高中数学选修2-1第二章 (2)

§2.1　曲线与方程

学习目标　1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解方程的曲线和曲线的方程的概念.3.了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法.4.掌握根据已知条件求曲线方程的方法．

知识点一　曲线的方程和方程的曲线的概念

在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．

知识点二　坐标法思想及求曲线方程的步骤

思考　曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明．

答案　不能．还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与方程“x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.

梳理　(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．

(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．(3)求曲线的方程的步骤

如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则

(1)曲线l的方程是F(x，y)＝0.(×)

(2)方程F(x，y)＝0的曲线是l.(×)

(3)坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上．(√)

(4)坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线l上．(×)

类型一　曲线的方程与方程的曲线解读

例1　(1)设方程f(x，y)＝0的解集非空，若命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是假命题，则下列命题为真命题的是( )

A．坐标满足f(x，y)＝0的点都不在曲线C上

B．曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)＝0

C．坐标满足f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上

D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0

(2)“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的( )

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

考点　曲线与方程的概念

题点　点在曲线上的应用

答案　(1)D　(2)B

解析　(1)命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”为假命题，则命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是真命题．故选D.

(2)由曲线C的方程是f(x，y)＝0，得以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点，但

反过来不成立，故选B.

反思与感悟　(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性．

(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．

跟踪训练1　分析下列曲线上的点与相应方程的关系：

(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；

(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；

(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．

考点　曲线与方程的概念

题点　点在曲线上的应用

解　(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．

(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.

(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.

类型二　曲线与方程的应用

例2　已知方程x2＋(y－1)2＝10.

(1)判断点P(1，－2)，Q(2，3)是否在上述方程表示的曲线上；

(2)若点M(m2，－m在上述方程表示的曲线上，求m的值．

考点　曲线与方程的概念

题点　点在曲线上的应用

解　(1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，

∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，

点Q(2，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．

(2)∵点M(m2，－m在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，

∴(m22＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－185.

引申探究

本例中曲线方程不变，若点N(a,2)在圆外，求实数a的取值范围．

解　结合点与圆的位置关系，得

a2＋(2－1)2＞10，即a2＞9，

解得a＜－3或a＞3，

故所求实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．

反思与感悟　判断曲线与方程关系的问题时，可以利用曲线与方程的定义，也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．

跟踪训练2　若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围．

考点　曲线与方程的概念

题点　点在曲线上的应用

解　∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，

∴a2＋a2＋2a＋k＝0，

∴k＝－2a2－2a＝－2(a＋122＋12，

∴k≤12，

∴k的取值范围是(]－∞，12.

类型三　求曲线的方程

命题角度1　直接法求曲线的方程

例3　一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．

考点　求曲线方程的方法

题点　直接法求曲线方程

解　设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|，

则|8－x|＝2 x－22＋y－02，

化简，得3x2＋4y2＝48，

故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.

引申探究

若本例中的直线改为“y＝8”，求动点P的轨迹方程．

解　设P(x，y)，

则P到直线y＝8的距离d＝|y－8|，

又|PA|＝ x－22＋y－02，故|y－8|＝2 x－22＋y－02，

化简，得4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.

故动点P的轨迹方程为4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.

反思与感悟　直接法求动点轨迹的关键及方法

(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件．

(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明．

特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．

跟踪训练3　已知两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使MP→·MN→，PM→·PN→，NM→·NP→成公差小于零的等差数列，求点P的轨迹方程．

考点　求曲线方程的方法

题点　直接法求曲线方程