线性代数第三章习题解

线性代数第三章习题解

1. 计算下列行列式: 1)

4

321; 2)

2

2b b a a ; 3)

7

04

0-

解: 1)

26432414

321-=-=⨯-⨯=;

2) )(222

2a b ab b a ab b

b a a -=-=; 3)

0)4(0707

40=-⨯-⨯=-.

2. 计算下列三阶行列式:

1) 241130

4

21--; 2) 320001753-; 3) b

a c a c

b c

b a 解: 1) 将行列式按第一列展开

81021

34

2124131241130

421=+-=⨯-⨯-=-- 2) 将行列式按第二行展开

172353

27

5320

001753=⨯-⨯==

- 3)

3333333c b a abc c b a abc abc abc b

a c a c

b c

b a ---=---++=

3. 计算下列行列式:

1) 0

00

0000005

5

4433

2222211111b a b a b a e d c b a e d c b a ; 2) x

y

y x y x y x

D n 0

000000

000Λ

ΛΛΛΛΛΛΛ

ΛΛ=; 3)

f

e d c

b a

00000000

解: 1) 将行列式按第一列展开后, 得到的各子式再按第二列展开, 这样展开后的后三列构成的任何三阶子式都至少包括一行0, 因此后三列任何三阶子式均为0, 整个行列式的值D =0. 2) 将行列式按第一列展开得

n n n n n y x y

x

y x y y

x

y x y x

x

D 11)1(0

00000)1(0

0000++-+=-+=Λ

ΛΛΛΛΛΛΛΛ

ΛΛΛΛΛΛΛ

3) 先对第一列展开, 然后对第二列展开, 得

abdf badf f

e

d ba f

e d

a b D -=-=-=-=00

000

4. 利用行列式的性质计算下列行列式

1)

2

60

5

232112131412

-;

2) ef

cf

bf

de cd bd

ae ac ab

---; 3) 2

2

2

2

2222

2

2222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a

解: 下面都将所求行列式的值设为D .

1) 因为第1行加到第2行以后, 第2行将和第4行相等, 因此行列式的值D =0; 2) 首先从第1,2,3行分别提取公因子a ,d ,f , 再从第1,2,3列提取公因子b ,c ,e , 得

abcdef abcdef adfbce ef

cf

bf

de cd bd ae ac ab 40

20

200

1111

1

1

111111=-=---=--- 3) 将第2,3,4列都展开, 并统统减去第1列, 得

9644129

64

4129

6441296441222

2

2

++++++++++++=d d d d c c c c

b b b b a a a a D

再将第3列减去2倍的第2列, 第4列减去3倍的第2列, 得

06

21262126

21262122

2

2

2

=++++=d d c c

b b a a D

5. 把下列行列式化为上三角形行列式, 并计算其值

1)

1

5

2

3

21353140422

-----; 2)

2

1

6

4

72954

1732152-----

解: 1)

1210

34805

350024211

2

3840553004221)2/3(21

5

2

3213531404223241312

1------↔=-----+⨯+⨯+⨯=-----c c r r r r r r

13

100

20

5

00

2110

204

210130

520

0012

100

2

42585

350

3480

1210

024*********---↔=--+⨯+⨯=

-----↔=

c c r r r r r r

270)27(51227

00

20

5

00

2110

20

42)2(43-=-⨯⨯⨯=----

+-⨯=r r

2)

2

1

31106

1202

251)1()2(12

4

6

1

7592437122

5

1

2

1

6

4

729541732

1

5

2

41312

113----+-⨯+-⨯+⨯=------↔=-----r r r r r r c c