七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲点共线与线共点(含答案)

第二十讲点共线与线共点 趣题引路】 例1证明梅涅劳斯定理：
如图20-b 在AABC 中，一直线截AABC 的三边AB 、AC 及BC 的延长线于ZX E 、F 三点。

解析:左边是比值的积.而右边是1,转化比值使其能约简.想到平行线分线段成比例作平行线即可.
证明过点C 作CG///EF 交AB 于G
如图20-2,在厶ABC 内任取一点P,直线BP 、CP 分别与BC 、CA. AB 相交于D 、E 、F,求证:
1 •证明三点共线和三线共点的问题，是几何中常遇到的困难而有趣的问题，解这类问题一左要掌握好 证三点共线和三线共点的基本方法。

2 •证明三点共线的方法是：
（1） 利用平角的概念，证明相邻两角互补、
（2） 当AB±BC=AC 时，A. B 、C 三点共线。

（3） 用同一方法证明A 、B 、C 中一点必在另两点的连线上。

（4） 当AB 、BC 平行于同一直线时，A 、B 、C 三点共线。

（5） 若B 在PQ 上,A. C 在P. 0两侧，ZABP 二ZCBQ 时，A 、B 、C •三点共线.
（6） 利用梅涅劳斯定理的逆定理.
3.证明三线共点的基本方法是：
（1） 证明其中两条直线的交点在第三条直线上
（2） 证明三条直线都经过某一个特泄的点.
（3） 利用已知泄理，例如任意三角形三边的中垂线交于一点，三条内角平分线交于一点，三条中线 交于一点以及三条高所在直线交于一点等。

（4） 利用塞瓦泄理的逆立理。

在证题过程中要根据题意灵活选用方法。

求证: BF CE AD FC EA DB
BF . BD EC DG
CF~ ~DG •J -- J
AD'
• BF CE AD _ BD DG AD
> • FC EA BD ' DG AD BD 例2证明塞瓦左理:
BD CE AF
DC E4 7^
证明 BD = S 、\Bp CE _ S*p AF _ DC
S“C p
弘 S*P FB S 磁p • BD CE AF = S MRH S ^CP DC EA FB Sx'p S WBP S 、\CP
_]
S 乂 cp
知识拓展】 图
20-2
例1 如图20-3,已知BD二CE,求证：AC • EF二AB • DF.
解析 等积转化为等比，由比例式可看岀直线BCF 截AADE 的三边, 即可用梅氏定理加以证明.
证明直线BF 交ZMDE 三边所在直线于B 、
C 、F. V B
D = C
E :. AB • D
F 二EF • AC . 例2（1995年河北省初中竞赛题）如图20-4,在正△ABC 的边BC 、CA. AB 上分别有内分点D 、E 、 5-2）（其中Q4）,线段AD BE, CF 相交所成的△〃/?的面积是8BC 面积的芥 则
• c _ "("一2)c _ n(n - 2) 2 c _ 2(/i - 2) c
…WP =血一 2)+ 4 — 2)+ 4 7 A4fiC = n(n-2)+4
同理 Sg=s“ =』Uswc
n(n-2) + 4
6(/?-2) c 讹-2) + 4 ""
由已知_ 6耳)=< ,解得尸6.
n(n-2) + 4 7
故选B.
例3如图20-5, AABC 的乙4的外角平分线与边BC 的延长线交于P, ZB 的平分线交AC 于0 Z Q 的平分线交AB 于乩求证：P 、Q 、R 三点共线.
由梅氏定理得: AB DF EC BD AC
F,将边分成2： n 的值是（ A:5 )
B:6 C:7
解析 BD CE AF :，由梅氏世理有 n-2
门-2 /?（/?-2） DC EA FB DB CE _ AP 2
PD BC E4 = PD H
.AP (畀一2) . AP
PD 4• AD "zi(n -2) + 4' AP A W2
O-3
D:8 C
解析：••• AP 为ZB AC的外角平分线，
AC PC
• BQ为角平分线，二兰=些同理得：竺=竺BC QC AC RA
..AR BP CQ AC AB BC
・.P、Q、R三点共线.
例4求证：三角形的三条角平分线交于一点
已知：如图20-6, AD. BE、CF分别为角平分线，求证：AD. BE、CF交于一点
解析：••• AD为ZBAC的平分线,
・ BD _AB DC"
AC
CE BC AF _ AC
同理得:
E4 = AB= BC
BD CE AF _ AB BC AC DC E4 FB = AC AB BC=1
・••由塞瓦泄理得AD. BE、CF交于一点。

好题妙解】
佳题新题品味
例如图20-7,已知G是AABC的重心，M、N是GB、CC•的中点延长AC至E,使CE^AC；又延
2
长AB至F,使BF二L A B.求证：AG、ME、NF三线共点。

2
解析:设AG. BG、CG交BC、CA. AB于X、Y.乙则
GY=-BY=MG, YC^AOCE,
3 2
从而GC//ME.
又M是BC的中点，故ME过BC的中点X,同理NF也过BC的中点X,从而AG、EM. NF三线共点.
中考真题欣赏
例如图20-8.已知等边AABC,在AB上取点D,在AC上取点E,使得AD^AE.作等边△PCD,等边和等边•问R、B、P三点是否共线，若共线判断△P0R是什么三角形，若不共线，请说明理由。

图268
解析：要判断氏B、P三点是否共线，可判断ZRBC与ZPBC的和是否等于180°于是，我们以C 点为中心，将△CAD逆时针旋转60°,这时A点与B点重合，D点与P点重合。

不难证明ZRBC+Z PBC=180°,故R、B、P 三点共线，4PQR是等边三角形。

证明连结BP,
•・• ^ABC和△DPC都是等边三角形，
..AC二BC, DC二PC.
又ZACD二60°-ZDCB二ZBCP.
••仏CADMCBP
.・・ ZPBC二ZBAC二60° ・
又ZRBC二60° +60° =120°
・・・ ZRBC+ZPBC二180。

・
故R、B、P三点共线.
易知ZE40二60° +60° +60° =180° , R、A.。

三点共线.
而厶CADMCBP,
・•. BP 二AD 二AE二AQ.
・・.RP=RQ,且Z/?=60° ,
故厶戸。

/?是等边三角形。

竞赛样题展示
例1女口图20-9,已知AD、BE、CF为/XABC夕卜接圆的切线，AD. BE、CF分别交BC、AC、AB于D、E、F,求证：D. E、F共线
图20・9
证明连接DE、EF.
TAD 是圆的切线，..ZDBA二ZD4G ZADB二ZCDA, .・.ADBA 〜ADAC,
・ DC DA _ AC
DA "DB" AB
DC DC DA _ AC 1 2 *
丽一丽•丽一7F
1 （1996年江苏省初中竞赛题）如图20-1 b
的中点，AF 与DE 相交于人BD 和AF 相交于H,
2 7
B_. C — 5 15
同理得: EA BA 2 FB BC 2
DC EA FB _AE CD BF _ AC 2 DB EC M = OB 7^ =
BA 2 BC 2 t
BC 7 AC 2 ・••由梅氏泄理的逆定理得：D 、E 、F 三点共线.
丄求 BF FC
的值 解析由 AC ~CE
在sc 中,由梅氏定理得,篇等
BF 14
过关检测】
A级
如果ABCD是2X2正方形，E是AB的中点，F是BC 那么四边形的而积是（）
F'
则辻的值是——
3. （“祖冲之杯”初中竞赛题）如图20-12, D.F 分别是△ ABC 边上的点，且AD:DB=CF:FA=2:3.
4 •如图20-13,已知P 为△ABC 内任意一点，连AP 、BP 、CP.并延长分别交对边于DE 、F,求证: PD PE PF ’ ——+——+——=1
AD BE CF
5. （1995年上海市初中竞赛题）已知戸是厶ABC 内一点，AP 、BP 、CP 的延长线分别交BC 、AC. AB 于点 D 、E 、F,设 APm BP 二y, CP 二z, DEEP 二FEh 若 x+y+z=43, 〃二3•求心 y 、z 这三个数的乘积。

EF 7B
的值 1. （塞瓦左理的逆左理）设D 、E 、F 分别是AABC 三边BC 、CA. AB 内的一点满足 BD CE AF ’
---- ------ ----- =1 DC EA FB
求证：AD. BE、CF三线共点。

2•证明：三角形三条髙所在的直线共点.
3•如图20-14,凸四边形ABCD的对角线互相垂直，过A乩AD的中点K. M分别引对边CD、CB的垂线KP、M7：证明：KP、M7\ AC三直线交于一点。

4.(1998年全国初中数学竞赛题)如图20-15,已知P为口ABCD内一点，O为AC与BD的交点,M、N分别为PB、PC的中点,Q为AN与DM的交点,求证：
(1)P、0、O三点在一条直线上：
(2)PQ二2OQ.
第二十讲点共线与线共点
-
A 级 I. C 提示:•・• AD//BF,「.黑埸墙=2,心討,砂申F.又备•器•芳=1,即L ・* Hi H[ 2 11 12 2
•历■ 1… 7?=亍连EH ・易知门bBFH =亍SgF 匚亍,SbHB£ = 5△出£ -亍 而S"阳=孑$△也八疋八；S 闵H
2 1 7
15 + 3 "15-
2. * 提示:•.•直线EFC 是△他的截线,.•. ff •焉•脊=1，即+・2•等"堆"・故F 为
%
AD 的中点，作FG 〃30,易知舘m 备=y.由此可知,5“" =*厶皿，又5gF 二S M &F ,故二寺.
3-直线DEFTC,鶴•签•粘I .即寻・舘•”煨碍遵弓.直线恥截△妙,
5 EF 2 f EF o ‘4 FD 5 *FD-z
4. 过尸作GH//BC,交肋、AC 于G 、乩则有磊=器暮二舘'涪=鈴前两式相加得盖+齐
PH J _PG.GH_AP^AD^PD
PD 故空践+ 空“ BC ~BC~AJ ）~ AD AD^AD BE CF
5. 可知需+ 焉+磊叱靑+靑"，ttxyr=9x （*+y + x ） +54=9x43 +54=441.
B 级
E •连结AD 、BE,显然,4D 、BE 必定相交，设其交点为0,又设CO 与佃相交于儿则F'必在线段AB 上. 由塞瓦定理有徽岳•語“，又誥疇岛】•于是篇噹由合比定理沪篇故宀心与
F 重合，即初、陋、CF 相交于_点. 2. ⑴对直角三角形结论显然成立；（2）若△肋C 为钱角三角形，设三条高分别为AD 、BE 、CF.由 RI △肋ZRtMF 知器喘同理签嚨务令相乘有鈴岳•需"由塞瓦定理的逆定理知心 BE,CF 共点.（3）若△佔C 为钝角三角形，设BE 、CF 延长交于G.则△GB0为锐角三角形，它的三条高线 CE 、BF 、GD 相交于一点•因为CE 、BF 巳相交于“所以从
G 作BC 的高也过A 点，即G.A.D 三点共线.这说 明△ABC 的三条高^AD,BE t Cf 共点G.
3. 取 AC 的中点 0,连K0.M0x MKJ\lKM/7BD. A. KM1AC.同理.M0丄0K 丄“几于是AMfO 的 高线在直线KP.MT.CA 上，因而KP.MT.CA 共点于△曲TO 的垂心.
4・连P0 •设P 。

与AN, DM 分别交于点0,0•在△P4C 中& AO =OC 、PN = NC 、：• 0为重心#0 = 200.在"DB 中八• DO =B0,BM = MP.・・・0为重心、PQ" =20"这样Q f = 幷且Q JQ"就是AN 、 DM 的交点Q,故P 、Q 、O 在一条直线上，且PQ 二20Q.
BC EF DA
CE * FD •忑。