矩阵初等变换及其应用毕业论文

矩阵初等变换及其应用毕业论文
矩阵初等变换及其应用毕业论文
摘 要：初等变换是高等代数和线性代数学习过程中非常重要的，使用非常广泛的一种工具。

本文列举了矩阵初等变换的几种应用，包括求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆及求逆矩阵、判断线性方程组解的状况、求解线性方程组的一般解及基础解系、证向量的线性相关性及求向量的极大无关组、求向量空间两个基的过渡矩阵、化二次型为标准形。

并用具体例子说明矩阵初等变换在以上几种应用中是如何运用的。

关键词：矩阵 初等变换 初等矩阵
在代数的学习过程中，我发现矩阵的初等变换有许多应用，几乎贯穿着始终。

本文将对矩阵的初等变换进行介绍并以具体例子说明矩阵初等变换的七种应用。

虽然这些计算格式有不少类似之处，但是也指出由于这些计算格式有不同的原理，所以它们的应用也有一些明显的区别。

定义1：矩阵的行（列）初等变换是指对一个矩阵施行的下列变换： （1）交换矩阵的两行（列）(交换第i ，j 两行（列），记作()ij ij r c ）；
（2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素（用数k 乘以第i 行（列），记作()(())i i r k c k ；
（3）用某一个数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素再加到另一行（列）的对应元素上(第i 行（列）k 倍加到第j 行（列），记作()(())ij ij r k c k 。

初等行、列变换统称为初等变换。

定义2：对单位矩阵I 仅施以一次初等变换后得到的矩阵称为相应的初等矩阵，分别记为第1、2、3类行（列）初等矩阵为()ij ij R C ，()(())i i R k C k ，()(())ij ij R k C k ，有
ij R =ij C =1011
1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
()i R k =()i C k =1k
1⎛⎫ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
()ij R k =()ij C k =11j 1
1i k
⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
行行 初等变换与初等矩阵之间有下列基本性质。

定理1：对m ⨯n 矩阵A ，作一次初等行（列）变换所得的矩阵B ，等于以一个相应的m 阶（n 阶）初等矩阵左（右）乘A 。

下面将介绍几种实用初等变换的方法。

由于侧重实际应用方面，在表述方面着重讲清基本概念、原理和计算方法，避免繁琐、冗长的理论推导和证明，力求简明准确；将抽象的理论，从具体问题入手，通过典型例题对基本概念、所涉及的方法进行融会贯通。

1、求矩阵的秩
由于初等变换不改变矩阵的秩，如果我们要求一个矩阵的秩，可以先利用行初等变换将其化为行阶梯形矩阵。

行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行数，行阶梯形矩阵的秩就是原矩阵的秩。

这样我们就可以求出原矩阵的秩。

定义1：在m ⨯n 矩阵A 中，任取k 行k 列（k ≤m ，k ≤n ），位于这些行列交叉处的2
k 个元素，不改变它们在A 中所处的位置次序二而得到的k 阶行列式，称为A 的k 阶子式。

定义2：矩阵A 的非零子式的最高阶数，称为矩阵A 的秩，记作r （A ），并规定零矩阵的秩等于零。

定理1：初等变换不改变矩阵的秩。

推论1：若A 是一个m n ⨯的矩阵，经过初等变换可以得到一个行阶梯形矩阵B ，显然B 与A 等价，有r （A ）=r （B ）。

例1 求矩阵A 的秩，A =121
2242
6621023333
34--⎛⎫
⎪--
⎪
⎪
-
⎪⎝⎭。

解：
A=
1210
2242662102333334--⎛⎫
⎪-- ⎪ ⎪
-
⎪⎝⎭
213141
r 2r r 2r r 3r +--1210
20006203221096
32--⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪
-
⎪-⎝⎭
24
r r ↔1210
2096320322100062--⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪-
⎪-⎝⎭
32
1
3
r r -1210
20963210001300062--⎛⎫
⎪- ⎪
⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭436r r -1210
2096
321000
1300000--⎛⎫
⎪- ⎪
⎪- ⎪
⎪ ⎪⎝⎭。

所以由推论得：A 的秩为3。

例2 求矩阵A=12
3132
11202152
73⎛⎫
⎪-
⎪
⎪
⎪⎝⎭
的秩r （A ）。

解：
A=
12
31321120215273⎛⎫
⎪- ⎪
⎪
⎪⎝⎭
21
31
41
(3)(2)(5)r r r r r r +-+-+-1231088204410882⎛⎫
⎪
--- ⎪ ⎪--- ⎪---⎝⎭
3
2421()2
(1)r r r r +-+-1231088200000000⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
=B 所以r （B ）=2，r （A ）=r （B ）=2。

矩阵的秩是矩阵的一个重要数字特征，矩阵的许多重要性质都可以通过它来反映，如矩阵非零子式的最高阶数，矩阵行（列）向量组的线性相关性等。

2、判断矩阵是否可逆及求逆矩阵
可逆矩阵在线性代数中具有很重要的地位，但若是用伴随矩阵的方式来求一个矩阵的逆矩阵工作量非常大。

然而根据可逆矩阵与初等矩阵之间的关系，矩阵求逆的问题可以通过初等变换很轻松的解决。

利用初等变换判定矩阵为可逆阵的方法有：
1） 满秩法：n 阶矩阵A 为可逆阵的充要条件是r （A ）=n 。

2） 初等变换法：n 阶矩阵A 为可逆阵的充要条件是可通过对A 作有限次行（或列）
初等变换后化为单位阵。

定理1：矩阵A 为可逆矩阵的充分必要条件是A 可以表示为有限个初等矩阵的乘积。

例1 判定矩阵A=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---145243121是否可逆。

解：
1）满秩法：
A=⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243*********r r r r --1210210146-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭237r r -121021001-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
， 所以r （A ）=3，即矩阵A 为满秩，故矩阵A 可逆。

2） 初等变换法：
A=⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243*********r r r r --1210210146-⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
21()2r -12
110120146-⎛⎫ ⎪
⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
1232214r r r r -+1001012001⎛⎫
⎪ ⎪- ⎪
⎪-⎝⎭
3(1)
r -1001012001⎛⎫
⎪
⎪- ⎪
⎪⎝⎭
23
12r r -100010001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
， 所以矩阵A 可逆。

一种求逆的方法：将分块矩阵()A E 进行行初等变换，当前面一块变成单位矩阵时，后 面一块就是1A -。

例2 设A=15213
1341--⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪--⎝⎭，求1A -。

解：因为A=15213
1341--⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪--⎝⎭
有
152100131010341001--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭213
13r r r r
+-1521000211100115301--⎛⎫
⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭325r r + 152100021110010251--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭
23r r ↔152100010251021110--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭
322r r + 1521000102510015112--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭3(1)r ⨯-1521
000102510015112--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭
131
225r r r r ++
1001
310102510015112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ 所以1A -=1
312515112⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪---⎝⎭。

另一种求逆方法：将分块矩阵
A E ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
进行列初等变换，当上面一块变成单位矩阵时，下面 一块就是1
A -。

例3 已知矩阵A= 241152111-⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
可逆，用列初等变换法求1A -。

解：
A E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=241152111100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→142251111001010100-⎛
⎫
⎪- ⎪
⎪- ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪⎝⎭→10023313100101014
2⎛
⎫
⎪- ⎪
⎪- ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪-⎝
⎭→100230132001011142⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
→
100210111
10021103241
1
3
⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭→1002100011112221112621013⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪
⎪ ⎪--
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→1
000100
0111122211166221
133⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪-
⎪
⎪ ⎪--
⎪
⎪ ⎪-⎝⎭
，错误!未找到引用源。

从而得到：A -1
=1112221116622113
3
⎛⎫-
⎪ ⎪ ⎪-
- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭。

在用初等变换法求逆的过程中，或从始至终只作行的初等变换，或从始至终只作列初等变换。

绝不能同时作行与列的初等变换。

3、判断线性方程组解的状况
齐次线性方程组有个明显的零解x=0，称其为平凡解。

于是，对于齐次线性方程组，只需研究其在何种情况下有非零解（非平凡解）。

定理1：n 元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分且必要条件为它的系数矩阵的秩r （A ） <n;它只有零解的充分必要条件是r （A ）=n 。

定理2：n 元非齐次线性方程组Ax=b 有解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩等于增广解阵的秩。

判断线性方程组解的状况就是先求出线性方程组的系数矩阵的秩r （A ）与增广矩阵的秩r （B ），然后比较r （A ）与r （B ）。

当r （A ）小于r （B ）时，方程组无解；当r （A ）等于r （B ）等于未知量的个数时，方程组有唯一解；当r （A ）等于r （B ）并小于未知量的个数时，方程组有无穷多解。

例1 已知齐次线性方程组
1231231
23220
3760480
x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪
+-=⎨⎪++=⎩ 有非平凡解，求λ的值。

解：齐次线性方程组有非平凡解，必有系数矩阵A 的秩r （A ）<3.而
A=12237648λ-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 213134r r r r --122010008λ-⎛⎫
⎪ ⎪
⎪+⎝⎭
为了使r （A ）<3，必须λ+8=0，即λ=-8时齐次线性方程组有非平凡解。

例2 判断线性方程组12312312
321
4254240
x x x x x x x x x -+=⎧⎪
-+=⎨⎪-+=⎩是否有解？
解：对相应的增广矩阵进行初等行变换
B=
2131
4254
2140
-
⎛⎫
⎪
-
⎪
⎪
-
⎝⎭
21
31
2
r r
r r
-
-
2131
0012
0011
-
⎛⎫
⎪
-
⎪
⎪
-
⎝⎭
32
r r
+
2131
0012
0001
-
⎛⎫
⎪
-
⎪
⎪
⎝⎭
则r（A）=2，r（B）=3，r（A）≠r(B),所以，原线性方程组无解。

例3 讨论λ取何值时方程组
2
123
123
123
1
x x x
x x x
x x x
λλ
λλ
λ
⎧++=
⎪
++=
⎨
⎪++=
⎩
有唯一解、无穷多解、无解。

解：对增广矩阵实施初等行变换
B=
2
11
11
111
λλ
λλ
λ
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
13
23
r r
r r
-
-
2
1011
011
111
λλλ
λλλ
λ
⎛⎫
---
⎪
--
⎪
⎪
⎝⎭
当λ=1时，r（A）=r（B）=1<3，方程组有无穷多解；当λ≠1时，继续变换
1 21 1
1 1
r r
λ
λ
⨯
-
⨯
-
1011
0111
111
λ
λ
-+
⎛⎫
⎪
-
⎪
⎪
⎝⎭
31
32
r r
r r
-
-
1011
0111
0021
λ
λλ
-+
⎛⎫
⎪
-
⎪
⎪
+--
⎝⎭
所以，当λ≠1并且λ≠-2时，r（A）=r(B)=3,方程组有唯一解。

当λ=-2时，r（A）=2<r（B）=3，方程组无解。

在判定含有参量的线性方程组有没有解及有多少解的问题时，需要注意的是：由于所含的参数是不确定的数值，所以在对增广矩阵施行行初等变换的时候，应当考虑作变换时所用的“数”（如果它是含参量的一个代数式）是否可能为零（对某参量的取值），是否有意义，即（无论参量的取值如何）分母是否为零等，以决定所作的变换是否可施行。

4、解线性方程组的一般解及基础解系
线性代数的起源之一，是解线性方程组的问题。

解一个线性方程组最基本的方法是所谓“加减消元法”。

这种方法有三个基本操作：方程组中两个方程互换，一个方程两边乘一非零常数，一个方程加另一个方程的若干倍。

用初等行变换解线性方程组的步骤是：
（1）将增广矩阵B=（Ab）化为行阶梯矩阵，若R（B）≠R（A），则方程组无解；
若R（B）= R（A），则进行下一步。

（2）将增广矩阵进一步化为行最简形矩阵；
（3）写出同解方程组（用自由未知量表示其余未知量）；
（4）写出方程组的通解（参数形式或向量形式）。

例1 求线性方程组
1234
234
124
234
2344
3
331
733
x x x x
x x x
x x x
x x x
-+-=
⎧
⎪-+=-
⎪
⎨
+-=
⎪
⎪-++=-
⎩
的解。

解：设B 是线性方程组的增广矩阵，于是
B=
12344011131303107313--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭
31
r r -12344011130531307313--⎛⎫
⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭
3242
57r r r r -+
1234401113002412004824--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪--⎝⎭433212r r r +⨯12344011130012600000--⎛⎫
⎪-- ⎪ ⎪- ⎪
⎝⎭
于是，得到同解的方程组为1234234342344
326x x x x x x x x x -+-=⎧⎪
-+=-⎨⎪-=⎩ 将这方程组改写为1234
234342344362x x x x x x x x x -+=+⎧⎪
-=--⎨⎪=+⎩
通过回代，将4x 作为自由未知量，得到原方程组的一般解： 1243
48
362x x x x x
=-⎧⎪
=+⎨⎪=+⎩。

例2 求四元齐次线性方程组1231
234230
20x x x x x x x +-=⎧⎨
++-=⎩的一般解和一个基础解系。

解：A=23101211-⎛⎫ ⎪-⎝⎭12r r -11211211-⎛⎫ ⎪-⎝⎭21r r -11210132-⎛⎫
⎪-⎝⎭
12r r -
10530132-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
， 得到一般解：134
2
345332x x x x x x =-⎧⎨=-+⎩
由此可得到方程组的一个基础解系为
()()125,3,1,0,3,2,0,1T T
ββ=-=-。

利用矩阵初等变换解线性方程组就是将方程组的增广矩阵进行初等变换，从而得到与原 方程组同解的梯形线性方程组。

再通过回代得到原方程组的一般解。

在解线性方程组的时候只允许使用交换系数矩阵中的两列，而不得使用其余的两种初等 列变换，此时相当于交换两个未知量的次序。

但是，在实际解方程组时，我们不必要这么做， 更不要把最后一列与前面某一列交换。

此外，由于其余两种初等列变换不是“同解变换”，
因此在解方程组时，不允许使用。

5、证向量的线性相关性、求向量组的极大无关组
求向量组的极大线性无关组,最方便,最常用的方法可能要数初等变换法了，这也是我们 最容易掌握的。

定义1：设12r ααα，，是向量空间V 的r 个向量。

如果存在F 中不全为零的数a 1，a 2， a r 使得 1122r r a a a 0ααα++
+=，那么就说12r ααα，，线性相关。

定义2：设向量组T 。

如果它的一个部分组12r ααα，，满足： （1）12r ααα，，线性无关；
（2）任取α∈T ，则α，12r ααα，，线性相关。

则称部分组12r ααα，，为向量组T
的一个最大无关组。

定理1：设r ≤n ，则n 维向量组12r ααα，，线性无关的充分必要条件是它构成的矩阵 A=()12r ααα，，的秩等于向量的个数r 。

证向量组的线性相关性的步骤是： 一、求向量组所构成的矩阵的秩；
二、比较向量组所构成的矩阵的秩与向量组向量的个数。

若向量组所构成的矩阵的秩等
于向量组向量的个数，那么，向量组线性相关。

若向量组所构成的矩阵的秩小于向量组向量的个数，那么，向量组线性无关。

例1 已知1b 131=-T （，，），2b 122=-T （-，，），3b 1=T
（，-1，3），试讨论向量组b 1,b 2,b 3
和向量组b 1，b 2的线性相关性。

解：
（b 1,b 2,b 3）=111321123-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 32r r - 111012012-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ 23325r r r r -+ 111012000-⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭
r （b 1,b 2,b 3）=2,向量组b 1,b 2,b 3线性相关；r （b 1,b 2）=2，向量组b 1,b 2线性无关。

例2 k 取何值时，向量组1(1,3,6,2)T α=，2(2,1,2,1)T α=-，3(1,1,,2)T
k α=--线性无
关。

解：构造矩阵（123,,ααα），由于
()123,,ααα=12131162212k ⎛⎫
⎪-
⎪
⎪ ⎪--⎝⎭
213141362r r r r r r ---12
10540106054k ⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭32422r r r r --12
105400200
0k ⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪
⎝⎭ 当k ≠-2时，矩阵的秩等于3，等于向量的个数，123,,ααα线性无关。

定义：向量组{}12,,
n ααα的一个部分向量组{}1
2
,,r
i i i ααα叫做一个极大线性无关
部组（简称极大无关组），如果
（1）12,,
r
i i i ααα线性无关；
（2）每一j α，j=1，…n ，都可以由12,,
r
i i i ααα线性表示。

利用矩阵的初等变换将向量组堪称某个矩阵A 的列（行）向量组，然后用初等行（列）变换将A 化为阶梯形矩阵B ，则向量组的秩等于阶梯形矩阵B 的非零行（列）的行（列）数，在B 中找出一个阶数最高的非零子式r D ，那么与r D 中这r 列（行）相对应的r 个向量
1
2
,,r
i i i ααα就是原向量组的一个极大无关组。

例 3 求向量组1(1,1,0,0)T α=-，2(1,2,1,1)T α=--，3(0,1,1,1)T
α=-，4(1,3,2,1)T α=-，5(2,6,4,1)T α=--的极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关
组表示。

解：设A=12345(,,,,)ααααα=11012121360112401111---⎛⎫ ⎪-
⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭。

对A 作初等变换，将其化为行阶梯矩阵，即
A=11012121360112401111---⎛⎫
⎪-
⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭21r r +11012011240112401111---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭
324234r r r r r r -+↔ 11012011240003300
000---⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎝⎭
31
3
r ⨯
11012011240001100
000---⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭2313122r r r r r r -++1
01010
1102000110
0000⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
故r （A ）=3。

该行阶梯矩阵每个非零行第一个非零元所在的列为第1，2，4列，所以， 向量组的一个极大线性无关组为124,,ααα，且312ααα=+，51242αααα=++。

向量组的极大无关组不是唯一的，但向量组的任意两个极大无关组之间等价。

一个向量 组的所有极大无关组所含的向量的个数都是相同的。

一个由非零向量组成的向量组必有最大 无关组，若向量组线性无关，则此向量组本身就是一个最大无关组；若向量组线性相关，则 此向量组中必存在最大无关组。

6、求向量空间两个基的过渡矩阵
过渡矩阵是线性空间理论中非常重要的概念之一。

求向量空间的一组基到另一组基的过 渡矩阵，最直接的方法便是按过渡矩阵的定义先列出一组等式，进而需求解n 个非齐次线性方程组，然后写出过渡矩阵，其间运算量很大，为了简化计算，下面将介绍用行初等变换的方法求的一组基到另一组的过渡矩阵。

定义1：设{}12,,
n ααα和{12,,n βββ}是n 维向量空间V 的两个基。

于是我们知向
量j β，j=1，
，n ，可以由12,,n ααα线性表示。

我们设
11112121,n n a a a βααα=++
+ 21212222,
n n a a a βααα=++
+
1122.n n n nn n a a a βααα=++
+
这里(12,,
,j j nj a a a )就是j β关于基{}12,,
n ααα的坐标。

以这n 个坐标为列，作一个n 阶矩阵T=1112
12122212
n n n n nn a a a a a a a a a ⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭
，矩阵T 叫做由基{}12,,n ααα到基{12,,n βββ}的过渡
矩阵。

求过渡矩阵的方法为：
1、先写出这个向量空间的标准基到这两个基{}12,,n ααα和{12,,n βββ}的过渡矩
阵A 和B 。

2、我们有()12,,,n ααα=()12,,,n εεεA,( 12,,n βββ) =()12,,,n εεεB 。

3、于是(12,,n βββ)=()12,,,n αααA -1B 。

因此，由基{}12,,n ααα到基
{12,,
n βββ}的过渡矩阵是A -1B 。

求A -1
B 的方法：将分块矩阵()A B 进行行初等变换，当前一块变成单位矩阵时，
后一块即为A -1
B 。

例 1 已知1(1,1,1,1)T α=,2(1,1,1,1)T α=--,3(1,1,1,1)T α=--,4(1,1,1,1)T
α=--与
1(1,1,0,1)T β=,2(2,1,3,1)T β=,3(1,1,0,0)T β=,4(0,1,1,1)T β=--为线性空间R 4的两组基。

求由1234,,,αααα到1234,,,ββββ的过渡矩阵。

解：设A 为由基1234,,,αααα到1234,,,ββββ的过渡矩阵，则（1234,,,ββββ）=
（1234,,,αααα）A 。

B 、C 为标准基到这两个基的过渡矩阵，则A=B -1
C 。

()B
C =1111121
011111111111103011111
1101⎛⎫
⎪
--
⎪
⎪---
⎪
---⎝⎭
→ 11111
2
1
0002201010202111102200111⎛⎫
⎪--- ⎪ ⎪-----
⎪-----⎝⎭→11111
2
1
00022
0101020211110022
1200⎛⎫
⎪
---
⎪
⎪-----
⎪
--⎝⎭
→1111121
0002201010202111100041101⎛⎫
⎪
---
⎪ ⎪
-----
⎪
--⎝⎭
→1
210111111002200111111010122220001
1110
44
4⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝
⎭
→311
1221100131000104440100111344240001
1110
44
4⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--
⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪
--⎪⎝
⎭→3711442410
001113010044240
01013104440001
1110
44
4⎛
⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ --⎪⎝
⎭
. 得到A=371144241113442413104441110
444⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪
⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ --⎪⎝⎭
=143721112313011101-⎛⎫
⎪- ⎪
⎪--
⎪--⎝⎭。

若矩阵T 是基{}12,,n ααα到基{12,,n βββ}的过渡矩阵，那么由基{12,,n βββ}
到基{}12,,
n ααα得过渡矩阵就是1A -。

7、化二次型为标准形
定义1：含有n 个变量12,,
,n x x x 的二次齐次函数
12(,,
,)n f x x x =11
n
n
ij i j i j a x x ==∑∑（ij ji a a =）
称为二次型。

定义2：若二次型f =T
x Ax 经可逆变换x=Cy 变成只含平方项，即
f =22
2
1122n n k y k y k y ++
+
这种只含平方项的二次型，称为f 的标准型。

利用初等变换将二次型化为标准型的过程如下：
⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛Λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛P E A E A 只作列变换对作初等行、列变换对 （其中Λ为对角阵）
对A 进行两次变换（一次列变换和一次对应的行变换或一次行变换和一次对应的列变
换），对E 仅进行一次相应的列变换，两次变换一定要对应，且对E 的列变换与对A 的列变换要相同。

此法的优点是：经初等变换后可同时求出对角阵Λ及所用的非退化线性变换矩阵P ，从而直接写出所用的非退化的线性变换。

例1 用初等变换法将二次型123121323(,,)226f x x x x x x x x x =+-化为标准形，并写出所用的可逆线性变换。

解：二次型的矩阵为A=011103130⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
，又有
A E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=0
1110313010001000
1⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭1212
r r c c ++2
1210323010011000
1-⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪⎝
⎭21211()21()2r r c c +-⨯+-⨯2021022
2201
1021102001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪
⎪- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
3131r r c c ++2001022
0221112
1
112001⎛
⎫
⎪
⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪--
⎪ ⎪
⎪ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3
2
32
(4)(4)r r
c c +-⨯+-⨯2001002
00611321112001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪- ⎪ ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭
,故可逆线性变换
1122331132111200
1x y x y x y ⎛⎫- ⎪
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪=- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝
⎭
化二次型123121323(,,)226f x x x x x x x x x =+-为22
21231262
f y y y =-
+。

例2 用初等变换法将二次型22
121223244f x x x x x x =+--化为标准型。

解：
A E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
=220212012100010001-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→22
00
120201000
10001-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→2
00
120201100
10001⎛⎫
⎪-- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→2
00
120041100
10001⎛⎫
⎪
-- ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
→2
0010004112012001⎛⎫ ⎪
- ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪⎝
⎭=P Λ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，
所求P=112012001-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭。

f 经非退化线性变换x=Py 可化为标准型f =1222
23
24y y y -+。

由于采用的初等变换方法不同，所以得到的Λ和P 可能不同。

由此可说明线性变换P 和对角阵Λ是不唯一的，进而说明实二次型的标准型是不唯一的。

在工程数学教材中化二次型为标准形一般是采用正交换法或配方法，求解过程较繁，特别是施密特正交化过程公式，较易忘记。

这里介绍的用初等变换就能快速化二次型为标准型的方法与书中的初等变换结合紧密,学生容易理解和掌握。

矩阵的初等变换是矩阵十分重要的运算，应用的方面十分广泛，大家要能够熟练的掌握
矩阵的初等变换。

本文只是对作者比较熟悉的几个方面的应用做了粗略的介绍，望对矩阵初等变换的学习有所帮助。

参考文献：
[1]禾瑞郝鈵新：高等代数，高等教育，1999年。

[2]西北工业大学高等代数编写组：高等代数，科学，2008年。

[3]市教育委员会：线性代数及其应用，交通大学出版，2008年。

[4]农业大学理学院：线性代数及其应用，高等教育，2001年。

[5]卢刚：线性代数，高等教育，2000年。

[6]卢刚：线性代数中的典型例题分析与习题，高等教育，2004年。

[7]天津大学数学系代数教研组：线性代数及其应用，科学，2007年。

[8]邓泽清：线性代数及其应用，高等教育，2001年。

[9]郝志峰：线性代数学习指导与典型例题，高等教育，2006年。

[10]剑平施劲松钱夕元：线性代数及其应用，华东理工大学，2005年。

[11]邓泽清黄光谷晓坤：线性代数习题与考研题解析，大学，2004年。

[12]朱永松策平：线性代数应用与提高，科学，2003年。

APPLICATIONS OF ELEMENTARY TRANSFORMATION OF MATRIX
JINA Yang
Abstract: Elementary transformation is very important in studying advanced algebra and linear algebra, and it is widely used to solve the problem. This article enumerates several examples of elementary transformation of matrix, including solving the rank of the matrix、determining whether a matrix is reversible and solving inverse matrix、determining the structure of solutions of the group of linear equations、solving the basic set of solutions or the general solutions to the group of linear equations、proving the linear relevance of the vector and solving maximal linearly independent、solving the Transition matrix of two basis in vector space、changing quadratic form to stand form, and it explains how the elementary transformation of matrix is used in these applications by some concrete examples.
Key words: matrix; elementary transformation; elementary matrix
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本科毕业论文（设计）答辩过程记录
院系数学科学学院数学系专业数学与应用数学年级 2006级
答辩人焦阳学号 2008310849 毕业论文（设计）题目矩阵初等变换及其应用
毕业论文（设计）答辩过程记录：
1、为什么选这个课题？
答：在学习高等代数的过程中，发现矩阵初等变换的应用特别广泛。

在很多方面都要用到初等变换，觉得掌握好初等变换对代数的学习特别有帮助。

2、全文的基本框架是怎么安排的？
答：主要是根据所应用的方面在高等代数的学习中的难易程度，从易到难，循序渐进。

3、你写这篇论文时参考了哪些书籍和有关资料？
答：除了大学学习的高等数学的教材还包括西北大学高等代数编写组编写的《高等代数》、卢刚编写的《线性代数》等关于高等代数和线性代数及其应用方面的书籍，以及线性代数的习题解析等书籍。

钱方生问：有没有论文中没提到的初等变换其它方面的应用？
答：其实初等变换的应用还很多，比如在初等数论中我们也可以用初等变换来求最大公因数及其倍数和、不定方程、一次同余式组等等。

答辩是否通过：通过（）未通过（）
记录员答辩小组组长签字
年月日年月日
本科毕业论文（设计）答辩登记表
院（系）：数学科学学院数学系专业：数学与应用数学年级：2008级。