电动力学 第五章 电磁波的辐射
电动力学-第五章-电磁波辐射
频率越高，辐射场强越大。
3）辐射场振幅与R成反比，即辐射场随着R的增加而衰减。这个
衰减并不是介质损耗引起的，而是球面波波阵面的扩张所致。
4）辐射场不仅与距离有关，还随sin变化。在 =00或θ = 1800方
向上，辐射场为零；在 = 900方向上，辐射场有最大值。即
天线辐射具有方向性。
21
物理与电子工程学院 张福恒
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电动力学
第五章 电磁波的辐射
电偶极射场有以下特性：
1）辐射场是沿径向方向传播的电磁波，E×H的方向为电磁波
传播方向；电场和磁场在空间各点同相位，且电场与磁场相
互垂直；在R为半径的球面上各点，电场相位相等，磁场相位
也同样相等，因此辐射场是球面TEM波。
2）辐射场强度与频率平方成正比，即在其它条件不变条件下，
电动力学
第五章 电磁波的辐射
§2 推迟势
电磁场的势实际上是四个相似的标量方程组。因此，只要求解 其中一个方程，其它方程的解也即可得到。我们首先求标势方 程的解。标势方程的解可用下面的方法求得。
见5-2附页
A(x,t) 0 J(x,t r / υ) dV
4 V
r
10
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d dt
R c
dp t
dt
0 4 Rc
d2 pt
dt
eR
17
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电动力学
而，
第五章 电磁波的辐射
E ( x, t )
ic k
B( x, t )
cB(x,t) eR
主这样，我们得到电偶极辐射场计算式：
电动力学第五章
电动力学A 刘克新第五章电磁波的辐射本章主要内容§1、电磁场的矢势和标势§2、推迟势§3、谐振电荷体系的电磁场§4、磁偶极辐射和电四极辐射§5、天线辐射§6、电磁场的动量§1. 电磁场的矢势与标势¾1. 矢势与标势定义¾2. 规范变换§2. 推迟势¾1. 点电荷在原点¾2. 更普遍情形§3. 谐振电荷体系的电磁场¾1. 谐振电荷体系的矢势¾2. 谐振电荷体系矢势展开¾3. 电偶极辐射电偶极辐射在不同时刻的E线分布03232d c cπεπΩ∴辐射功率随频率增加急剧增大。
0(2sin )d dP P d ππθθ=Ω∫42012p cμπω=220,12p c p μπ⎛⎞=∝⎜⎟⎝⎠在电场的高次项中，仍有径向分量，但磁场只有横向分量，因此电偶极辐射是TM 波。
近似为TEM 波。
振荡电偶极子产生纯电偶极辐射。
近场区为电偶极子和电流元的似稳场（见上图）。
讨论：§4. 磁偶极和电四极辐射¾1. 磁偶极辐射的矢势¾2. 磁偶极辐射的电磁场和功率¾3. 电四极辐射的矢势¾4. 电四极辐射电磁场和辐射功率¾5. 辐射场的多极展开小结设一电流圈半径为a,电流振幅为I 0，角频率为ω,则系统的磁偶极矩振幅m=I 0πa 2, 辐射功率 磁偶极辐射功率比电偶极辐射功率小量级。
磁偶极辐射的电场分量正好与电偶极辐射场相反, 即偏振方向正好交换位置。
2)(λa42()0312m m Pc μωπ=0iaI p Qa ω==相应电偶极子振幅42()012E p Pcμωπ=22()()22m E m P a P c p λ⎛⎞=∝⎜⎟⎝⎠辐射功率之比：如右图所示的振荡电四极子，其电磁场和辐射功率如下：26D ql kk′= 22(2)D ql kk ii jj =−− 32(02sin cos 4i kr t i q B e e c r ωφωμθθπ−= ）32(0sin cos 4i kr t r i q E cB e e e c rωθωμθθπ−=×= ）624*2202321Re()sin cos 232rq l S E H e c rμωθθπ=×= 624222023sin cos 32r q l dP S e r d c μωθθπ=⋅=Ω62403sin 60q dPP d d d cμωθθφπ==Ω∫(2) 由于计算辐射场的势和场的运算都是线性的，因此可以把单独计算的各类辐射的结果简单相加得出最后的结果。
电动力学5-3
ϕ 也就随之而确定了， 也就随之而确定了，因
r r ik ′e r r µ j(x) r d ′ 0 A ) τ (x = ∫ r 4 V π r ϕ ∂ 2 c ⋅ =− ∇ A ∂ t r r B ∇ = ×A r r i ω ×B E ∇ = k
r j 在电荷分布区域外面， 在电荷分布区域外面， =0 ，所以
1 1 r 点展开： 场点的距离） 场点的距离）。将 = r r 在 x =0 ′ 点展开： ′ r x−x
r r ikr r r µ j(x)e ′ 0 Ax = ∫ () d′ τ 4 V r π
r r r r ′ 1 1 1 r 1 R x′ ⋅ 1 n⋅ x ′ = −∇ ⋅ x +... = + +... = + +... 3 2 r R R R R R R r r r 方向单位矢量。 其中 n为 R 方向单位矢量。因为 R> x ，所以仅 > ′
第五章第三节
电偶极辐射
Electric Dipole Radiation
§5.3 电偶极辐射
电磁波是从变化的电荷、 电磁波是从变化的电荷 、 电流系统辐射 出来的。 宏观上， 出来的 。 宏观上 ， 主要是利用载有高频交 变电流的天线产生辐射， 微观上， 变电流的天线产生辐射 ， 微观上 ， 一个做 变速运动的带电粒子即可产生辐射。 变速运动的带电粒子即可产生辐射。 本节仅讨论电荷分布以一定频率做周期 运动， 运动 ， 且电荷体系线度远远小于电荷到观 测点的距离的情况。 测点的距离的情况。
在此区域中场强 和 均可略去 的
1 1 r r 高次项，该区域内的场主要是横向电磁场。 高次项，该区域内的场主要是横向电磁场。 = r E B ′ R |x 现在主要讨论电流分布于小区域而激发的远|
《电动力学》教案 第五章.docx
第五章电磁波的辐射5. i把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的（纵场）和无散的（横场）二部分，写出E和万的二部分在真空中所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场。
解：令£=瓦+耳,厚=瓦+瓦J =万+兀,下角标L表示纵场即无旋场，T表示横场即无散场：V x = 0, V x = 0, V x = 0= 0, ▽・§ =0, V — 0于是从麦克斯韦方程组V.E = -^-,VxE = -—%初V.5 = 0,Vx§= LL J +4-—c2dt得：▽.瓦*,Vx瓦= o,4穿=-w£0c~ dtvx^ = 一皂,v・M = oT dt T和V.B, =0,VxB. =0,—^ = 0dtV.瓦= 00 77+4 军,v・M = 0c dt方程组（3）的前二个方程表明，时变电场的纵向分量虹由电荷激发，它与静电场（库仑场）一样是有散无旋场，故对应于库仑场；第三个方程表示万匕的时变率与电流的纵向分量7；有关，这方程其实与电流连续性方程关联，只要对其二边求散度，并利用第一个方程，即得电流连续性方程，方程组（4）表示，变化的磁场（横场）激发电场的横向分量瓦。
方程组（5）表示，磁场的纵向分量瓦是一个与空间从标和时间都无关的任意常矢量，只能有= 事实上，邮于迄今仍未发现磁单极子，磁场为无散场，它不可能有纵向分［解］电偶极子万的场作用于理想导体，经起导体出现表面电流，导体外的场是万的场与表面电流产生的场之叠加。
由于。
《人，故导体表面附近的场为似稳稳场，可近似作为静止，设导体表面为z=0的平面，并设其电势为零，即9l：=o=O如图5。
3 °令祚？。
/%,以万的像万产生的场代替导体表面电流产生的场，要保证上述边界条条件满足，应使p = -p = 一Qo。
e x，且位于z = 一。
/ 2［方法一］由于方与p‘等值反向,因此这系统总电偶极矩为零，但包含着磁偶极矩和电四极矩：回*鼻*万+（与a x（- ^）］=_捋凶/勺*=一〃讯=血5谖2 y D“ = D” = ^30 内z； = 3qla = 3p o a1=1D = e R»D = 3 p（）o（sin Ocos（j）e： + cos Oe x）e~'t，J,D = i3a）1' p u a（sin 6^ cos（/）e. + cos由基矢量变换e v = sin 0cos（l）e R + cos 8cos（f）e0 - sin。
电动力学课件：5-1电磁辐射
即保证了
A
A ik A
只有横向分量，即
0
A
A横
，从而得到
B
E
A ik
A
t
A
AikiA横A
t
iA横
( A 0)
通过例子可看到：
库仑规范的优点是：它的标势 描述库 仑作
用，可直接由电荷分布 求出，它的矢势 A 只有
横向分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立
3．洛仑兹规范下的达朗贝尔方程
2 A
1 c2
2A t 2
0 J
2
1 c2
2
t 2
0
例：
试求单色平面电磁波的势
解:
单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的自 由空间中传播，因而势方程（达朗贝尔方程在 Lorentz规范条件下）变为波动方程：
2
其解的形式为：
2
A
1 c2
1 c2
2
2
2A
t 2
与静电场引入电势、静磁场引入标势相 似，为了便于求解普适的场方程，在变化
情况下仍然可以引入势的概念。但是，由
于电场的旋度不为零，这里引入的矢势、 标势与静场情况有很大的不同。
§5.1 电磁场的矢势和标势
一．用势描述电磁场
本节使用最普遍的电磁场方程引入矢势然后讨论 电磁辐射问题（仅讨论均匀介质）。
（1）矢势的引 入
2
1 c2
2
t 2
0
证明：
A
1
A
1
1
2
( A
1
c2 t
) (2
1
2 ) 0
c2 t
c2 t 2
c 2 t c 2 t 2
电动力学第五章答案
v
v
解
v v 1 ∂ϕ A 与 ϕ 满足洛仑兹规范 故有 ∇ ⋅ A + 2 =0 c ∂t v Q ϕ = −∇ ⋅ Ζ 代入洛仑兹规范 有 v 1 ∂ v ∇ ⋅ A + 2 ⋅ (−∇ ⋅ Ζ) = 0 c ∂t
k
v v v v* ∴ 要使上式成立 仅当 k ⋅ a k = k ⋅ a k = 0时 v v v ∴ 故 证得当取 ∇ ⋅ A = 0, ϕ = 0 时 k ⋅ a k = 0 vv vv v v v v* ik ⋅ x 3 已知 A( x , t ) = ∑ [a k (t )e + ak (t )e −ik ⋅ x ]
第五章
电磁波的辐射
如果取 ϕ = 0
有
v v B = ∇× A v v ∂A E=− ∂t
代入方程
v v ∂D ∇× H = ∂t v ∇⋅D = 0
有
v v ∂D 1> ∇ × H = ∂t
v v ∂E ∇ × B = εµ ∂t
∴ 由 1>2>得
v ∇⋅ A = 0
2
kh
v v E , B 相互垂直 v v E , B 同相 振幅比为 υ v v
1
2 可表示的波正是符合条件的平面波
所以命题得证 4. 设真空中矢势 A( x , t ) 可用复数傅立叶展开为 A( x , t ) =
v v
v v
v d 2 a k (t ) v v 1 证明 a k 满足谐振子方程 + k 2 c 2 a k (t ) = 0 2 dt
2 当选取规范 ∇ ⋅ A = 0, ϕ = 0 时 3 把 E和B 用 a k 和 a k 表示出来
电动力学第五章
k •r
t
)
ei
(
k
•r
t
)
0
A
A ei(k •r t ) 0
ei
(
k
•r
t
)
0
由Lorentz规范条件 • A
ik
•
A
1 c2
(i )
0
1 c2
t
0
得
c2
k
•
A
由此可见，只要给定了 A，就能够拟定单色平面电磁波。
B
A
ik
A
ik
(
A横
A纵
)
ik
V
(r,t R )
c dV
4 0 R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
a) 和 A是分布在有限体积内旳变化电荷和变化电 流在空间任意点激发旳标势和矢势。
b)电荷密度和电流密度中旳时刻是t R c ，而不是 t 这阐明 t R c时刻 r 处电荷或电流产生旳场并不 能在同一时刻就到达r 点，而是需要一种传播时
1 c2
2A t 2
0J
达朗贝尔方程
A
和
分别
满足有源旳波动方程
例：求单色平面电磁波旳势。
单色平面电磁波是在没有电荷、电流分布旳自由空间中传播 旳，因而势旳方程（洛伦兹规范，达朗贝尔方程）变为齐次
波动方程：
2
1 c2
2
t 2
0
2 A
1
2A 0
c2 t 2
其平面波解为：
A
A0ei
(
(r
•
j
•
j)j•ຫໍສະໝຸດ 1 R]dV•
电动力学第五章
方便。
（9）和（10）式为人为加上的辅助条件，它们的引入，使得矢量场能够被确定，实现
G
GG
势函数 (ϕ, A ) 与场量 (E, B ) 的对应，它们也分别称为库仑规范条件和洛伦兹规范条件。
四、 达朗贝尔方程
G
GG
势函数 (ϕ, A ) 与场量 (E, B ) 具有（7）式
⎧G ⎪E ⎪⎩⎨BG
= =
∂z
关于规范不变性： G
1） 在经典电动力学， (ϕ, A ) 的引入是为了给出电磁场的（一种辅助）描述方法，没有
G GG (ϕ, A ) ，(E, B ) 对电磁场的描述也是完全的，规范不变性是这种描述方法所具有的数
GG
G
学特征；在量子论中， (E, B ) 并不能描述电磁场的全部性质， (ϕ, A ) 的地位也远比经
−∇ϕ − K
∇× A
K ∂A ∂t
（7）
求解电磁场问题，转化为求解势函数的问题。
G
GG
但实际上，势函数 (ϕ, A ) 与场量 (E, B ) 并不是一一对应的，如果作变换
G
KK
⎧ ⎪
A
⇒
A′ = A + ∇ψ
⎨ ⎪⎩
ϕ
⇒
ϕ ′ = ϕ − ∂ψ ∂t
（8）
有
∇
×
K A′
=
∇
×
K A
+
∇
×
(∇ψ
)
∂t
化的磁场激发的电场）（例如：磁场变化，穿过闭合线圈的磁通量发生变化，线圈中有感应
电场，其电力线闭合）。
2） 洛伦兹规范
G 选择 A 的散度
K ∇⋅A= −
1
∂ϕ
《电动力学(第三版)》电磁波的辐射chapter5_7
能流密度：S
1
EB
0
1. 电磁场的动量密度和动量流密度
电磁场也和其他物体一样具有动量. 辐射压力是电 磁场带有动量的实验证据.
电荷分布区域内的场和电荷之间由于相互作用 而发生动量转移.区域内的场和区域外的场也通过界 面发生动量转移.
动量守恒:单位时间从区域外通过界面S传入区
域V内的动量应等于V内电荷的动量变化率加上V内
E
0
t
EB
B 0
E
B
t
0
E
B t
B
电磁场内部的动量转移 电磁场的动量密度改变率
电磁场的动量密 度
g 0EB
E
E
E
E
1
E
2
E
E
E
E
2
E
E
E
E
1
E
2
2
EE
1
IIE2
EE
2 1
IIE
2
2
II是单位张量 v II II v v
第五章 电磁波的辐射
§5.7 电磁场的动量
内容概要
1. 电磁场的动量密度和动量流密度 2. 辐射压力 3. 电磁场理论总结
电磁场能量、动量概念
用能量守恒的概念将“能量”的概念赋予电磁场： 电磁场对物质的作用力做功体现了能量的变化. 若能量守恒成立，电磁场的能量概念可以确定. 场是空间分布的，因此有能量密度、能流密度的概念.
考虑介质时电磁场对物质的作用力
电f磁场E对D物EJ质(B介 质H)作 DB用 E力 (密D度HB)：DDtBB
D
E
B
H
t
H B
t
电磁学与电动力学(下)
第五章 电磁波的辐射5.1 对时谐场(ti eω-~),证明电场的计算公式ϕω∇-=A E i 和ωμ/j B E )(02-⨯∇=ic 等效.【证】 由A B ⨯∇=得ωμωμ/j A A /j A E ])([])([02202-∇-⋅∇∇=-⨯∇⨯∇=ic icϕωϕω∇-=∂∂-∂∂-∇=A Ai tc t c ic ]1)1([22222, 利用delta = ik ，a/at = -iw 证毕.5.2 从三维波动方程),(412222t f tc r πψψ-=∂∂-∇的推迟势解ct t V d t f t |r r |r r ,r r '--='''-''=⎰|,|)(),(ψ 出发,计算脉冲式点激发源)()()()(),(t z y x t f ''''=''δδδδr 、无穷长直线脉冲式激发源)()()(),(t y x t f '''=''δδδr 和无限大平面脉冲式激发源)()(),(t x t f ''=''δδr 的推迟势解.你会发现,三维推迟势解的扰动仅限于半径为ct 的球面,而二维和一维解则在波前下游长期维持扰动状态.试对此作出物理解释. 【解】 对脉冲式点激发源有)(1|)()()()(),(crt r z d y d x d t z y x t -=''''-''''=⎰δδδδδψ|r r r ,迟势解的扰动仅限于半径为ct 的球面.对长直线脉冲式激发源有V d t y x t ''-'''=⎰|r r r |)()()(),(δδδψ⎰∞∞-''-++'-++-=z d z z y x c z z y x t 2/1222222])([(}/])([{δ.利用δ函数的如下性质∑-=-=ii xx x x dx df x f i)()/())((1δδ,可将上述积分化为∑⎰∞∞--'=''-++''-'''=i i i z z z z y x z d z z z d z df t y x i 2/12221])([()()(),,(δψ,式中c z z y x t z f /])([)(2/1222'-++-=', 0/])([)(2/1222='-++-='c z z y x t z f i i ,tc y x t c z z y x c z z zd df i i z z i 22/122222/1222][])([||--='-++'-=''='. 注意,)(z f '存在两个零点,对积分的贡献相同,总贡献为2/12222/1222222][)(2][)(2),,(ρρΘΘψ--=--+-=t c ct c y x t c y x ct c t y x , 式中Θ为单位阶跃函数,2/122)(y x +=ρ.无限面源可由上述线源结果叠加求得:⎰⎰∞∞-∞∞---+-==dy y x t c y x ct c dy t y x t x 2/1222222][)(2),,(),(Θψψ |)|(2][|)|(22222222/12222x ct c y x t c dyx ct c x t c x t c -=---=⎰---ΘπΘ. 由线源和面源的结果可见,线源的波前为以源为轴、半径为ct 的圆柱面,面源的波前为与源面平行、距离为ct 的平面.对于这两种情况,波前下游长期维持扰动状态.理由在于,源的尺寸无限,在任意时刻t ,总会有扰动信号抵达波前下游的任意位置.5.3 半径为R 的理想导电球壳,为过球心的平面切成两半,分别加上交变电势t V ωcos ±.在长波近似(c R <<ω)下,求辐射功率角分布和总辐射功率. 【解】 在长波近似下,只需给出系统最低阶矩对辐射场的贡献.由2.9题之结果,系统的最低阶非零矩为偶极矩,且z t V a e p ωπεcos 620=,式中z e 为垂直于切割面的单位矢量.经写成复数形式有z t i Ve a e p ωπε-=206.将上述偶极矩代入偶极子辐射功率角分布和总辐射功率公式得θωεθπμΩ22p sin 89sin 32||32440220cV a c d dP == , 32440302312||cV a c P ωπεπε==p. 5.4 对纯偶极矩电荷系统,其电偶极矩为)(t p ,电四极矩和更高阶矩,以及各阶磁矩均为零,其矢势为tc r t c r t r c r t t ∂-∂≡--=)/()/(,4)/(),(0p p p r A πμ.(1由洛伦斯规范条件0/2=∂∂+⋅∇t c ϕA ,求对应的标势ϕ;(2)计算对应的磁场和电场（不作任何近似）;(3)求时谐偶极子t i e t ω-=0)(p p 的矢势、磁场和电场表达式. 【解】 (1) 由洛伦斯规范条件求标势⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅∇+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅∇-=⋅∇-=∂∂c r t r c r t r c c t p p A 1)1(4202πμϕ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=c r t cr c r t r r pp e 114120πε. 将上式对时间积分得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=c r t cr c r t r r pp e 114120πεϕ. (2)由电磁势求电场和磁场⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∇+⋅∇+⋅∇+⋅∇=∇22330)()()()(41cr cr r r r p p r r p p r πεϕ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅⋅-+⋅⋅-=r r r r r r cr cr r e p e e p e p e p e p )(1)(3)(3412230 πε, pp A r c r t 200414πεπμ==∂∂,t∂∂--∇=A E ϕ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+-⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=)(1)(3141230p e e p e p e r rr r cr r t c r πε, r cr rr r e p pp pA B ⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯∇+⨯∇=⨯∇= 2004114πμπμ. 上述诸式中,)/(c r t -p 被略写为p .(3) 求时谐偶极子t i e t ω-=0)(p p 的矢势、磁场和电场表达式对时谐偶极子,前面求得的电磁势和电磁场表达式中的p 应代之以)](exp[)]/(exp[00t kr i c r t i ωω-=--p p ,或ikr e t )(p ,对时间的导数替换成乘子ωi -从而写出相关表达式如下:p r A re i t ikrπωμ4),(0-=,⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=ikr r e ck r ikr 11)(420p e B πμ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯--⋅-=)()(3)1(4230p e e p e p e E r r r r ikr r k r ikr e πε. 5.5 利用5.4题结果,证明时谐偶极子电磁角动量L 的平均辐射率为)Im(12*03p p L ⨯=πεk dt d , 式中c k /ω=,Im 表示虚部,*号表示共轭.(提示:利用恒等式I nn34sin 020πθθφππ=⎰⎰d d , 式中r r /r e n ==,I为单位张量.)【证】 电磁角动量平均辐射率由下式表示⎰⎰⎰⎰⨯⋅-=⨯-⋅=)]([)(r T n r T σLd σd dtd , 式中r T ⨯-为平均电磁角动量流密度,)/Re(0021μεB B E E I T **--=w ,w 为电磁能量密度.被积式可化为B n B n E n E n n T n r T n ⨯⋅+⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅**)()(021021r r r με .对时谐电偶极子场来说(见5.4题),成立0=⋅*B n ,上式右边第二项为零.由时谐偶极子的电场表达式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯--⋅-=)()(3)1(423p n n p n p n E r k r ikr e ikrπε, 得 203042)(24)1(r ike r e ikr ikr ikr *-*-⋅≈⋅+=⋅p n p n E n *πεπε, p n p n p n E n ⨯≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯--=⨯re k r k r ikr e ikr ikr02234)1(4πεπε. 代入平均辐射率公式,过半径r 的大球面积分,得⎰⎰⨯⋅=*φθθεπd d ik dt d sin )(16Re 023n p p n L ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=*⎰⎰p nn p ππθθφεπ020023sin 16Re d d ik )Im(12023p p ⨯=*επk , 证毕.5.6 绕z 轴作匀速圆周运动电荷的电偶极矩可表为如下复数形式:t i y x e i qa ω-+=)(0e e p式中q 为粒子电量,0a 为轨道半径,ω为转动角频率.由5.5题的结果,计算电磁角动量的平均辐射率,证明它的数值与平均辐射功率之比为ω/1. 【解】 对由5.5题结果得)()Im(12)Im(1202023*03y x y x i i a q k k dt d e e e e p p L +⨯-=⨯=πεπεz z ca q a q k e e πωμπε662023002023==, 其数值与与平均辐射功率(见5.4节例2)ca q P πωμ62240=之比为ω/1.5.7 载有恒定电流的圆线圈绕其直径匀速旋转,半径为a ,电流强度为I ,角速度为ω,满足c a <<ω,求辐射场和辐射功率.【解】 设0=t 时圆线圈的磁矩指向x e 方向,则圆线圈的磁矩为])(Re[)sin (cos 22t i y x y x e i Ia t t Ia ωπωωπ-+=+=e e e e m .代入磁偶极子辐射场和辐射功率公式求得如下结果:r r y x t kr i r r ikr i e rc Ia r c e e e e e e e m B ⨯⨯+=⨯⨯=-])[(4)(4)(22020ωμπμ , r y x t kr i ikr r i ecre Ia c e e e e B E ⨯+-=⨯=-)(4)(20ωμ,r r y x r r i rc a I r c e e e e e e m S 225042422320|)(|32||32⨯+=⨯=εωπμ . 由 φφθφφθθe e e e e i i r i y x ie e e i ++=+cos sin得 )cos ()(θφφθe e e e e i e i i r y x +-=⨯+,)(cos ])[(φθφθe e e e e e i e i i r r y x +-=⨯⨯+,代回上述公式,最终求得)(cos 4)(2220φθφωθωμe e B i e rc Ia t kr i +=+-,)cos (4)(3022φθφωθεωe e E -=+-i e rc Ia t kr i ,r rc a I e S )cos 1(322250424θεω+=.504246ca I d P επω=⋅=⎰⎰σS . 5.8 给定半波天线电流强度分布t i e z k I I ωλ--=)]25.0(sin[0,计算它的电偶极矩及电偶极辐射总功率.将得到的结果与半波天线的总辐射功率)8/(44.2200πμcI P =比较并做出解释.【解】 电偶极矩和辐射总功率分别为z t i //z t i e icI dz e z k I ie e p ωλλωωλω---⎰=-=24402)]25.0(sin[,πμπμπε867.2312||200200302cI cI c P ≈==p. 电偶极矩辐射功率略大于半波天线的辐射功率,这是因为半波天线的四极矩和更高阶矩被忽略,它们的辐射场与电偶极辐射场之间存在复杂的相位关系,叠加之后反而导致实际辐射功率小于单考虑电偶极矩成分得到的辐射功率.第六章 运动电荷的辐射6.1 从运动电荷的辐射场公式出发,证明: (1)n B E ⨯=c ,式中**=R /R n ;(2)在非相对论近似下,运动电荷的辐射场可表为n B E n a B ⨯=⨯=**c cRe ,40πμ. 【证】 (1)运动电荷的辐射场为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=******a v R R E R c c S e 14230πε, E R B ⨯=**cR .注意,0=⨯E n ,于是有E n E n E n E n n B =⋅-=⨯⨯=⨯)()(c ,(2)在非相对论近似下有)(4)(40230******⨯⨯=⨯⨯=a n n a R R E Re c R e πμπε, n a a n n n E n B ⨯=⨯⨯⨯=⨯=****cR e c R e c πμπε4)]([41030,n B E ⨯=c .证毕.6.2 电荷q 、质量m 的非相对论粒子,在有心排斥势场)(r V 中做径向运动,自无穷远出发,运动至min r (该处粒子速度为零)发生反射,再返回至无穷远处. (1)证明在上述过程中,粒子发出的总辐射能为⎰∞-⎪⎭⎫⎝⎛=min )()(23min 23202r r V r V drdr dV m c m q W πε.(提示:利用势场中粒子运动方程和能量守恒关系计算粒子的加速度和速度.)(2)设有心排斥势场为库仑场,即)4/()(0r qQ r V πε=,证明总辐射能为)45/(8350Qc qmv W =,式中0v 为无穷远处粒子速度(提示:用到不定积分公式: ⎰-++-=-x x x xdx x 1)348(152122计算定积分.)【证】 (1)由能量守恒,粒子的初始动能应等于min r 处的势能,即)(21min 20r V mv =. 设粒子抵达r 处的速度为v ,同样由能量守恒得)(21)(min 2r V mv r V =+, 或 )()(/2min r V r V m v -=. 粒子的加速度为dr dV m a /1--=,据此求得粒子的总辐射能量为⎰⎰∞∞-==minmin)()(2362min 232023022r r r V r V drdr dV m c m q v c dr a q W πεπε.(2)对库仑场,有2004,4)(rqQdr dV r qQr V πεπε-==, 代入上述辐射能量公式得,458151661616/14423350350102350114350min min02203202min QcqmvQc qmv x dx x Qcqmv R RdRQcqmv rr dr qQr r qQ m c m q W r ==-=-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰⎰∞-∞πεπεπε证毕.6.3 两带电粒子电荷同号,电量和质量分别为1e 、2e 和1m 、2m ,从较远的距离相互靠近,至某个最近距离相对速度为零,然后在斥力的作用下远离.设初始相对速度为0v (c <<),沿粒子的连线方向.证明在上述过程中,两粒子发出的总辐射能为2221121350458⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m e m e e e c v m W , 式中2121m m m m m +=. (提示:解题思路与 6.2题类似,需利用经典力学有心力场中两体问题的分析结果,在质心参考系中进行计算比较方便.)【证】 在质心参考系中,两粒子的位置矢量分别设为1r 和2r ,成立r r r 30214ree r dr dV m πε=-= , 式中21212112212121,,,m m mm m m m m m m m +=+-=+=-= r r r r r r r .系统的电偶极矩为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=-=22112112212211m e m e m m m m e m e e e rr r r p . 按电偶极子辐射功率公式,求得系统的辐射功率为222211302302||66||r p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==m e m e c m c P πεπε, 2222113061dr dV m e m e c ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πε, 式中)4/(021r e e V πε=.总辐射能量为⎰⎰∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==min)()(231min 22221130r r V r V drdr dVm m e m e c Pdt W πε.遵循与6.2题几乎完全类似的步骤,可获得最终结果222112135458⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m e m e e e c v m W ,证毕. 6.4 质量为m 、电量为q 的粒子,受到简谐力r 20ωm -和均匀外磁场的磁力B v ⨯q .取z 轴与B 平行,在低速(c v <<)和粒子回旋频率远小于粒子固有频率0ω的近似下,给出粒子的运动规律,确定沿磁场方向和垂直磁场方向上的辐射场的频率和偏振特性.(提示:求粒子运动方程的形如(z y x ,,)=(c b a ,,)t i eω-的解,由非零解条件确定ω和振幅比.)【解】 粒子的运动方程为z z x mqB y y y m qB x x 202020,,ωωω-=--=+-=. 求ti eω-~时谐运动解,上述方程化为0)(,0)(202202=+-=--x mqB i y y m qB i x ωωωωωω , 0)(202=-z ωω.上述代数方程组存在非零解的充分必要条件是系数行列式为零,即 0000/0/det 202202202=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----ωωωωωωωωm qB i m qB i , 据此求得关于ω满足的代数方程0]))[((222202202=---c ωωωωωω,式中m qB c /=ω为粒子在磁场中作圆周运动的回旋频率.由上式可解得(限于取正根))4(,220210c c ωωωωω±+= .当0ωω<<c 时,有c ωωωω2100,±= .将这些值分别代回粒子运动方程,可求得三组特解(求解过程中同样采用0ωω<<c 近似):t i e C z y x 01,0:0ωω-==== ;0,:)(221021===-=+-z eC iy x t i c cωωωωω; 0,:)(31021==-=+=--z e C iy x ti ccωωωωω.将上述三个特解叠加,求得粒子运动方程的通解:ti y x t i y x t i c c e i C e i C e C )(2)(212102100)()(ωωωωω--+--++-+=e e e e r .沿平行于磁场即z 轴方向观测,仅x 和y 方向的粒子运动对辐射场有贡献,频率分别为c ωω210+和c ωω210-,前者为右旋圆偏振波,后者为左旋圆偏振波.沿垂直于磁场方向观测,三个方向的粒子运动均会产生贡献,但粒子的视运动均为直线运动,对应线偏振波,频率为0ω、c ωω210+和c ωω210-. 6.5 对于运动电荷的加速度与速度平行的情况,证明最强辐射方向与粒子运动方向的夹角为)]3/()1151[(cos 21max ββθ-+=-,式中c v /=β,v 为粒子速度.进一步,对相对论粒子(1≈β),证明)2/(1max γθ≈,式中2/12)1(--=βγ.【证】 当粒子加速度与速度平行时,辐射功率的角分布为5302222)cos 1(16sin θβεπθΩ-=c a e d dP .最强辐射方向满足0)cos 1(sin max52=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=θθθβθθd d, 据此求得05cos 2cos 3max max 2=-+βθθβ, 从中解得)1151(31cos 2max -+=ββθ,上式即题目给出的答案.对相对论粒子,将上式改写为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=111151)/11(31cos 2max γγθ, 22222811852111815421131γγγγγ-=-+≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈, 对比2max 21max 1cos θθ-≈,得)2/(1max γθ≈,证毕. 6.6 静止质量质量为m 、电荷为q 、速度为v 的粒子在垂直于均匀磁场B 的平面中运动. (1)计算辐射功率,将其表为m 、q 、))/1((2/122--=c v γ和B 的函数.(2)对相对论性粒子,如果粒子的初始能量为200mc E γ=,证明能量通过辐射损失衰减至02E mc E <=γ所需要的时间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈024330116γγπεBq cm t .(3)对非相对论性粒子（c v <<）,零时刻粒子动能为0T ,计算粒子动量降至T 所花费的时间. (4)如果粒子被捕获在地磁场中,沿着某条磁力线旋转,并在南北两个磁镜点之间来回振荡,试比较在磁镜点处（粒子在该处反射）和赤道处粒子的辐射功率的相对大小.(提示:利用在随空间缓慢变化的磁场中粒子磁矩)2/(2B mv ⊥守恒的条件.)【解】 (1)粒子绕磁场作圆周运动,其回旋频率为)/(m qm γω=,加速度为)/(m qmv v a γω==,与速度垂直,从而辐射功率为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-===22024232022423024411666γπεγπεγπεγc m B q c m v B q c a q P .(2)对相对论粒子,其能量为2mc γ,因辐射损失而衰减,满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=2202422116)(γπεγγc m B q P dt mc d , 即 33024223302426116c m B q c m B q dt d πεγγπεγγ-≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=. 由上式积分,求得粒子能量衰减至2mc E γ=所需要的时间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-≈⎰02433024233011660γγπεγγπεγγB q c m B q d c m t . (3)对非相对论粒子,不作1>>γ近似,同样设γ的始、末值为0γ和γ,经历的时间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=--=⎰)1)(1()1)(1(ln 26)1(600243302243300γγγγπεγγπεγγB q c m B q d c m t .题目给的是始、末态粒子动能,成立2002)1(,)1(mc T mc T -=-=γγ ,以至粒子动能由0T 经辐射损失衰减至T 所需要的时间为⎪⎭⎫ ⎝⎛≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=T T B q c m T T B q c m t 0243300024330ln 26)1()1(ln 26πεγγπε. (4)捕获粒子在沿地磁场磁力线振荡过程中,粒子的磁矩近似守恒,即≈⊥)2/(2B mv 常数.通常捕获粒子为非相对论粒子,故辐射功率近似和22⊥v B 成正比,即和3B 成正比.因此,在磁镜点处和赤道处粒子的辐射功率之比近似等于两处磁场比的三次方.。
《电动力学》讲义第05章电磁波的辐射
=
0
,
∇2ϕ −
1 c2
∂2ϕ ∂t2
=
0
∇
·
A+
1 c2
∂ϕ ∂t
=
0
A = A0 exp [i (k · x − ωt)] , ϕ = ϕ0 exp [i (k · x − ωt)]
ϕ0
=
c2 ω
k
· A0
=
cek
·
A0
B = ∇ × A = ik × A
E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
=
−ik (cek
3 电偶极辐射
10
3.1 定域振荡源的辐射场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 辐射场的划分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
矢势和标势（续）
∇
×
E
=
−
∂B ∂t
⇒
由(E
+
∂A ∂t
)的无旋性引入标势ϕ：
∇
×
(E
+
∂A ∂t
)
=
0
∇
×
(E
+
∂A ∂t
)
=
0
⇒
E
+
∂A ∂t
=
−∇ϕ
一般而言： 【讨论】
E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
电场E不再是保守力场，势能、电压的概念失去原来意义； 时变电磁场中，磁场和电场是相互耦合的整体：矢势和标势缺一不可！
电动力学 第五章 电磁波的辐射
4
(r )e
i ( t
R ) v
（1 ）
dV
V
R
式(1)表示：空间场点R处 , A 的相位比电荷电流 源 , J 的相位落后 kR ! R / v 是电磁波从电 荷电流源 , J 处传递到场点所用的时间!!!
将(1)式中 e it 去掉得正弦变化矢势和标势的复
2u 1 2u 2 2 0 2 R v t
R [(x x) 2 ( y y) 2 ( z z) 2 ]1/ 2
上式是一维波动方程，其解是球面波：
R u ( R, t ) f (t ) v
R ( R, t ) f (t ) / R （a) v
洛伦兹规范(规定)： A t
2 2 A 2 A J 传导 t
（g)
将式(g)代入式(f)得矢势的微分方程： （2 ）
J 传导
是矢势 A 的源，自由 是标势
的源!
B A, E
由式(1), (2)求得
拉杆天线
引向天线
对数周期天线
中国远 程相控 阵雷达
螺旋天线
微带天线
§1 电磁场的矢势和标势
§1.1
用势描述电磁场
一、矢势 A 完全类似稳恒磁场的矢势的定义得时变电磁场 的矢势!!!
因为 B 0 所以 B A 二、标势
（1)
因为
B E ( A) t t
2 A J 2 t 2 t 2 2
(v 1/ ) （1）
电动力学第五章—
19
电动力学
三．辐射问题的本质也是边值问题
变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又 反过来影响电荷、电流分布。空间电磁场的分布 就是在这一对矛盾相互制约下形成的。变化的电 荷电流分布一般具有边界，因此在求解时要考虑 它们的边界条件和边值关系。但是，一般情况下 这种的边界很复杂，使得电荷、电流分布无法确 定，因此使得求解问题无法进行。在本章我们仅 讨论电荷、电流分布为已知的辐射问题。
尔方程化为：
1 2 1 2 Q(t ) (r ) (r ) 2 2 2 r 0 r r c t
＊
1 2 1 2 当 r 0 时， 2 (r ) 2 0 2 r r r c t 2 2 u 1 u u (r , t ) 2 2 0 令 (r , t ) 2 r c t r
2、达朗贝尔方程及推迟势的物理意义； 3、矢势的展开和偶极辐射； 4、电磁场的动量守恒。
• 本章难点： 1、矢势的展开和偶极辐射公式的导出； 2、电磁场动量密度张量的引入和意义。
第五章 电磁波的辐射
17
电动力学
引言
一. 电磁辐射
不稳定的电荷、电流激发的电磁场随时间 变化。有一部分电磁场以波的形式脱离场源 向外运动，这被称为电磁波的辐射。
A E A t t 引入标量势函数 A E t
第五章 电磁波的辐射
A (E ) 0 t A E t
22
电动力学
5- 1
电磁场的矢势和标势
二．规范变换和规范不变性
第五章 电磁波的辐射
24
A A A E ( ) t t t t t
电动力学第五章 电磁辐射
•• 2
P 32π ε 0 c
2 3
∫
2π
0
dϕ ∫
π
0
4 1 2π ⋅ = sin θ dθ = 2 3 32π ε 0 c 3 4πε 0 3c3
3
P
P
例1. P165
ɺ 解：由于P = I ∆l = Re I 0e−iωt ∆lez = I 0 cos ωt ∆lez ɺ = I e−iωt ∆le , P
z
k B
P
E
注意：这里 ∇ ⋅ E = 0 ，磁场必须是闭合的。且由于只 1 ∇ 不需作用到 1 上， 保留 R 的最低次项，因此算符 R i ( kR −ω t ) 仅需作用到相因子 e 上。 四、辐射能流，角分布，辐射功率 辐射能流，角分布， ① 电偶极的平均能流密度为
2 1 c c * * S = Re( E × H ) = [Re( B × n ) × B ] = B n 2 2 µ0 2 µ0
1 ∂2 A 1 ∂ 2ϕ ∇ A − 2 2 − ∇ (∇ ⋅ A + 2 ) = − µ0 j c ∂t c ∂t
2
（7） （8）
1 ∂ 2ϕ ∂ 1 ∂ϕ ρ ∇ 2ϕ − 2 2 + (∇ ⋅ A + 2 )=− c ∂t ∂t c ∂t ε0
若取库仑规范，则（7）（8）方程变为
1 ∂2A 1 ∂2∇ϕ ∇2A − 2 2 − 2 = −µ0 j c ∂t c ∂t ρ 2 ∇ ϕ= − ε0
S V
f
为洛伦兹力密度
二、电磁场的动量密度和动量流密度 洛伦兹力密度公式： f
ρ = ε 0∇ ⋅ E
j= 1
= ρE + j × B (1)
电动力学复习总结第五章 电磁波的辐射2012答案
别用角标L和T表示，则：由于，所以本身就是无散场，没有纵场分
量，即
，；
，，；
，，；
由（1）得：
（5）
由（2）得：
（6）
由（3）得：
（7）
由电荷守恒定律得：
又因为 ，所以 ，即
（8）
（7）式简化为
（9）
所以麦克斯韦方程租的新表示方法为：
（10）
由引入标势，，代入得，
上式的解就是静止电荷在真空中产生的电势分布，所以对应静止电
解：规范变换式： ，
有
即与描述同一电磁场。 1 采用库仑规范：，
即在规范变换中当满足是，就是库仑规范。 2 采用库仑规范时，电磁势方程所取形式：
3、 在什么条件下可选取，这样一种规范条件？此时，与势的关系是 什么形式？ 解：若采用库仑规范，且的自由空间,势的方程变为：
① 当在空间没有电荷分布时，可以选取库仑场的标势， 把代入①式，解得：
只保留R的最低次项，因为作用R分母上后所得项更小，可忽略。 即仅需作用于上。例如，令，
11、 一些荷质比相同的带电粒子组成的体系，不会有电偶极辐射。 为什么？ 解：设体系有N个粒子，第个粒子的质量为，电荷为，总质量为M，则电 偶极矩①
在的非相对论情形，应用质心运动定理，设质心的矢径为 即,得：， 代入①式得： 由于系统不受外力，则质心加速度，所以没有电偶极辐射。 12、 电磁场具有动量的证据是什么? 电磁场也遵从的动量守恒定律， 说出
解：（1）证明：因为 所以，根据傅立叶级数的正交性，必有： （1） 在洛伦兹规范下，，考虑到真空中，故，，所以（1）
式化为 （2）
而 于是 （3） 因为 ，所以 所以（3）式右边积分中，被积函数为0，积分为0。所以满 足谐振子方程 。 （2）当选取规范，时 因为，是线性无关正交组，所以要使上式成立，必有 （3）已知，所以 5. 设和是满足洛伦兹规范的矢势和标势。 （1）引入一矢量函数（赫兹矢量），若令，证明。 （2）若令，证明满足方程，写出在真空中的推迟解。 （3）证明和可通过Z用下列公式表出： ，。 （1）证明：和是满足洛伦兹规范的矢势和标势，所以有
电动力学习题解答5
第五章 电磁波的辐射1. 若把麦克斯韦方程租的所有矢量都分解为无旋的（纵场）和无散的（横场）两部分，写出E 和B 的这两部分在真空中所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场。
解：真空中的麦克斯韦方程组为t ∂-∂=⨯∇/B E ， （1） 0/ερ=⋅∇E ， （2）t ∂∂+=⨯∇/000E J B εμμ， （3） 0=⋅∇B （4）如果把方程组中所有矢量都分解为无旋的纵场和无散的横场，并分别用角标L 和T 表示，则：由于0=⋅∇B ，所以B 本身就是无散场，没有纵场分量，即0=L B ，T B B =；T L E E E +=，0=⨯∇L E ，0=⋅∇T E ； T L J J J +=，0=⨯∇L J ，0=⋅∇T J ；由（1）得：t T T T L ∂-∂=⨯∇=+⨯∇/)(B E E E （5）由（2）得：0/)(ερ=⋅∇=+⋅∇L T LE E E （6）由（3）得：t L L T L T ∂+∂++=⨯∇/)()(000E E J J B εμμ)/()/(000000t t T T L L ∂∂++∂∂+=E J E J εμμεμμ （7）由电荷守恒定律t ∂-∂=⋅∇/ρJ 得：)/(/0t t L L ∂∂⋅-∇=∂-∂=⋅∇E J ερ 又因为 )/(00t L L ∂∂⨯-∇==⨯∇E J ε，所以 t L L ∂∂-=/0E J ε，即0/0=∂∂+t L L E J ε （8）（7）式简化为t T T T ∂∂+=⨯∇/000E J B εμμ （9）所以麦克斯韦方程租的新表示方法为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+==⋅∇∂∂+=⨯∇∂-∂=⨯∇0/0///00000t ttL L L L T T T T T E J B E E J B B E εερεμμ （10） 由0=⨯∇L E 引入标势ϕ，ϕ-∇=L E ，代入0/ερ=⋅∇L E 得，02/ερϕ-=∇上式的解就是静止电荷在真空中产生的电势分布，所以L E 对应静止电荷产生的库仑场。
电动力学课件 5.1 电磁场的矢势和标势
A E t
这里，仍用 φ来表示这个标量势函数，并且右边采用 “负号” 以便 A 与时间无关时仍回到静电场情形中去，即电场为
A E t
4
可见，既可以直接用场量 E 和 B 来描述电磁场，也可以用矢势A 和 标势 φ一起来描述电磁场，而两种描述方式的等价性的桥梁就是
2．规范变换 规范：给定一组 A, ，称为一种规范
A A 规范变换：不同规范之间满足的变换关系： t
规范不变性：在规范变换下物理量和物理规律满足的动力学方 程保持不变的性质 B A 注：所有可观测的物理量都具有规范不变性 A E t 规范场：具有规范不变性的场称为规范场
B A A E t
t
注意： 结为静电场的电势；
a) 当 A 与时间无关，即 A 0 时,有 E ，这时 φ就直接归
b) 不要把 E A 中的标势 φ与静电场的电势 ( E ) 混 为一谈。因为在非稳恒情况下，电场不再是保守力场，不存在势能 的概念，这就是说现在的φ ，在数值上不等于把单位正电荷从空间 一点移到无穷远处电场力所做的功。为了区别于静电场的电势，把 这里的 φ称为标势
与洛伦兹规范的结果一样
库仑规范的优点是：它的标势φ描述库仑作用，可直接由电 荷分布ρ求出，它的矢势 A 只有横向分量，恰好足够描述辐射 电磁波的两种独立偏振，无需再加额外条件，因此在场论中 应用较多。 洛仑兹规范的优点是：它的标势φ和矢势A 构成的势方程具有对 称性。它的矢势 A 的纵向部分和标势φ的选择还可以有任意性， 即存在多余的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变性， 因而其应用也相当广泛。
c2 A E ik i A ik ( k A) i A t c2 c2 2 i k (k A) i k (k A) k A
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(v 1/ ) （1）
在体积V内有时变电荷源 (r , t ) 和电流源 J (r , t ) 分布。对比式(a)得达朗贝尔方程（1）的解为：
( r , t)
1 4
(r , t R / v)
A，
后,再代入
A t
求电场强度 E 和磁感强度 B ！
自由 2 2 2 t
2 2 A 2 A J 传导 t
(1)
(2)
式(1), (2)具有相同的形式，称为达朗贝尔方程。 其意义是：电荷产生标势波动，电流产生矢势波 动。离开电荷电流分布区域后，矢势和标势以相 同波动方式在空间传播，而由他们导出的电磁场 E和B也以波动方式在空间传播。
l , l r
电磁作用的区域分成三个区域：
1、近区：R 。因 kR 1 , eikR ~ 1，电磁场 保持恒定电场和磁场的特点。 2、感应区：R 。为过渡区域。 3、远区（辐射区）：R 。电磁场为横电 磁波。对远区有：
( r , t)
1 (r , t R / v) dV V 4 R
得正弦变化矢势和标势的复数形式为
A( r , t )
4
1
V
J ( r )e R
i ( t
R ) v
dV
( r , t)
4
(r )e
i ( t
R
V
dV
A( r , t )
4
V
J (r , t R / v) dV R
（2）
式(2)是体积V内时变体分布电荷源和电流源在 场点P产生的标势和矢势。
式（2）推导： 现求解式（1）的 , A 时变点电荷元 dq (r , t )dV 产生标势 ( R, t ) 满足
A t
或
1 A 2 0 c t
（1）
式(1)是洛伦兹规范(规定)！
例如：任意矢势和任意标势为
A A0
0 t
（a)
A 0 是给定矢势， 0 是给定标势， 是任意标
量函数！式（a)称为规范变换。 由式(a) A, 确定电场强度和磁感应强度为
拉杆天线
引向天线
对数周期天线
中国远 程相控 阵雷达
螺旋天线
微带天线
§1 电磁场的矢势和标势
§1.1
用势描述电磁场
一、矢势 A 完全类似稳恒磁场的矢势的定义得时变电磁场 的矢势!!!
因为 B 0 所以 B A 二、标势
（1)
因为
B E ( A) t t
求得矢势和标势的时间和空间分布。 3、将求得的矢势和标势。代入下式求电磁场 的时间和空间分布。
E ( r , t ) A t
B( r , t ) A
§3 电偶极辐射
电磁波是从交变运动的电荷系统或交变电流 天线辐射出来的。 §3.1 计算辐射场的公式（正弦时谐电磁场 的推迟势积分形式） 电荷源作正弦变化：
§2 推迟势
一、静态场的电势和磁矢势的积分方程
2
A J
2
其解为： 4 V
1
(r )dV
R
A 4
V
（a） J ( r ) dV R
二、时变电磁场的推迟势积分形式 矢势和标势满足达朗贝尔方程：
1 A 2 v 1 2 2 v
2u 1 2u 2 2 0 2 R v t
R [(x x) 2 ( y y) 2 ( z z) 2 ]1/ 2
上式是一维波动方程，其解是球面波：
R u ( R, t ) f (t ) v
R ( R, t ) f (t ) / R （a) v
A,
§1.2 规范变换和规范不变性 一、洛伦兹规范(规定)
因为 B A 仅仅规定矢势 A 的旋度，由亥姆 霍兹定理知：要唯一确定矢势，还必须规定矢势 的散度值 ! 否则矢势 不唯一! 不 A A A 唯一导致标势 也不唯一! 对时变电磁场，通常规定矢势的散度为：
1 2 1 2 R 2 2 0 2 R R R v t
dq (r , t )dV
点电 荷元
( R, t ) R
观察点 P
r
O
R r r
r
设 ( R, t ) u( R, t ) / R ，代入上式有
0
0
任何物理量和物理规律作与式(a)类似的规范变 换后， 保持不变，称为规范不变性。 要唯一确定
A，
，即唯一确定标量函数 ，
t
还必须规定 A 散度值(洛伦兹规范)：
A
（b) （c)
将式(a)代入式(b)得：
2 A0 0 2 t t
( R, t )
P
R
波源
R r r (c)
dq (r , t )dV
V
时变电荷源以 (r , t ) 分布在体积 V内，对式(c) 积分得时变体分布电荷源在场点P产生的标势为
( r , t)
1 4
(r , t R / v)
R
洛伦兹规范(规定)： A t
（d)
将式(d)代入式(c)得标势的微分方程：
自由 2 2 2 t
（1）
E 因为 H J 传导 （a) H B/ A/ （b) t
第五章 电磁波的辐射
§1 电磁场的矢势和标势 §2 推迟势
§3 电偶极辐射
§6 电磁波的衍射 §7 电磁场的动量
天磁波的传播
发射天线 导 行 电 磁 波
输入 入射、反射、透射、绕射
接收天线 导 行 电 磁 波
传输
由发射机产生的高频振荡能量，经过发射天线 变为电磁波能量，并向预定方向辐射，通过媒 质传播到达接收天线附近。接收天线将接收到 的电磁波能量变为高频振荡能量送入接收机， 完成无线电波传输的全过程。
接收天线 发射天线
馈 线
发射机
馈 线 导行波
下行波 接收机
发射机末级回路产生的高频振荡电流经过馈线送到发射 天线，通过发射天线将其转换成电磁波辐射出去；到了 接收端，电磁波在接收天线上感生高频振荡电流，再经 馈线将高频振荡电流送到接收机输入回路，这就完成了 信息的传递。在这个过程中，经历了电磁波的传输、发 射、传播、接收等过程。
洛伦兹规范(规定)： A t
2 2 A 2 A J 传导 t
（g)
将式(g)代入式(f)得矢势的微分方程： （2）
J 传导
是矢势 A 的源，自由 是标势
的源!
B A, E
由式(1), (2)求得
自由 1 dq ( r r ) 2 2 v t
2 2
时变点电荷元以外区域的标势 ( R, t ) 满足
1 2 2 2 0 2 v t
( x, y, z, t ) ( R, t )
因为标势有球对称，与角 变量无关，只与R角变量无 关。在球坐标中，上式变 为
所以
(E A) 0 t
（a) （b)
矢量恒等式： ( ) 0 比较式(a)和(b)得：
即
E A t E A （2) t
分别为时变电磁场矢势和标势。 注意这里的 没有静电场中电势的意义!!!
r
O
V
式中， 波数，推迟作用因子 e ikR 表示电磁 波从电荷电流源传至观察点有相位 kR 滞后。 对正弦交变电流 J (r, t ) J (r) cos(t ) J (r)eit ， 由式 （2）完全确定辐射的电磁波。
k
2
§3.2 矢势的展开式 交变电流分布在小区域，即小区域的线度 l 小 于电磁波的波长 和观察距离 r ：
A E t
（c)
将式(b)和(c)代入式(a)得：
1
A A J 传导 ( ) （d) t t
2
矢量等式： A ( A) A （e)
将式(e)代入式(d)得：
A A 2 J 传导 ( A ) （f) t t 2 2
V
dV
（2） （2）
同理，得时变体分布电流源产生的矢势：
A( r , t )
4
V
J (r , t R / v) dV R
式(2)表示：场点P在时刻t的标势和矢势不是由 同一时刻t的电荷电流分布决定，而是由较早时 刻（t-R/v) 的电荷电流分布决定。因此达朗贝 尔方程的解式(2)称为推迟势。电磁场以有限速 度v向外传播。