第三章 确定年金
保险精算学-确定年金
n
2.5 年金例题
在日常生活零存整取、债务分期偿还等 都是在相等的时间间隔上做的一系列支付， 我们称之为年金。
第2章 年金 (Annuity)
年金，是定期或不定期的时间内一系列的现金流 入或流出。
年金的分类
一般地，年金可以分为如下的两大类：
1. 确定年金：只要事先约定就会确定支付的年金； 2. 或有年金：收付的发生，以某指定事件是否发 生而定. 比如，生存年金以被保险 人生存为支付年金的先决条件.
标准年金
确定年金的标准型：
由于年金的形式多种多样，为了便于研究， 常常确定一个年金的标准型。 标准年金：指付款时间间隔相等、每次付款 额 相等、在整个付款期内利率不变且计息转 换周期与付款周期相同的年金。
2.1 确定年金的现值
(1) n 年定期年金的现值
..
例1：某君从银行借款20,000元，规定在 今后十年内等额还清，还款时间为每年年 末，若贷款复年利率为5%，求每年的还款 额.
i
nv
n
) n 终值： ( I s
i
d n ) n i (1 i ) ( Ia
n i n s d
n 年定期递减年金
第一年末收付n元，以后每年末收付减少1元， 一共收付 n 次。 期末收付：
n n−1 1 金额
0
1
2
n 年份
期末收付
记 其 现 值 为 ( Da) n ( Da) n
n n ( 1 i ) 1 1 (1 i ) sn (1 i ) (1 i )n (1 i )sn d d 1 vn 1 a lim an lim n n i i 1 vn 1 a lim an lim n n d d
第三章 确定年金的现值
n
1 v ani i
例：每年末付款100元，共付5年，利率4%，每年 复利一次，求年金现值。
100a 5 4% 100
1 v 4%
5
445.2(元)
§2每年付款一次，复利M次的期末付 确定年金现值。
a
ni
1 v i
n
由于
j m （1+ ） 1 i m
1、已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1 年的利率为 ， 10% 第2年的利率为，i2 8% i1 第3年的利率为 ， 6%求该笔投资的原始金额。 i3
2、确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率 为每季度计息一次的年名义利率6%。(2)名义贴现 率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
a
( p) ni
1 v n j
1 j m 将（1+i）=(1+ ) , j p【(1 i ) p 1】 m 代入得：
j mn 1 (1+ ) 1 ( p) m ani p j m (1 ) p 1 p
借款总额
Ra
S ni
S
每次应偿还金额为：
R
a
ni
例：某人欲分四年偿还一笔600元的借款，每年付 款一次，期末付款，借款利息为3%，此人每次归 还：
R
600
a
161.42
4 3%
在分期付款为期首付的时候：
R
S
a
ni
例：某人有一笔钱600元分四年领取，每次领取都 在年初，假设年利率为3%每年可以领取的年金为：
《保险精算学年金》PPT课件
a
(m)
1 1 v v .... m m 1 v 1 1 ( m) 1 1 m i m m 1 v m[(1 i ) 1]
1 m
1 m
2 m
(m) an (m) an
1 vn m i n 1 v m d
(m) Sn (m) Sn
直接法
如果期末年金每次的收付额为R, 则终值为RSn .
. 如果期首年金每次的收付额为R, 则现值为RS n
II
推导法
由（3-1）与（3-2）知：
n n (1 v ) (1 i ) 1 n n S n (1 i ) an (1 i ) i i n n (1 v ) (1 i ) 1 n (1 i ) n a S (1 i ) n n d d
0
证明 : 记Lx 表示x岁的人在一年内存活的总人年数. lx lx 1 1 Lx lx 1 d x 2 2 记Tx 表示x岁的在未来存活的总人年数. Tx
0
x 1
t 0
L
x t
Tx 1 x 1 e x Lx t lx lx t 0 1 x 1 1 1 1 lx t 1 d x t lx 1 lx 2 ... l 1 lx t 0 2 2 lx Tx 1 x 1 1 x 1 lx t lx t 1 1 x 1 1 另,e x Lx t t d x t lx lx t 0 lx t 0 2 lx t 0 2
例子
Ex2.10在上例中，如果退休后个人帐户累积 额以固定年金的方式在20年内每月领取一 次，求每月领取的数额。 Ex2.11某人贷款50000元购买汽车，从贷款 第9个月开始用5年的时间每月还款，利率 为6%，求每月的还款额。
企业年金管理办法
企业年金管理办法第一章总则第一条为了规范企业年金管理，确保年金基金财产安全和保值增值,切实发挥企业年金的激励作用，提高员工退休后收入水平，推动企业实现又好又快发展，根据《劳动法》、《劳动合同法》、《社会保险法》、《企业年金基金管理办法》和《企业年金办法》等有关法律法规，特制定本办法。
第二条公司建立企业年金计划，公司及员工作为委托人，与受托人签订受托管理合同。
受托人与企业年金基金账户管理机构（以下简称账户管理人）、企业年金基金托管机构（以下简称托管人）和企业年金基金投资管理机构（以下简称投资管理人）分别签订委托管理合同。
依照《年金方案》、受托管理合同和委托管理合同履行管理职责。
公司与员工双方监督受托管理合同的履行情况。
公司下设年金管理办公室，办公室设在人力资源部，负责企业年金基金的收缴和个人账户的结算等日常管理运营工作。
第二章参加年金的条件和程序第三条参加企业年金必须同时具备下列三项条件:（一）公司在册在岗员工，且在本公司最后一次连续工作年限满5年；（二）系公司行文聘任的各级管理人员，或副主任工程（会计、经济）师及以上专业技术人员，其中副主任工程（会计、经济）师聘期须满5年；（三）自愿申请并履行缴费义务。
第四条符合参加年金条件的人员，本着自愿原则，由本人填写《参加企业年金申报表》，需要退出、调整标准的，由本人填写《企业年金标准调整申报表》，由所在单位或部门审核后，于每年1月底前报年金管理办公室审批，逾期不再受理。
申报、退出、调整每年开展一次，中途不补办或变更。
第三章年金缴费办法第五条企业年金由公司和员工共同缴纳。
其中，单位缴费部分按本公司上年度工资总额的5%纳入年度财务预算，分月提取，于下月25日前随同个人部分一并上缴到公司年金管理账户,由公司统筹管理。
个人缴费由公司每月从员工个人工资中代扣。
第六条自个人缴费之日起,公司按照1:2的标准为其缴费，按月缴费到指定账户。
第七条根据各人具体条件不同，参加企业年金的个人、单位具体缴费档次见下表。
集团有限责任公司企业年金方案
集团有限责任公司企业年金方案第一章总则第一条:为了深刻理解和把握构建社会主义和谐社会的丰富内涵，为了全面落实科学发展观,为了保障和提高集团有限责任公司员工退休后的生活水平，建立多层次养老保障体系,吸引和留住人才,增强公司的竞争力和凝聚力，促进公司健康持续发展，集团有限责任公司（以下简称“集团”）实施本企业年金方案。
第二条企业年金是指集团和方案参加人按国家政策规定,在依法参加基本养老保险的基础上,按照自愿、量力的原则,自主建立的企业补充养老保险制度。
第三条本方案依据《中华人民共和国劳动法》、《中华人民共和国信托法》、《中华人民共和国合同法》、《企业年金试行办法》、《企业年金基金管理试行办法》、《集体合同规定》、市《关于贯彻实施<企业年金试行办法>有关问题的通知》、《关于市国有企业试行企业年金制度的指导意见》以及其他国家有关政策法规，并结合集团的实际情况制定。
第四条根据集团实际,本方案遵循以下原则：（一）发展的原则集团通过建立企业年金制度,提高员工的退休待遇，调动员工的劳动积极性，增强员工的创造力，提高劳动生产率,从而促进公司发展。
（二）充分体现公平及兼顾效率的原则企业年金所需费用由企业及员工共同承担，企业缴费采取普惠和激励相结合的分配方式。
即保护多数参加人的利益，也要适当及参加人的贡献大小挂钩。
（三)自愿平等协商的原则企业年金是集团经由职工代表大会或职代会联席会议同意自愿建立的福利制度,企业年金的建立和重大修改都将经职工代表大会或职代会联席会议讨论同意后实施。
（四)高度安全、适度收益的原则企业年金基金的管理严格按照国家有关制度规定执行，按照规定的投资范围实现基金的保值增值,避免基金从事任何高风险的投资项目，确保基金在高度安全的前提下获取适度收益。
(五)适时调整的原则企业年金水平根据集团经济负担能力确定，集团有权根据经济状况的变化适时调整缴费水平，企业年金方案及集团经济状况、经济承受能力相适应,兼顾出资人、集团和员工的利益。
企业年金管理办法
企业年金管理办法为进一步完善企业薪酬福利结构，提髙职工养老保障能力，增强企业的凝聚力和竞争力, 促进企业激励与约束机制建设，根据宁波热电相关文件，结合公司实际，特制订本办法，以规范公司企业年金的建立和管理运行。
第一章总则第一条本办法所称的企业年金，是指在国家政策指导下，企业及苴职工在依法参加基本养老保险的基础上，自愿建立的补充养老保险制度。
第二条公司根据上级公司相关文件要求和当年的经营效益状况，兼顾国家、企业和职工三者的利益关系，充分考虑企业经济承受能力量力而行，在集体协商的基础上自愿自主建立企业年金。
企业年金待遇水平与企业效益及职工个人贡献挂钩，对关系企业长期发展的核心骨干人才适当倾斜。
第三条企业年金的建立应结合企业情况、人力资源配置和薪酬分配汁划，科学设计符合企业实际的年金制度，合理确泄缴费水平，强化年金的激励功能和约束功能。
第四条企业年金按照国家有关政策进行规范操作，坚持公开、公平、公正原则，维护企业年金的合法性、安全性和公平性。
第二章企业年金的建立条件第五条建立企业年金，需符合以下基本条件：（-）职工收入分配管理规范，并依法参加基本养老保险并履行缴费义务：（二）实施年金以财务报表盈利、实现国有资产保值增值为前提，因经营性原因导致报表亏损或未实现国有资产保值增值时，暂缓实施企业年金；（三）具有持续的年金缴费能力，年金缴费水平与企业人工成本承受能力相适应。
若人工成本投入产出效率在行业内处于较低水平时，暂缓实施企业年金；（四）建立集体协商机制。
第六条建立劳动合同关系，且在本企业工作满一年及以上的正式职工可以参加企业年金。
第七条有下列情形之一的，当年不得参加企业年金：（-）病假累计半年及以上的，事假、待（离）岗累计三个月及以上的；（二）违反公司规章制度，情节严重的：（三）因个人原因，职工自动离职、与公司解除或终止劳动关系的：（四）已参加企业年金的职工，本人书而申请不继续参加的；（五）因个人原因，与公司签订专项协议，停止发放工资的；（六）被追究刑事责任的。
确定年金
实际问题的解决：
令每年需要偿还的金额为X，则有：
1
2
3
……
……
10 1 X X
200000
X X X
即：
X a10 2 0 0 0 0 0
X 200000 a10 200000 0.05 1 (1 0.05)
10
25900
所偿还的本利之和：
2 0 0 0 0 0 (1 5 % ) 3 2 5 7 7 8
(1 i )
…
n 1
S n 1 (1 i ) (1 i ) (1 i )
2
n 1
(1 i ) i
n
1
S n a n (1 i )
n
实际问题：
假设你要买房，需要从银行贷款20万，
分十年还清，利率为5%，则你每年需
要偿还多少？十年中所偿还的本利之
的数目或有确定的起止日期。
• n年
积累 • 1 • k 贴现 • (1+i)-n=vn • k(1+i)-n=kvn • V=1/(1+i)
• (1+i)n • k(1+i)n • 1
• k
确定年金的现值与终值
• 年金的现值：一系列付款在最初开始
时的价值
• 年金的终值：一系列付款经过一定时
期积累的本利之和。
10
或：
X S 1 0 25900.91 (1 5% ) 1
10
5%
325778
假设： 每年末支付1单位金额， 共支付n年，利率为i， 其现值与终值分别记 为 a 、 Sn n
1
2
成都市企业年金规章制度
成都市企业年金规章制度第一章总则第一条为了全面推进企业年金制度建设，规范企业年金管理，保障职工的退休保障权益，促进企业和员工的共同发展，根据《中华人民共和国企业年金条例》及《成都市企业年金管理办法》，制定本规章制度。
第二条本规章制度适用于成都市范围内各类企业的年金管理，并对企业年金计划的制定、资金管理、参保人员的权利义务等方面进行规范。
第三条企业年金计划应当建立健全的管理机构，遵循公平、公正、公开的原则，确保企业年金资金的安全、稳健运营。
第四条企业年金计划应当依法设立年金决策委员会，并按照相关法律法规规定进行运作。
第五条企业年金计划应当实行中央集中的资金管理和统一的投资管理，确保资金的安全性和稳健性。
第六条企业年金计划的参保人员应当依法缴纳企业年金保险费，并享有相应的权益。
第七条企业年金计划的资金使用应当合法、合规，不得违法违规占用或挪用。
第八条企业年金计划应当建立健全的信息化管理系统，确保信息的安全和保密。
第九条企业年金计划应当加强宣传和教育工作，提高参保人员的意识和保障水平。
第二章企业年金计划的设立第十条企业年金计划的设立应当遵循合法、公正、公平、透明的原则，根据企业规模、经济实力和员工情况确定参保人员范围和权益待遇。
第十一条企业年金计划的设立应当通过企业法定代表人或董事会决议，并向企业年金管理机构报备。
第十二条企业年金计划应当明确基金的来源、计划的管理办法、参保人员的权益和义务等内容，并由企业年金管理机构管理和运作。
第十三条企业年金计划的设立应当制定详细的计划管理制度，并设立专门的管理机构和工作人员，确保计划的规范运作。
第十四条企业年金计划的设立应当经企业年金管理机构审查并报备，取得相关批准文件后方可开展运作。
第十五条企业年金计划应当定期进行评估和审查，保证计划的正常运作和资金的安全性。
第十六条企业年金计划的设立应当遵循《中华人民共和国企业年金条例》的相关规定，并按照《成都市企业年金管理办法》的要求进行操作。
年金第三节
s
(12 ) 5
1200×5.79=6949元
(1 0.06) 1 5.79 (12 ) i
2、变额年金
（1）各年付款额成等差数列关系：某期末付年金首期付 款额为p，从第二期开始，每期付款额比前一期增加Q， 共有n个付款期，每个付款期利率为i。其中，p>0， p+（n-1）Q>0。 现值：V(0)=pv+(p+Q)v2+(p+2Q)v3+…+[p+(n-1)Q]vn
.. ..
m
an
..
m n 1 k m
v
k
v a n a m n a m
（三）年金的一般型：利率、支付期和支付额的变化
1、付款次数多于计息次数的年金：假设年实际利率 为i，每年付款金额总数为1，但分m次支付，每个付 款期为1/m年，每次付款金额为1/m。
a 计算现值（ ）和积累值（ ）时， n an ( m ) .. ( m ) 利用利率转换方法，将与付款频率不一致的利率， sn s n 转换为与付款频率相一致的利率，即转换为标准型 的年金形式进行计算。
2 n2
..
v
v
v
同理，
sn sn (1 i )
..
例：某银行客户想通过零存整取方式在1年后获10000 元，在月复利为0.5%的情况下，每月储蓄存入多少元？
解:设每月存入R元，有：
R an 0.05 10000 R 10000 a n 0.05
..
..
元 2504 .46
不赔不赚
(1+i)n=1+isn
现值与积累值的关系： sn =an (1+i)n an=v+v2+v3+…+vn
第三节年金MicrosoftPowerPoint演示ppt课件
。 m
a n
vm1 vm2 vmn1 vmn
vm (v v2 vn )
vma n
或：
m
a n
a mn
a m
终值
m
s n
1 (1 i) (1 i)2 (1 i)n1
(1 i)n 1 s
i
n
n
n
解二
设每次的实际利率为i0
1 i (1 i0)m
每次给付为1的现值和终值为：
a 和s
mni0
mni0
a(m)与a 的关系
n
n
。
a(m) n
1 vn d (m)
1 vn d
d d (m)
d a d (m) n
同理：
s(m) n
d d (m)
s n
1
2
vm
1
mn 1
vm m
n mm
m
m
1
1
(1 v m
2
vm
v
mn m
1 m)m来自1 m
(1 vn )
1
1 vm
1 m
1 vn
1
1 (1 d )m
1 vn
1
m[1 (1 d )m ]
1 vn d (m)
终值
s(m) a(m) (1 i)n
d
5、标准递减型年金
n年期年金 1）期末付
各年末支付如下： n，n-1，n-2，n-3，-----，1
现值： (Da) nv (n 1)v2 (n 2)v3 vn
第3章 年金
第3章年金年金是指每隔相等的时间间隔进行的一系列收、付款行为。
例如：房屋租赁、养老金的缴纳与提取等。
在我国，年金就是指养老金。
3.1年金的定义及其分类定义1 年金（annuity）一般是指以相等的时间间隔进行的一系列收付款行为。
分期偿还贷款、发放养老金、支付租金、提取折旧等都属于年金收付形式。
年金最原始的含义是指一年收款一次，每次支付相等金额的一系列款项。
但现在，年金的含义得到了推广，每月支付一次、每季度支付一次或每周支付一次的都被看做年金。
年金按照不同的分类方式，就具有不同的类型。
（1）按照支付金额和支付时间是否确定，可以分为确定年金和风险年金。
（2）按照付款周期与利息换算周期是否一致，可以分为基本年金和广义年金。
（3）按照每次收付款项发生的时间点不同，可以分为期末年金、期初年金、递延年金和永久年金。
（4）按照每次付款金额是否相等，可以分为等额年金和变额。
3.2基本年金所谓基本年金是指付款周期与利息换算周期相同的年金。
基本年金有四种基本类型，即期末年金、期初年金、递延年金和永久年金。
3.2.1期末年金定义2 若年金的现金流在第一个付款期末首次发生，随后依次分期进行，则称这种年金为期末年金，有时也叫后付年金。
推导期末年金的终值公式以银行的零存整取为例，推导现值公式则以银行按揭贷款为例进行推导。
所谓零存整取，是银行和储户约定在每月的某个日期定期存入一笔相同的款项，在存款期满按规定利率计算利息的定期储蓄方式。
n期，每期利率问题1：每期存款A，共存i，则n期期末的终值F为多少？为解：第1期期末存入款A，n期期末时为1-)1(n i A +； 第2期期末存入款A ，n 期期末时为2-)1(n i A +；第3期期末存入款A ，n 期期末时为3-)1(n i A +；以此类推，第n 期期末存入款A ，n 期期末时为A 。
所以，A i A i A i A F n n n +++++++= 3-2-1-)1()1()1( ii A i i A n n ]1)1[(])1(1[-+=-+-=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
含义：初始投资1，历时n个时期。在每个时期，此投资1 将产生在期末支付的利息i，这些利息的现值为ia 。在第
n个时期末，收回本金1，其现值为 v n 。
1
n
i
i
……
i
1
0
n s = a (1 + i ) （2） n n
含义：积累值等于现值乘以积累因子。
10
（3）
证明：
1 1 = +i an sn
1 i +i = +i n sn (1 + i ) − 1
问题：请先推测大小？
13
解： （1）贷款在10年末的累积值为
1000 × 1.0910 = 2367.36
利息总额为 2367.36−1000＝1367.36
（2）每年的利息为90万元，利息总额为 10×90＝900
14
（3）设每年的偿还额为R，则
Ra10 = 1000
解得
R = 155.82
故利息总额为155.82×10－1000＝558.2 结论：偿还越迟，利息总量越高。
款1的积累值为1。
sn = 1 + (1 + i) + ⋯ + (1 + i) n −1
1 − (1 + i ) n = 1 − (1 + i )
(1 + i ) n − 1 = i
8
(1 + i) n − 1 sn = i
期末付定期年金的终值
9
一些等价关系式：
n 1 = ia + v （1） n
也等于
̇̇7| = a ̇̇10| − a ̇̇3| v3a
1 0 1 2 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 10 11 12
31
此年金在第12期的积累值等于
s7| (1 + i ) = s10| − s3|
也等于
3
̇̇ s7| (1 + i )2 = ̇̇ s9| − ̇̇ s2|
1
中减去虚设的 1 元（其终值仍然是 1 元） ，即得原来 n 次付款的
。
1 1 …… 1 1
n期
28
4、延期年金（deferred annuity）
延期年金的含义：推迟若干时期后才开始付款的年金。
0 1 2 …
m
m+1
…
…
m+n
1
1
1
推迟m个时期，且随后有n个时期的期末付年金可看作一个
m＋n期期末付年金扣除一个m期的年金。
1 0 1 2 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9 10 11 12
32
5、永续年金（Perpetuity）
永续年金：可以永久支付下去的年金，没有结束日期。 记号 a∞| 表示期末付永续年金的现值。
v 1 = a∞| = v + v + v ⋅⋅⋅ = 1− v i
2 3
1 − vn 1 = lim an| = lim = n →∞ n →∞ i i
an = v + v + ⋯ + v
2
n
v(1 − v n ) = 1− v
1 − vn = i
6
1 − vn an = i
期末付定期年金的现值
7
期末付年金的累积值（终值） s n
sn
的表达式
n期期末付年金在 n时的积累值之和记为 sn |i ， i 表示
每期的实际利率（可省略）。
n −1 (1 + i ) 在第1个时期末付款1的积累值是 ，在第二个时 n−2 (1 + i ) 期末付款1的积累值为 ，……，第n个时期末付
1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 …… …… ……
0
1
2
…
n
n＋1
n＋2
36
年金公式比较
定期年金 年金 现值 期末付 积累值 永续年金
1 − vn an = i 1 − vn ̇̇n = a d
(1 + i) n − 1 sn = i (1 + i) n − 1 ̇̇ sn = d
a∞ =
̇̇∞ = a 1 d
（12 payments, d=5%)
10000
……
10000
X
……
(25 payments, d=5%)
X
23
Solution:
d=5%
v = 95%
故年金的现值为
(1- d = v)
d 0.05 1 i= = = 1 − d 0.95 19
1 − v12 1 − 0.9512 ̇̇n i = 1000 × 10000 × a = 1000 × = 91927.9825 d 0.05
1 0 1
1 2
1 3
1
1
n-1
n
5
期末付年金的现值 an
an 的表达式
n期期末付年金的现值记为 an |i ，a表示annuity，i表示每
期的实际利率（可省略）。 在第1个时期末付款1的现值为 v ，在第二个时期末付款 1的现值为v 2 ，这样继续下期，直到第n个时期末付款1 的现值为 v n ，故
延期年金现值为
m a = v an| = am + n − am| m| n|
29
例： 某年金共有7次付款1，分别在第3期末到第9期末依次 支付。求此年金的现值和在第12期末的积累值。
1 0 1 2 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9 10 11 12
30
年金的现值等于
v 2 a7| = a9| − a2|
i + i (1 + i )n − i = (1 + i ) n − 1
i 1 = = n 1− v an
解释：考虑 n 年，在第一年的年初投资 1 元，其价值与下述两个现金流等价： （Ａ）每年末获得 元；
（Ｂ）每年末获得 i 元的利息收入，在第 n 年末收回１元本金，而第 n 年末收回 １元本金又相当于在每年末收回 换言之，第二个现金流相当于每年末收回
本章主要介绍利息理论中有关确 定年金的基本概念，年金现值和 年金终值的计算方法。
年金（annuity）
最初的涵义：一年付款一次，每次支付相等金额的一系列 款项。 现在的含义：一系列的付款（或收款）。
2
年金的类型
按照年金的支付时间和支付金额是否确定，分为确定年金 (Annuity-certain)和风险年金(contingent annuity)。 按照年金的支付期限长短，分为定期年金（period-certain annuity)和永续年金（Perpetuity） 。 按照年金在每期的支付时点不同，分为期初付年金 （annuity-due）和期末付年金（Annuity-immediate） 。 按照年金开始支付的时间不同，分为即期年金和延期年金 （deferred annuity） 。 按照每次付款的金额是否相等，分为等额年金(level annuity)和变额年金(varying annuity)。
3
本节主要内容（等额年金）
期末付年金（Annuity-immediate） 期初付年金（Annuity-due） 期初付与期末付年金的关系 延期年金（deferred annuity） 永续年金（Perpetuity）
4
1、 期末付年金（Annuity-immediate）
期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1。
B所占的份额是
7000(a20| − a10| ) = 7000(10.5940 − 7.0236) = 24993
d 1 = = n ̇̇n 1− v a
（参见下图解释）
21
1
1 ̇̇n a
0
1 ̇̇n a
1 ̇̇n a
……
1 ̇̇n a
n
1
d
d
d
d
d
1
1 ̇ ṡn
1 ̇ ṡn
1 ̇ ṡn
22
Example
Charles has inherited an annuity-due on which there remain 12 payments of 10,000 per year at an effective discount rate of 5%; the first payment is due immediately. He wishes to convert this to a 25-year annuity-immediate at the same effective rates of interest or discount, with first payment due one year from now. What will be the size of the payments under the new annuity?
1 = d
34
n 年的期末付年金可看作下述两个永续年金之 差：
1 第一个是每年末付款1，现值为 ； i
�
第二个是推迟 n 年，从 n + 1年开始每年支付1，现值
vn 为 ，因此 n 年的期末付年金的现值等于 i
1 vn 1 − vn an = − = i i i
（参见下图）
35
现金流时间图
1 1
n −1
1 − vn 1 − vn = = 1− v d
记号 ̇ ṡn|i ——表示期初付年金的积累值，i可省略
̇̇ sn = (1 + i ) + ⋯ + (1 + i ) n = (1 + i )[1 + ⋯ + (1 + i ) n −1 ]