第二篇第六章(第十章) 应力状态与强度理论

第十章应力状态与强度理论

第一节概述

前述讨论了构件横截面上的最大应力与材料的试验许用应力相比较而建立了只有正应力或只有剪应力作用时的强度条件。但对于分析进一步的强度问题是远远不够的。实际上，不但横截面上各点的应力大小一般不同，即使同一点在不同方向的截面上，应力也是不同的。

例.直杆轴向拉伸(压缩时)斜截面上的应力.

上例说明构件在复杂受力情况下，最大应力并不都在横截面上，从而需要分析一点的应力状态。

一、一点的应力状态

凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。因为不但受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的。即使通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。一点处的

应力状态就是指通过一点不同截面上的应力情况的总和。或者说我们把过构件内某点所有方位截面上应力情况的总体称为一点的应力状态。下图为通过轴向拉伸构件内某点不同（方向）截面上的应力情况。而本章就是要研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。并以此为基础建立复杂受力(既有正应力，又有剪应力)时的强度条件。

二、一点应力状态的描述

1、微元法：在一般情况下，总是围绕所考察的点作一个三对面互相垂直的微正六面体，当各边边长充分小并趋于零时，六面体便趋于宏观上的“点”，这种六面体称为“微单元体”，简称“微元”。当微元三对面上的应力已知时，就可以应

用截面法和平衡条件，求得过该点任意方位面上的应力。因此，通过微元及其三对互相垂直的面上的应力情况，可以描述一点的应力状态。

上图为轴向拉伸杆件内围绕m点截取的两种微元体。根据材料的连续均匀假设以及整体平衡则局部平衡即微元体也平衡的原则，微元体（代表一个材料点）各微面上应力特点如下：

（1）各微面上应力均匀分布；

（2）相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；

（3）互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等定律。（在相互垂直的两个平面上，剪应

力必然成对存在，且大小相等，两者都垂

直于两个平面的交线，方向则共同指向或

共同背离这一交线。）

2、微元体的常用取法

矩形截面杆：一对面为杆的横截面，另外两对面为平行于杆表面的纵截面。dx、dy、dz。

圆截面杆：一对面为横截面，一对面为过杆轴线的纵截面，一对面为同轴圆柱面。dx、dr、dθ。

3、例：①受轴向拉伸或压缩的杆上任意点

②受弯构件内的点

③受扭构件表面上的点

4、几种应力状态的概念

平面应力状态：如果微元各个面上所受应力的作用线都处于同一平面内。

单向应力状态：平面应力状态中，只受一个方向正应力作用的。

纯切应力状态：只受切应力作用的。

第二节平面应力状态中任意方向面上应力分析一、分析微元斜截面（方向面）上的应力的基本方法---截面法：当微元三对面上的应力已经确定时，为求某个斜面（即方向面）上的应力，可用一假想截面将微元从所考察的斜面处截为两部分，考察其中任意一部分的平衡，即可由平衡条件求得该斜截面上的正应力和切应力。

二、平面应力状态中任意方向面上应力分析

1.方向角与应力的正负号规则

方向角θ---用方向面法线n与水平坐标轴x正向的夹角θ来定义方向面的位置。并叫方向角。我们规定从x正方向逆时针转至n正方向者为正；反之为负。

正应力---拉为正；压为负。

切应力---使微元或其局部产生顺时针方向转动趋势者为正，反之为负。

2.平面应力状态中任意方向面上应力分析

于是根据力的平衡方程∑Fn=0 、∑Ft=0

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+-=--++=

⇒θτθσστθτθσσσσσθθ2cos 2sin 22sin 2cos 22xy y x xy y x y x 例

MPa

x 20=σ MPa

y

30-=σ

o

o

120

60或-=α 0

=xy

τ

代入公式得

)(5.172cos 2

302023020MPa -=++-=

ασα )

(32

2534

502sin 2

3020MPa -

=-=+=

ατα

第三节 应力状态中的主应力与最大切应力 一. 主平面 主应力与主方向

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+-=--++=

θτθσστθτθσσσσσθθ2cos 2sin 22sin 2cos 22xy

y x xy y x y x 1、讨论：

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫--

=⇒=--

=⇒=y

x

xy

p

y

x xy

p

tg tg d d σ

σ

τ

θ

τσ

σ

τ

θ

θ

σθθ220220令令

2、结论：

（1）正应力取极值的方向面上剪应力为零。 （2）正应力取极值的方向面有两个且相互垂直。 3、几个概念：

由以上讨论可知在应力状态中，存在着某方向面（其方向角为θP ），在这个面上，切应力等于零，这样的面称为“主平面”。主平面上的正应力称为“主应力”。主平面法线方向即主应力作用线方向称为“主方向”。主方向用方向角θP 来表示。并且主应力具有极值的性质。 主应力表达式；

由

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨⎧

+±=+±=p

p p

p tg

ctg

θ

θθ

θ211

2cos 211

2si n 22