最优投资组合选择

wi wjσ i, j
i=1 j=1
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28
资产组合的收益率和风险
• Put it another way:
N
NN
∑ ∑ ∑ σ
2 p
=
wi2σ
2 i
+
wi wjσ i, j
i =1
i=1 j=1,i≠ j
N
NN
∑ ∑ ∑ =
wi2σ
2 i
+
2
wi wjσ i, j
i =1
= 10%
Ran Zhang, USTB
12
2
1.2 风险
• 风险的来源 – 不确定性，即人们不能准确地知道未来会发生什么；
– 是对当事人来说事关紧要的不确定性
• 风险的定义
•
风险意味着对未来预期结果的偏离，这种偏离是正反两方面的，既有可
能向不好的方向偏离，也有可能向好的方向偏离，因此，风险并不仅仅意
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18
3
1.2 风险的衡量
Variance（方差） - Average value of squared deviations from mean. A measure of volatility.
Standard Deviation（标准差） - Average value of squared deviations from mean. A measure of volatility.
时，承担的风险越小越好。 • 有了这两个假设就有了一个评判证券优劣客观标准：如两个证
券的期望收益率相同，风险小的就比风险大的要优。同样当两 个证券的风险相等，期望收益率高的就更好一些。
• “优于”是证券之间的一种关系 • “无差异”是证券之间的一个等价关系
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21
效用（utility）
σ(r2)4
4
无差异曲线（Indifference Curves）
E(r)
u=3
B
u=2
u=1
A C
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σ(r2)5
0
1.5 资产组合的收益率和风险
• 对于两种证券来说，组合的期望收益率是这两种 证券收益率的加权平均
rP = wr1 + (1 − w)r2
• 但该组合的波动率就没那么简单
100% 10
期望收益率
( ) E
R~
n
= ∑πi Ri
= π1R1 + π 2R2 + L + π n Rn
i =1
E(R~):投资的期望收益率
πi :第i种状态发生的概率 Ri :第i种状态发生时的收益率估计值 n:可能的状态的数量
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11
计算期望收益率的例子
经济形势 好 正常 差
i=1 j=i+1
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两种风险资产构成的资产组合的方差
When two risky assets with variances σ12 and σ22, respectively, are combined into a portfolio with portfolio weights w1 and w2, respectively, the portfolio variance is given by:
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9
Probability Density
Distribution of Returns on Two Stocks
-100%
NORMCO VOLCO
-50%
3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0
0% Return
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50%
第8讲
投资组合理论
（Portfolio Theory）
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1
内容提要
• 没有风险就没有收益
•
--风险与收益的衡量
•
--效用与无差异曲线
•
--资产组合的收益率和风险
• 不要把鸡蛋放在同一个篮子里
•
--无风险资产与一种风险资产构成的组合
•
--两种风险资产构成的组合
•
--多种风险资产构成的组合
• 效用：投资的效用取决于该证券的期望收益和风险两个方面，期望收 益率的增大会使效用增加，方差（风险）的增大会降低我们的效用。
• 投资决策就是选择不同的风险－收益的权衡（trade-off） • 效用函数：投资证券的“满足感”（效用）可用由期望收益率和方差确
定的效用函数刻画。 U = E ( r ) – .005 A σ 2
σ P = wσ1 + (1 − w)σ 2 ？
(不一定！什么时候成立、什么时候不成立？)
σ
2 P
=
w2σ
2 1
+ 2w(1 −
w)ρ12σ1σ 2
+
(1 −
w)2σ
2 2
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26
资产组合的收益率和风险
• 考虑更一般的情形，假设我们的资产组合由N种证券构成，每种成分证
券的权重为w、收益率为r 。
60
40
20
0
-20
-40
Common Stocks
Long T-Bonds
-6026 30 35 40 45 50 5T5-Bills60 65 70 75 80 85 90 95 2000
Year
Source: Ibbotson Associates
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16
Index Percentage Return
Small Cap Corp Bonds
Long Bond
T Bill
10
1
0.1 1925
1940
Source: Ibbotson Associates
1955
1970
Year End
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1985
660 267
6.6 5.0 1.7
2000 15
Rates of Return 1926-2000
风险厌恶（risk aversion）
• 公平游戏(fair gamble)：A lottery——head, win $5; tail, lose $5
• Expected payoff: 0 • 风险厌恶者不会参加公平游戏！
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17
风险厌恶 VS. 损失厌恶
•人们并不是很厌恶不确定性− 但是，它们憎恨损失。 损失在人们眼里总是要大于同等数量的获利 displeasure with losing $5 & pleasure with winning $5 风险厌恶是现代金融学对理性的市场参与者的最基本的 假设。
处于“熊市”，因此利润分配造成了亏损。
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8
收益率的概率分布
• 投资的收益率是不确定的（有风险）
• 我们用如下指标来刻划不确定性 – 期望收益率：你预期将获得的平均收益率 – 波动率(标准差)：未来收益率的分散程度 – 股票的波动率越大，可能的收益率区间越宽， 收益率出现极端情况的可能性越大
HPR = Ending Price − Beginning Price + Cash Dividend Beginning Price
• Ending Price = 48
• Beginning Price = 40
• Dividend
=2
HPR = 48 − 40 + 2 = 25 %
40
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σ 2 = ∑ P(s)[r (s) − E (r )]2 s
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19
方差和标准差
( ) ( ( )) ∑ σ 2 R~ = n πi Ri − E R~ 2 i =1
二锅头的方差
经济形势
概率
收益率 对均值的 偏离的平 概率X偏离的
偏离
方
平方
好 正常 差
0.20
50% 40%
0.16
0.60
10% 0
0
0.20
-30% -40%
0.16
0.032 0 0.032
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20
1.3 如何评价一个证券的优劣？
• 即假设所有投资者都服从以下两个假设 • 1. 不满足假设：人人都希望证券的期望收益率越高越好。 • 2. 回避风险假设：人人都希望投资证券时在获取较高收益的同
σ
2 p
=
E
⎡⎣rp
−
E(rp )⎤⎦2
∑ ∑ =
E
⎡ ⎢⎣
N i =1
wi ri
−
N i =1
wi
E(ri
)
⎤ ⎥⎦
2
∑ =
E
⎡ ⎢⎣
N i =1
wi
(ri
−
E
(ri
))
⎤ ⎥⎦
2
∑ ∑ ⎡ N N
⎤
=E⎢
wiwj[(ri − E(ri )][(rj − E(rj )]⎥
⎣ i=1 j=1
⎦
NN
∑ ∑ =
•
--两种风险资产和无风险资产构成的组合
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2
第一节 收益与风险的衡量
• 1.1 收益与期望收益率 • 1.2 风险 • 1.3 投资者的无差异曲线 • 1.4 无差异曲线族 • 1.5 投资组合的收益与风险
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3
问题的提出
• 赚多少钱、赚多长时间，担多大的风险……
σp2 = w12σ12 + w22σ22 + 2W1W2 Cov(r1r2)
When one asset is risk free, σp2 reduces to w12σ12
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30
5
资产组合的收益率和风险
经济状态 1 2 3
概率
A的收益率
0.20
−5%
0.60
1ຫໍສະໝຸດ Baidu%
• A称为风险规避系数，衡量了投资者风险厌恶的程度 • 投资就是选择U值大的证券 • 我们认为U值相等的证券是等价的。
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22
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1.4 无差异曲线（Indifference Curves） 与无差异曲线族
E(r)
u=3
B
u=2
u=1
A C
23
0
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味着遭受损失的可能。
直观的理解
– 危险，即(downside risk):不利事件发生的可能性。
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13
风险
• 金融活动中的风险 – 未来收益的不确定性 – 市场风险(Market Risk) 是由于未来市场价格(利率、汇率 、股价、商品价格)的不确定而导致资产价值的波动；
概率 0.20 0.60 0.20
二锅头收益率 五粮液的收益率
50%
30%
10%
10%
−30%
−10%
( ) E R~二锅头 = 0.20 × 0.50 + 0.60 × 0.10 + 0.20 × (− 0.30)
= 10%
( ) E R~五粮液 = 0.20 × 0.30 + 0.60 × 0.10 + 0.20× (− 0.10)
7
• 大连创世股票2002年7月23日收盘价为16.64元，当 日收盘后即进行利润分配，每十股股票派发现金红 利0.8元，赠送股票5股。第二天除权后收盘价为 10.91元。问7月24日该股票的收益率是多少？
• 一般在市场处于“牛市”时，进行利润分配后，股票
的收益率应该是正的。但是，2002年我国股市恰好
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5
• 例题：
• 通常用股票的收盘价作为计算收益率的依据。例如某 股票周一的收盘价为9.68元，周二收盘价为9.85元， 则该股票在周二这一天的收益率是
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6
1
Holding Period Return(持有期收益率)
• Holding Period Return (HPR)
• 那么：
N
∑ rp = w1r1 + w2r2 + w3r3 +...+ wnrn = wiri i=1 N
∑ E(rp) = w1E(r1) + w2E(r2) + w3E(r3) +...+ wnE(rn) = wiE(ri ) i=1
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27
资产组合的收益率和风险
• The variance of P is:
19.4%
12%
9%
10.8%
E(R~P ) = 0.2 × 4.6% + 0.6 ×10% + 0.2 ×19.4% = 10.8%
0.20
35%
资产组合：θA =0.6 和 θB = 0.4
资产组合的收益率和风险？
B的收益率 19% 10% −4%
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31
资产组合的收益率和风险
经济状态
概率 A的收益率 B的收益率 组合收益率
1
0.20
−5%
19%
4.6%
2
0.60
10%
10%
10%
3
0.20
35%
−4%
– 信用风险：交易对手信用质量的恶化。 – 操作风险：内部的流程、人员或系统的不适当、失误或外
部事件的冲击而造成的损失。
• 风险度量：单边风险，双边风险
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14
The Value of an Investment of $1 in 1926
S&P
Real returns
1000
投资决策考虑的两个因素
– 收益率 – 风险
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4
1.1 收益与期望收益率
• Holding Period Return(持有期收益率) • 股票的收益率与债券的收益率和银行存款的收益率的不同 • 持有期收益率的计算
r = W1 −W0 W0
• 其中，W0 是期初财富，W1 是期末财富