高中数学命题热点名师解密专题：集合的解题技巧(有答案)
第02讲 集合的运算(7大考点13种解题方法)(解析版)
第02讲集合的运算（7大考点13种解题方法）考点考向集合之间的基本运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U 表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }1.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的并集，记作A ∪B ；符号表示为A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }2．并集的性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B .3.对于两个给定的集合A 、B ，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的交集，记作A ∩B。
符号为A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }。
4.交集的性质A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ⊆A .5、对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A 。
符号语言：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }。
【要点注意】1．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UUA B A B U ⇔=∅⇔=痧.2.德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()U UU A B A B 痧；②交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU AB A B 痧．方法技巧1.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.2.求集合交集的方法为：（1）定义法，（2）数形结合法．（3）若A ，B 是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．3.集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn 图求解．(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解．考点精讲考点一：交集题型一：交集的概念及运算1．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则A B =（）A ．{1,2,3,4}B ．{2,3}C ．{1,2}D ．∅【答案】B【分析】根据交集的定义可求A B .【详解】{}2,3AB =，故选：B.2．（2022·全国·高一）已知集合{}22A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，则A B =（）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}2,0,1,2-D ．{}1,0,1,2-【答案】B【分析】根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】因为{}22A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以{0,1}A B =，故选:B ．题型二：根据交集的结果求集合或参数3．（2017·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知集合{}2,3,4,5A =，{}1,B a =，若{}5A B =，则=a （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】根据集合的交运算结果，即可求得参数值.【详解】因为{}5A B =，故可得{}51,a ∈，则5a =.故选：D.4．（2021·湖北·车城高中高一阶段练习）若集合{}322P x x =<≤，非空集合{}2135Q x a x a =+≤<-，则能使()Q PQ ⊆成立的所有实数a 的取值范围为()A ．(1,9)B ．[1,9]C ．[6,9)D ．(6,9]【答案】D【分析】由()Q P Q ⊆知Q P ⊆，据此列出不等式组即可求解.【详解】∵()Q P Q ⊆，∴P Q Q ⋂=，Q P ⊆，∴21352133522a a a a +<-⎧⎪+>⎨⎪-≤⎩，解得69a <≤，故选：D.题型三：根据交集的结果求集合元素个数5．（2021·河南·襄城县实验高级中学高一阶段练习）已知集合()1,A x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，(){},B x y y x ==，则AB 中元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】联立方程解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，得到答案.【详解】1y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，故A B 中有两个元素.故选：C.6．（2022·江苏·高一）若集合{}1,2,3,4A B =，{}1,2A B =，集合B 中有3个元素，则A中元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．不确定【答案】C【分析】根据条件得到{}1,2,3B =或{}1,2,4B =，进而可得集合A 中元素个数.【详解】{}1,2AB =，则集合B 中必有元素1，2当{}1,2,3B =时，{}1,2,4A =，当{}1,2,4B =时，{}1,2,3A =，故集合A 中元素个数为3.故选：C.考点二：并集题型四：并集的概念及运算1．（多选）（2021·福建·晋江市磁灶中学高一阶段练习）已知集合{|2}A x x =<，{|320}B x x =->，则（）A ．32AB x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．{}2A B x x ⋃=<D ．A B R=【答案】AC【分析】先求得集合B ，由此确定正确选项.【详解】3{|320}{|}2B x x B x x =->==<，所以32A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭，{}2A B x x ⋃=<.故选：AC2．（多选）（2021·福建省同安第一中学高一阶段练习）已知集合{|2}A x x =<，{|320}B x x =->，则（）A ．32AB x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．A B R=D ．{}A B 2x x ⋃=<【答案】AD【解析】先化简集合B ，再由交集和并集的概念，即可得出结果.【详解】因为集合{|2}A x x =<，{}33202B x x x x ⎧⎫=->=<⎨⎬⎩⎭，因此32A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭，{}A B 2x x ⋃=<.故选：AD.题型五：根据并集的结果求集合或参数3．（多选）（2022·湖北武汉·二模）已知集合{}{}1,4,,1,2,3A a B ==，若{}1,2,3,4A B =，则a 的取值可以是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】AB【分析】根据并集的结果可得{}1,4,a {}1,2,3,4，即可得到a 的取值；【详解】解：因为{}1,2,3,4A B =，所以{}1,4,a {}1,2,3,4，所以2a =或3a =；故选：AB4．（多选）（2021·湖南·高一期中）已知集合{}1,4,M x =，{}2,3N =，若{}1,2,3,4M N =U ，则x 的可能取值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BC【分析】根据题意，结合集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，即可求解.【详解】由题意，集合{}1,4,M x =，{}2,3N =，且{}1,2,3,4M N =U 根据集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，可得2x =或3x =．故选：BC.题型六：根据并集的结果求集合元素个数5．（多选）（2021·广东揭阳·高一期末）若集合{}0,1,2,A x =，2{1,}B x =，A B A ⋃=则满足条件的实数x 为()A ．0B ．1C ．D ．【答案】CD【分析】由A B A ⋃=说明B 是A 的子集，然后利用子集的概念分类讨论x 的取值．【详解】解：由A B A ⋃=，所以B A ⊆．又{}0,1,2,A x =，2{1,}B x =，所以20x =，或22x =，或2x x =．20x =时，集合A 违背集合元素的互异性，所以20x ≠．22x =时，x =或x =2x x =时，得0x =或1x =，集合A 均违背集合元素互异性，所以2x x ≠．所以满足条件的实数x 的个数有2个．故选CD ．【点睛】本题考查了并集及其运算，考查了子集的概念，考查了集合中元素的特性，解答的关键是要考虑集合中元素的互异性，是基本的概念题，也是易错题．考点三：补集、全集题型七：补集的概念及运算1．（2022·广东汕尾·高一期末）全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，则 U A =ð______．【答案】{}3x x >-【分析】直接利用补集的定义求解【详解】因为全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，所以 U A =ð{}3x x >-，故答案为：{}3x x >-2．（2022·江苏·高一单元测试）若全集S ＝{2,3,4}，集合A ＝{4,3}，则S A ð＝____；若全集S ＝{三角形}，集合B ＝{锐角三角形}，则S B ð＝______；若全集S ＝{1,2,4,8},A ＝∅，则S A ð＝_______；若全集U ＝{1,3,a 2＋2a ＋1}，集合A ＝{1,3}，U A ð＝{4}，则a ＝_______；已知U 是全集，集合A ＝{0,2,4}，U A ð＝{－1,1}，U B ð＝{－1,0,2}，则B ＝_____.【答案】{2}{直角三角形或钝角三角形}{1,2,4,8}1或－3{1,4}【分析】利用补集的定义，依次分析即得解【详解】若全集S ＝{2,3,4}，集合A ＝{4,3}，由补集的定义可得S A ð＝{2}；若全集S ＝{三角形}，集合B ＝{锐角三角形}，由于三角形分为锐角、直角、钝角三角形，故S B ð＝{直角三角形或钝角三角形}；若全集S ＝{1,2,4,8},A ＝∅，由补集的定义S A ð＝{1,2,4,8}；若全集U ＝{1,3,a 2＋2a ＋1}，集合A ＝{1,3}，U A ð＝{4}，故{1,3,4}U U A A =⋃=ð即2214a a ++=，即223(1)(30a a a a +-=-+=），解得=a 1或－3；已知U 是全集，集合A ＝{0,2,4}，U A ð＝{－1,1}，故{1,0,1,2,4}U U A A =⋃=-ð，U B ð＝{－1,0,2}，故B ={1,4}。
高考数学母题解密专题01 集合的表示及其运算附答案及解析(北京专版)
专题01 集合的表示及其运算【母题来源】2020年高考数学北京卷【母题题文】已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）．A. {1,0,1}-B. {0,1}C. {1,1,2}-D. {1,2}【答案】D【试题解析】由题意结合补集的定义可知：{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=，故选：D.【命题意图】本类题通常主要考查简单不等式解法、交集、并集、补集等运算．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，集合的基本运算是历年高考的热点．集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力． 常见的命题角度有：（1）求交集或并集；（2）交、并、补的混合运算；（3）新定义集合问题． 【答题模板】【方法总结】1．解集合运算问题应注意如下三点：（1）看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值等； （2）对集合进行化简，通过化简可以使问题变得简单明了；（3）注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．2．（1）当集合是用列举法表示时(如离散数集)，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图进行解决，要搞清楚Venn 图中各部分区域表示的实际意义；（2）当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，一般先化简集合再运算，常运用数轴求解，重叠区域为集合的交集，合并区域为集合的并集，此时要注意“端点”能否取到，若集合是点集，常借助坐标系求解．3．进行集合的混合运算时，一般先算括号内的部分，如求∁U (A ∪B )时，先求A ∪B ，再求其在全集U 中的补集．4．根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法（1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．（2）将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解． （3）根据求解结果来确定参数的值或取值范围．1．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理））已知集合{}2230,A x x x x Z =--≤∈，集合{}0B x x =>，则集合A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．（2020·辽宁省高三三模（文））已知集合2{|(1)0}M x x =-≤，{|0}N x x =>，则（ ）A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．M N ⋂=∅D ．M N R =3．（2020·辽宁省大连二十四中高三其他（理））若集合{}|1A x x =≤，则满足A B A =的集合B 可以是（ ） A ．{}|0x x ≤B ．{}2|x x ≤C ．{}|0x x ≥D ．{}|2x x ≥4．（2020·重庆万州外国语学校天子湖校区高三月考（理））已知集合(){}3=|log 210A x x ≤-，{|B x y ==，全集U =R ，则()U A B ∩等于（ ）A ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦D ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭5．（2020·重庆高三月考（理））设集合{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，则AB =（ ）A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(,2)-∞D ．(1,1)-6．（2020·黑山县黑山中学高三月考（文））若全集U =R ，集合(){}lg 6A x y x ==-，{}21xB x =>，则()UAB =（ ）A ．()2,3B ．(]1,0-C ．(],0-∞D ．[)0,67．（2020·河南省高三三模（文））已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}10B x x =->，则集合()R A C B ⋂=（ ）A ．{}1,0-B ．{}1,0,1-C ．{}2,3D ．{}1,2,38．（2020·天津南开中学高三月考）已知集合{}2230A x x x =-->，集合{}2Z 4B x x x =∈≤，则()RA B =（ ）A ．{}03x x ≤≤B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}0,1,2,3D ．{}1,29．（2020·山东省邹城市第一中学高三其他）设p ：实数x 满足()()21005x a x a a -++≤<<，q ：实数x 满足ln 2x <，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2020·山东省邹城市第一中学高三其他）已知集合{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|22}B x x =-≤≤，则A B =（ ） A ．[11]-， B ．[22]-， C ．{02}，D ．{202}-，， 11．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（理））已知集合{1,2,3}A =，20,x B xx Z x -⎧⎫=≤∈⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（ ）A ．{1,2}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}12．（2020·全国高一）已知集合2{|}A x x x ==，{1,,2}B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．0C ．0或2D ．113．（2020·上海高三二模）已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A ．[0,4)B ．[1,4)-C ．[3,5]-D ．[0,7)14．（2020·北京人大附中高三期中）设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（x+a ）（x 2+bx+c ），g （x ）=（ax+1）（cx 2+bx+1）．记集合S={x|f （x ）=0，x ∈R}，T={x|g （x ）=0，x ∈R}．若{S}，{T}分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A ．{S}=1且{T}=0 B ．{S}=1且{T}=1 C ．{S}=2且{T}=2 D ．{S}=2且{T}=315．（2020·江苏省高三三模）已知集合{}2,,{2,4}mA mB ==，且{}2A B ⋂=，则AB =_______.16．（2020·上海高三二模）集合{|03}A x x =<<，{|||2}B x x =<，则A B =__________17．（2020·四川省泸县五中高三月考（理））已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.18．（2020·浙江省杭州高级中学高三其他）已知0a >，若集合{}22222220A x Z x x a x x a a =∈---+-+--=中的元素有且仅有2个，则实数a 的取值范围为________．19．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））已知函数23()log (2)f x x x =-++的定义域为集合A ，2()22,g x x x x R =-+∈的值域为集合B ，U [6,)=-+∞. （1）求A 和B ； （2）求A B 、()U C AB .20．（2020·上海高三专题练习）已知U =R 且{}2|560A x x x =--<，{||2|1}B x x =-．求（1）A B ； （2）AB ；（3）()()UU A B ⋂．21．（2020·上海高三专题练习）已知集合4(,)|13y A x y a x -⎧⎫==-⎨⎬-⎩⎭与(){}2(,)|1(1)5B x y a x a y =---=满足A B =∅，求实数a 的值．22．（2020·上海高三专题练习）（1）如果对于任意实数x ，不等式1x kx +>恒成立，求实数k 的取值范围； （2）已知a R ∈，二次函数()222f x ax x a =--，设不等式()0f x >的解集为A ，又已知集合{}13B x x =<<，若A B ⋂≠∅.求a 的取值范围.23．（2020·上海高三专题练习）设a ，b 是两个实数，{(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z ，{2(,)|,315,}B x y x m y m m ===+∈Z ，{}22(,)|144C x y x y =+是平面xOy 内的点的集合．是否存在实数a 和b 使得A B ⋂≠∅与(,)a b C ∈同时成立？若存在，求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由．解析附后专题01 集合的表示及其运算【母题来源】2020年高考数学北京卷【母题题文】已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）．A. {1,0,1}-B. {0,1}C. {1,1,2}-D. {1,2}【答案】D【试题解析】由题意结合补集的定义可知：{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=，故选：D.【命题意图】本类题通常主要考查简单不等式解法、交集、并集、补集等运算．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，集合的基本运算是历年高考的热点．集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力． 常见的命题角度有：（1）求交集或并集；（2）交、并、补的混合运算；（3）新定义集合问题． 【答题模板】【方法总结】1．解集合运算问题应注意如下三点：（1）看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值等； （2）对集合进行化简，通过化简可以使问题变得简单明了；（3）注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．2．（1）当集合是用列举法表示时(如离散数集)，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图进行解决，要搞清楚Venn 图中各部分区域表示的实际意义；（2）当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，一般先化简集合再运算，常运用数轴求解，重叠区域为集合的交集，合并区域为集合的并集，此时要注意“端点”能否取到，若集合是点集，常借助坐标系求解．3．进行集合的混合运算时，一般先算括号内的部分，如求∁U (A ∪B )时，先求A ∪B ，再求其在全集U 中的补集．4．根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法（1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．（2）将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解． （3）根据求解结果来确定参数的值或取值范围．1．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理））已知集合{}2230,A x x x x Z =--≤∈，集合{}0B x x =>，则集合A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】∵{}{}2230,1,0,1,2,3A x x x x Z =--≤∈=-，{}0B x x =>，∴{}1,2,3AB =，∴集合A B 的子集个数为8个，故选：D.2．（2020·辽宁省高三三模（文））已知集合2{|(1)0}M x x =-≤，{|0}N x x =>，则（ ）A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．M N ⋂=∅D ．M N R =【答案】B【解析】由2(1)0x -≤，得1x =，所以集合{}1M =，因为{|0}N x x =>，所以M N ⊆，故选：B3．（2020·辽宁省大连二十四中高三其他（理））若集合{}|1A x x =≤，则满足A B A =的集合B 可以是（ ） A ．{}|0x x ≤ B ．{}2|x x ≤C ．{}|0x x ≥D ．{}|2x x ≥【答案】B 【解析】若AB A =,则A B ⊆,又{}|1A x x =≤{}2|x x ⊆≤4．（2020·重庆万州外国语学校天子湖校区高三月考（理））已知集合(){}3=|log 210A x x ≤-，{|B x y ==，全集U =R ，则()U A B ∩等于（ ）A ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦D ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为2{|0211},{|320}A x x B x x x =<-≤=-≥，即1{|1},{|02A x x B x x =<≤=≤或2}3x ≥，所以2{|0}3U B x x =<<，则12(){|}23UA B x x ⋂=<<，应选答案D. 5．（2020·重庆高三月考（理））设集合{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，则AB =（ ）A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(,2)-∞D ．(1,1)-【答案】A【解析】解不等式220x x --<得12x -<<，即()1,2A =-； 由20log x <得01x <<，即()B 0,1=； 所以()A B 1,2⋃=-.6．（2020·黑山县黑山中学高三月考（文））若全集U =R ，集合(){}lg 6A x y x ==-，{}21xB x =>，则()UAB =（ ）A ．()2,3B ．(]1,0-C ．(],0-∞D ．[)0,6【答案】C【解析】为使()6y lg x =-有意义，则60x ->,解得6x <,()6A ∴=-∞，， 由0212x >=,解得0x >,()0,B ∴=+∞, ∴(],0UB =-∞,∴()(]A 0UB ⋂=-∞，,故选C .7．（2020·河南省高三三模（文））已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}10B x x =->，则集合()R A C B ⋂=（ ）A ．{}1,0-B ．{}1,0,1-C ．{}2,3D ．{}1,2,3【答案】B【解析】由已知：{}|1R C B x x =≤，所以集合(){}1,0,1R A C B ⋂=-．8．（2020·天津南开中学高三月考）已知集合{}2230A x x x =-->，集合{}2Z 4B x x x =∈≤，则()RA B =（ ）A ．{}03x x ≤≤ B ．{}1,0,1,2,3- C ．{}0,1,2,3 D ．{}1,2【答案】C【解析】集合{}2230A x x x =-->{}=31x x x <-或，{}{}2Z 44,3,2,1,0B x x x =∈≤={}|13R A x C x =-≤≤ 故(){}0,1,2,3R A C B ⋂=9．（2020·山东省邹城市第一中学高三其他）设p ：实数x 满足()()21005x a x a a -++≤<<，q ：实数x 满足ln 2x <，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查充分必要条件，不等式的解法，考查运算求解能力，逻辑推理能力.(){}()(){}21010A x x a x a x x x a =-++≤=--≤，当01a <<时，[,1]A a =；当1a =时，{}1A =； 当15a <<，[1,]A a =，{}{}2ln 20B x x x x e =<=<<，因为A B ，所以p q 是的充分不必要条件.10．（2020·山东省邹城市第一中学高三其他）已知集合{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|22}B x x =-≤≤，则AB =（ ） A ．[11]-， B ．[22]-， C ．{02}，D ．{202}-，， 【答案】D 【解析】{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|22}B x x =-≤≤，∴{202}A B =-，，，故选：D.11．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（理））已知集合{1,2,3}A =，20,x B xx Z x -⎧⎫=≤∈⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（ ）A ．{1,2}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}【答案】C【解析】由题意可得：{}2|0,1,2x B x x Z x -⎧⎫=≤∈=⎨⎬⎩⎭又{1,2,3}A = ∴AB ={}123，， 12．（2020·全国高一）已知集合2{|}A x x x ==，{1,,2}B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．0C ．0或2D ．1【答案】B【解析】由题意，集合2{|}{0,1}A x x x ===，因为A B ⊆，所以0m =，故选B.13．（2020·上海高三二模）已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A ．[0,4)B ．[1,4)-C ．[3,5]-D ．[0,7)【答案】A【解析】,A B 都不是空集，设a A ∈，则()0f a =；a B ∈，则()()()00ff a f m ===.2()0f x x nx =+=当0n =时：方程的解为0x = 此时{}0A B ==，满足； 当0n ≠时：2()0f x x nx =+=的解为0x =或x n =-{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，则2()0f x x nx =+=或2()f x x nx n =+=-A B =，则2()f x x nx n =+=-无解，24004n n n ∆=-<∴<<综上所述：04n ≤<，[0,4)m n +∈14．（2020·北京人大附中高三期中）设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（x+a ）（x 2+bx+c ），g （x ）=（ax+1）（cx 2+bx+1）．记集合S={x|f （x ）=0，x ∈R}，T={x|g （x ）=0，x ∈R}．若{S}，{T}分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A ．{S}=1且{T}=0 B ．{S}=1且{T}=1 C ．{S}=2且{T}=2 D ．{S}=2且{T}=3【答案】D【解析】∵f （x ）=（x+a ）（x 2+bx+c ），当f （x ）=0时至少有一个根x=﹣a 当b 2﹣4c=0时，f （x ）=0还有一根只要b≠﹣2a ，f （x ）=0就有2个根；当b=﹣2a ，f （x ）=0是一个根当b 2﹣4c ＜0时，f （x ）=0只有一个根； 当b 2﹣4c ＞0时，f （x ）=0只有二个根或三个根 当a=b=c=0时{S}=1，{T}=0当a ＞0，b=0，c ＞0时，{S}=1且{T}=1 当a=c=1，b=﹣2时，有{S}=2且{T}=215．（2020·江苏省高三三模）已知集合{}2,,{2,4}mA mB ==，且{}2A B ⋂=，则AB =_______.【答案】{1,2,4}【解析】因为{}2A B ⋂=，所以2A ∈，若221m m =⇒=，此时{21}A =，，满足条件； 若2m =，则{24}A =，，{}24A B ⋂=，，不符合题意，舍去. 所以1m =，AB ={1,2,4}.16．（2020·上海高三二模）集合{|03}A x x =<<，{|||2}B x x =<，则A B =__________【答案】(0,2)【解析】由题意{|||2}{|22}B x x x x =<=-<<， 则AB ={|22{|}(003}{|02})2,x x x x x x -<<=<<<<=.17．（2020·四川省泸县五中高三月考（理））已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.【答案】(],3-∞ 【解析】由B A ⊆可得： 当B =∅,则121m m +>-， ∴2m <，当B ≠∅,则m 应满足:12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,解得23m ≤≤，综上得3m ≤;∴实数m 的取值范围是(],3-∞.18．（2020·浙江省杭州高级中学高三其他）已知0a >，若集合{}22222220A x Z x x a x x a a =∈---+-+--=中的元素有且仅有2个，则实数a 的取值范围为________． 【答案】[)1,2 【解析】222222x x a x x a ---+-+-≥()()2222222x x a x x a a -----+-=，当且仅当222a x x a -≤--≤时等号成立，∴22222220x x a x x a a ---+-+--≥，当且仅当222a x x a -≤--≤时等号成立，∴集合A 中有且仅有两个元素等价于不等式222a x x a -≤--≤有且仅有两个整数解，函数2()22f x x x =--=2117248x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的图象关于直线14x =对称， 又(2)8f -=，()11f -=，(0)2f =-，(1)1f =-，(2)4f =，作出函数()y f x =的图象，如图所示，由图知，要使222a x x a -≤--≤有两个整数解，则12a ≤<.19．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））已知函数23()log (2)f x x x =-++的定义域为集合A ，2()22,g x x x x R =-+∈的值域为集合B ，U [6,)=-+∞. （1）求A 和B ； （2）求A B 、()U C AB .【解析】(1)由220-++>x x 得，12x -<<，∴{|12}A x x =-<<，∴()2222111y x x x =-+=-+≥，∴{|1}B y y =≥. （2）由（1）得，{|12},A B x x ⋂=≤< {}x 1,A B x ⋃=>-又[)U 6,=-+∞，所以()UA B ={|61}x x -≤≤-.20．（2020·上海高三专题练习）已知U =R 且{}2|560A x x x =--<，{||2|1}B x x =-．求（1）A B ； （2）A B ；（3）()()UU A B ⋂．【解析】{}2|560A x x x =--<={|16}-<<x x ，{||2|1}B x x =-{|1x x =≤或3}x ≥，（1）A B ={|11x x -<≤或36}x ≤<；（2）A B =R ；（3）因为|1{UA x x =≤-或6}x ≥，{|13}UB x x =<<，所以()()UU A B ⋂={|1x x ≤-或6}x ≥{|13}x x ⋂<<=∅.21．（2020·上海高三专题练习）已知集合4(,)|13y A x y a x -⎧⎫==-⎨⎬-⎩⎭与(){}2(,)|1(1)5B x y a x a y =---=满足A B =∅，求实数a 的值．【解析】因为集合4(,)|13y A x y a x -⎧⎫==-⎨⎬-⎩⎭， 所以集合A 表示不包括点(3,4)的直线(1)370a x y a ---+=， 当210a -=且10a -=时，即1a =时，集合B 为空集， 显然AB =∅成立，故1a =符合题意；当1a ≠时，集合B 不为空集，要想AB =∅成立，只需：直线(1)370a x y a ---+=与直线()21(1)5a x a y ---=平行或者 直线(1)370a x y a ---+=与直线()21(1)5a x a y ---=相交于点(3,4)， 当直线(1)370a x y a ---+=与直线()21(1)5a x a y ---=平行时，有2(1)(1)1a a a --=-且(37)(1)5a a --≠，解得1a ≠，而1a ≠，所以不存在这种情况；直线(1)370a x y a ---+=与直线()21(1)5a x a y ---=相交于点(3,4)，有()2213(1)453440aa a a -⋅--⋅=-⇒-=，解得2a =或23a =-，综上所述：实数a 的值为21,2,3-22．（2020·上海高三专题练习）（1）如果对于任意实数x ，不等式1x kx +>恒成立，求实数k 的取值范围； （2）已知a R ∈，二次函数()222f x ax x a =--，设不等式()0f x >的解集为A ，又已知集合{}13B x x =<<，若A B ⋂≠∅.求a 的取值范围.【解析】(1)画出1y x =+的图像，又y kx =为过原点的直线. 临界条件为：当y kx =为x 轴时，0k =；当y kx =与1y x=+在[)1,-+∞上的射线平行时，1k =. 故不等式1x kx +>恒成立，则01k <≤(2)因为二次函数()222f x ax x a =--，故0a ≠，且判别式()()22242480a a a ∆=---=+>，所以()0f x =两根之积为12220ax x a-==-<，故不妨设两根120x x <<. 当0a >时，若A B ⋂≠∅则有23x <，故()30f >，即9620a a -->，解得67a >. 当0a <时，若A B ⋂≠∅则有21>x ，故()10f >，即220a a -->，解得2a <-. 综上有2a <-或67a >. 23．（2020·上海高三专题练习）设a ，b 是两个实数，{(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z ，{2(,)|,315,}B x y x m y m m ===+∈Z ，{}22(,)|144C x y x y =+是平面xOy 内的点的集合．是否存在实数a 和b 使得A B ⋂≠∅与(,)a b C ∈同时成立？若存在，求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由． 【解析】假设存在实数a 和b 同时满足题中的两个条件, 则2315.y ax b y x =+⎧⎨=+⎩，由A B ⋂≠∅， 则必存在整数n 使 23(15)0,n an b -+-=于是它的判别式 2()12(15)0,a b ∆=--- 即212(15).a b -又由 22144a b + 得 22144,a b - 由此便得 12(15-2)144,b b -即 2(6)0,b - 故 6.b = 将 6b = 代人上述的 212(15)a b -及 22144a b -，得 2108a =,所以 a =± 将 6a b =±= 代入方程23(15)0,n an b -+-= 求得 .n =Z故不存在实数a ，b 使A B ⋂≠∅，与(,)a b C ∈同时成立．。
高考数学破解命题陷阱专题01集合的解题技巧
专题01 集合的解题技巧一、命题陷阱设置1.元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱；2.造成集合中元素重复陷阱；3.隐含条件陷阱；4.代表元变化陷阱；5.分类讨论陷阱； 6．子集中忽视空集陷阱； 7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值陷阱. 二、典例分析及训练.（一）元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱 例1. 已知{0,1}M =,{|}N x x M =⊆则A.M N ∈B.N M ∈C.N M ⊆D.M N ⊆【答案】A陷阱预防：表面看是集合与集合之间的关系，实质上是元素与集合之间的关系，这类题目防范办法是把集合N 用列举法表示来.练习1.集合{|52,},{|53,},M x x k k Z P x x n n Z ==-∈==+∈{|103,}S x x m m Z ==+∈之间的关系是（ ）A. S P M ⊂⊂B. S P M =⊂C. S P M ⊂=D. P M S =⊂ 【答案】C【解析】∵{|52,},{|53,},{|103,}M x x k k Z P x x n n Z S x x m m Z ==-∈==+∈==+∈，∴{}7,2,3,8,13,18M =--L L ， {}7,2,3,8,13,18P =--L L ， {}7,3,13,23S =-L L ，故S P M ⊂=，故选C.练习2. 对于集合A {246}＝，，，若A a ∈，则6A a -∈，那么a 的值是________. 【答案】2或4【解析】2A ∈，则624A,4A -=∈∈则642A,6A -=∈∈，则660A,-=∈舍去，因此a 的值是2或4（二）集合中元素重复陷阱 例2. ,a b 是实数，集合A={a,,1}ba，2{,,0}B a a b =+，若A B =，求20152016a b ＋. 【答案】1－【解析】{}{}20010A B b A a B a a ∴Q ＝，＝，＝，，，＝，，. 21a ∴＝ ，得 1.1a a ±＝＝ 时， {}101A ＝，， 不满足互异性，舍去； 1a ＝－ 时，满足题意.201520161a b ∴＋＝－ .陷阱预防：对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性. 练习1.已知集合3{1,2,},{1,},A m B m B A ==⊆，则m ＝ ____. 【答案】0或2或－1【解析】由B A ⊆得m A ∈，所以3m m =或2m =，所以2m =或1m =-或1m =或0m =，又由集合中元素的互异性知1m ≠.所以0m =或2或－1. 故答案为0或2或－1练习2. 已知集合()}{,0A x y ==，集合(){},B x y ==，集合(){},C x y ==请写出集合A ，B ，C 之间的关系______________.【答案】B C A ≠≠⊂⊂【解析】集合()}{,0A x y ==表示直线10x y --= 上的所有点；集合(){},B x y ==表示直线10x y --= 上满足1{x y ≥≥ 的点；集合(){},C x y ==表示直线10x y --= 上满足0{1x y ≥≥- 的点故B C A ≠≠⊂⊂（三）隐含条件陷阱例3.已知集合()(){}{}210,11A x x x B x Z x =-+<=∈-≤≤，则A B ⋂=（ ） A. {}1,0- B. {}0,1 C. {}1,0,1- D. {}1,2- 【答案】A陷阱预防：注意两个集合代表元的条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件. 练习1. 集合(){}()(){},A x f x x B x ff x x ====，则集合A 与集合B 之间的关系（ ）A. A B ⊆B. B A ⊆C. B A ÖD. A B Ö 【答案】A【解析】设a A ∈，则()()(),,a f a f f a f a a a B ⎡⎤=∴==∴∈⎣⎦，说明集合A 的元素一定是集合B 的元素，则A B ⊆，选A.练习2. 已知集合{}2230A x x x =-->，集合{}2Z 4B x x x =∈≤，则()R A B ⋂=ð（ ） A. {}03x x ≤≤ B. {}1,0,1,2,3- C. {}0,1,2,3 D. {}1,2 【答案】C【解析】集合{}2230A x x x =--> {}=31x x x <-或， {}{}2Z 44,3,2,1,0B x x x =∈≤={}|13R A x x =-≤≤ð 故(){}0,1,2,3R A B ⋂=ð故答案为C 。
高中数学一轮复习-集合运算的解题技巧
集合运算的解题技巧高考对集合运算的考查是一个热点，经常考查具体的运算，多数情况下会与求函数定义域、值域、解不等式、求范围等问题联系在一起。
解答集合题目，要认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件。
简言之为三步走：第一步，对谁运算，即看清楚集合的代表元素是谁； 第二步，运算法则，即对集合进行化简； 第三步，运算结果，即进行集合的交并补运算。
例：已知集合A ＝{x |－x 2＋2x ＋3>0}，B ＝{x |x －2<0}，则A ∩B ＝_______.例题1 设函数f(x)=lg(21x -)，集合A={x|y=f(x)}，B={y|y=f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. [-1,0]B. （-1,0）C.()[),10,1-∞- D.(](),10,1-∞-解析：要求阴影部分表示的集合，首先要知道集合A 、B 分别表示什么样的集合，然后再进行集合的运算。
答案：对集合A第一步——对谁运算：对实数x 运算。
第二步——运算法则：x 需满足21x ->0。
解得-1<x<1，即A={x|-1<x<1}。
对集合B第一步——对谁运算：对实数y 运算。
第二步——运算法则：由0<21x -≤1得，lg(21x -)≤0，即y ≤0。
故B={y| y ≤0}。
第三步——运算结果：阴影部分表示的是除了集合A 与B 交集的所有元素构成的集合。
由数轴可以看到，AB={x|-1<x ≤0}。
所以阴影部分表示的是()R A B ð={x|x ≤-1，或0<x<1}。
故选D 。
点拨：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题是，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，并结合Venn 图或数轴进行直观表达，达到解题的目的。
高中数学必修一集合解题技巧总结
(每日一练)高中数学必修一集合解题技巧总结单选题1、若P={x|x<1}，Q={x|x>1}，则A．P⊆Q B．Q⊆P C．C R P⊆Q D．Q⊆C R P答案：D解析：利用集合的补集的定义求出P的补集；利用子集的定义判断出Q⊆∁R P．解：∵P={x|x<1}，∴∁R P={x|x⩾1}，∵Q={x|x>1}，∴Q⊆∁R P，故选：D．小提示：本题考查利用集合的交集、补集、并集定义求交集、补集、并集；利用集合包含关系的定义判断集合的包含关系．2、已知非空集合A、B、C满足：A∩B⊆C，A∩C⊆B．则（）．A．B=C B．A⊆(B∪C)C．(B∩C)⊆A D．A∩B=A∩C作出符合题意的三个集合之间关系的venn图即可判断.解：因为非空集合A、B、C满足：A∩B⊆C，A∩C⊆B，作出符合题意的三个集合之间关系的venn图，如图所示，所以A∩B=A∩C．故选：D．3、已知集合A={x|1<x<3}，B={x|3<x<6}则A∩B=（）A．(1，3)B．(1，6)C．(−1，3)D．∅答案：D解析：利用集合的交集运算求解.因为集合A={x|1<x<3}，B={x|3<x<6}，所以A∩B=∅故选：D4、已知集合A={x|−1<x<4}，B={x|0<x≤3}，则A∩B= A．{x|1≤x<2}B．{x|0≤x<2}C．{x|0<x≤2}D．{x|0<x≤3}直接利用交集运算得到答案.A={x|−1<x<4}，B={x|0<x≤3}，∴A∩B={x|0<x≤3}.故选：D.小提示：本题考查了交集运算，属于简单题.5、已知全集U={−1,0,1,2,3}，集合A={0,1,2}，B={−1,0,1}，则(∁U A)∩B= A．{−1}B．{0,1}C．{−1,2,3}D．{−1,0,1,3}答案：A解析：本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.C U A={−1,3}，则(C U A)∩B={−1}故选：A小提示：易于理解集补集的概念、交集概念有误.。
集合的解题方法与技巧
解得 k＝3.
点评 P ∩Q ≠Q 的情况较复杂，若正面求解，需要 一一列举出来分别讨论，然后再求并集，运算量 大，且不容易考虑周全．注意到“≠”的反面比较 单纯，从问题的反面去思考探究，就容易得到正面 结论，这其实就是补集思想的应用.
【例 2】
设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 P －Q ＝
{x|x∈P， 且 x∉Q }， 如果 P ＝{x|log2x<1}， Q ＝{x||x －2|<1}，那么 P －Q 等于 A．{x|0<x<1} C．{x|1≤x<2}
解析
( B．{x|0<x≤1} D．{x|2≤x<3}
)
先将集合 P 、Q 简单化，得 P ＝{x|0<x<2}，
合时也要注意，本题若取S1＝{1}，S2＝{2}，S3＝ {3}，I＝{1,2,3}，选项B、C、D都成立，不能得出 结论，还需进一步检验．
【例7】
已知集合P ＝{x|4≤x≤5，x∈R}，Q ＝
{x|k＋1≤x≤2k－1，x∈R}，求当P ∩Q ≠Q 时，实 数k的取值范围．
解析 若 P ∩Q ＝Q 时，则 Q ⊆P .
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教育类精品资料备课资讯2集合的解题方法与技巧集合是学习数学的基础和工具是高考的必考内容之一由于集合知识的抽象性给相关问题的解决带来一定的困难利用定义法具体化方法直观化方法和简单化方法可以帮您走出困境
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集合的解题方法与技巧
第01讲 集合的概念及基本关系(3大考点10种解题方法)(解析版)
第01讲集合的概念及基本关系（3大考点10种解题方法）考点考向1．集合的概念把某些能够确切指定的对象全体看作一个整体，这个整体就称为一个集合，集合中的每个对象称为该集合的元素。
任何一个对象α对于某一个集合A 来说，或是属于该集合)(A ∈α即，或是不属于该集合)A (∉α即。
2.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
3.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）．4.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn 图、描述法．5.常见的数集及其表示符号名称自然数集(非负整数集)正整数集整数集有理数集实数集表示符号N*N 或+N ZQR6.集合的分类：有限集，无限集，空集；7.子集与真子集子集：若集合A 中任何一个元素都属于集合B ，则集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ⊆或A B ⊇；真子集：对于集合A 和B ，若B A ⊆,且B 中至少有一个元素不属于A ，则集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B8.相等的集合：对于两个集合A 和B ，若B A ⊆，且A B ⊇，则叫做集合A 与集合B 相等，记作B A =；【要点注意】（1）空集是任何集合的子集，即A ⊆∅，空集是任何非空集合的真子集；（2）任何集合A 是其自身的子集，即A A ⊆；（3）子集的传递性：若C B B A ⊆⊆,，则C A ⊆；（4）若B A ⊆，则AB 或B A =；（5）相等的集合中的所含元素完全相同；（6）连接元素与集合的符号有：∈和∉；（7）连接集合与集合的符号有：⊆，，≠=,等；（8）含有n 个元素的集合的子集共有n2个,真子集有12-n个。
（9）子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.方法技巧1.与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2.(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．3.集合A 中含有n 个元素，则有(1)A 的子集的个数有2n 个．(2)A 的非空子集的个数有2n －1个．(3)A 的真子集的个数有2n －1个．(4)A 的非空真子集的个数有2n －2个．4.空集是任何集合的子集，因此在解A ⊆B (B ≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A ＝∅和A ≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．考点精讲考点一：集合的概念及其表示题型一：集合的确定性1.下面给出的四类对象中，能组成集合的是()A．高一某班个子较高的同学B．比较著名的科学家C．无限接近于4的实数D．到一个定点的距离等于定长的点的全体【答案】D【解析】选项A ，B ，C 所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D 的标准唯一，故能组成集合．故选：D ．2.（多选题）考察下列每组对象，能构成集合的是()A.中国各地最美的乡村； B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点；C.不小于3的自然数； D.2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．【答案】BCD【解析】A 中“最美”标准不明确，不符合确定性，BCD 中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD题型二：集合的互异性3.在集合{1A =，21a a --，222}a a -+中，a 的值可以是()A．0B．1C．2D．1或2【答案】A【解析】当a ＝0时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝2，当a ＝1时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝1，当a ＝2时，a 2﹣a ﹣1＝1，a 2﹣2a +2＝2，由集合中元素的互异性知：选A ．4.若1{2-∈，21a a --，21}a +，则(a =)A．1-B．0C．1D．0或1【答案】B【答案】解：①若a 2﹣a ﹣1＝﹣1，则a 2﹣a ＝0，解得a ＝0或a ＝1，a ＝1时，{2，a 2﹣a ﹣1，a 2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，∴a ＝0；②若a 2+1＝﹣1，则a 2＝﹣2，a 无实数解；由①②知：a ＝0．故选：B ．题型三：集合常见表示方法5.（2021·全国高一课时练习）下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它．（1）小于5的自然数；（2）某班所有个子高的同学；（3）不等式217x +>的整数解．【答案】（1）能，集合为{}0,1,2,3,4；（2）不能，理由见解析；（3）能，集合为{}3,x x x Z >∈.【分析】（1）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合；（2）根据集合元素的确定性进行判断即可；（3）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合.【详解】（1）小于5的自然数为0、1、2、3、4，元素确定，所以能构成集合，且集合为{}0,1,2,3,4；（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合；（3）由217x +>得3x >，因为x 为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，所以用描述法表示为{}3,x x x Z >∈.题型四：数集及其表示符号6．（2021·全国高一专题练习）填空：集合N 表示________集合；集合*Z 表示________集合；集合*R 表示________集合.【答案】自然数正整数正实数【分析】利用数集的表示直接求解【详解】集合N 表示自然数集合；集合*Z 表示正整数集合；集合*R 表示正实数集合，故答案为：自然数，正整数，正实数考点二：元素与集合的关系题型五：元素与集合之间的关系1.（多选题）下列关系中，正确的有（）A．∅∪ th B．13Q∈C．Q Z⊆D．{}0∅∈【答案】AB【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的；选项B:13是有理数，故13Q ∈是正确的；选项C:所有的整数都是有理数，故有Z Q ⊆，所以本选项是不正确的；选项D;由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB.2.下列关系中，正确的个数为()R ；②13Q ∈；③0{0}=；④0N ∉；⑤Q π∈；⑥3Z -∈．A．6B．5C．4D．3【思路分析】利用元素与集合的关系及实数集、有理数集、自然数集的性质直接求解．【答案】解：由元素与集合的关系，得：在①中， ∈R ，故①正确；在②中，，故②正确；在③中，0∈{0}，故③错误；在④中，0∈N ，故④错误；在⑤中，π∉Q ，故⑤错误；在⑥中，﹣3∈Z ，故⑥正确．故选：D ．题型六：元素个数问题3.集合12{|3A x Z y x =∈=+，}y Z ∈的元素个数为()A．4B．5C．10D．12【思路分析】根据题意，集合中的元素满足x 是整数，且噸 是整数．由此列出x 与y 对应值，即可得到题中集合元素的个数．【解析】由题意，集合{x ∈Z |y噸 ∈Z }中的元素满足x 是整数，且y 是整数，由此可得x ＝﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此时y 的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1，符合条件的x 共有12个，故选：D ．4.已知集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，x y <，}x y A +∈，则集合B 中的元素个数为()A．2B．3C．4D．5【思路分析】通过集合B ，利用x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A ，求出x 的不同值，对应y 的值的个数，求出集合B 中元素的个数．【解析】因为集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A }，当x ＝1时，y ＝2或y ＝3或y ＝4；当x ＝2时y ＝3；所以集合B 中的元素个数为4．故选：C ．【点睛】本题考查集合的元素与集合的关系，考查基本知识的应用．题型七：单元素集合5.若集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，求a 、b 的值．【答案】解：∵集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，∴a 2+a 2+b ＝a 且△＝（a ﹣1）2﹣4b ＝0解得a ＝31，b ＝91．故a 、b 的值分别为31，91.题型八：二次函数与集合6.设集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }（1）当A 中元素个数为1时，求：a 和A ；（2）当A 中元素个数至少为1时，求：a 的取值范围；（3）求：A 中各元素之和．【思路分析】（1）推导出a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，由此能求出a 和A ．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，由此能求出a 的取值范围．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a 2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．【答案】解：（1）∵集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }，A 中元素个数为1，∴a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，解得a ＝0，A ＝{21-}或a ＝1，A ＝{﹣1}．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，解得a ≤1，∴a 的取值范围是（﹣∞，1]．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a 2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．考点三：集合间的基本关系题型九：空集1.如果2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围为()A．04a <<B．40<≤a C．40≤<a D．40≤≤a 【思路分析】由A ＝∅得不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，然后利用不等式进行求解．【答案】解：因为A ＝{x |ax 2﹣ax +1＜0}＝∅，所以不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，当a ＝0，不等式等价为1＜0，无解，所以a ＝0成立．当a ≠0时，要使ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，则 ＞t△ − t，解得0＜a ≤4．综上实数a 的取值范围0≤a ≤4．2.已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.【答案】(],3-∞【解析】由B A ⊆可得：当B =∅,则121m m +>-，∴2m <，当B ≠∅,则m 应满足:12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,解得23m ≤≤，综上得3m ≤;∴实数m 的取值范围是(],3-∞.故答案为:(],3-∞.题型十：子集与真子集1.已知集合1{|42k M x x ==+，}k Z ∈，1{|24k N x x ==+，}k Z ∈，则()A．M N=B．M ⊊N C．N ⊊M D．M∩N=∅【思路分析】将集合M ，N 中的表达式形式改为一致，由N 的元素都是M 的元素，即可得出结论．【答案】M ＝{x |x噸，k ∈Z }＝{x |噸，k ∈Z }，N ＝{x |x 噸 ，k ∈Z }＝{x |噸，k ∈Z }，∵k +2（k ∈Z ）为整数，而2k +1（k ∈Z ）为奇数，∴集合M 、N 的关系为N ⊊M ．故选：C ．2.若集合2{|20}A x x x m =-+==∅，则实数m 的取值范围是()A．(,1)-∞-B．(,1)-∞C．(1,)+∞D．[1，)+∞【解析】∵A ＝{x |x 2﹣2x +m ＝0}＝∅，∴方程x 2﹣2x +m ＝0无解，即△＝4﹣4m ＜0，解得：m ＞1，则实数m 的范围为（1，+∞），故选：C ．【点睛】此题考查了空集的定义，性质及运算，熟练掌握空集的意义是解本题的关键．3.已知集合21,,{1}A a a =-，若0A ∈，则a =______；A 的子集有______个.【答案】0或1-8【解析】∵集合21,,{1}A a a =-，0A ∈，∴0a =或2101a a ⎧-=⎨≠⎩，解得0a =或1a =-.A 的子集有328=个.故答案为：0或1-，8.巩固提升一、单选题1．（2022·全国·高一）下列各对象可以组成集合的是（）A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师【答案】B【分析】由集合中元素的性质可直接得到结果.【详解】对于ACD ，集合中的元素具有确定性，但ACD 中的元素不确定，故不能构成集合，ACD 错误；B 中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B 正确.故选：B.2．（2022·全国·高一）若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（）A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形【答案】C【分析】根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，结合选项，即可求解.【详解】由题意，集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，以四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.3．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知集合()(){}110A x x x x =-+=，则A =（）A ．{}0,1B ．{}1,0-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1-【答案】D【分析】通过解方程进行求解即可.【详解】因为(1)(1)00x x x x -+=⇒=，或1x =-，或1x =，所以{}1,0,1A =-，故选：D4．（2022·全国·高一）给出下列四个关系：π∈R ，0∉Q ，0.7∈N ，0∈∅，其中正确的关系个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【分析】根据自然数集、有理数集、空集的含义判断数与集合的关系.【详解】∵R 表示实数集，Q 表示有理数集，N 表示自然数集，∅表示空集，∴π∈R ，0∈Q ，0.7∉N ，0∉∅，∴正确的个数为1.故选:D .5．（2021·山东聊城一中高一期中）若{}21,3,a a ∈，则a 的可能取值有（）A ．0B ．0，1C ．0，3D ．0，1，3【答案】C【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断a 的可能取值.【详解】0a =，则{}1,3,0a ∈，符合题设；1a =时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；3a =时，则{}1,3,9a ∈，符合题设；∴0a =或3a =均可以.故选：C6．（2022·全国·高一专题练习）下面五个式子中：①{}a a ⊆；②{}a ∅⊆；③{a }∈{a ，b }；④{}{}a a ⊆；⑤a ∈{b ，c ，a }；正确的有（）A ．②④⑤B ．②③④⑤C ．②④D ．①⑤【答案】A【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.【详解】①中，a 是集合{a }中的一个元素，{}a a ∈，所以①错误；空集是任一集合的子集，所以②正确；{}a 是{},a b 的子集，所以③错误；任何集合是其本身的子集，所以④正确；a 是{},,b c a 的元素，所以⑤正确.故选：A.7．（2021·全国·高一课时练习）下列说法中正确的是（）A ．{}1,2,3是不大于3的自然数组成的集合B ．由1，3，1-，13，32，647个元素C ．{}1,2,3,4,5,6和{}6,5,4,3,2,1表示相同的集合D ．{}∅表示空集【答案】C【分析】由自然数集可判断A ；由集合元素的互异性可判断B ；由集合元素的无序性可判断C ；由{}∅表示以空集为元素的集合可判断D.【详解】对于A ，不大于3的自然数组成的集合是{}0,1,2,3，故A 错误；对于B ，由3624=31=结合集合元素的互异性，可知由1，3，1-，13，32，64成的集合有5个元素，故B 错误；对于C ，由集合元素的无序性可知两个集合相等，故C 正确；对于D ，∅表示空集，{}∅表示以空集为元素的集合，故D 错误；故选：C 二、多选题8．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）下列说法正确的是（）A ．E 由3x <-所有实数组成集合，F 由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合.E F 、均不存在.B ．2{|440}E x x x =-+=，F 由5个2组成的集合.则{}2E F ==C ．{|E x Z =∈32x -}Z ∈，{}1,1-⊆F ⊆E ，则F 可能有4个.D ．(){,|2,1,}E x y y x x x Z ==≤∈，用列举法表示集合E 为()(){}1,2,1,2--.【答案】BC【分析】根据集合之间的关系，以及集合的表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：由3x <-所有实数组成的集合E 是空集，由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合是F ，,E F 都存在，故A 错误；对B ：{}{}2|4402E x x x =-+==，F 由5个2组成的集合，根据集合中元素的互异性，故{}2F E ==，故B 正确；对C ：{|E x Z =∈32x -{}}1,1,3,5Z ∈=-，因为{}1,1-⊆F ⊆E ，故F 为含有1,1-且是{}1,1,3,5-的子集{}{}{}{}1,1,1,1,3,1,1,5,1,1,3,5----，共有4个，故C 正确；对D ：(){}()()(){},|2,1,1,2,0,0,1,2E x y y x x x Z ==≤∈=--，故D 错误.故选：BC .9．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高一阶段练习）下列叙述正确的是（）A ．若{(1,2)}P =，则P∅∈B ．{|1}{|1}x x y y >⊆C ．{(,)|1}M x y x y =+=，1{|}N y x y =+=，则M N =D ．{2,4}有3个非空子集【答案】BD【分析】A 选项：集合与集合的关系是包含与否；B 选项：直接判断即可；C 选项：点集和数集之间没有关系；D 选项：一个集合中有n 个元素，则它的非空子集的个数为21n -.【详解】∅是个集合，所以P ∅⊆，A 错误；{|1}x x >是{|1}y y 的一个子集，所以{|1}{|1}x x y y >⊆，B 正确；M 是点集，N 是数集，所以集合M 与集合N 没有关系，C 错误；{2,4}的非空子集有{2}，{4}与{2,4}，共3个，D 正确.故选：BD 三、填空题10．（2020·四川·双流中学高一阶段练习）已知集合2{2,}x 与{4,}x 相等，则实数x =__________．【答案】2【分析】由已知，两集合相等，可借助集合中元素的的互异性列出方程组，解方程即可完成求解.【详解】因为集合2{2,}x 与{4,}x 相等，则242x x ⎧=⎨=⎩，解得2x =．故答案为：2.11．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）设集合{}**(,)|3,N ,N A x y x y x y =+=∈∈，则用列举法表示集合A 为______．【答案】{(1,2),(2,1)}【分析】根据题意可得030x y x >⎧⎨=->⎩，则03x <<，对1,2x =代入检验，注意集合的元素为坐标．【详解】∵**3,N ,N x y x y +=∈∈，则可得030x y x >⎧⎨=->⎩，则03x <<又∵*N x ∈，则当1,2x y ==成立，当2,1x y ==成立，∴{(1,2),(2,1)}A =故答案为：{(1,2),(2,1)}．12．（2020·甘肃·永昌县第一高级中学高一阶段练习）下列命题中正确的有________(写出全部正确的序号).①{2，4，6}⊆{2，3，4，5，6}；②{菱形}⊆{矩形}；③{x |x 2＝0}⊆{0}；④{(0，1)}⊆{0，1}；⑤{1}∈{0，1，2}；⑥{}|2x x ≥{}|1x x >.【答案】①③⑥【分析】根据集合间的基本关系中的子集、真子集的定义及元素与集合的关系即可求解.【详解】对于①，2，4，6}{2,3,4,5,6∈，则{2，4，6}⊆{2，3，4，5，6}，故①正确；对于②，菱形不属于矩形，则{菱形}{矩形}，故②不正确；对于③，由20x =，解得0x =，则{x |x 2＝0}⊆{0}，故③正确；对于④，()}{0,10,1∉，则{(0，1)}⊆{0，1}，故④不正确；对于⑤，集合与集合不能用属于与不属于关系表示，所以{1}∈{0，1，2}不正确；对于⑥，{}|2x x ≥{}|1x x >，故⑥正确.故答案为：①③⑥.13．（2022·湖南·高一课时练习）用适当的符号填空：（1）{}0______()2,3-；（2）{},,a c b ______{},,a b c ；（3）R______(],3-∞-；（4）{}1,2,4______{}8x x 是的约数．【答案】⊆=⊇⊆【分析】根据集合子集的定义及集合相等的概念求解.【详解】由集合的子集、集合的相等可知（1）⊆，（2）=，（3）⊇，（4）⊆故答案为：⊆，=，⊇，⊆14．（2021·浙江省青田县中学高一期中）设全集{2,3,5,6,9}U =，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第23位的子集是___________.【答案】{}3,5,9【分析】写出包含元素个数从小到大的子集个数，发现含有小于等于2个元素的子集的个数为16个，含有小于等于3个元素的子集的个数为26个，故判断出第23位的子集在含有3个元素的子集中，由于第23位离第26位较近，所以从后面往前找，最终求得结果【详解】不含任何元素的子集个数有1个，含有一个元素的子集个数有5个，含有两个元素的子集个数有10个，含有3个元素的子集个数有10个，因为1+5+10+10=26>23，故排在第23位的子集在含有3个元素的子集中，第26位的子集为{}5,6,9，第25位的子集为{}3,6,9，第24位的子集为{}2,6,9，第23位的子集为{}3,5,9故答案为：{}3,5,915．（2021·江苏·高一课时练习）有下列命题：①空集是任何集合的真子集；②设A B ⊆，若m A ∈，则m B ∈；③{0,1,2}{1,2,0}⊆.其中，正确的有_________.（填序号）【答案】②③【分析】根据空集不是本身的真子集即可判断①，根据子集的概念即可判断②③.【详解】解：空集不是空集的真子集，故①错误；由子集的概念可得，设A B ⊆，若m A ∈，则m B ∈，故②正确；由子集的概念可得{0,1,2}{1,2,0}⊆，故③正确.故答案为：②③.四、解答题16．（2022·湖南·高一课时练习）只有一个元素的集合，例如{}孙悟空，它有两个子集：空集∅和{}孙悟空．两个或三个元素组成的集合各有多少个子集？你能找出一般规律吗？【分析】利用子集的定义及集合的表示即得.【详解】对于两个元素组成的集合{},A a b =，它有4个子集：{}{}{},,,,a b a b ∅；对于三个元素组成的集合{},,B a b c =，它有8个子集：{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,a b c a b a c b c a b c ∅；规律：一般地对于有n 个元素的集合{}12,,,n a a a ，共有2n 个子集.17．（2021·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知集合{}22,,A xx m n m n ==+∈∈Z Z ∣.(1)判断2,5,25是否属于集合A ；(2)若正整数y 能表示为某个整数的平方，z A ∈，证明：yz A ∈；(3)若集合{}43,B xx k k ==+∈Z ∣，证明：A B =∅.【答案】(1)2,5,25属于集合A ；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】(1)将2，5，25拆成两个整数平方和即可；(2)由题可设()2y a a =∈Z ，()22,z b c b c =+∈∈Z Z ，由此即可证明yz A ∈；(3)根据m 与n 的奇偶分类讨论即可.(1)由222222211,512,2534=+=+=+，可知2,5,25属于集合A ；(2)由题可设()2y a a =∈Z ，又由z A ∈，设()22,z b c b c =+∈∈Z Z ，有()22222()()yz a b c ab ac =+=+，由,,a b c ∈∈∈Z Z Z ，有,ab ac ∈∈Z Z ，故有yz A ∈；(3)①当,m n 都为偶数时，不妨设()()11222,2m k k n k k =∈=∈Z Z ，有()2222221212444x m n k k k k =+=+=+，此时x 为4的倍数，而偶数B ∉，此时A B =∅；②当,m n 都为奇数时，不妨设()()112221,21m k k n k k =+∈=+∈Z Z ，有()()()222222121212212142x m n k k k k k k =+=+++=++++，此时x 为2的倍数，而偶数B ∉，此时A B =∅；③当,m n 一奇一偶时，不妨设()()112221,2m k k n k k =+∈=∈Z Z ，有()()2222221212121441x m n k k k k k =+=++=+++，此时x 被4整除余1，而集合B 中的元素被4整除余3，此时A B =∅.由①②③可知，A B =∅.18．（2021·全国·高一专题练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是5.（1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和；（2）已知集合{}1,2,3,4,5,6M =，根据提示解决问题.①求集合M 所有非空子集的元素和的总和；提示：方法1：x M ∀∈，先求出x 在集合M 的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和；方法2：如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为k ，可以用k 表示出M 的非空子集的元素和的总和，递推可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和.②求集合M 所有非空子集的交替和的总和.【答案】（1）12；（2）①672，②192【分析】（1）写出集合{1，2，3}的非空子集，根据交替和的概念，求得各个交替和，综合即可得答案.（2）①求得集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现的次数，集合{1，2，3，4}所有非空子集中，数字1、2、3、4各出现的次数，根据规律，推测出集合M 中各数字出现的次数，即可得答案.②分别求得集合{1}{12}{1,2,3}{1,2,3,4}、,、、的交替和总和，根据规律，总结出n 个元素的交替和总和公式，代入数据，即可得答案.【详解】（1）集合{1，2，3}的非空子集为{1}，{2}，{3}，{2，1}，{3，1}，{3，2}，{3，2，1}，集合{1}，{2}，{3}的交替和分别为1，2，3，集合{2，1}的交替和为2-1=1，集合{3，1}的交替和为3-1=2，集合{3，2}的交替和为3-2=1，集合{3，2，1}的交替和为3-2+1=2，所以集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12.（2）①集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现242=次，集合{1，2，3，4}所有非空子集为：{1}，{2}，{3}，{4}，{2，1}，{3，1}，{4，1}，{3，2}，{2，4}，{3，4}，{3，2，1}，{4，2，1}，{4，3，1}，{4，3，2}，{4，3，2，1}，其中数字1、2、3、4各出现382=次，在集合{1，2，3，4，5}所有非空子集中，含1的子集的个数为42=16，故数字1在16个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现42=16次，同理在集合{1，2，3，4，5，6}所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现52=32次，所以集合M 所有非空子集的元素和的总和为32(123456)672⨯+++++=.②设集合{1}{12}{1,2,3}{1,2,3,4}、,、、的交替和分别为1234,,,S S S S ，集合{1}的所有非空子集的交替和为11S =集合{1，2}的所有非空子集的交替和212(21)4S =++-=，集合{1，2，3}的非空子集的交替和3123(21)(31)(32)(321)12S =+++-+-+-+-+=，集合{1，2，3，4}的非空子集的交替和41234(21)(31)(41)S =++++-+-+-(32)(42)(43)(321)(421)(431)(432)(4321)32+-+-+-+-++-++-++-++-+-=所以根据前4项猜测集合{1,2,,}n ⋅⋅⋅的所有非空子集的交替和总和为12n n S n -=⋅，所以集合M 所有非空子集的交替和的总和5662192S =⨯=【点睛】解题的关键是根据题意，列出非空子集，求得元素和、交替和，总结规律，进行猜想，再代数求解，分析理解难度大，属难题.19．（2021·全国·高一专题练习）设N n ∈且3n ≥，有限集合12{,,}n M a a a =⋯，，其中12310n n a a a a a -≤<<<⋯<<，若对任意i j 、（1i j n ≤≤≤），都有()j i a a M -∈，则称集合M 为“含差集合”.（1）分别判断集合{0,2,4}A =和集合{1,2,3}B =是否是“含差集合”，并说明理由；（2）已知集合12345{,,,,}C a a a a a =，集合2{|,,4}D x x ka k N k ==∈≤，若集合C 是“含差集合”，试判断集合C 与集合D 的关系，并加以证明.【答案】（1）A 是，B 不是；（2）C D =，证明见解析.【分析】（1）根据含差集合的定义判断即可；（2）根据“含差集合”的定义，可求出集合C ，再与集合D 比较即可.【详解】（1）由{0,2,4}A =，可知0j i a a -=或2或4，因为0,2,4A ∈，所以集合{0,2,4}A =是“含差集合”，由{1,2,3}B =，可知0j i a a -=或1或2，因为0B ∉，所以{1,2,3}B =不是“含差集合”，（2）因为12345{,,,,}C a a a a a =是含差集合，所以123450a a a a a ≤<<<<，且对任意i j 、（1i j n ≤≤≤），都有()j i a a C -∈，因为1a 最小，所以10a =，因为32323a a C a a a -∈⎧⎨-<⎩，所以322a a a -=或321a a a -=（舍）所以322a a =，又4342a a C a a C -∈⎧⎨-∈⎩且234a a a <<，10a =，可得43a a -=2a ，3a ；42a a -=2a ，3a ；当433a a a -=时，43224a a a ==；当432a a a -=时，423a a =；当422a a a -=时，422a a =；因为322a a =，43a a >，此种情况不成立，当423a a a -=时，423a a =；所以423a a =，又5453a a C a a C -∈⎧⎨-∈⎩且345a a a <<，10a =，322a a =，423a a =，可得54a a -=2a ，3a ，4a ；53a a -=2a ，3a ，4a ；当542a a a -=时，524a a =；当543a a a -=时，525a a =；当544a a a -=时，526a a =；当53a a -=2a 时，5243a a a ==，因为54a a >，此种情况不成立，当53a a -=3a 时，524a a =；当53a a -=4a 时，525a a =；所以10a =，322a a =，423a a =，524a a =或525a a =，所以2222{0,,2,3,4}C a a a a =或2222{0,,2,3,5}C a a a a =此种情况225a a C -∉，不成立，所以2222{0,,2,3,4}C a a a a =，而22222{|,N,4}{0,,2,3,4}D x x ka k k a a a a ==∈≤=，所以C D =.。
高中集合题解题技巧
高中集合题解题技巧
高中集合题的解题技巧包括：
1. 仔细审题：集合中元素的特征是非常明显的，首先应正确理解集合
的概念，做到心中有数，在解题时不要急于求成，而应稳扎稳打，步
步为营。
2. 抓住关键找准关系：有时集合中的关系可能隐藏在复杂的语句之中，因此要仔细分析，找出其中的关键因素，即找出关系。
3. 用好集合的运算性质：利用集合的运算性质进行解题时，应注意清
理解相关的运算法则和性质，并准确进行运算或化简。
4. 选择适当方法解答：对于选择题，有时可以采取特值法、数形结合
法等方法解答。
除了解题技巧外，高中集合部分的内容主要包括集合与元素、集合的
表示方法、集合间的关系、集合的运算律、子集、交集、并集、补集、全集等概念，以及这些运算和关系在数学中应用。
通过多看、多练、
多思考，你会逐渐掌握解决高中集合问题的能力。
以上内容仅供参考，如有问题可以请教老师或同学。
集合高考数学高频考点解密专题及答案
集合高考数学高频考点解密专题考点1 集合的含义及集合间的基本关系 题组一 集合的含义调研 1 已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{x |x 2−3x ＋2＝0}，B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则集合()U AB ð中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4 ☆技巧点拨☆解决集合概念问题的一般思路（1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义． 常见的集合的意义如下表：（2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.题组二 求集合的子集调研2 设全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3，5}，则U A ð的所有非空子集的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 题组三 由集合关系求参数的取值范围调研3 已知全集为R ，集合M ＝{x ∈R|−2＜x ＜2}，P ＝{x |x ≥a }，并且M P ⊆R ð，则实数a 的取值范围是________． ☆技巧点拨☆集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范围问题，主要以选择题的形式出现，且主要有以下两种命题角度：(1)求集合的子集：若集合A 中含有n 个元素，则其子集个数为2n个，真子集个数为21n-个，非空真子集个数为22n-个.(2)根据两集合关系求参数：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 考点2 集合的基本运算题组一 离散型或连续型数集间的交、并、补运算调研1 集合A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3}，C ＝{2，3，4}，则(A ∩B )∪C ＝（ ）A ．{1，2，3}B ．{1，2，4}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4} 调研2 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |−2≤x ≤3}，B ＝{x |x <−1或x >4}，那么集合()U AB ð等于（ ）A ．{x |−2≤x <4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |−2≤x <−1}D ．{x |−1≤x ≤3} 题组二 点集的交、并、补运算调研3 若集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}，P ＝{(x ，y )|x −y ＝2}，则M ∩P 等于（ ） A ．(1，−1) B ．{x ＝1或y ＝−1} C ．{1，−1} D ．{(1，−1)} 题组三 已知集合的运算结果求集合或参数调研 4 已知集合A 、B 均为U ＝{1，3，5，7，9}的子集，且A ∩B ＝{3}，()U B A ð＝{9}，则A ＝________.调研5设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，集合B ＝{x |k ＜x ＜k ＋1，k ＜2}，且()U B A ≠∅ð，则（ ）A ．k ＜0B ．k ＜2C ．0＜k ＜2D ．−1＜k ＜2☆技巧点拨☆有关集合运算的试题，在高考中多以客观题的形式呈现，常与函数、方程、不等式等知识综合，试题难度不大，多为低档题，且主要有以下几个命题角度：(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图或交、并、补的定义求解； (2)点集的运算常利用数形结合的思想或联立方程组进行求解； (3)连续型数集的运算，常借助数轴求解；(4)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解；(5)根据集合运算结果求参数，先把符号语言转化成文字语言，然后适时应用数形结合求解. 强化训练1．已知集合{}20,1,4,{|,}A B y y x x A ===∈，则AB = （ ）A ．{}0,1,16B ．{}0,1C ．{}1,16D ．{}0,1,4,162．已知集合{}220A x x x x =+-≤∈,Z ， {}2,B x x k k ==∈Z ，则AB 等于（ ）A ．{}01，B ．{}42--，C ．{}10-，D ．{}20-，3．设集合{}2|5360A x x x =--≤，[)31B =-，，则()AB =Rð（ ）A ．[−4， −3)B ．[−9， −3)C ．[−4， −3)∪[1， 9]D ．[−9， −3)∪[l ， 4] 4．设全集{}1,3,5,6,9U =，{}3,6,9A =，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{1，3，5}B ．{1，5，6}C ．{6，9}D ．{1，5}5．已知集合(){}2|log 31A x y x ==-，{}22|4B y x y =+=，则AB =（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．12,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭6．集合{}1,2,3A =，若{}1,2A B =，{}1,2,3,4,5A B =，则集合B 中的元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．已知函数e x y =的值域为集合A ，不等式260x x --<的解集为集合B ，则AB =（ ）A ．{|20}x x -<<B ．{|23}x x -<<C ．{}|2x x >-D ．{}|0x x >8．已知集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}2|280B x x x =--<，则AB 的一个真子集为（ ）A ．{}5B ．{}3,4C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,39．已知集合{}2|40 A x x x =-<，{}| B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]0,4B ．()8,4-C ．[)4,+∞ D ．()4,+∞ 10．已知集合{|},A x x a =<2{|320},B x x x =-+<若,AB B =则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a <B ．1a ≤C ．2a >D ．2a ≥11．已知集合{}*2|30 A x x x =∈-<N ，则满足条件B A ⊆的集合B 的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8 12．设集合{}{}3,6,24A B x ==≤<，则A B =____________．13．已知集合{}{}1,2,5,2,A B a ==，若{}1,2,3,5A B =，则a =____________．14．若集合{}22|8212 x x aA x -++=∈≤≤Z 中恰有唯一的元素，则整数a 的值为____________．15．已知关于x 的不等式230x x t -+≤的解集为A ，若(]1A -∞≠∅，，则实数t 的取值范围是____________．16．若集合()2{,|231}A x y y x x ==-+， (){,|}B x y y x ==，则集合AB 中的元素个数为____________． 高考试题1．（2017新课标全国Ⅰ文科）已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则（ ） A ．AB =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．AB 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．A B=R2．（2017新课标全国Ⅱ文科）设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B = （ ）A ．{}123,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，， 3．（2017新课标全国Ⅲ文科）已知集合A ={1，2，3，4}，B ={2，4，6，8}，则AB 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2016新课标全国I 文科）设集合{}1,3,5,7A =，{}25B x x =剟，则A B =（ ）A ．{1，3}B ．{3，5}C ．{5，7}D ．{1，7}5．（2016新课标全国Ⅱ文科）已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B =（ ）A ．{210123},,,,,-- B ．{21012},,,,-- C ．{123},, D ．{12}, 6．（2016新课标全国Ⅲ文科）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð＝（ ）A ．{48},B ．{026},, C ．{02610},,, D ．{0246810},,,,, 7．（2015新课标全国I 文科）已知集合{}{}|32,,6,8,10,12,14A x x n n B ==+∈=N ，则集合A B 中的元素个数为（ ）8．（2015新课标全国Ⅱ文科）已知集合A ={x|−1<x <2}，B ={x|0<x <3}，则A ∪B =（ ） A ．(−1，3) B ．(−1，0) C ．(0，2) D ．(2，3)集合高考数学高频考点解密专题及答案考点1 集合的含义及集合间的基本关系 题组一 集合的含义调研 1 已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{x |x 2−3x ＋2＝0}，B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则集合()U AB ð中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4 【答案】B故选B ．☆技巧点拨☆解决集合概念问题的一般思路（1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义． 常见的集合的意义如下表：（2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.题组二 求集合的子集调研2 设全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3，5}，则U A ð的所有非空子集的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】B【解析】∵U A ð＝{2，4}，∴非空子集有22−1＝3个，故选B ．题组三 由集合关系求参数的取值范围调研3 已知全集为R ，集合M ＝{x ∈R|−2＜x ＜2}，P ＝{x |x ≥a }，并且M P ⊆R ð，则实数a 的取值范围是________． 【答案】a ≥2☆技巧点拨☆集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范围问题，主要以选择题的形式出现，且主要有以下两种命题角度：(1)求集合的子集：若集合A 中含有n 个元素，则其子集个数为2n 个，真子集个数为21n-个，非空真子集个数为22n-个.(2)根据两集合关系求参数：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.考点2 集合的基本运算题组一 离散型或连续型数集间的交、并、补运算调研1 集合A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3}，C ＝{2，3，4}，则(A ∩B )∪C ＝（ ）A ．{1，2，3}B ．{1，2，4}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4} 【答案】D【解析】A ∩B ＝{1，2}，(A ∩B )∪C ＝{1，2，3，4}，故选D ．调研2 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |−2≤x ≤3}，B ＝{x |x <−1或x >4}，那么集合()U AB ð等于（ ）A ．{x |−2≤x <4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |−2≤x <−1}D ．{x |−1≤x ≤3} 【答案】D题组二 点集的交、并、补运算调研3 若集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}，P ＝{(x ，y )|x −y ＝2}，则M ∩P 等于（ ） A ．(1，−1) B ．{x ＝1或y ＝−1} C ．{1，−1} D ．{(1，−1)} 【答案】D【解析】M ∩P 的元素是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0x －y ＝2的解，∴M ∩P ＝{(1，−1)}．题组三 已知集合的运算结果求集合或参数调研 4 已知集合A 、B 均为U ＝{1，3，5，7，9}的子集，且A ∩B ＝{3}，()U B A ð＝{9}，则A ＝________. 【答案】{3，9}【解析】由Venn 图知A ＝{3，9}.调研5设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，集合B ＝{x |k ＜x ＜k ＋1，k ＜2}，且()U B A ≠∅ð，则（ ）A ．k ＜0B ．k ＜2C ．0＜k ＜2D ．−1＜k ＜2 【答案】C☆技巧点拨☆有关集合运算的试题，在高考中多以客观题的形式呈现，常与函数、方程、不等式等知识综合，试题难度不大，多为低档题，且主要有以下几个命题角度：(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图或交、并、补的定义求解； (2)点集的运算常利用数形结合的思想或联立方程组进行求解； (3)连续型数集的运算，常借助数轴求解；(4)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解；(5)根据集合运算结果求参数，先把符号语言转化成文字语言，然后适时应用数形结合求解. 强化训练1．已知集合{}20,1,4,{|,}A B y y x x A ===∈，则AB = （ ）A ．{}0,1,16B ．{}0,1C ．{}1,16D ．{}0,1,4,16 【答案】D【解析】由题意得{}0,1,16B =，所以{}0,1,4,16AB =.故选D ．2．已知集合{}220A x x x x =+-≤∈,Z ， {}2,B x x k k ==∈Z ，则AB 等于（ ）A ．{}01，B ．{}42--，C ．{}10-，D ．{}20-， 【答案】D3．设集合{}2|5360A x x x =--≤，[)31B =-，，则()AB =Rð（ ）A ．[−4， −3)B ．[−9， −3)C ．[−4， −3)∪[1， 9]D ．[−9， −3)∪[l ， 4] 【答案】C4．设全集{}1,3,5,6,9U =，{}3,6,9A =，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{1，3，5}B ．{1，5，6}C ．{6，9}D ．{1，5} 【答案】D【解析】∵{}1,3,5,6,9U =，{}3,6,9A =，∴{}1,5U A =ð，∴图中阴影部分表示的集合是{}1,5U A =ð， 故选D ．5．已知集合(){}2|log 31A x y x ==-，{}22|4B y x y =+=，则AB =（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．12,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】∵(){}2|log 31A x y x ==-1,,3⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭{}22|4B y x y =+=1,23AB ⎛= ⎝故选C ．6．集合{}1,2,3A =，若{}1,2AB =，{}1,2,3,4,5A B =，则集合B 中的元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C7．已知函数e xy =的值域为集合A ，不等式260x x --<的解集为集合B ，则AB =（ ）A ．{|20}x x -<<B ．{|23}x x -<<C ．{}|2x x >-D ．{}|0x x > 【答案】C【解析】易知函数e x y =的值域为{}|0A y y =>，不等式260x x --<的解集为{|23}B x x =-<<， 所以{}|2AB x x =>-，故选C ．8．已知集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}2|280B x x x =--<，则AB 的一个真子集为（ ）A ．{}5B ．{}3,4C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,3 【答案】C【解析】∵{}{}2|280|24B x x x x x =--<=-<<，∴{}0,1,2,3AB =.结合各选项可得集合{}1,2,3为AB 的真子集.故选C ．9．已知集合{}2|40 A x x x =-<，{}| B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]0,4B ．()8,4-C ．[)4,+∞ D ．()4,+∞ 【答案】C10．已知集合{|},A x x a =<2{|320},B x x x =-+<若,AB B =则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a <B ．1a ≤C ．2a >D ．2a ≥ 【答案】D【解析】集合{}{}{}2|,|320|12A x x a B x x x x x =<=-+<=<<，,A B B B A =∴⊆，则2a ≥，故选D ．11．已知集合{}*2|30 A x x x =∈-<N ，则满足条件B A ⊆的集合B 的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8 【答案】C【解析】∵{}{}*2|30 1,2A x x x =∈-<=N ，又B A ⊆，∴集合B 的个数为224=个，故选C ．12．设集合{}{}3,6,24A B x ==≤<，则AB =____________．【答案】{}3【解析】由交集的定义可得{}3AB =.13．已知集合{}{}1,2,5,2,A B a ==，若{}1,2,3,5AB =，则a =____________．【答案】3【解析】因为集合{}{}1,2,52,A B a ==，，且{}1,2,3,5A B =，所以3a =，故答案为3.14．若集合{}22|8212 x x aA x -++=∈≤≤Z 中恰有唯一的元素，则整数a 的值为____________．【答案】2【解析】因为集合{}22|8212 x x aA x -++=∈≤≤Z 中恰有唯一的元素，且a 为整数，所以223x x a -++=有唯一解，则44(3)0a ∆=--=，2a ∴=，故答案为2.15．已知关于x 的不等式230x x t -+≤的解集为A ，若(]1A -∞≠∅，，则实数t 的取值范围是____________． 【答案】(],2-∞16．若集合()2{,|231}A x y y x x ==-+， (){,|}B x y y x ==，则集合AB 中的元素个数为____________． 【答案】2【解析】集合()2{,|231}A x y y x x ==-+，(){,|}B x y y x ==均表示的是点集，即曲线上的点构成的集合，则集合A B 即为求两函数图象的交点.联立方程得：2231y x x y x⎧=-+⎨=⎩，22410x x -+=，由16880∆=-=>知两函数图象有两个交点，所以集合A B 中的元素个数为2.高考试题1．（2017新课标全国Ⅰ文科）已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则（ ）A ．AB =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．AB =∅C ．A B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．AB=R【答案】A【解析】由320x ->得32x <，所以33{|2}{|}{|}22A B x x x x x x =<<=<，选A ．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 2．（2017新课标全国Ⅱ文科）设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则AB = （ ）A ．{}123,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，， 【答案】A3．（2017新课标全国Ⅲ文科）已知集合A ={1，2，3，4}，B ={2，4，6，8}，则AB 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】由题意可得{}2,4AB =，故A B 中元素的个数为2，所以选B ．4．（2016新课标全国I 文科）设集合{}1,3,5,7A =，{}25B x x =剟，则A B =（ ）A ．{1，3}B ．{3，5}C ．{5，7}D ．{1，7} 【答案】B【解析】集合A 与集合B 的公共元素为3，5，则}5,3{=B A ，故选B ．【名师点睛】集合是每年高考中的必考题，一般以基础题形式出现，属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算，如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算，常借助数轴进行运算.5．（2016新课标全国Ⅱ文科）已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B =（ ）A ．{210123},,,,,-- B ．{21012},,,,-- C ．{123},, D ．{12}, 【答案】D【解析】由29x <得33x -<<，所以{|33}B x x =-<<，又{1,2,3}A =，所以{1,2}AB =，故本题选D ．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理. 6．（2016新课标全国Ⅲ文科）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð＝（ ）A ．{48},B ．{026},, C ．{02610},,, D ．{0246810},,,,, 【答案】C7．（2015新课标全国I 文科）已知集合{}{}|32,,6,8,10,12,14A x x n n B ==+∈=N ，则集合A B 中的元素个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】D【解析】由条件知，当n =2时，3n +2=8；当n =4时，3n +2=14，故AB ={8，14}，故选D ．【名师点睛】对于集合运算问题，首先要确定集合的给出形式，其次确定集合中元素的特征，若集合中的元素是离散的，则紧扣集合运算的定义求解；若集合是连续数集，常结合数轴进行集合运算；若集合是抽象集合，常用Venn 图法.8．（2015新课标全国Ⅱ文科）已知集合A ={x|−1<x <2}，B ={x|0<x <3}，则A ∪B =（ ） A ．(−1，3) B ．(−1，0) C ．(0，2) D ．(2，3) 【答案】A。
高中数学集合解题技巧
高中数学集合解题技巧数学集合是高中数学中的一个重要概念，涉及到许多解题技巧。
本文将通过具体的题目举例，分析和说明数学集合解题的技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。
一、集合的基本概念在解题过程中，首先需要掌握集合的基本概念。
集合是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。
常用的表示集合的方法有列举法和描述法。
例如，考虑以下题目：已知集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，求A∪B和A∩B。
解题思路：A∪B表示A和B的并集，即包含A和B中所有元素的集合。
根据题目给出的集合A和B，我们可以将它们的元素列举出来，然后去除重复的元素，得到A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6}。
A∩B表示A和B的交集，即同时属于A和B的元素组成的集合。
根据题目给出的集合A和B，我们可以找出它们共有的元素，即A∩B={3, 4}。
通过这个例子，我们可以看到集合的基本概念在解题过程中起到了关键的作用。
二、集合的运算在解题过程中，还需要掌握集合的运算方法。
常见的集合运算有并集、交集、差集和补集。
例如，考虑以下题目：已知集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，求A-B和B-A。
解题思路：A-B表示A和B的差集，即属于A但不属于B的元素组成的集合。
根据题目给出的集合A和B，我们可以找出A中不属于B的元素，即A-B={1, 2}。
B-A表示B和A的差集，即属于B但不属于A的元素组成的集合。
根据题目给出的集合A和B，我们可以找出B中不属于A的元素，即B-A={5, 6}。
通过这个例子，我们可以看到集合的运算在解题过程中能够帮助我们找出符合条件的元素。
三、集合的关系在解题过程中，还需要掌握集合的关系。
常见的集合关系有包含关系、相等关系和不相交关系。
例如，考虑以下题目：已知集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，判断A是否包含B。
解题思路：A包含B表示B的所有元素都属于A。
高考文科数学集合专题讲解及高考真题精选(含答案)
集合、简易逻辑（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N*或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等 名称记号意义性质示意图子集B A ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B(1)A ⊆A(2)A ∅⊆(3)若B A ⊆且B C ⊆，则A C ⊆ (4)若B A ⊆且B A ⊆，则A B =A(B)或B A真子集A ≠⊂B（或B ≠⊃A ）B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A（1）A ≠∅⊂（A 为非空子集）(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂，则A C ≠⊂B A集合 相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B (2)B ⊆AA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.集合的基本运算1. 集合运算：交、并、补.{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C 2. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互（2） 等价关系：U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C （3） 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A ==求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U反演律：C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
高考数学母题解密专题01 集合及其运算附解析(江苏专版)
专题01 集合及其运算【母题来源一】【2020年高考江苏】已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则AB =__▲___.【答案】{}0,2【解析】根据集合的交集即可计算.∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =∴{}0,2A B =，故答案为：{}0,2.【名师点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．【母题来源二】【2019年高考江苏】已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则 A B = ▲ .【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.由题意知，{1,6}A B =.【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.【母题来源三】【2018年高考江苏】已知集合{}0,1,2,8A =，{}1,1,6,8B =-，那么A B = ▲ ．【答案】{1，8}【解析】由题设和交集的定义可知：{}1,8A B =.【名师点睛】本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B =∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．【命题意图】（1）了解集合的含义.（2）理解两个集合的交集的含义，会求两个简单集合的交集.（3）能够正确处理含有字母的讨论问题，掌握集合的交集运算和性质.【命题规律】 这类试题在考查题型上主要以填空题的形式出现，主要考查集合的基本运算，其中集合以描述法呈现．试题难度不大，多为低档题，从近几年江苏的高考试题来看，主要的命题角度有：（1）离散型或连续型数集间的交集运算；（2）已知集合的交集运算结果求参数．【答题模板】解答此类题目，一般考虑如下三步：第一步：看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数集、点集还是图形集等；第二步：对集合化简，有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决；第三步：应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).【方法总结】（一）集合的基本运算及其表示：（1）交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，即{|}A B x x A x B =∈∈且.（2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，即|}{A B x x A x B =∈∈或.（3）补集：由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，即{|}U A x x U x A =∈∉且.（二）与集合元素有关问题的解题方略：（1）确定集合的代表元素；（2）看代表元素满足的条件；（3）根据条件列式求参数的值或确定集合元素的个数.但要注意检验集合中的元素是否满足互异性.（三）集合间的基本关系问题的解题方略：（1）判断集合间基本关系的方法有三种：①列举观察；②集合中元素特征法，首先确定集合中的元素是什么，弄清楚集合中元素的特征，再判断集合间的关系；③数形结合法，利用数轴或韦恩图求解.（2）求集合的子集：若集合A 中含有n 个元素，则其子集个数为2n 个，真子集个数为21n -个，非空真子集个数为22n -个.（3）根据两集合关系求参数：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.（四）求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图或交、并、补的定义求解；（2）点集的运算常利用数形结合的思想或联立方程组进行求解；（3）连续型数集的运算，常借助数轴求解；（4）已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解；（5）根据集合运算结果求参数，先把符号语言转化成文字语言，然后适时应用数形结合求解.1．（2020届江苏省苏州市吴江区高三下学期五月统考数学试题）已知集合{}1,2,3,4A =，集合{}4,5B =，则AB =______.【答案】{}4【解析】因为集合{}1,2,3,4A =，集合{}4,5B =，所以{}4A B ⋂=.故答案为：{}4.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.2．（江苏省无锡市、常州市2019-2020学年高三下学期5月联考数学试题）已知集合{}012M =,,，集合{}0,2,4N =，则M N ⋃=__________．【答案】{}0,1,2,4 【解析】集合{}012M =,,，集合{}0,2,4N =， ∴{}0,1,2,4M N ⋃=.故答案为：{}0,1,2,4.【点睛】本题考查并集及其运算，属于基础题.3．（江苏省盐城中学2020届高三下学期第一次模拟数学试题）已知集合{}13A x =-<<，{}|2=≤B x x ，则A B =_________ .【答案】(-1,2]【解析】由题意{|12}A B x x =-<≤故答案为：(1,2]-．【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集概念是解题关键．4．（2020届江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)高三下学期第二次调研考试数学试题）已知集合{}1,4A =，{}5,7B a =-.若{}4A B ⋂=，则实数a 的值是______.【答案】9 【解析】集合{}1,4A =，{}5,7B a =-，{}4A B ⋂=，∴54a -=，则a 的值是9.故答案为：9【点睛】本题考查集合的交集，是基础题.5．（江苏省南京市金陵中学、南通市海安高级中学、南京市外国语学校2020届高三下学期第四次模拟数学试题）已知集合{}{}02,1,0,1,2M x x N =≤<=-，则MN =__________．【答案】{}0,1 【解析】因为{}{}02,1,0,1,2M x x N =≤<=-，所以{}0,1M N ⋂=. 6．（2020届江苏省高三高考全真模拟(六)数学试题）已知集合{1,0,2}A =-，{}0,1,2,3B =，则A B =______.【答案】{1,0,1,2,3}-【解析】由题意1,0,1{,2,}3A B =-．故答案为：{1,0,1,2,3}-．【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题．7．（江苏省泰州市姜堰区、南通市如东县2020届高三下学期适应性考试数学试题）已知集合{1,3,}A a =，{4,5}B =.若{4}A B ⋂=，则实数a 的值为______.【答案】4【解析】{}4A B ⋂=4A ∴∈且4B ∈4a ∴=【点睛】本题考查了交集的定义，意在考查学生对交集定义的理解，属于基础题.8．（江苏省扬州中学2020届高三下学期6月模拟考试数学试题）集合{}0,3x A =，{}2,0,1B =-，若A B B ⋃=，则x =_________________．【答案】0【解析】∵A B B ⋃=，∴A B ⊆，又{}0,3x A =，{}2,0,1B =-，∴31x =，∴0x =，故答案为：0．【点睛】本题主要考查集合的并集运算的应用，属于基础题．9．（江苏省泰州中学2019-2020学年高三下学期4月质量检测数学试题）已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =______【答案】{|12}x x <<【解析】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，所以{|12}A B x x =<<.故答案为：{|12}x x <<【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属基础题.10．（江苏省扬州市2020届高三下学期6月最后一卷数学试题）已知集合2{1,0,}A a =-，{1,1}B =-，则A B B =，则实数a 的值是_______．【答案】±1【解析】因为AB B =，所以B A ⊆，又2{1,0,}A a =-，{1,1}B =-，所以21a =，解得1a =±.故答案为：±1【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，属于基础题.11．（2020届江苏省苏州市三校高三下学期5月联考数学试题）设集合{2,0,1,2}=-A ，{}|10B x x =-<，则A B =___________.【答案】{}2,0-【解析】由已知，{}|1B x x =<，所以AB ={}2,0-. 故答案为：{}2,0-【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.12．（江苏省盐城市2020届高三下学期第四次模拟数学试题）若集合{}A x x m =≤，{}1B x x =≥-，且{}A B m =，则实数m 的值为_______.【答案】1- 【解析】∵{}A x x m =≤，{}1B x x =≥-，且{}AB m =，∴1m =-，故答案为：1-．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．13．（江苏省苏州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，则A B =__________.【答案】{1,2} 【解析】集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，{1,2}A B ∴=，故答案为：{1,2}．【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题．14．（江苏省淮安市清浦中学2019-2020学年高三下学期5月阶段性检测数学试题）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________ 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．15．（江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期第一次调研考试数学试题）设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________．【答案】{}2【解析】{}{}0,1,2,0,1U A =={}2U C A ∴=故答案为：{}2【点睛】本题考查了补集的运算，属于基础题.16．（2020届江苏省苏州市常熟市高三阶段性抽测三数学试题）已知集合{}2A x x =≤，(){}40B x x x =-≤，则()A B =R ________.【答案】(]2,4 【解析】集合(){}{}4004B x x x x x =-≤=≤≤ 因为集合{}2A x x =≤ 所以{}2R A x x => 所以(){}(]242,4R A B x x ⋂=<≤=.故答案为：(]2,4.【点睛】本题考查解一元二次不等式，集合的补集、交集运算，属于简单题.17．（2020届江苏省南通市高三下学期5月模拟考试数学试题）已知集合{}1,2,3,4A =，{}2|log (1)2B x x =-<，则A B =____．【答案】{}2,3,4【解析】由题意可得：{}{}|014|15B x x x x =<-<=<< ，则{}2,3,4A B⋂=.如何学好数学做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。
集合试题解析及答案
集合试题解析及答案
1. 集合的表示方法有哪些？
解析：集合可以用描述法、列举法和区间表示法来表示。
答案：描述法、列举法、区间表示法。
2. 什么是集合的并集？
解析：两个集合的并集是指包含这两个集合所有元素的集合。
答案：包含两个集合所有元素的集合。
3. 集合的交集定义是什么？
解析：两个集合的交集是指同时属于这两个集合的元素组成的集合。
答案：同时属于两个集合的元素组成的集合。
4. 集合的差集如何定义？
解析：集合A和集合B的差集是指属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合。
答案：属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合。
5. 集合的补集是什么？
解析：集合A的补集是指在全集U中，不属于集合A的所有元素组成的集合。
答案：在全集U中，不属于集合A的所有元素组成的集合。
6. 集合的子集和真子集有何区别？
解析：子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合，而真子集则是指一个集合是另一个集合的子集，并且两个集合不相等。
答案：子集包含相等的情况，真子集则不包含。
7. 集合的幂集是什么？
解析：集合A的幂集是指由集合A的所有子集组成的集合。
答案：由集合A的所有子集组成的集合。
8. 集合的元素个数如何计算？
解析：集合的元素个数可以通过计数法来计算。
答案：通过计数法计算。
9. 集合的元素是否有序？
解析：集合中的元素是无序的。
答案：无序。
10. 集合的元素是否唯一？
解析：集合中的元素是唯一的，即集合中不能有重复元素。
答案：唯一。
2019数学热点难点名师精讲专题1.1+如何破解集合间的关系类问题含答案
考纲要求:1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2.在具体情境中，了解全集与空集的含义.基础知识回顾:集合与集合之间的关系1．集合间的基本关系表示关系 文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同A ＝B 子集A 中任意一个元素均为B 中的元素A ⊆B 集合间的基本关系真子集A 中任意一个元素均为B 中的元素，且B 中至少有一个元素不是A 中的元素AB空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集2.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }3.集合的运算性质并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ．交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B．补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A ．应用举例:招数一、韦恩图:一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn 图求解．【例1】【青海省西宁市2018届高三下学期复习检测二】已知全集，集合U =R ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ={1,2,3,4,5},B ={x ∈R |x ≥2 }A. B. C. D. {1}{1,2}{3,4,5}{2,3,4,5}【答案】A【例2】 【安徽省安庆市第一中学2018届高三热身考试】已知全集，集合，M ={y|y =1x ,(0<x <1)}，则下图中阴影部分所表示的集合为( )A.B. C. D. [‒2,1][‒2,0)∪(1,2][‒2,0]∪[1,2]【答案】B【解析】分析：求出函数的值域可得集合，解不等式可得集合，然后可求出N ．详解：由题意得，．∴．图中阴影部分所表示的集合为，(∁R M )∩N ∴．(∁R M )∩N =[‒2,1]故选B ．点睛：本题考查函数值域的求法、不等式的解法和集合的运算，解答的关键是正确理解图中阴影部分所表示的集合的含义．【例3】【宁夏石嘴山市第三中学2017届高三下学期第三次模拟考试】设全集U ＝R ，集合，则图中阴影部分所表示的集合为( )2{|230}{|10}A x x x B x x =--<=-≥，A .B .{}|13x x x ≤-≥或{}|13x x x <≥或C .D .{|1}x x ≤{|1}x x ≤-【答案】D招数二、数轴图示法：若给定集合的元素连续，则用数轴图示法求解，用数轴表示时要注意端点值的取舍．【例4】【2018《高频考点解密》—解密01集合】设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，集合B ＝{x |k ＜x ＜k ＋1，k ＜2}，且，则A. k ＜0B. k ＜2C. 0＜k ＜2D. −1＜k ＜2【答案】C【解析】∵U ＝R ，A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，∴＝{x |1＜x ＜3}．∵B ＝{x |k ＜x ＜k ＋1，k ＜2}，∴当时，有k ＋1≤1或k ≥3(不合题意，舍去)，如图所示，∴k ≤0，∴当时，0＜k ＜2，故选C ．B ∩(∁U A )≠∅【例5】【北京市西城区北京师范大学第二附属中学期中考试】已知集合，，且A ={x |x ≤1} ，则实数的取值范围__________．A ∪B =R 【答案】.【解析】分析：根据两个集合的并集的定义，结合条件即可.详解：用数轴表示集合，若，则，即实数的取值范围是．a ≤1a 故答案为：.点睛：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，两个集合的并集的定义和求法.招数三、正难则反:对于一些比较复杂、条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知、未知的关系.这样能起到化难为易的作用，而使问题得以解决．222xxxe e e⋅=【例6】已知集合，},若，求实数m 的取值}0{,},0624{2<=∈=++-=x x B R x m mx x x A ∅≠B A 范围.方法、规律归纳:1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．3．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．4．子集与真子集的区别与联系：集合A 的真子集一定是其子集，而集合A 的子集不一定是其真子集；若集合A 有n 个元素，则其子集个数为2，真子集个数为2－1.nn实战演练:1．【吉林省榆树市第一高级中学2018届高三第三次模拟考试】设全集，，则图中U ={1,3,5,6,9}A ={3,6,9}阴影部分表示的集合是A. {1，3，5}B. {1，5，6}C. {6，9}D. {1，5}【答案】DU={1,3,5,6,9}，A={3,6,9}∁U A={1,5}【解析】∵，∴，∴图中阴影部分表示的集合是，故选D．B={x|y=3‒2x‒x2} 2．【湖北省2017-2018学年摸底调研联合考试】已知集合,,则下图中阴影部分所表示的集合为( )A. B. C. D. {‒3,‒2,4}【答案】B3．【福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查】已知全集，集合A={x|x2‒x‒6<0},B={1,2,3,4}，则图中阴影部分所表示的集合是（）{1,2}A. B. C. D.【答案】CU=R A={x|x‒1≤0 } 4．【山东省济南省2018届高三第二次模拟考试】设全集,集合,集合B={x|x2‒x‒6<0}则下图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D. {x|‒2<x≤1 }【答案】D【解析】分析：先化简集合A，B，然后求交集即可.详解：由题意可得：A={x|x≤1 }，B={x|‒2<x<3 }∴故选：D点睛：本题考查集合的交运算，理解文氏图的含义是解题的关键，属于基础题.5．【河北省邢台市2017-2018学年高二下学期第三次月考】已知集合，B={x|y=3‒2x‒x2}，则如图中阴影部分所表示的集合为（）{‒3,‒2,4}{2,4}A. B. C. D.【答案】D6．【2018《高频考点解密》—解密01 集合】已知全集为R，集合M＝{x∈R|−2＜x＜2}，P＝{x|x≥a}，并M⊆∁R P且，则实数a的取值范围是________．【答案】a≥2【解析】由题意得M＝{x|−2＜x＜2}，＝{x|x＜a}．∵M⊆，∴由数轴知a≥2.7．【江苏省海安高级中学期期中考试】如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合AB为阴影部分x ，y∈A=(0 ， 2)，B=(1 ， +∞)，表示的集合.若 R , 则AB=______．【答案】(0,1]【解析】分析：根据Venn图，图中阴影部分实质是A∩(C R B)A#B={x|0<x≤1}详解：，故答案为.点睛：Venn图是集合中的一个重要概念，一种重要方法，一定要掌握集合的运算与Venn图的表示方法，基础是掌握交、并、补运算的Venn图表示，由此可用集合的运算表示出图中各个阴影部分.B={1,a2‒a}8．【河南省巩义市市直高中2018届高三下学期模拟考试】集合，，若只有一个元素，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】BA={x|‒2<x<4}9．【京市西城区北京师范大学第二附属中学期中考试】若集合，．（）若，全集，试求．2A∩B=A（）若，求实数的取值范围．A∩(∁U B)={x|3≤x<4}【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）根据集合的基本运算求，即可求出答案；（2）根据，建立条件关系即可求出实数m的取值范围.m=3x<3详解：（）当时，由，得，∴，∪=A∪B={x|x<4}∴，则，A∩(∁U B)={x|3≤x<4}∴．2（）∵，A∩B=A得A⊆B由，m≥4∴，即实数的取值范围是．点睛：解决集合运算问题的方法在进行集合运算时，要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化．(1)用列举法表示的集合进行交、并、补的运算，常采用Venn图法解决，此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义．(2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到．(3)若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解．10．【江苏省海安高级中学2017-2018学年准高一下学期期中考试】已知集合A ={x |}，．B ={x|x 2‒4x ‒5>0}（1）若a=1，求；（2）若=R ，求实数a 的取值范围．【答案】(1)(-3,-1);(2)-1≤a ≤3 .（2），且=R ，A ∪B ∴ ， {a ‒4 ≤ ‒1a +4 ≥ 5 ∴a 的取值范围是-1≤a ≤3 .点睛：本题考查集合的运算，解题时还要掌握绝对值的性质以及一元二次不等式的求解，属于基础题．。
专题01 集合(教师版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：∈和∉.（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（venn 图）.（4高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题01集合）常见数集和数学符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN *或N +Z Q R说明：①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合{1,2,3,4,5}A =，可知1A ∈,在该集合中，6A ∉,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合{,,}A a b c =应满足a b c ≠≠.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。
集合{1,2,3,4,5}A =和{1,3,5,2,4}B =是同一个集合.④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset ）：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（2）真子集（proper subset ）：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ⊃≠）.读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.（3）相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆，且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =.（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B ，即{|,}A B x x A x B =∈∈ 且．（2）并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B ，即{|,}A B x x A x B =∈∈ 或．（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．4、集合的运算性质（1）A A A = ，A ∅=∅ ，A B B A = ．（2）A A A = ，A A ∅= ，A B B A = ．（3）()U A C A =∅ ，()U A C A U = ，()U U C C A A =．【方法技巧与总结】（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．（2）空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．（3）U U A B A B A A B B C B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆ ．（4）()()()U U U C A B C A C B = ,()()()U U U C A B C A C B = ．【题型归纳目录】题型一：集合的表示题型二：集合元素的特征题型三：集合的关系题型四：集合的运算题型五：集合与排列组合题型六：新定义【题型一】集合的表示【典例例题】例1．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））已知集合{}24A x x =≤，集合{}*1B x x N x A =∈-∈且，则B =（）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,4【答案】C 【解析】【分析】化简集合A ，根据集合B 中元素的性质求出集合B.【详解】{}24[2,2]A x x =≤=- ，{}*1B x x N x A =∈-∈且，{1,2,3}B ∴=,故选：C【方法技巧与总结】1.列举法，注意元素互异性和无序性2.描述法，注意准确理解集合元素，能理解不同符号的元素例2．（2022·山东聊城·二模）已知集合{}0,1,2A =，{},B ab a A b A =∈∈，则集合B 中元素个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】【分析】由列举法列出集合B 的所有元素，即可判断；【详解】解：因为{}0,1,2A =，a A b A ∈∈,，所以0ab =或1ab =或2ab =或4ab =，故{}{},0,1,2,4B ab a A b A =∈∈=，即集合B 中含有4个元素；故选：C例3．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））设集合{}2|60A x x x x =--<∈Z ，，(){}2|ln 1B y y x x A ==+∈，，则集合B 中元素个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．无数个【答案】B 【解析】【分析】先解出集合A ，再按照对数的运算求出集合B ，即可求解.【详解】由260x x --<，解得23x -<<，故{}1,0,1,2A =-，()2222ln (1)1ln(11)ln 2,ln 010,ln(21)ln 5⎡⎤-+=+=+=+=⎣⎦，故{}ln 2,0,ln 5B =，集合B 中元素个数为3.故选：B.例4．（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，若{}1,0A =-，{}1,2B =，则A B ⊗中的元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素.【详解】因为2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，{}1,0A =-，{}1,2B =，所以{0,1,2}A B ⊗=--，故集合A B ⊗中的元素个数为3，故选：C.例5．（2022·山东济南·二模）已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，{},,yC z z x x A y B==∈∈，则C 中元素的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】根据题意写出集合C 的元素，可得答案.【详解】由题意，当1x =时，1y z x ==，当2x =，2y =时，4y z x ==，当2x =，4y =时，16y z x ==，即C 中有三个元素，故选：C例6．（2022·全国·高三专题练习）用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩，已知集合{}2|0A x x x =+=，()(){}22|10B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】根据条件可得集合B 要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.【详解】由{}2|0A x x x =+=，可得{}1,0A =-因为22()(1)0x ax x ax +++=等价于20x ax 或210x ax ++=，且{}1,0,1A A B =-*=，所以集合B 要么是单元素集，要么是三元素集．（1）若B 是单元素集，则方程20x ax 有两个相等实数根，方程210x ax ++=无实数根，故0a =；（2）若B 是三元素集，则方程20x ax 有两个不相等实数根，方程210x ax ++=有两个相等且异于方程20x ax 的实数根，即2402a a -=⇒=±且0a ≠．综上所求0a =或2a =±，即{}0,22S =-，，故()3C S =，故选：D ．【点睛】关键点睛：本题以A B *这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合B 要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程20x ax 与方程210x ax ++=的实根的个数情况，属于中档题.【题型二】集合元素的特征【典例例题】例7．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知集合{}1,0,1A =-，{},B a b a A b A =+∈∈，则集合B =（）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}2,1,1,2--D ．{}2,1,0,1,2--【答案】D 【解析】【分析】根据{}1,0,1A =-求解{},B a b a A b A =+∈∈即可【详解】由题，当a A b A ∈∈,时a b +最小为()()112-+-=-，最大为112+=，且可得()101,000,011-+=-+=+=，故集合B ={}2,1,0,1,2--故选：D【方法技巧与总结】1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性。
高中数学破题致胜微方法(集合应用剖析)：集合与其他知识的结合 含解析
集合知识是初学高中数学时所要求掌握的入门语言、方法，是高中数学重要的工具性内容.集合知识在历年的各省份高考数学试题中均有考查，常以集合为载体考查方程与不等式的解集,函数的定义域、值域，以及与数列、平面解析几何等联系的题型.在高考中一般以选择题或填空题形式考查,在与其他知识结合的解答题中也会出现.一、与方程的解、不等式的解集结合：例：集合A ＝{x |3－3x >0}表示不等式3－3x 〉0的解集．集合B ＝{x ｜x 2－2x ＋1＝0}实质是方程x 2－2x ＋1＝0的解集.二、与函数的定义域、值域结合：例：集合{}1,R B x y x x ==-∈表示函数1y x -集合[]{}31,1,3B y y x x ==-∈表示函数31y x =-当13x ≤≤时的值域。
三、与函数单调性结合:例:设集合{}x A x e e =>,集合{}lg lg 2B x x =≤-,则A∪B 等于（ )A ．RB ．[)0,+∞C ．()0,+∞D ．∅以上的两个集合，元素都是x ，其中x 所满足的不等式关系,实则是根据函数xy e =和lg y x =的单调性来比较大小。
四、与三角函数结合：例:已知集合cos |,,3n A x x n π⎛⎫ ⎧⎫==∈⎨⎪⎭⎩⎝⎬⎭Z ()sin 23,,|6B x x n n π⎧⎫⎡⎤==-∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭Z 则（ ）A 。
B 是A 的子集 B 。
A B ⊄ C 。
A B = D 。
A B =∅ 解析:在集合B 中,()sin 23sin cos 3236n n n ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭ ()1cos cos 33n n πππ-⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵n ∈Z，1－n ∈Z，所以集合B 与集合A 相同，即A =B .故选C 。
本题显然是与三角函数诱导公式相结合来考察.五、与平面解析几何结合：例1：已知集合M =｛(x ，y )｜x +y =2｝，N =｛(x ，y ）|x －y =4}，那么M ∩N 为（ ）A 。
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专题01 集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项 1.元素与集合,集合与集合关系混淆问题； 2.造成集合中元素重复问题； 3.隐含条件问题；4.代表元变化问题；5.分类讨论问题； 6．子集中忽视空集问题； 7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值问题； 9.集合的运算问题； 10.集合的综合问题。
二．知识点 【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题,理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义,能识别给定集合的子集,了解在具体情境中全集与空集的含义； 3．理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集,理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn )图表达集合间的关系与运算． 【知识要点】 1．集合的含义与表示(1)一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称集． (2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 (3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种,分别用“∈”或“∉”来表示． (5)常用的数集：自然数集N ；正整数集N *(或N ＋)；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R. 2．集合之间的关系(1)一般地,对于两个集合A ,B .如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集,记作A B ⊆；若A ⊆B ,且A ≠B ,则A B ⊂,我们就说A 是B 的真子集． (2)不含任何元素的集合叫做空集,记作Φ,它是任何集合的子集,即∅⊆A ． 3．集合的基本运算(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }； (2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }； (3)补集：∁U A ＝．4．集合的运算性质(1)A∩B＝A⇔A⊆B,A∩A＝A,A∩∅＝∅；(2)A∪B＝A⇔A⊇B,A∪A＝A,A∪∅＝A；(3)A⊆B,B⊆C,则A⊆C；【点评】：注意两个集合代表元的条件,容易忽视集合中元素属于整数的条件.练习2．【江西省九江市2019届高三第一次联考】已知集合,集合,则图中的阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】图中阴影部分表示的集合为,所以先求出集合A,B后可得结论．【解析】由题意得,所以,即图中阴影部分表示的集合为．故选C．【点评】本题考查集合的元素、韦恩图和集合的补集运算,解题的关键是认清图中阴影部分表示的集合以及所给集合中元素的特征,属于基础题．（四）代表元变化问题例4．【内蒙古鄂尔多斯市一中2018-2019模拟】已知A＝{y|y＝log2x,x>1},B=,则（) A．B．C．D．【答案】C【分析】利用对数性质和交集定义求解．【解析】∵A={y|y=log2x,x>1}={y|y>0},B=,∴A∩B={x|0x≤1}= ．故选C．【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要注意对数函数的性质的灵活运用．练习1.【华东师范大学附中2018-2019学年试题】集合,的元素只有1个,则的取值范围是__________.【答案】【分析】由中有且仅有一个元素,可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想,可求出的范围.【解析】联立即,是单元素集,分两种情况考虑:,方程有两个相等的实数根,即,可得,解得,方程只有一个根,符合题意,综上,的范围为故答案为.【点评】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于中档题.练习2.同时满足：①M ⊆{1,2,3,4,5}；②a∈M且6－a∈M的非空集合M有()A．9个B．8个C．7个D．6个【答案】C共有7个集合满足条件,故选C.【点评】本题主要考查了元素与集合的关系,以及集合与集合的关系的判定与应用,其中熟记元素与集合的关系,以及集合与集合的包含关系是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.（五）分类讨论问题例5. 【九江市2019届高三第一次十校联考】（1）求解高次不等式的解集A；（2）若的值域为B,A B=B求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用讨论的方法求得不等式的解集A；（2）根据函数的单调性求出值域B,由得,转化为不式等组求解,可得所求范围．【解析】（1）①当时,原不等式成立．②当时,原不等式等价于,解得.,综上可得原不等式的解集为,∴．（2）由题意得函数在区间上单调递减,∴,∴,∴．∵,∴,∴,解得,∴实数的取值范围是．【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用,已知集合的包含关系求参数的取值范围时,可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解,转化时要注意不等式中的等号能否成立,解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义．练习1.设集合,,若,求实数a的取值范围；若,求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意得,,根据可得,从而可解出的取值范围；（2）先求出,根据可得到,解出的取值范围即可．【解析】由题意得,；（1）∵,∴,解得,又,∴,∴实数的取值范围为．（2）由题意得,∵,∴,解得．∴实数的取值范围为．【点评】本题考查集合表示中描述法的定义,一元二次不等式的解法,子集的概念,以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时,注意转化方法的运用,特别要注意不等式中的等号能否成立．（六）子集中忽视空集问题例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合,若,则的取值集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查集合间的包含关系,先将集合,化简,然后再根据分类讨论．【解析】∵集合∴若,即时,满足条件；若,则.∵∴或∴或综上,或或.故选C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题,易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．练习1.已知集合,．（1）若,求;（2）若,求实数的取值范围．【答案】(1) (2) 或【点评】由集合间的关系求参数时,常借助数轴来建立不等关系求解,此时应注意端点处是实点还是虚点（七）新定义问题例7．【清华附属中2018-2019学年试题】集合A,B的并集A∪B＝｛1,2｝,当且仅当A≠B时,（A,B）与（B,A）视为不同的对,则这样的（A,B）对的个数有__________.【答案】8【分析】根据条件列举,即得结果.【解析】由题意得满足题意的（A,B）为：A=,B＝｛1,2｝；A=｛1｝,B＝｛2｝；A=｛1｝,B＝｛1,2｝；A=｛2｝,B ＝｛1｝；A=｛2｝,B＝｛1,2｝；A=｛1,2｝,B＝；A=｛1,2｝,B＝｛1｝；A=｛1,2｝,B＝｛2｝；共8个.【点评】本题考查集合子集与并集,考查基本分析求解能力.练习1．【华东师范大学附中2019届高三数学试卷】已知集合M=,集合M的所有非空子集依次记为：M1,M2,...,M15,设m1,m2,...,m15分别是上述每一个子集内元素的乘积,规定：如果子集中只有一个元素,乘积即为该元素本身,则m1+m2+...+m15=_____【答案】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数,当时,函数的值就是所有子集的乘积。
【解析】集合的所有非空子集的乘积之和为函数展开式中所有项数之和令,故答案为【点评】本题主要考查的是元素与集合关系的判定,函数展开式的系数问题,构造函数求解,注意转化思想的应用,属于难题。
练习2.对于集合M,定义函数fM(x)＝对于两个集合A,B,定义集合A△B＝{x|fA(x)·fB(x)＝－1}．已知A＝{2,4,6,8,10},B＝{1,2,4,8,12},则用列举法写出集合A△B的结果为()A．{1,6,10,12} B．{2,4,8}C．{2,8,10,12} D．{12,46}【答案】A【分析】根据fA(x)·fB(x)＝－1,必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A},即可求解.【解析】要使fA(x)·fB(x)＝－1,必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}＝{1,6,10,12},所以A△B＝{1,6,10,12}．【点评】本题主要考查了集合的元素、集合的并集,集合描述法的理解,属于中档题.（八）任意、存在问题中的最值问题.例8.【辽宁省实验中学2018-2019学年试题】已知函数的定义域为,函数的值域为,（1）求集合、,并求；（2）若＝,且,求实数的取值范围.【答案】（1）A＝,B＝,＝（2）【分析】⑴利用被开方数非负性,求出,利用指数函数的单调性求出,再求、的交集即可⑵若,且,即可得到,解出即可求得答案【解析】（1）A＝＝则∴（2）,且,解得【点评】本题主要考查了集合运算,结合题意得到关于实数的不等式,然后求解,较为基础。
练习1.已知集合,.（1）求；（2）若,求实数m的取值范围．【答案】(1) (2)【分析】（1）求出不等式的解后可得．（2）因为,故对任意的恒成立,参变分离后可得实数的取值范围．【解析】（1）由得,故,所以．（2）由题知,当时,恒成立,即：当时,恒成立．在区间上的值域为,所以,即实数m的取值范围是．【点评】集合的交并补运算往往和一元二次不等式结合在一起,解一元二次不等式时注意二次项系数的符号．另外,集合之间的关系往往蕴含着不等式恒成立或有解问题,此类问题可直接讨论对应的二次函数的图像性质或参变分离求参数的取值范围．练习2．已知集合,集合.（Ⅰ）若是的充分不必要条件,求实数的取值范围；（Ⅱ）若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）或;（Ⅱ）【分析】（1）先求出M、N、C R N,结合条件,得到不等式,解出即可；（2）问题转化为集合N集合M,得到不等式,解出即可．【解析】,（Ⅰ）依题意,∴或∴或（Ⅱ）依题意,即∴∴【点评】本题考查了元素和集合的关系,集合和集合的关系,考查充分必要条件,是一道基础题．练习3．已知集合,,其中.（1）当时,求集合,；（2）若,求实数的取值范围.【答案】【分析】（1）先求集合B,再根据交集、并集以及补集得定义求结果,（2）先根据条件化为集合关系,再结合数轴求实数的取值范围.【点评】防范空集.在解决有关等集合问题时,往往忽略空集的情况,一定先考虑是否成立,以防漏解.（九）集合的运算问题例9. 【上海市2018-2019学年期中考试】设数集由实数构成,且满足：若（且）,则. （1）若,试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合,并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个,所有元素的和为,且中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合.【答案】(1) ,;(2)见解析；（3）.【分析】（1）根据集合的互异性进行求解,注意条件2∈A,把2代入进行验证；（2）可以假设A为单元素集合,求出其等价条件,从而进行判断；（3）先求出集合A中元素的个数,=1,求出x的值,从而求出集合A．【解析】（1）证明：若x∈A,则又∵2∈A,∴∵-1∈A,∴∴A中另外两个元素为,；（2）,,,且,,,故集合中至少有3个元素,∴不是双元素集合；（3）由,,可得,所有元素积为1,∴,、、,∴.【点评】本题考查了元素和集合的关系,考查集合的含义,分类讨论思想,是一道中档题．练习1．设集合,集合.（1）若“”是“”的必要条件,求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由“”是“”的必要条件,得B⊆A,然后分时,m＞时三种情况讨论求解实数m的取值范围；（2）把中只有一个整数,分时,m＞时三种情况借助于两集合端点值间的关系列不等式求解实数m的取值范围．【解析】（1）若“”是“”,则B⊆A,∵A={x|-1≤x≤2},①当时,B={x|2m＜x＜1},此时-1≤2m＜1⇒；②当时,B=∅,有B⊆A成立；③当时B=∅,有B⊆A成立；；综上所述,所求m的取值范围是．（3）∵A={x|-1≤x≤2},∴∁R A={x|x＜-1或x＞2},①当时,B={x|2m＜x＜1},若∁R A∩B中只有一个整数,则-3≤2m＜-2,得②当m当时,不符合题意；③当时,不符合题意；综上知,m的取值范围是-.【点评】在集合运算中,不等式的解集、函数的定义域、函数的值域问题,能解的先解出具体的实数范围,再结合数轴进行集合的运算,若端点位置不定时,要注意对端点的位置进行讨论求解,此题是中档题．（十）集合的综合问题例10．【重庆市一中2018-2019学年考数学试题】函数的定义域为的值域为B（1）当时,证明：在A上单调递增；（2）若,求实数a的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）。