这正是精确的一维谐振子基态能量

(6)
( 0) ˆ ) (0) c ( E (0) H ˆ ) (0) E (0) E c (0) ( En H n k k k n n n k k k n k n
(6)
用
(0)* n
左乘（6）式并积分就得到
( 0) ck H nk En En H nn k n
2 | H | ( 0) ( 0) nk ( 0) En En H nn k n En Ek
将(12)式 m
k ，并代入(5)式，即得 n 的一级近似
( 0) n
n
H kn ( 0) ( 0) ( 0) k E E k n n k
(14)
（13)、(14)式就是非简并态微扰论的主要结果。
2 | H | ( 0) ( 0) nk ( 0) En En H nn k n En Ek H kn ( 0) ( 0) n n ( 0) ( 0) k E E k n n k
(13)
(14' )
|2 | H nk ( 0) En E H nn ( 0) k n En Ek H ( 0) n n ( 0) kn ( 0) k( 0) k n En Ek
( 0) n
(13)
(14)
(13)、(14)式成立的条件（逐步近似法适用的条件）为
(5)
(0) ˆ 0 H ˆ ， n 的主要成分显然就是 n 由于 H ，因此（5）
式中| Ck | 1 。这个判断是使用逐步近似法的基础。 将（5）式代入（4）式，得到
ˆ H ˆ ) E (H 0 n n n (4)
( 0) ˆ ) ( 0) c ( E ( 0) H ˆ ) ( 0) E ( 0) E c ( 0) ( En H n k k k n n n k k k n k n
(10 )
(8) 和 (9) 式是严格的，它们和（ 6 ）式等价。
( 0) ck H nk En En H nn
(8)
Cm E H mn
k n ( 0) m
Encm ck H mk
k n
(Baidu Nhomakorabea)
ˆ 有关的项，就得到零级近似： 在(8)、(9)式中略去所有与 H
(14)
(13)式右端各项通常称为 En 的零级近似，一级修正
和二级修正:
E
(1) n
, H nn
E
( 2) n
| H nk |2 ( 0) ( 0) k n En Ek
(13' )
(14)式中 项称为 n 的一级修正 k

(1) n
H kn ( 0) ( 0) k ( 0) E E k n n k
En ~ E ,
( 0) n
cm ~ mn
k n
(8)式中略去最小的第三项即 项,即得 En 的一级近似
( 0) En En H nn
(11)
(0) (9)式中略去最小的项，即 项，并在右端用 作为 En E n k n
的近似，就得到 Cm的一级近似
H mn cm ( 0) ( 0) En Em
n
ˆ ”后， ˆ H ˆ H ˆ' 加上“微扰H H 0 0
( 0) En En ( 0) n n
ˆ 的本征方程（ 1 ）式变为： H
ˆ H ˆ ) E (H 0 n n n (4)
将待求的 n 写成 k
( 0)
的线性迭加：
( 0) ( 0) n n Ck k k n
(8)
(0)* 用某一个 m 左乘（6）式并积分得到
( 0) cm Em Encm H mn ck H mk k n
(9)
ˆ (8)、(9)式中 H mk ˆ 表象”中 是“ H H
0
的矩阵元
( 0 )* ˆ m H mk H k( 0 ) d

解1
2 1 d 1 2 2 ˆ H0 m x 的本征值和本征函数是 2 2m dx 2
E
(0) n
1 (n ) , 2
N n H n ( ) e

2
n 0,1,2
2

( 0) n
, x
x x0 , 0 m
/
|2 | H nk ( 0) En E H nn ( 0) k n En Ek H kn ( 0) ( 0) n n ( 0) ( 0) k E E k n n k
(12)
k k n n c ( 0) ( 0) k n
( 0) ck H nk En En H nn k n
(5)
(8)
(12)
cm
将(12)式 m
k ，并代 入(8)式，即得 En 的二级近似
(13)
H mn ( 0) ( 0) En Em
第五章 微扰理论
近似方法：微扰与变分 微扰方法：与时间无关（定态微扰） 与时间有关（量子跃迁）
定态微扰：简并、非简并
§5.1 非简并的定态微扰
一、适用条件
求解定态薛定谔方程
ˆ E H
(1)
ˆ 比较复杂，无法直接求解，若可将其分成两部分 H
ˆ H ˆ H ˆ , H 0
H0 H
(2)
ˆ 的本征值和本征函数可以求出，则方程（1）就 H 0
可以通过逐步近似的方法求解。
二、微扰论的基本方程
ˆ 的本征值和本征函数已经全部求出： 设H 0
( 0) ( 0) ( 0) ˆ 0 k H Ek k ,
k 1,2,n
(3)
(0) 设某一个能级 E(0) 是非简并的，只有一个 n 与它对应，
| ck | 1,
即
( 0) ( 0) || En | Hkn Ek |
(15)
(0) 如果紧靠着 En 存在别的 Ek(0) ，即使 H H0 ，
微扰论也不适用。
例
带电量为e的一维谐振子，受到恒定弱电场 的微扰 作用 H ex 试用微扰论求能级的变化，并与精确解比较。