对位置上的概率是____________．
10．在ABC ∆中，若O 为边BC 的中点，则必有222222AB AC AO OB +=+成立.依据以上结
论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，已知
,1(35)DE a EF a a ==-≤≤，点P 在以DE 为直
径的半圆上运动，则22
PF PG +的最小值为_______．
11．物质M 与物质N 分别由点A （2，0）同时出发，沿正方形
BCDE 的周界做环绕运动，物质M 按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质N 按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第10次相遇地点的坐标是 ．
A D
B C
12．已知关于x 的方程432
2(3)(2)20x x k x k x k ++++++=有实根．若所有实根的平方和为7，则所有实根之积为_______．
13．如图，直径为AB 的半圆O 上有两点P 、Q ，PC ⊥AB 于C ，QD ⊥AB 于D ，QE ⊥OP 于E ，AC ＝8，DE ＝12，则圆O 的直径＝______．
14．已知a 是正整数，且260a a +是一个正整数的平方，则a 的最大值为_______． 三、解答题（本大题共5小题，共52分） 15．（本题8分）
先化简，再求值：22
2
22
21(1)11
x x x x x x +--++÷--+，其中31x =-. 16．（本题10分）
如图，在△ABC 中，I 是内心，O 是AB 边上一点，圆O 经过B 点且与AI 相切于I 点．
（1）证明△ABC 是等腰三角形；
（2）若BC =18，圆O 的半径是5，求AI 的长．
17.（本题10分）
某公司用50万元作为景区A 的改造费用，已于当年年初改造完毕并开放景区A.已知该公司经营景区A 的固定成本为每年10万元，其它成本为每名游客10元，在经营过程中发现：每年的游客量y （千人）与门票价格x （元/人）（1050x ≤≤）的关系如图所示，其中AB 为反比例函数图象的一部分，BC 为一次函数图象的一部分.设该公司经营景区A 的年利润为z （万元）.
（1）求出每年的游客量y （千人）与x （元/人）之间的函数关系式；
（2）利用第一年该公司经营景区A 的年利润
z （万元）与x （元/人）之间的函数关系式，求
出第一年年利润的最大值.
18.（本题10分）
当11x -≤≤时，函数122
++--=b ax x y 的最小值是4-，最大值是0，求a 、b 的值． 19．（本题14分）
如图，抛物线2
y ax bx =+过(4,0),(1,3)A B 两点，点C B 、关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH x ⊥轴，交x 轴于点H ，点3
(,0)2
E .
（1）已知在抛物线的对称轴上有一点F ，使得BEF ∆的周长最小，请求出点F 的坐标（注：只要能求出点F 的坐标即可，不要求证明）；
（2）点P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当ABP ∆的面积为15时，求出点P 的坐标；
（3）若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴上运动，当以点C M N 、、为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时点N 的坐标.
龙岩一中2021届高一实验班选拔考试
数学答题卷
一、选择题（每小题3分，共8题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678
答案
二、填空题（每小题4分，共6小题）
9．；10．；11．；
12．；13．；14．；三、解答题（共5小题，共52分）
16.（本题10分）
18.（本题10分）
龙岩一中2021届高一实验班选拔考试
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
A
C
D
B
D
B
A
C
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 9.
31 10. 5 11． )2,3
4
(- 12． -3 13． 26 14.196 三、解答题（本大题共5小题，共52分） 15．（本题8分）
解：原式=
(2)(1)1231
1123(1)(1)112323533723
x x x x x x x x x x +--++-+
÷=-+=-+-+--=+=+ …………………8分
16．（本题10分） 解：（1）△ABC 是等腰三角形；证明：延长AI 交BC 于D ，连接OI ， ∵I 是△ABC 的内心，∴BI 平分∠ABC ，即∠OBI =∠DBI ， ∵OB =OI ，∴∠OBI =∠OIB ，∴∠DBI =∠OIB ，∴OI ∥BD ， ∵AI 为⊙O 的切线，∴OI ⊥AI ，∴BD ⊥AD ，
∵AI 平分∠BAC ，∴AB =AC ，∴△ABC 为等腰三角形；………………5分
（2）∵OI ∥BC ，∴△AOI ∽△ABD ，∴AD AI BD OI AB AO ==，∴559AB AB -=，∴AB =45
4，
∴AD 22274AB BD -=，∴AI =BD OI •AD =52794⨯=15
4
．…………………10分
17.（本题10分）
解：（1）当1020x ≤≤时，设k y x =
，将(10,160)A 代入得1600k =，所以1600
y x
=; 当2050x <≤时，设y ax b =+，将(20,80),(50,20)B C 代入得2
120a b =-⎧⎨
=⎩
，
所以2120y x =-+， ………5分
（2）当1020x ≤≤时， 1600y x =
，此时，11600
(10)501010010z x y x
=-⨯--=-+，z 随x 的增大而增大，所以当20x =时，max 20z =万元；
当2050x <≤时， 2120y x =-+，211
(10)5010(70900)105
z x y x x =-⨯--=-+-， 所以当35x =时，max 65z =万元；
因为6520>,所以当门票价格定为35元/人时，第一年年利润的最大值为65万元.…10分
18．（本题10分）
解：()1122
2
2++++-=++--=b a a x b ax x y ,其对称轴为直线a x -=,
①当 ,1-≤-a 即1≥a 时，⎩⎨⎧=+++--=++--01214121b a b a ,解得⎩
⎨⎧-==21
b a . …………………2分
②当10,a -<-≤即01a ≤<时, ⎩⎨⎧-=++--=++4
1210
12b a b a 消去b 得，2230a a +-=,
解得1=a 或3-=a ,舍去. …………………4分
③当 ,10<-<a 即01<<-a 时，⎩⎨⎧-=+++-=++4
1210
12b a b a 消去b 得，2230a a --=
解得1-=a 或3=a ，舍去. …………………6分 ④当 ,1≥-a 即1-≤a 时，⎩⎨
⎧-=+++-=++--41210121b a b a 解得⎩⎨⎧-=-=2
1
b a …………………8分
综上所述2,1-==b a 或2,1-=-=b a . ………………10分 19．（本题14分）
解：（1）把点A （4，0），B （1，3）代入抛物线2
y ax bx =+中，
得01643a b a b
=+⎧⎨=+⎩，解得14a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线表达式为2
4y x x =-+；………………… 2分
所以该抛物线的对称轴为直线x ＝2，∴B 、C 两点关于对称轴x ＝2成轴对称，(3,3)C ,
∴直线CE 为y ＝2x －3 ∴23
2y x x =-⎧⎨=⎩
，解得21x y =⎧⎨=⎩
∴使BEF ∆的周长最小的点F 的坐标为(2,1). ………………5分 （2）如图1，过P 点作PD⊥BH 交BH 于点D ，设点2
(,4)P m m m -+，根据题意，得：BH=AH=3，24HD m m =-，1PD m =-， ∴S △ABP =S △ABH +S 四边形HAPD ﹣S △BPD ，
∴22111
1533(31)(4)(1)(34)222
m m m m m m =⨯⨯++----+-，
∴2315180m m --=，解得11m =-（舍去），26m =，∴点P 坐标为(6,12)-；………10分 （3）当△CMN 为等腰直角三角形时N 点坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）.
…………………14分
C
B
O y x
A P
D
H 图1。