飞行器结构动力学

第1章 概 论
第1章 概 论
1.6 振动的频谱
第1章 概 论
1.6 振动的频谱
在数学上，周期函数可展为傅里叶三角级数，设
x(t)=x(t+kT), k为整数，并令 1 2 / T , 则有

x(t) a0 (an cos n1t bn sin n1t) （1-8） n1
z Ae j(ωt) Ae jt
第1章 概 论
（1-4）
1.5 振动的表示方法
用复振动表示简谐过程，使许多振动问题的分析或运 算得到简化，如用复振动表示的简谐振动的位移 、速
度 v(t)及加速度 a(t)之间的关系为
x(t) X e jωt
（1-5）
v(t)
dx dt

jωXe jωt
第1章 概 论
1.1 飞行器结构动力学的目的与任务
其他问题 飞行器结构与其他系 统的动力学耦合问题（ 如飞行器结构与推进系 统耦合产生的 POGO 问题）；保证飞行器乘 员舒适性的问题；液体 燃料火箭的燃油晃动问 题等。
第1章 概 论
1.1 飞行器结构动力学的目的与任务
分为以下四方面的基本课题：
第1章 概 论
第1章 概 论
1.4 振动的类型
第1章 概 论
1.4 振动的类型
振动过程是指振动位移、速度、加速度、力和应变等 机械量随时间的变化历程。对振动过程，按不同的标准 有多种分类方法。
a.
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1.4 振动的类型
b.
第1章 概 论
1.4 振动的类型
c.
第1章 概 论
第1章 概 论
1.1 飞行器结构动力学的目的与任务
结构振动固有特性分析
动态响应计算，结构动稳定性分析，结构与飞 行器其他系统（例如控制系统、燃料输送系统等） 的耦合干扰分析，都是以结构动态固有特性为基本 的原始数据。固有特性分析的基本内容是，在建立 结构动态分析模型的基础上进行结构固有频率及其 相应振型的计算。此项工作的分析精度在一定程度 上影响着许多设计环节的有效性。
1．振动设计问题。已知输入，要求设计出系 统的振动特性，使得它的动态响应满足设计 要求。
2．动环境预测问题。已知系统的动态特性和 输出，研究其输入特性。
3．系统识别问题。通过已知的输入与输出来 识别系统本身的动态特性与物理参量。
4．已知系统特性和输入，求系统的输出，称 为动力响应分析 。
第1章 概 论
飞行器结构动力学
第1章 概 论
飞行器结构动力学
第1章 概 论
飞行器结 构 动 力 学
第1章 概 论
西北工业大学
第1章 概 论
1.1 飞行器结构动力学的目的与任务 1.2 动力问题的基本特性 1.3 基本研究方法与分析模型 1.4 振动的类型 1.5 振动的表示方法 1.6 振动的频谱
第1章 概 论
第1章 概 论
1.1 飞行器结构动力学的目的与任务
气动弹性分析 当飞行器在飞行中受到外激励的作用产生振动
时，随着弹性变形的不断变化，必然会引起附加的 空气动力。在空气动力、变形所引起的弹性恢复力 和振动所伴随的惯性力的联合作用下，当飞行速度 达到某一特定值时，会出现空气动力面振幅迅速扩 大而在几秒钟内导致破坏的危险现象。我们把这种 自激振动称为颤振。
f 1 ω T 2π
（1-2）
z Acosθ jAsin θ
Aejθ
1.5 振动的表示方法
旋转复矢量与简谐振动的关系
z Acos(t ) jAsin(t ) Ae j(t) Ae jt
（1-3）
称旋转复矢量 Ae j(ω为t 复) 振动。进而可以写成以下形式
第1章 概 论
1.1 飞行器结构动力学的目的与任务
第1章 概 论
1.1 飞行器结构动力学的目的与任务
目的：
就是研究这种具体系统的振动特性和响应的分 析方法与特点，以保证飞行器结构安全可靠、 性能适当和具有足够的使用寿命。
结构动力学问题主要有以下几个方面：
外激励的分析与确定 主要激励源有发动机推力、射流噪声、附面层噪声、 控制力、阵风、飞行阶段的转换(点火、发射、分离、 熄火、着陆）、爆炸激励以及运输、装卸造成的激励 等等。这些激励有确定性的，也有随机性的。
其中
a0

1 T
T
2 T
xdt
2
an

2 T
T
2 T
x
cos
n1tdt
2
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1.6 振动的频谱
2
bn T
T
2 T
x sin
n1tdt
2
其中 (n 1, 2, 3, ...)

也可写成 x(t) c0 cn sin(n1t n ) n1
其中

V
e
jωt


jπ

V jωX ωXe 2
（1-6）
a(t)
dv dt

ω2
X e jω t

Ae
jωt


A jωV ω2 X ω2 Xe jπ
（1-7）
上述三式表明，复振动的速度v(t)比位移x(t)在相位上
超前 2；加速度a(t)又比速度v(t) 超前 2 .
一对应关系，称为傅里叶变换对。
第1章 概 论
这些分量依据n =1，2，3, … 分别称为基频分量、二倍频分 量、三倍频分量等。基频分量有时称为基波，n倍频分量则称 为n次谐波。
以f（或ω ）为横坐标， cn和φn为纵坐标，得到的 cn－f 和 φn －f 图分别称为幅值谱和相位谱，统称为傅里叶频谱。
周期函数的的频谱总是由若干沿f轴离散分布的普线组成，普 线长度分别代表频率分量的幅值和初相位。 正如简谐振动可以用复振动表示，周期振动也可采用复指数
第1章 概 论
1.1 飞行器结构动力学的目的与任务
结构动态晌应计算 在飞行器设计过程中，这项工作是反复进行的。其主 要内容是确定结构在外激励下产生的输出。激励和输出 可以是力、位移或加速度。掌握这些参量在飞行器工作 过程中随时间变化的规律，是对结构进行动强度、刚度 及舱内设备空间余量设计的必要条件，并在很大程度上 影响着舱内敏感元件固定方式与合理位置的确定等。因 此，本课题在飞行器结构动力学中是研究得最活跃的领 域之一。

c0 cn

a0 an2

bn2

n

arctg
bn an
பைடு நூலகம்
(n 1, 2, 3, ...)
第1章 概 论
（1-9） （1-10） （1-11）
1.6 振动的频谱
可见，一个周期振动过程可视为频率顺次为基频ω1 及其整数 倍的若干或无数简谐振动分量的合成振动过程。
图1.1
第1章 概 论
1.5 振动的表示方法
第1章 概 论
1.5 振动的表示方法
当某一机械量 x随时间t按正弦或余弦规律变化时， 称之为简谐振动过程。
振动方程
x Asin(ωt )
（1-1）
周期与频率 周期 频率
复矢量表示简谐振动
第1章 概 论
T 1 2π fω
第1章 概 论 1.2 动力学问题的基本特性
第1章 概 论
1.2 动力学问题的基本特性
主要表现在两个方面： 1. 动力问题都包含时间变量 2. 惯性力的存在
第1章 概 论
第1章 概 论 1.3 基本研究方法与分析模型
第1章 概 论
1.3 基本研究方法与分析模型
最基本的分析模型有两大类： 连续系统模型 离散系统模型
形式的傅里叶级数。
第1章 概 论
1.6 振动的频谱
傅里叶级数的复指数形式
根据欧拉公式可知
an
cos n1t

an 2
(e jn1t
e jn1t )
bn
sin
n1t

an 2j
(e jn1t
e jn1t )
将其代入（1-8）式，得
x(t) a0

n1
[
1 2
n1


X ne jn1t
n
X n 1
T
T
2 T
x(t)e jn1t dt
2
（1-14） （1-15）
（1-14）和（1-15）即为傅里叶级数的复指数形式。
第1章 概 论
1.6 振动的频谱
非周期过程的傅里叶级数的复指数形式
x(t)
d
[
x(t)e jt dt]e jt
(an

jbn )e jn1t

1 2
(an

jbn )e jn1t ]

令
X 0 a0

X
n

1 2
(an
X
n

X
n

jbn )
1 2
(an

jbn )

第1章 概 论
（1-12） （1-13）
1.6 振动的频谱
则（1-12）可写为

x(t) X 0 [ X en jn1t X e ] n j(n1)t
2

1 [
x(t)e jt dt]e jtd
2
（1-16）
将上式中的方括号中的积分结果记作 X ()，则有
X () 1
2

x(t
)e
jt
dt


x(t) X ()e jtd

（1-17）
上式建立了时域函数 x(t) 和频域函数 X ()之间的一