高一数学必修一-函数的单调性与最值精品PPT课件
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上是减函数，在区间[ -2,1 ),[ 3,5 ]上是增函数。
f (x) 1 x
(0,)
例2 证明函数
在区间
上是减函数。
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤：
①任取x1，x2∈D，且 x1 x2 ； ②作差 f (x1) f (x2 ) ；
度h m与时间t s之间的关系为
，
那么烟花冲出后什么时候是
它爆裂的的最佳时刻？ 这时
距地面的高度是多少 （精确
到1m）？
解：作出函数 h(t) 4.9t2 14.7t 18的. 图象，
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶 点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是 这时距地面的高度。
由二次函数的知识，对于函数
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差 f (x1) f (x2 ) 的正负）；
⑤判断（即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性）．
请你归纳利用定义判断函数的单调性 的步骤。
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤：
①任取x1，x2∈D，且 x1 x2 ； ②作差 f (x1) f (x2 ) ；
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 判断
课后作业 课本第39页 习题1.3(A组) 第1﹑2﹑3﹑4题
例3.物理学中的玻意耳定律 p k（k为正常数）告 V
诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压 强P将增大，试用函数的单调性证明之。
分析：按题意，只要证明函数 p k 在区间( 0, V
函数的单调性与最值
高一数学组
1.观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映 了相应函数的哪些变化规律：
y
y
y
1
1
1
-1
1
x
-1
1
x
-1
1
x
-1
-1
-1
①随x的增大，y的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③函数图象是否具有某种对称性？
2.画出下列函数的图象，观察其变化规律：
(1) f(x) = x ① 从左至右图象上升还是下降 ______? ② 在区间 ____________ 上，随着x的增
例1.如图是定义在区间[ -5, 5 ]上的函数y f (x) ，
根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区
间上，它是增函数还是减函数？
解：函数 y f (x) 的单调区间有[ -5,-2 ),[ -2,1 ), [ 1,3 ),[ 3,5 ].其中 y f (x) 在区间[ -5,-2 ), [ 1,3 )
和最小值。
x 1
课堂练习
课本第38页 练习1、5题
课堂小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利 用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函 数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调 性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 判断
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
p(V1) p(V2 ) 0,
即： p(V1) p(V2 ). 所以，函数 p k ,V (0, ) 是减函数，
V
也就是说，当体积V减小时，压强P将增大。
函数的最值
最大值的定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足：
（1）对于任意的 x I , 都有，f ( x) M
大，f(x)的值随着 ________ ．
(2) f(x) = x2 ① 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x
的增大而 ________ ． ② 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x
的增大而 ________ ．
函数单调性的定义
1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个
+∞ )上是减函数即可。
证明：根据单调性的定义，设 V1,V2 是定义域
( 0,+∞ )上的任意两个实数，且 V1 V2，则
p(V1)
p(V2 )
k V1
k V2
k V2 V1 . V1V2
由 V1,V2 (0, )，得 V1,V2 0 ；
由 V1 V2 ，得 V2 V1 0 ；
又 k＞0，于是
（2）存在 x0 I , 使得f ( x0 ) M .
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值 （maximum value）
思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数 y=f(x)的最小值的定义吗？
例3.“菊花”烟花是最壮观得烟花之一，制造时一般
是
期望在它达到最高点时爆裂。如h(t果) 烟4花.9距t2 地14面.7的t 高18
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差 f (x1) f (x2 ) 的正负）；
⑤判断（即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性）．
课堂练习
课本第38页 练习1、2、3、4题
课堂小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利 用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函 数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调 性的证明一般分五步：
h(t) 4.9t2 14.函数有最大值 2 (4.9)
h 4 (4.9) 18 14.72 29. 4 (4.9)
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻， 这时距地面的高度约为29m。
例4.求函数 y 2 在区间 [ 2, 6 ] 上的最大值
注意： 1.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的
性质，是函数的局部性质；
2.必须是对于区间D内的任意两个自变量 x1, x2 .
2．函数的单调区间的定义
如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是 减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严 格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
自变量 x1, x2 ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，
那么就说f(x)在区间D上是增函数．
思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．
减函数
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个
自变量 x1, x2 ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，
那么就说f(x)在区间D上是减函数．
f (x) 1 x
(0,)
例2 证明函数
在区间
上是减函数。
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤：
①任取x1，x2∈D，且 x1 x2 ； ②作差 f (x1) f (x2 ) ；
度h m与时间t s之间的关系为
，
那么烟花冲出后什么时候是
它爆裂的的最佳时刻？ 这时
距地面的高度是多少 （精确
到1m）？
解：作出函数 h(t) 4.9t2 14.7t 18的. 图象，
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶 点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是 这时距地面的高度。
由二次函数的知识，对于函数
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差 f (x1) f (x2 ) 的正负）；
⑤判断（即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性）．
请你归纳利用定义判断函数的单调性 的步骤。
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤：
①任取x1，x2∈D，且 x1 x2 ； ②作差 f (x1) f (x2 ) ；
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 判断
课后作业 课本第39页 习题1.3(A组) 第1﹑2﹑3﹑4题
例3.物理学中的玻意耳定律 p k（k为正常数）告 V
诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压 强P将增大，试用函数的单调性证明之。
分析：按题意，只要证明函数 p k 在区间( 0, V
函数的单调性与最值
高一数学组
1.观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映 了相应函数的哪些变化规律：
y
y
y
1
1
1
-1
1
x
-1
1
x
-1
1
x
-1
-1
-1
①随x的增大，y的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③函数图象是否具有某种对称性？
2.画出下列函数的图象，观察其变化规律：
(1) f(x) = x ① 从左至右图象上升还是下降 ______? ② 在区间 ____________ 上，随着x的增
例1.如图是定义在区间[ -5, 5 ]上的函数y f (x) ，
根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区
间上，它是增函数还是减函数？
解：函数 y f (x) 的单调区间有[ -5,-2 ),[ -2,1 ), [ 1,3 ),[ 3,5 ].其中 y f (x) 在区间[ -5,-2 ), [ 1,3 )
和最小值。
x 1
课堂练习
课本第38页 练习1、5题
课堂小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利 用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函 数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调 性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 判断
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
p(V1) p(V2 ) 0,
即： p(V1) p(V2 ). 所以，函数 p k ,V (0, ) 是减函数，
V
也就是说，当体积V减小时，压强P将增大。
函数的最值
最大值的定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足：
（1）对于任意的 x I , 都有，f ( x) M
大，f(x)的值随着 ________ ．
(2) f(x) = x2 ① 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x
的增大而 ________ ． ② 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x
的增大而 ________ ．
函数单调性的定义
1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个
+∞ )上是减函数即可。
证明：根据单调性的定义，设 V1,V2 是定义域
( 0,+∞ )上的任意两个实数，且 V1 V2，则
p(V1)
p(V2 )
k V1
k V2
k V2 V1 . V1V2
由 V1,V2 (0, )，得 V1,V2 0 ；
由 V1 V2 ，得 V2 V1 0 ；
又 k＞0，于是
（2）存在 x0 I , 使得f ( x0 ) M .
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值 （maximum value）
思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数 y=f(x)的最小值的定义吗？
例3.“菊花”烟花是最壮观得烟花之一，制造时一般
是
期望在它达到最高点时爆裂。如h(t果) 烟4花.9距t2 地14面.7的t 高18
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差 f (x1) f (x2 ) 的正负）；
⑤判断（即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性）．
课堂练习
课本第38页 练习1、2、3、4题
课堂小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利 用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函 数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调 性的证明一般分五步：
h(t) 4.9t2 14.函数有最大值 2 (4.9)
h 4 (4.9) 18 14.72 29. 4 (4.9)
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻， 这时距地面的高度约为29m。
例4.求函数 y 2 在区间 [ 2, 6 ] 上的最大值
注意： 1.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的
性质，是函数的局部性质；
2.必须是对于区间D内的任意两个自变量 x1, x2 .
2．函数的单调区间的定义
如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是 减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严 格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
自变量 x1, x2 ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，
那么就说f(x)在区间D上是增函数．
思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．
减函数
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个
自变量 x1, x2 ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，
那么就说f(x)在区间D上是减函数．