混合Copula的参数估计方法研究

混合Copula的参数估计方法研究

摘要当今金融活动越来越多，其中的风险不可避免，如何降低、规避风险成为人们关心的问题.在投资组合和相关性度量中，混合Copula的应用有显著优势，而参数估计是其中非常关键的一步，选择合适的参数估计法，能够提高估计的精确度，从而提高模型的准确性.因此对混合Copula参数估计的研究学习显得至关重要. 本文对基本模型进行了描述，介绍了几种参数估计方法，并着重介绍了混合Copula的参数估计方法。

关键词混合Copula；极大似然估计法；EM算法

前言

Copula函数是一种连接函数，运用Copula技术来分析随机变量间的相关性有很多优点：与线性相关系数相比，由Copula函数导出的一致性和相关性测度可以捕捉变量间非线性相关关系，因此应用范围更广、实用性更强；与基于联合分布函数的建模方法相比，Copula模型更为灵活，混合Copula是将多个不同类型的Copula函数线性结合起来，包含了各个组成的特点，可以更精确地刻画不同结构模型的相依关系. 而其参数估计方法的选择以及计算是非常关键的一步，选择合理的估计方法则可以提高模型的精准度，使模型结果更贴合真实值，是模型具有更好地实际意义。

1 理论介绍

Copula函数最早由Sklar提出，是一种连接函数，Copula是连接多元分布函数与其一维边缘分布函数的一个函数，或者是一维边缘为区间I（0，1）上均匀分布的多元分布函数，用来描述变量间的相依结构。Nelsen在An Introduction to Copulas 中给出了N元Copula函数的严格定义[1-2]：

定义1.1 N元Copula函数是指具有以下性质的函数C：

即函数C的定义域为；

C对它的每一个变量都是单调递增；

C的边缘分布满足.其中，。

Copula函数类型比较多，常用的主要有两类[3]：一类是椭圆Copula函数族，例如多元正态Copula函数（又称Gaussian Copula）和多元t-Copula函数是常用的椭圆Copula函数族；另一类为阿基米德Copula函数族，常见的有Gumbel Copula函数、Clayton Copula函数、Frank Copula函数、GS Copula函数等。

将不同的Copula依照特定的方法结合起来，形成一种新的Copula，称为混

合Copula.混合Copula包含了各个组成的特点，可以用来刻画具有不同结构模型的相依关系，混合Copula的表达式如下：

2 混合函数的参数估计

Copula函数的参数估计可以分为参数估计和非参数估计，常用的参数估计法有极大似然估计、分布估计和半参数估计，非参数估计方法有[4]：Genest & Rivest法和非参数核估计法等.极大似然估计、分布估计这两种方法都是要在假设边缘分布形式的前提下进行的，也就是说边缘分布的假设的合理性，关系着Copula函数中的参数估计的精确性，且无论是极大似然估计法还是分布估计法，都适用于样本量充足的情况，若样本量不足，也会影响估计的精度，对于样本量较小的情况，结合阿基米德Copula函数族本身具有的良好性质，采用非参数估计比较合适，如法，混合Copula，除了要估计边缘分布、计算出参数外，还需要求出单个Copula的权重，这样就大大加大了计算的难度，现对一种混合Copula 参数估计方法进行详细描述。

2.1 极大似然估计与EM算法

假设，是样本数据，引入新的随机变量：

若，则表示第个样本来自第个Copula函数，则完全数据的似然函数是：

同理，对第二部分关于参数求导并令导数为零得到到的一次迭代，對上面的和进行迭代，一直到则停止迭代。根据上述过程，用编程运行求结果即可。

在实际应用中，需对各个模型进行拟合优度检验，看得到的边缘分布是否能够较好的模拟真实分布，所建立的模型是否适合我们所选取的数据。

参考文献

[1] Nelsen R B.An Introduction to Copulas[M].New York：Springer，1998：26-27.

[2] 任仙玲，张世英.基于核估计及多元阿基米德Copula的投资组合风险分析[J].管理科学，2007，（20）：92-97.

[3] 马野.混合Copula的构造及其相关性应用[D].长春：长春工业大学，2010.

[4] 李述山.金融时间序列间的条件相关性分析与Copula函数的选择原则[J].理论新探，2010，（10），23-25.

王凤墀（1992-），女，山东省淄博市，硕士研究生，山东科技大学，概率论与数理统计专业。