高数下册总复习知识点.ppt

特殊地：当 p q时，方程变为
x2 y2 z
( p 0)
旋转抛物面
2p 2p
（由 xoz 面上的抛物线 x2 2 pz 绕它的轴
旋转而成的）
（3）马鞍面
x2 y2 z 2 p 2q
( p 与 q 同号 )
（4）单叶双曲面 （5）圆锥面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x2 y2 z2
它们距离为
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
2、数量积 (点积、内积)
a
b
|
a||
b|
cos
其中为a与b的夹角
数量积的坐标表达式
a
b
a x bx
a
yby
a z bz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
axbx a yby azbz
ax2
a
2 y
az2
y by , az bz）
ar
r b
(ax bx )i (ay by ) j (az
（ax
bx
,
a
y
by ,
az
bz）
bz
)k
ar
(ax
（ax,
bx )i
ay,
(ay by
az）
)
j
(az
bz
)k
(ax )i (ay ) j (az )k
向量模长的坐标表示式 | a| ax2 a y2 az2
4.空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t )
z z(t)
[3] 空间曲线在坐标面上的投影 C C关于 的投影柱面 C在 上的投影曲线
zC
设曲线
C
:
F ( x, G( x,
y, y,
z) z)
高数下册总复习知识点归纳
第八章 向量代数与空间解析
各
几何总结
章
节
第九章多元函数微分法
知
第十张：重积分，三重积分
Baidu Nhomakorabea
识
点
第十一章：曲线积
归
分与曲面积分
纳
第十二章：无穷级数
第八章 向量代数与空间解析几何总结
（一）向量代数
1、向量的坐标表示法
向量的分解式：
a
axi ay j azk
在三个坐标轴上的分向量：
z
o
y
x
（1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面
x2 y2 z2 1
x2 y2 z2
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
2. 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
这条定曲线叫柱面 的准线，动直线叫 柱面的母线.
1
A12 B12 C12 A22 B22 C22
[5] 两平面位置特征：
(1) 1 2 n1 n2 A1 A2 B1B2 C1C2 0
(2) 1 // 2 n1
重合
n2
A1 A2
B1 B2
C1 C2
.
第九章多元函数微分法
1、偏导数概念
定义 设函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0而 x在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量
bx 2 by2 bz 2
rr a b 0 axbx a yby azbz 0
3、向量积 (叉积、外积)
|
c||
a||
b|
sin
其中为a与b的夹角
c的方向既垂直于a，又垂直于b，指向符合右
手系.
i jk
向量积的坐标表达式
a
b
ax
ay
az
bx by bz
（二）空间解析几何
1. 旋转曲面
方程特点:
设有平面曲线
L:
f
(x, y) z0
0
(1) 曲线 L 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面 方程为
f ( x, y2 z2 ) 0
(2) 曲线 L 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面 方程为
f ( x2 z2 , y) 0
x2 z2 1
a2 c2
x2 a2
y2
z2 c2
1
旋转单叶双曲面
母线// y 轴
x
z
y2 b2
z2 c2
1
z 椭圆柱面 y
x
x
双曲柱面 y
x2 a2
y2 b2
1
z
抛物柱面 z 2 2 px
y
3. 二次曲面
定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.
（1）椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
（2）椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q ( p 与 q 同号 )
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋转双叶双曲面
抛物线
y2
2
pz 绕 z 轴；
x 0
x2 y2 2 pz
旋转抛物面 z
z
y x
y xo
y2
椭圆
a
2
z2 c2
1绕
y 轴和z轴；
x 0
绕 y轴 旋 转 y 2
a2
x2 c2
z2
1
绕 z轴 旋 转 x 2 a2
y2
z2 c2
1
旋 转 椭 球 面
a
x
i,
ay j,
azk
向量的坐标表示式： ar (ax , ay , az )
向量的坐标： ax , a y , az
其中 ax,ay ,az 分别为向量在 x, y, z 轴上的投影.
向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式
arar（brax（, aaxy
,
az）
bx
,
a
r b （bx , by , bz）
0 0
O
y
则C关于xoy面的投影柱 x
面方程应为消z后的方程： H ( x, y) 0
所以C在xoy面上的投 H ( x, y) 0
影曲线的方程为：
z
0
5.平面
[1] 平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 [2] 平面的一般方程
Ax By Cz D 0
[3] 平面的截距式方程 x yz 1 a bc
z
n
M0 M
o
y
x
nM 0
( x0 , { A,
y0 B,
, z0 C}
)
z c
o xa
by
n1
[4] 平面的夹角
n2
1 : A1 x B1 y C1z D1 0
2
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
cos
| A1 A2 B1B2 C1C2 |
从柱面方程(的特征:二元方程)看柱面的特征：
只含 x, y而缺z的方程F(x, y) 0，在
空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱
面，其准线为 x o y面上曲线C .（其他类推）
实 例
y2 z2 b2 c2 1
椭圆柱面
母线 //x 轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面
母线 // z 轴
z 2 2 px 抛物柱面
向量方向余弦的坐标表示式
cos
ax
ax2 ay2 az2
cos
ay
ax2 ay2 az2
cos
az
ax2 ay2 az2
cos2 cos2 cos2 1
两点间距离公式: 设 M 1( x1 , y1 , z1 )、 M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点