《数学建模与数学实验》(第三版)6.5习题作业

1.电路问题

一电路由三个电阻123R R R 、、并联，再与电阻4R 串联而成，记k R 上电流为k I ，电压为k V ，在下列情况下确定k R 使电路总功率最小(1,2,3,4)k =： 1）1234,6,8,2k I I I ===≤V ≤10; 2）1234,6,8,2k V V V I ===≤≤6;

1）解：根据建立2

;P I R U IR ==数学模型为：

W=min 42

1

k k k I R =∑

1

23

4123

46..82(1,...,4)k

I I s t I I I I I

k I ⎧

⎪=⎪=⎪⎪=⎨⎪=++⎪⎪=⎪⎩k k 10

≤R ≤I

用Lingo 求解：

min =I1^2*R1+I1^2*R1+I2^2*R2 结果：

+I3^2*R3+I4^2*R4;

I1=4;

I2=6;

I3=8; I4=18; R1>1/2; R2>1/3; R3>1/4; R4>1/9; end

2）解：根据建立2

;P I R U IR ==数学模型为：

W=min 4

2

1k k k I R =∑ 4123

112233

R =4/I ;..R =6/I ;R =8/I ;

2I I I I s t I =++⎧⎪

⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩k ≤≤6(k =1,...,4);

用Lingo 求解：

min =I1^2*R1+I2^2*R2+I3^2*R3 结果：

+I4^2*R4;

I4=I1+I2+I3;

I1<6; I2<6;

I3<6;

I4<6; 《数学建模与数学实验》（第三版）6.5习题作业

专业 班级 姓名 学号

12

3

40.50000.33330.25000.1111R R R R =⎧⎪=⎪⎨

=⎪⎪=⎩ , 12

34 4.00006.00008.000018.0000

I I I I =⎧⎪=⎪⎨

=⎪⎪=⎩ 80P = 112233440.5835976E+08 0.6854038E-07 0.1586609E+08 0.3781429E-06 1.3333 6.000000 0.4752196E+27 6.000000

R I R I R I R I ==⎧⎧⎪⎪==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎪⎪==⎩⎩

0.1710790E+29P =

R1=4/I1; R2=6/I2; R3=8/I3; end

3.（设计最优化问题）

要设计和发射一个带有X 射线望远镜和其他科学仪器的气球。对于性能的粗糙的度量方法是以气球所能到达的高度和所携仪器的重量来表达，很清楚，高度本身是气球体积的一个函数。根据过去的经验做结论，是求极大满意性能函数2

2

(,)1000.3800.2P f V W V V W W ==-+-,此处V 是体积，W 是仪器重量。承包项目的预算限额为1040美元，与体积V 有关的费用是2V ，和设备有关的费用是4W ，为了保证在高度方面的性能与科学设备方面的性能之间合理平衡，设计者要满足约束条件W 100V ≤80，找出由体积和设备重量来表达的最优设计，并求解。 解：根据已知条件建立数学模型为：

22max (,)1000.3800.224..f V W V V W W V W s t =-+-+⎧⎧⎨⎨

⎩⎩≤1040;V +2W ≤520;即80W -100V >0. 5V -4W <0.设用1x 表示V ，2x 表示W ，则

221211221

212max (,)1000.3800.2..f x x x x x x x x s t x x =-+-⎧⎨⎩+2≤520;5-4<0.

根据约束条件取

1T 1

11

12X ==,0.5()(X )(X )(X )()11.2 6.413342.4

f X f f X f X x x δβδ''=≈+∇-=++T

11112T

（148，184），步长限制（2，1）又由X-X ≤，得

x -148≤2,得146≤x ≤150;x -184≤1,得183≤x ≤185;由得

得线性近似规划

12max ()11.2 6.413542.4f X x x =++，

1212

122520,540,..146x x x x s t x x +⎧⎪-<⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤150,183≤≤185,

用Lingo 求解

max =11.2+6.4*x2+13342.4;

x1+2*x2<520;

5*x1-4*x2<0; x1>146;

x2>183;

end

11112=,0.5()(X )(X )(X )()11.2 6.413342.4f X f f X f X x x δβδ''=≈+∇-=++T

11112T 第二次迭代：取步长限制（1，1.5）又由X-X ≤得

x -148≤1,得147≤x ≤149;x -184≤0.5,得182.5≤x ≤185.5;由得 得线性近似规划

1212

12122520,540,max ()11.2 6.413342.4..147x x x x f X x x s t x x +⎧⎪-<⎪=++⎨

⎪⎪⎩≤，≤≤149,182.5≤≤185.5,

用Lingo 求解：

max =11.2*x1+6.4*x2+13342.4;

x1+2*x2<520; 5*x1-4*x2<0; x1>146;

x2>183;

end

综上所述：

最优解: 1

(148.5714,185.7143)T

X = 最优值：maxf = 16194.97

5.（钢管最优化问题） 钢管下料问题……………

解：设使用第i 种方法切割的钢管次数为Xi （i=1……6）根

35612412341346123456i min ()(10.1)()(10.2)2=15,2=28,..22=28,f X x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x =++++++⎧⎪+++⎪⎨

+++++⎪⎪⎩（1+0.3）+（1+0.4）+（1+0.5）++≥0(i =1...6),

用Lingo 求解：