2009高考数学一轮复习——等比数列与数列求和

2009高考数学一轮复习——等比数列与数列求和
一、解决等比数列有关问题的常见思维方法： (1)方程的思想(“知三求二”问题)。

(2)分类的思想。

二、数列求和的方法： 1.已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 10=384，则该数列的通项a n =_______. 解析：由已知得q 7
=
a
a 10=128=27，故q=2.∴a n =a 3·q
n －3
=3·2
n －3
.
答案：3·2n －3
2.（2006北京卷）如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么（ ）
（A ）b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9
解析：由等比数列的性质可得ac ＝（－1）×（－9）＝9，b ×b ＝9且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3，选B
3. （2006全国II ）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6
S 12＝
（A ）310 （B ）13 （C ）18 （D ）1
9
解析：由等差数列的求和公式可得
3116
1331,26153
S a d a d S a d
+=
==+可得且0d ≠
所以
6112
161527312669010
S a d d S a d
d
+=
=
=
+,故选A
4. 设一个等比数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),其前n 项和为80,而其中最大的一项为54,又其前2n 项和是6560,求a 和q.
思维分析:运算等比数列的求和公式及整体代换思想和分类讨论思想, 解:若q=1,则na=80,∴2na=160矛盾,1≠∴q
于是)3(54
1,081)
1()2()
2(65601)1()1(801)
1(1
1211==∴>∴>=⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧=--=---n n n
n
n q
a a q q q
q q a q q a 又得
3,2548111)3)(1(81==∴=-=-=q a q a q
a q
n
及得
代入
5. 已知数列{}n a ,S n 是它的前n 项和,且1),(2411=∈+=*
+a N n a S n n
(1)设)(21*
+∈-=N n a a b n n n ,求证:数列{}n b 是等比数列
(2)设n
n n
a c 2
=
,,求证:数列{}n c 是等差数列
思维分析:证明数列是等差数列还是等比数列.应紧扣定义式;而数列的前n 项和S n 已知可求a n 解:(1) n n n n n n n n n n n a a a a a S S a S a S 444424,2412112121-=-=-⇒+=+=++++++++即
n n n n n n n n n b b a a b a a a a 22),2(2211112=∴-=-=-⇒+++++而,由此可得{}n b 是等比数列
且首项1
1212
3,2,32-⋅=∴==-=n n b q a a b 公比
(2)4
32
2322
2,2
1
1
1
1
11=
⋅=
=
-
=
-∴=+-++++n n n n n
n n n n n n
n n b a a c c b c
可知{}n c 是首项4
3,2
12
11=
==
d a c 公差的等差数列,4
14
3-
=
∴n c n
6.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入资金800本年度当地旅游产业
收入估计为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加
1
4
(Ⅰ)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元写出a n 、b n 的表达式；
(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 解：(Ⅰ)第1年投入800万元，
第2年投入800(1-15)万元，……， 第n 年投入800(1-
15
)n-1
万元
所以总投入为a n =800+800(1-15
)+……+800(1-
15
)n-1
=4000[1-(
45
)n
]
第1年的收入400万元， 第2的收入400(1+
14
)万元，……，
第n 年的收入为400(1+14
)n-1
万元
所以总收入b n =400+400(1+
14
)+……400(1+
14
)n-1
=1600[(
45
)n
-1]
(Ⅱ)要使旅游业的总收入超过总投入，即b n -a n ＞0
由(Ⅰ)得1600[(45
)n
-1]-400[1-(
45
)n
]＞0
化简得，5×(
45
)n
+2×(45
)n
-7＞0
设x=(45
)n ，则5x 2
-7x+2＞0 ∴x ＜
25
或x ＞1(舍) 即(
45
)n
＜
25
，故n ≥5
故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入
7.（2006北京卷）设4710
310
()22222
()n f n n N +=+++++∈ ，则()f n 等于（
）
（A ）
2(81)7
n
- （B ）
1
2(8
1)7
n +- （C ）
3
2(8
1)7
n +- （D ）42
(81)7
n +-
解析:依题意()f n 为首项为2，公比为8的前n ＋4项求和，根据等比数列的求和公式D 8.若数列{}n a 满足：1.2,111
===+n a a a n n ，2，3….则=
+++n a a a 21 .
解析:数列{}n a 满足：111,2, 1n n a a a n +===，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴
=
+++n a a a 21212121
n
n
-=--.
9. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =3
1(a n -1)(n ∈N,n ≥1) (1)求a 1,a 2
(2)求数列{a n }的通项公式
(3)b n =n,令C n =b n a n ,求数列{C n }的前n 项和 解：（1）由)1,)(1(3
1≥∈-=
n N n a S n n 2
1),1(3
11111-
=∴-==∴a a S a
4
1),1(3
122221=
∴-=
=+a a S a a ……………………4分
（2）)(3
1)1(3
1)1(3
1111----=
--
-=
-=n n n n n n n a a a a S S a
)1(2
11
>-
=∴
-n a a n n }{n a ∴是首项公比均为2
1-
的等比数列 n
n a )2
1(-
=……8分
（3）设}{n C 前n 项的和T n ，n
k n n n a b C )2
1(-
⋅==
n
n n T )2
1()2
1(3)2
1(2)21(13
2
-
++-
⋅+-
⋅+-⋅=∴ ………………①
1
3
2
)
21()2
1()1()2
1(2)2
1(21+-⋅+-⋅-++-
⋅+-
=-n n
n n n T ………………②
①－②：1
3
2
)
2
1()2
1()2
1()21()2
1(2
3+-
⋅--
++-
+-+-
=n n
n n T
6
2
)
21)(23(2
)
21()21(1]
)21(1[21--+=
-
⋅+
-
--
--=
n
n
n
n n
9
2
)
2
1)(23(--
+=
∴n
n n T ………………14分
10. 求和：)(,32114
3211
3211
211
1*
N n n
∈++++++++++
+++
++。

解：)
1(2211
+=
+⋯++=
k k k
a k ，
])
1n (n 1
3
212
11[
2S n ++
⋯+⋅+
⋅=∴
11121113121211[2=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
=n n n。