七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲点共线与线共点(含答案)

第二十讲点共线与线共点 趣题引路】 例1证明梅涅劳斯定理：

如图20-b 在AABC 中，一直线截AABC 的三边AB 、AC 及BC 的延长线于ZX E 、F 三点。

解析:左边是比值的积.而右边是1,转化比值使其能约简.想到平行线分线段成比例作平行线即可.

证明过点C 作CG///EF 交AB 于G

如图20-2,在厶ABC 内任取一点P,直线BP 、CP 分别与BC 、CA. AB 相交于D 、E 、F,求证:

1 •证明三点共线和三线共点的问题，是几何中常遇到的困难而有趣的问题，解这类问题一左要掌握好 证三点共线和三线共点的基本方法。

2 •证明三点共线的方法是：

（1） 利用平角的概念，证明相邻两角互补、

（2） 当AB±BC=AC 时，A. B 、C 三点共线。

（3） 用同一方法证明A 、B 、C 中一点必在另两点的连线上。

（4） 当AB 、BC 平行于同一直线时，A 、B 、C 三点共线。

（5） 若B 在PQ 上,A. C 在P. 0两侧，ZABP 二ZCBQ 时，A 、B 、C •三点共线.

（6） 利用梅涅劳斯定理的逆定理.

3.证明三线共点的基本方法是：

（1） 证明其中两条直线的交点在第三条直线上

（2） 证明三条直线都经过某一个特泄的点.

（3） 利用已知泄理，例如任意三角形三边的中垂线交于一点，三条内角平分线交于一点，三条中线 交于一点以及三条高所在直线交于一点等。

（4） 利用塞瓦泄理的逆立理。

在证题过程中要根据题意灵活选用方法。

求证: BF CE AD FC EA DB

BF . BD EC DG

CF~ ~DG •J -- J

AD'

• BF CE AD _ BD DG AD

> • FC EA BD ' DG AD BD 例2证明塞瓦左理:

BD CE AF

DC E4 7^

证明 BD = S 、\Bp CE _ S*p AF _ DC

S“C p

弘 S*P FB S 磁p • BD CE AF = S MRH S ^CP DC EA FB Sx'p S WBP S 、\CP

_]

S 乂 cp

知识拓展】 图

20-2

例1 如图20-3,已知BD二CE,求证：AC • EF二AB • DF.

解析 等积转化为等比，由比例式可看岀直线BCF 截AADE 的三边, 即可用梅氏定理加以证明.

证明直线BF 交ZMDE 三边所在直线于B 、

C 、F. V B

D = C

E :. AB • D

F 二EF • AC . 例2（1995年河北省初中竞赛题）如图20-4,在正△ABC 的边BC 、CA. AB 上分别有内分点D 、E 、 5-2）（其中Q4）,线段AD BE, CF 相交所成的△〃/?的面积是8BC 面积的芥 则

• c _ "("一2)c _ n(n - 2) 2 c _ 2(/i - 2) c

…WP =血一 2)+ 4 — 2)+ 4 7 A4fiC = n(n-2)+4

同理 Sg=s“ =』Uswc

n(n-2) + 4

6(/?-2) c 讹-2) + 4 ""

由已知_ 6耳)=< ,解得尸6.

n(n-2) + 4 7

故选B.

例3如图20-5, AABC 的乙4的外角平分线与边BC 的延长线交于P, ZB 的平分线交AC 于0 Z Q 的平分线交AB 于乩求证：P 、Q 、R 三点共线.

由梅氏定理得: AB DF EC BD AC

F,将边分成2： n 的值是（ A:5 )

B:6 C:7

解析 BD CE AF :，由梅氏世理有 n-2

门-2 /?（/?-2） DC EA FB DB CE _ AP 2

PD BC E4 = PD H

.AP (畀一2) . AP

PD 4• AD "zi(n -2) + 4' AP A W2

O-3

D:8 C

解析：••• AP 为ZB AC的外角平分线，

AC PC

• BQ为角平分线，二兰=些同理得：竺=竺BC QC AC RA

..AR BP CQ AC AB BC

・.P、Q、R三点共线.

例4求证：三角形的三条角平分线交于一点

已知：如图20-6, AD. BE、CF分别为角平分线，求证：AD. BE、CF交于一点

解析：••• AD为ZBAC的平分线,

・ BD _AB DC"

AC

CE BC AF _ AC

同理得:

E4 = AB= BC

BD CE AF _ AB BC AC DC E4 FB = AC AB BC=1

・••由塞瓦泄理得AD. BE、CF交于一点。

好题妙解】

佳题新题品味

例如图20-7,已知G是AABC的重心，M、N是GB、CC•的中点延长AC至E,使CE^AC；又延

2

长AB至F,使BF二L A B.求证：AG、ME、NF三线共点。

2

解析:设AG. BG、CG交BC、CA. AB于X、Y.乙则

GY=-BY=MG, YC^AOCE,

3 2

从而GC//ME.

又M是BC的中点，故ME过BC的中点X,同理NF也过BC的中点X,从而AG、EM. NF三线共点.

中考真题欣赏

例如图20-8.已知等边AABC,在AB上取点D,在AC上取点E,使得AD^AE.作等边△PCD,等边和等边•问R、B、P三点是否共线，若共线判断△P0R是什么三角形，若不共线，请说明理由。