东南大学材料力学课件第三章 扭转.ppt

m2 15m1
8、等截面受扭圆轴上，主动轮①输入功率为
13kW，从动轮②输入功率为7kW ，从动轮③
输入功率为5kW ，从动轮④输入功率为1kW ，
现在从左到右等间距安排各轮，最合理的安排
为（ C）。
A. ① ② ③ ④
B. ④ ③ ② ①
C. ② ① ③ ④
D. ③ ① ② ④
Me
9549
P n
对于各向同性材料,可以证明:E、G、 三个弹性常数 之间存在着如下关系： G E
2(1 )
三、外力偶矩 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩Me ①直接计算
②按输入功率和转速计算
轴转速n － r/min
输出功率P－kW
计算力偶矩Me
1000
P
M
e
2
n 60
P Me 9549 n (N.m)
2.扭矩T(Torque)及扭矩图
右手螺旋法则
正负规定:右手拇指指向外法线方向为正,反之为负。
例1.传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率
P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功P2=160kW，
P3=240kW。画扭矩图。
解： 1.外力偶矩
d1
C d2
A
B
M e1
Me1
9549 P1 n
9549 400 500
dx G I p
T
Ip
max
Tmax Ip
T Wp
Wp
Ip
max
扭转截面系数
T
Ip
max
T
Wp
max
max
●下面求极惯性矩I p和扭转截面系数Wt
实心轴
空心轴
实心轴
d /2
d /2
I p 2dA 2 2 d 2 3d
A
0
0
d4
32
Wp
Ip
max
Ip d
d
o
2
C. 1max 2max ， T1 T2 ;
D. 以上答案均错误。
分析： G
1max G1 2max G2
G1 G2
1max 2max
1max
T1
d13
16
2max
T2
d
3 2
16
T1 T2 B
d1 d2
3、已知：组合轴由三段长均为l的圆轴构成, AB 段和CD圆轴直径均为d， BC段圆轴直径为3d， 则横截面上最大切应力正确说法为（ ）。A
轴长度。
解： Tl
GI p
max
T WP
l G I p max WP
Gd 2 max
6 80109 0.05 180 90106 2
2.33m
例6.空心圆轴，外径Ｄ＝100mm，内径ｄ＝80mm， AB=l＝500mm，m１＝4kN.m，m２＝6kN.m，Ｇ＝ 80GPa。求C截面对A、B截面的相对扭转角。
d3
16
对于空心圆，外径为D，内径为d, d D
I p
2dA
(D4 d 4)
A
32
空心轴
D4 (1 4 )
32
Wp
Ip
max
D3 (1 4 )
16
3. 公式分析和适用范围
d T
dx G I p
•单位扭角公式，是计算扭转变形的重要公式；
T
Ip
max
T Wp
•圆轴受扭的剪应力公式，式中ρ为计算之点到
使用截面法易算
7640N.m
T1=-7640N.m T2=-4580N.m
wk.baidu.com
四、圆轴扭转时截面上的应力(Stress)计算
横截面的扭矩T是由一点一点的应力所组成，它们 的大小与分布规律不能仅仅用静力学知识来解决，所 以，扭转应力分析是一个高度的静不定问题，必须由 几何、物理和静力学三方面来解决。
d T
7640N m
M e2
Me
160 Me2 400 Me1 3060N m
240 Me3 400 Me1 4580N m
解：1.外力偶矩
Me1 7640N .m Me2 3060N m Me3 4580N m
2.扭矩
1 d1
C 2d2
A
B
M e1 1
Me2 2
M e3
4580N.m
分析： Tl
GI P 材料和长度相同，横截面上受外力偶相同则
I P 相同 d1 d2
T d1
1max
2 IP
T d2
2max
2 IP
1max 2max
5、一内外径之比为α的空心圆轴，受扭转时，
横截面上最大切应力为τ，则内圆周处的切应 力等于（ ）。B A. B. C. (1 3 ) D. (1 4 )
A． max
16m
d 3
B． max
32m
d 3
C． max
64m 27d 3
D． max
32m
d 3
3m
3m
m
m
B
C
D
4、已知：一实心圆轴和一空心圆轴材料和长度 相同，横截面上受外力偶相同，如果两端相对 扭转角相等, 则关于实心圆轴和空心圆轴上最大 切应力，正确说法为（ ）C。 A．最大切应力相等 B．实心圆轴的最大切应力更大 C．空心圆轴的最大切应力更大 D．无法判断哪个最大切应力更大
A空 A实
D2 (1 0.52 )
4
d12
0.783
4
五、圆轴扭转时的变形(deformation)计算
d T
dx GI p
d T d x
GI p
d
T dx
l GI p
若 T const，则 Tl GI p
公式适用条件： ①当p（剪切比例极限）公式才成立； ②仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）； ③扭矩、面积沿杆轴不变（T、Ip为常量）。
单位长度扭转角 d T
dx GI p
圆轴扭转时的刚度条件(stiffness condition)
max
Tmax rad / m
GI p
为许可单位长度扭转角 ,单位为rad / m
Tmax 180 / m
GI p
例4.已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转角为 6°
时，轴内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。求该
D. ③ ① ② ④
9、低碳钢和铸铁圆轴受扭破坏时，正确说法 为（ Ｂ）。 A. 两者都是横截面上破坏 B.低碳钢是横截面上破坏，铸铁是45度螺旋 面上破坏 Ｃ.铸铁是横截面上破坏，低碳钢是45度螺 旋面上破坏 Ｄ.低碳钢不破坏，铸铁是45度螺旋面上破坏
和2d，单位长度扭转角相同，则有（ D）。
A. m1 m2 B. m2 2m1 C. m2 7m1
m2 m1
D. m2 15m1
分析：单位长度扭转角 T
GI P
1
m1
d 4
G
32m1
d 4G
32
2
m1
G
m2 (2d )4
2(m1 m2
d 4G
)
1
32
2(m1 m2 ) 32m1
第三章 扭 转 (Torsion)
廖东斌 编制
13451911061
第三章 扭 转
一、扭转概述 二、纯剪切 三、外力偶矩 扭矩和扭矩图 四、圆轴扭转时截面上的应力计算 五、圆轴扭转时的变形计算 六、圆轴扭转时的应变能 七、选择题练习
一、扭转概述
受力特点： 杆受一对大小相等，方向相反的力 偶，力偶作用面垂直于杆轴线。
解：1、画扭矩图
2
A
B
2
T (kNm)
4
C TAB 2kNm
1
TBC 4kNm
X
2、计算IP
2
IP
D4 (1 4 )
32
0.14
32
(1
0.84 )
5.8 106 m4
3、计算相对扭转角
CB
TBC lBC GIP
0.5 4103 80109 5.8106
4.31103 rad
分析：
T
Ip
TD
max
2 IP
d
T
2
2 IP
d
D
2
6、受扭转圆轴，横截面上最大切应力为τ，则 按第三强度理论强度条件为（ ）B。
A.
B. 2
C. 3
D. 2
分析：第三强度理论
1 3
2
2
1
3
或 2 4 2 得到
7、受扭转组合圆轴，材料相同，直径分别为d
六、等直圆杆扭转时的应变能(strain energy)
在线弹性范围内，剪切变形能密度为：
1
2
1
2
2
2G
剪切变形能为：
V
Me2l 2GI p
七、选择题练习
1、关于扭转切应力公式 T 的应用范围，
IP
试判断哪个正确？（ C ）
A．适用于任何条件下的圆轴；
B．圆轴和矩形轴；
C．圆轴且弹性范围内加载；
D. 圆轴和矩形轴且弹性范围内加载。
2、两根长度相等、直径不等的圆轴扭转后， 轴表面母线转过相同的角度。直径小的轴和直 径大的轴切变模量有G1 G2，最大剪应力分别 为 1max ， 2max ，扭矩分别为T1和T2 （ B ）？
A. 1max 2max ， T1 T2 ;
B. 1max 2max ， T1 T2 ;
且最大剪应力相等。求两轴外直径之比 。
解:
T
D13
T
D23 (1 0.84 )
16
16
D2 1.192 D1
例3.在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取 代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?
解：设实心轴的直径为 d1 ，由
T
d13
T
D3 (1 0.54 )
16
16
得： D 1.022 d1
( N .m )
7 Me2 9549 n (N .m)
1 Me3 9549 n (N .m)
分析：扭矩
×A. ① ② ③ ④
× B. ④ ③ ② ①
C. ② ① ③ ④
13 Me1 9549 n ( N .m)
5 Me3 9549 n (N .m)
Me2 Me1 Me3 Me4 分析：扭转角
圆心的距离。
•只能用于圆截面轴，材料在比例极限范围内。
•GIp为扭转刚度(Torsion rigidity)。
4. 强度条件(Strength condition)
max [ ]
max
Tmax Wp
[ ]
(等直杆)
例2.一直径为D1的实心轴，另一内外径之比α＝d2
／D2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，
0.247
CA
CB
AB
TBC lBC GI P
TAB l AB GI P
0.5 4103 80109 5.8 106
0.5 (2)103 80109 5.8 106
2.16103 (rad ) 0.124
“+”号表示面向C截面观察时，C截面相对于A （或B）截面逆时针转动。
变形特点： 相邻截面绕轴相对转动。
Me
Me
扭转破坏实例
低碳钢
铸铁
二、纯剪切
单元体
dy t
z dx
纯剪切：单元体上只有 切应力而无正应力。
1.切应力互等定理 : 在相互垂直的两个平面上,剪 应力一定成对出现，其数值相等，方向同时指向 或背离两平面的交线。
2.剪切胡克定律(Hooke law about shear)
在纯剪状态下，单元体 相对两侧面将发生微小 的相对错动，原来互相 垂直的两个棱边的夹角 改变了一个微量。两正 交线段的直角改变量为 剪应变。
薄壁圆筒的实验, 证实了剪切胡克定律：即当剪应 力不超过材料的剪切比例极限τp时,切(剪)应力与切 (剪)应变成正比。
G
G称为材料的剪切弹性模量(切变模量), 为切应变。