2009高考数学一轮复习——等比数列与数列求和

2009高考数学一轮复习——等比数列与数列求和

一、解决等比数列有关问题的常见思维方法： (1)方程的思想(“知三求二”问题)。 (2)分类的思想。

二、数列求和的方法： 1.已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 10=384，则该数列的通项a n =_______. 解析：由已知得q 7

=

a

a 10=128=27，故q=2.∴a n =a 3·q

n －3

=3·2

n －3

.

答案：3·2n －3

2.（2006北京卷）如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么（ ）

（A ）b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9

解析：由等比数列的性质可得ac ＝（－1）×（－9）＝9，b ×b ＝9且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3，选B

3. （2006全国II ）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6

S 12＝

（A ）310 （B ）13 （C ）18 （D ）1

9

解析：由等差数列的求和公式可得

3116

1331,26153

S a d a d S a d

+=

==+可得且0d ≠

所以

6112

161527312669010

S a d d S a d

d

+=

=

=

+,故选A

4. 设一个等比数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),其前n 项和为80,而其中最大的一项为54,又其前2n 项和是6560,求a 和q.

思维分析:运算等比数列的求和公式及整体代换思想和分类讨论思想, 解:若q=1,则na=80,∴2na=160矛盾,1≠∴q

于是)3(54

1,081)

1()2()

2(65601)1()1(801)

1(1

1211==∴>∴>=⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧=--=---n n n

n

n q

a a q q q

q q a q q a 又得

3,2548111)3)(1(81==∴=-=-=q a q a q

a q

n

及得

代入

5. 已知数列{}n a ,S n 是它的前n 项和,且1),(2411=∈+=*

+a N n a S n n

(1)设)(21*

+∈-=N n a a b n n n ,求证:数列{}n b 是等比数列

(2)设n

n n

a c 2

=

,,求证:数列{}n c 是等差数列

思维分析:证明数列是等差数列还是等比数列.应紧扣定义式;而数列的前n 项和S n 已知可求a n 解:(1) n n n n n n n n n n n a a a a a S S a S a S 444424,2412112121-=-=-⇒+=+=++++++++即

n n n n n n n n n b b a a b a a a a 22),2(2211112=∴-=-=-⇒+++++而,由此可得{}n b 是等比数列

且首项1

1212

3,2,32-⋅=∴==-=n n b q a a b 公比

(2)4

32

2322

2,2

1

1

1

1

11=

⋅=

=

-

=

-∴=+-++++n n n n n

n n n n n n

n n b a a c c b c

可知{}n c 是首项4

3,2

12

11=

==

d a c 公差的等差数列,4

14

3-

=

∴n c n

6.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入资金800本年度当地旅游产业

收入估计为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加

1

4

(Ⅰ)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元写出a n 、b n 的表达式；

(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 解：(Ⅰ)第1年投入800万元，

第2年投入800(1-15)万元，……， 第n 年投入800(1-

15

)n-1

万元

所以总投入为a n =800+800(1-15

)+……+800(1-

15

)n-1

=4000[1-(

45

)n

]

第1年的收入400万元， 第2的收入400(1+

14

)万元，……，

第n 年的收入为400(1+14

)n-1

万元

所以总收入b n =400+400(1+

14

)+……400(1+

14

)n-1

=1600[(

45

)n

-1]

(Ⅱ)要使旅游业的总收入超过总投入，即b n -a n ＞0

由(Ⅰ)得1600[(45

)n

-1]-400[1-(

45

)n

]＞0

化简得，5×(

45

)n

+2×(45

)n

-7＞0